钉子板上的多边形教案

第一篇：钉子板上的多边形教案

基地数学学科《钉子板上的多边形》教学设计

溧阳市平桥小学

潘红星

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，让学生自主发现钉子板上的钉子数与面积之间的关系。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。3.培养学生获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。教学过程：

一、认识钉子板

同学们，大屏幕上的是什么？今天我们要学习与钉子板有关的数学知识，老师没有带钉子板，怎么办，有没有替代品。

讲述：钉子板上的多边形是用橡皮筋围的，今天我们就用画的形式表示好吗？

二、揭题

1.今天我们学习的数学内容是什么？ 生：钉子板上的多边形 师板书：钉子板上的多边形

师：你觉得我们今天会研究多边形的什么数学问题呢？ 生：面积、周长……

2.师：今天我们就学习多边形的面积，想一想，今天学习的多边形面积还可能和什么有关系？ 生：钉子板

师补充：钉子板上的钉子，你觉得会有什么样的关系呢？ 生：钉子越多，面积越大

师：这只是你的猜想，要想得到证明，我们还要进行操作是吗？ 师：我们从简单的图形学起 师：说一说上面图形的面积各是多少 说一说你是用什么方法的呢？

根据学生的回答板书：算 说一说你是用什么方法的 根据学生的回答板书：数

3.师提问：刚才我们说多边形的面积可能和什么有关系啊？ 生：钉子数

4.多媒体出示：多边形边上的钉子数 一起读一读，我们要数什么 5.一起和老师数，师点生数 6.你发现了什么？

生：钉子数÷2＝面积

…… 让3－4名学生说一说。

师：很难说，如果我们用字母表示就简单多了。

用s表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数你会表示吗？ 学生根据自己的理解得到S＝N÷2

三、引发矛盾

师：刚才我们的图上是不是还有4幅图形啊，我们一起来验证一下好吗？ 师：你有什么想要说的

师：现在我们从不同中找相同，回头再看看前面4幅图，你有什么发现？ 生：中间只有一枚钉子 师：点一点

师：你觉得刚才我们的这句话应该怎么说才更合适呢？ 生：当中间只有一枚钉子时，师：如果中间钉子数用字母ａ表示，这个公式应该怎么表示。

四、反思与小结

师：刚才我们研究了什么，你能不能用一句话说一说。生：多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2。

五、迁移研究

师：接下来，我们应该研究什么了，生：A＝2 师出示：两幅图，你还记得刚才的数据吗？说一说

师：现在拿出你的钉子板纸，在上面画一个中间有两枚钉子的多边形，并写出他的面积与边上的钉子数。生演示并汇报，师填写

师：你有什么发现，在小组里和大家说一说。指名说一说你的发现

师：刚才我们又研究了什么，你能不能用一句话说给大家听一听。研究A＝3 师：你觉得接下来我们要研究什么了。在你的钉子板上画一画，小组里完成表格。迁移知识：如果A＝4、5…..当A＝0的时候呢？

学生利用学习研究单分别研究出A＝2、3、4、5等多边形的面积与边上钉子数的关系。

师：象这样的研究我们还可以继续，如果你有兴趣的话，老师推荐你一本书有两个人。

出示两个关于这一数学现象研究的数学家。六：全课小结

这节课，我们一起研究了什么？能不能把你的发现和大家说一说。

第二篇：钉子板上的多边形教案

钉子板上的多边形

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。

3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。

4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律 教学难点：

类比推导出一般规律 教学准备：

作业纸，多媒体课件 教学过程：

一、激趣生疑，直观感知

1、呈现一个钉子板上的多边形

说明：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。提问：这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？ 组织交流：（1）、面积公式计算；（2）、分割数方格

2、启发：你能再围一个面积和刚才不一样的多边形吗？在围过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢？

学生动手围一围，同桌相互说一说怎样求出面积的。

3、追问：跟哪里的钉子数有关？

4、揭题：面积与钉子数之间是否存在一定的规律呢？我们这节课就来研究钉子板上的多边形面积与钉子数之间的关系。提问：想一想，我们可以怎样来研究？ 提出猜想——验证猜想——概括结论

二、简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况

1、个例发现，形成猜想

出示：一组钉子板上的多边形。提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发现。

生独立计数，完成表格 出示资源： 提问：（1）校对结果

（2）你有什么发现？

全班交流：（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大

（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半

如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？动手写一写。

2、举例验证，明确前提

引导：由刚才这四个图形，有了这样的发现，这一发现是否也适用于钉子板上的其他图形呢？我们还要举例验证。

要求：在钉子板上画一些多边形，验证刚才的发现。并列呈现学生资源，引导观察。

（1）符合规律（2）不符合规律

提问：看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？，它们有什么共同的特点？仔细观察，把你的发现说给同桌听听。

指名交流：多边形中间只有一枚钉子

3、归纳概括，形成结论

总结：看来要使这一发现成立，还要加个前提，谁能把这个规律完整的说一说？

同桌互相说一说，再指名交流。

当多边形里面只有1枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

如果把多边形里面的钉子数用a来表示，完善字母表达式。总结：看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形里面的钉子数有关。

正因为面积和两个量都有关系，所以我们研究是时候先确定一个量（里面的钉子数）

三、运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况

1、探究形内有2枚钉子的情况

形内只有1枚钉子的情况已经研究了，往下我们应该研究？

当形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢？同学们也像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形，老师这里也提供一些，算一算，数一数，多边形有几个面积单位？多边形边上的钉子数有几枚？把结果填入表中，再与同桌说说你的发现。

过程指导：也像刚才那样，把钉子数除以2，再跟面积进行比较。看看有什么规律。

如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？ 学生独立探究，发现规律 个别交流：当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2＋1 同桌互说规律 学生独立完成

板书：当a=2时，S= n÷2＋1

2、推想形内有2枚以上钉子的情况

提问：比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎样的规律? 如果你能直接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。左边同学研究a=3的情况，右边同学研究a=4的情况。

分工合作，推想规律 个别交流规律

当a=3时，S=n÷2＋2 当a=4时，S=n÷2＋3

3、归纳推理，形成一般公式

像这样推想下去，当a=m时，s=？ 学生独立完成 个别交流：

当a=m时，s=n÷2＋m－1 同学们：今天我们通过对形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子数的的多边形的研究，发现多边形的面积单位个数与钉子数之间的关系，并归纳推理出一般公式，当a=m时，s=n÷2＋m－1，这一公式对于形内有5、6…甚至更多钉子时是否成立，我们还需举例验证，下节课我们就来验证这一规律。板书设计：

钉子板上的多边形

当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积单位的个数等于多边形边上的钉子数÷2 当a=1时，S=n÷2

当a=2时，S=n÷2＋1 当a=3时，S=n÷2＋2 当a=m时，s=n÷2＋m－1

第三篇：钉子板上的多边形 教学设计

钉子板上的多边形

教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形” 教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子 数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体 会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展 观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇 妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学过程：

课前活动:每个小组里发一个钉子板实物。并激发他们在钉子板上围多边形。玩出精彩！有一位数学家就在小小的钉子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100个数学定理之一。今天我们也走进钉子板的世界去看一看。

一：创设情境，引出问题

今天我们研究————钉子板上的多边形（出示课题）

师：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替钉子板。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成一个面积是1cm²。你们看现在点阵图上的点子可以怎么分分类？

边上的钉子，图形内的钉子、图形外的钉子

出示课件：钉子板上的多边形，共3个不同的多边形。问题1：你想研究钉子板上的多边形的哪些项目呢？

生：多边形的面积、面积的大小和什么有关？······

问题2：你猜想下，钉子板上的多边形的面积会有什么因素有关？

生：钉子数、多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数······

师小结：这些多边形的面积是否和以上的各个因素有关呢？下面我们就来研究下这些图形。

二：自主研究，得出猜想

问题1：你想怎样研究？

生：画图、计算、数······

师：很好，下面我们就来研究影响多边形面积的因素，我们从最简单的一组图形开始。

研究1：独立完成“钉子板上的多边形”研究单1

1、学生通过算一算、数一数，完成研究单1；

2、师展示学生的研究单，说一说你的研究过程；——学生自己介绍表格中数据的由来。

3、观察分析表格中的数据，你有什么发现？

——同桌互相说一说

——个别的汇报

4、通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？

——S=n÷2

小结：根据学生的研究和汇报，初步得出多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2.三、质疑验证，归纳结论

S=n÷2这个规律是否对钉子板上所有的多边形都成立呢？应该怎么办？————验证

1、完成研究单1上面的第二题的①②两个，并填表。

2、出示课件上⑦⑧两个图形，再次验证。

3、通过两次的验证，你有什么发现？——发现S=n÷2在其它的多边形中不成立。

4、思考：为什么呢？

引导学生再次观察①②③④四个图形，你有什么发现？同桌互相说一说，再个 别发表看法。————得出：①②③④四个多边形内部都只有一个点。

5、再次验证：每位学生再提供的备用点子图上画一个内部只有一个点的多边形，计算并观察多边形的面积和边上的钉子数是否符合S=n÷2？

6、谁能完整的把刚才的规律说一说？

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：

当a=1时，S=n÷2 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。----高斯

四、合作探究，得出规律

引入：多边形内有一枚钉子的情况，同学们已经研究过了，而且找出了一般规律，那下面你们想研究什么呢？——————多边形内有2枚钉子的时候，面积和钉子数的关系。

合作交流,完成研究单1的第二题。

1、首先独立画一个内部两个点的多边形，得出S和n；

2、同桌交流，完善表格。

3、观察表格中的S与n的 值，再互相说一说，你有什么发现？

4、个别同学汇报发现，其他同学根据自己的图形验证发现是否正确。

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：

当a=2时，S=n÷2+1

五、推想、验证，得出规律

引入：当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 猜想：当a=3、4、5······时，S与n之间有什么关系呢？

学生猜想：当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3 学生验证：分组研究，分成4人小组

1、组内确定研究主题：a=3或者a=4.2、三人每人分别画一个，并且得出S与n的值，第四个人汇总并汇报小组的研究成果。

3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？

小 结： 根据刚才同学们的研究，我们得到了这些规律

当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3

请你说一说

当a=5时，S=

······

当a=10时，S=

·······

问题：你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所有的规律吗？

——————

S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成体系

出示：钉子板上的多边形实物图形，观察这些多边形有什么特点？

——内部的钉子数为0.即a=0

问题：当a=0时，上面的规律还成立吗？你是怎么想的？说一说你的想法和结论。

七：总结收获，形成方法。

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

回顾过程，交流体会。

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？ 追问：还有什么疑问吗？

小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。

第四篇：钉子板上的多边形面积说课稿

《钉子板上的多边形》说课稿 横板桥镇中心小学 廖为火

一、说教学内容：

苏教版（新版）五年级上册第8单元108-109探索规律“钉子板上的多边形”

二、说教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

三、说教学重点难点：

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

四、说教学过程：

一、问题引入，揭示课题

1.设疑激趣。

PPT出示点子板上围成的多边形，提出问题：不准分割你能迅速计算出下列方格图中每个多边形的面积吗（说明：这里的每个格子面积1cm²的正方形）？

在学生学习了常见多边形面积计算后，咋一看以为用常规方法能解答以上问题，但仔细一看题目要求，这些图形的面积计算就比较困难，这样就激发起学生强烈的求知欲。此时教师提出：用数格点的方法可以解决。此时学生脑里想的是：格点是什么？怎么数？与图形面积有什么关系？带着这一系列疑问，我出示第二组图形（图1-图3）

2.引入课题。

谈话：钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？我们这节课就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知。

1.引导学生观察 图1-图3。

引导：请大家观察PPT上面的多边形，按上面要求数一数，在教材第108页的表格里填一填。

（1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；

（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；

（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。

2.学生交流，完成第108页的表格。

3.观察数据，比较发现。

引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。

交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）

说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，PPT出示：

S=n÷2 4.观察比较，反思质疑。

（二）继续研究，拓展认识。

1.提出问题，引发思考。PPT出示图4-图6：

引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家自己在方格纸中画图，数一数、比一比，看看有没有规律。

2.小组合作，探究规律。

引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。

出示活动要求：

（1）每人在方格纸中画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；

（2）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；

（3）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？

学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。

3.交流引导，发现规律。

PPT 出示图4-图6及表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。

引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2 有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。

提问：通过数据比较，你有什么发现？

小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1）

追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。

（三）引导猜想，概括规律。

1.引发学生猜想。

提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。

交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？

2.画图举例，验证猜想。

让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。

交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

PPT出示图7-图9，引导学生完成表格。

确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2。

追问：现在我们又有什么发现？

3.拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？

那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。

提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？

指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1）

验证：请大家用这个规律解决本课开始的问题。PPT返回到本课 最早的三个多边形图，用上面的公式迅速计算，体验成功的快乐。

(四).适当介绍，拓展视野。PPT

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

第五篇：钉子板教案

时间：12月9日 地点：会议室 做课人：焦海云

钉子板上的多边形

一、板书课题：由谈话导入

二、出示教学目标：探索钉子板上的多边形的面积与它边上的钉子数之间的关系，并用含有字母的式子表示规律。

三、交流探索，寻找规律：

1、出示钉子图：

2、出示自学指导(一): 请打开课本108页:(1)认真数一数，算一算：钉子板上这些图形的面积各是多少平方厘米？每 个多边形边上的钉子各是多少枚？（完成108页表格）(2)、从这些图形中，你发现了什么?用字母怎样表示？(重点看西红柿、小蘑菇、小萝卜、青辣椒的提示）

（比比看谁看书最认真，完成后同桌互相说一说，时间为3分钟）

（3）、先学: ①数一数，算一算（完成108页表格）② 说一说

③、总结规律：当a=1,s=n÷2

3、出示自学指导(二):

请出示钉子图，看探索二中的图形：

(1)、认真数一数，算一算：钉子板上这些多边形内都有2枚钉子，它们的 面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各是多少枚？（完成探索二的表格）

(2)、它们的面积与它们边上的钉子数有什么关系？用字母又怎样表示？（动手算一算，再和同桌说一说，时间为2分钟）

（3）先学:①数一数，算一算（完成钉子图（1）的表格）② 说一说

③、总结规律：当a=2,s=n÷2+1

4、出示自学指导(三): 请出示钉子图，看探索三中的图形：

(1)、数出各多边形边上的钉子数，算出它的面积.（完成探索三的表格）(2)、你发现了什么？用字母又怎样表示？

（动手数一数，算一算，时间为2分钟）

（3）先学:①数一数，算一算（完成钉子图（2）的表格）② 说一说

③、总结规律：当a=3,s=n÷2+2

5、猜想并验证规律：（1）画一画（2）算一算，数一数

（3）总结规律：当a=4,s=n÷2+3 当a=5,s=n÷2+4当a=0,s=n÷2-1

四、总结规律：当a=m时S=n÷2+(m-1)

五、课堂检测我最棒：小牛刀试

六、回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？