[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(二)

第一篇：[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(二)

2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：

一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标运算

思考1：已知：a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab、ab、a的坐标吗？设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2 x1，y2 y1)的P点吗？

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

三、讲解范例：

例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例3已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：32x0x5 ∴ ∴F3(5，1)45y0y

1四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP1MN，求P点的坐标 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量的坐标运算；

六、课后作业：《习案》作业二十

第二篇：[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(三)

2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：

一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).2．平面向量的坐标运算（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差..实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.1

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。3．练习：1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP1MN，求P点的坐标22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求证：四边形ABCD是梯形.？

二、讲解新课：

1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？

设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中ba.x1x2由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0

y1y2a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？

（不能 ∵y1，y2有可能为0，∵b0 ∴x2，y2中至少有一个不为0）

（2）能不能写成y1y2 ？（不能。∵x1，x2有可能为0）x1x2ab

x1y2x2y10(3)向量共线有哪两种形式？ a∥b(b0)

三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.思考：你还有其它方法吗？

例3若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x 解：∵a=(-1，x)与b=(-x，2)共线 ∴(-1)×2-x•(-x)=0

 ∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2

例4 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 例5设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.思考：（1）中 P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=如何求点P的坐标？

四、课堂练习：P101面4、5、6、7题。

五、小结 ：（1）平面向量共线的坐标表示；

（2）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）向量共线的坐标表示.六、课后作业：《习案》二十二。思考：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（C）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（B）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= 3.3

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为26.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= 5

第三篇：高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示教学设计 新人教A版必修4

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计

【教学目标】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积

实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.2．运算定律 aaaaaa结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λb.3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.新授课阶段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.二、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 1

基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 axiyj…………○1○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作 2 a(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2○式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算

（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j，即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OBOA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1).（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC，得D1=(2，2).当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0).例4 已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)，即：32x0,x5, ∴ ∴F3(5，1).45y0,y1.例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标.解：设点D的坐标为（x,y）, AB(1,3)(2,1)(1,2)，DC(3,4)(x,y)(3x,4y)，且ABDC,(1,2)(3x,4 y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以顶点D的坐标为（2，2）.3

另解：由平行四边形法则可得

BDBABC

(2(1),13)(3(1),43)

(3,1), ODOBBD (1,3)(3,1)(2,2).例7 经过点M(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B，且|AB|3|AM|，求点A,B的坐标.解：由题设知，A,B,M三点共线，且|AB|3|AM|，设A(x,0),B(0,y)，①点M在A,B之间，则有AB3AM，∴(x,y)3(2x,3).解之得：x3,y3，点A,B的坐标分别为(3,0),(0,3).②点M不在A,B之间，则有AB3AM，同理，可求得点A,B的坐标分别为(3,0)，2(0,9).综上，点A,B的坐标分别为(3,0),(0,3)或(3,0)，(0,9).2例8.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AMABAC，试求实数的取值范围，使M落在第四象限.解：设点M(x,y)，由题设得(x2,y3)(3,)(5,7)(35,7)，∴x33,y4，要使M落在第四象限，则x330,y40，解之得14.例8 已知向量a(8,2),b(3,3),c(6,12),p(6,4)，问是否存在实数x,y,z同时满足两个条件：(1)pxaybzc;(2)xyz1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，请说明理由.4

1x,28x3y6z6,1解：假设满足条件的实数x,y,z存在，则有2x3y12z4,解之得：y，3xyz1.1z.6∴满足条件的实数x课堂小结

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.作业 见同步练习拓展提升

1.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.设e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y,z.2363.已知e1,e2不共线，a =1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是（）

A.1=1，B.1=2，C.1=3，D.1=4 4.设AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列说法中，正确的是（）

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（）①1e1+2e2（1，2为实数）可以表示该平面内所有向量；

②若有实数1，2使1e1+2e2＝0，则1＝2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不对

７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（）11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）2211Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB＝a，AE＝b，则BC＝（）11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

2211Ｃ．a＋b

Ｄ．（a＋b）

22９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝，e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

.１１．当ｋ为何值时，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共线，其中e1、e2是同一平面内两个不共线的向量.１２．已知：e1、e2是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a＝ｋe1+e2与b＝e1＋ｋe2共线？  6

参考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a3b,11．②③⑤ 12.k=2

79ab 10.－8 44 8

第四篇：[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：

一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180（2）两向量共线的判定（3）练习

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（C）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：

1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，1 也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA| ab = bc 但a  c(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|.3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、ab  ab = 0

2、当a与b同向时，ab = |a||b|； 当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|或|a|aa |ab| ≤ |a||b| cos =探究：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab)= a(b)证：若> 0，(a)b =|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，2ab

|a||b| 2 若< 0，(a)b =|a||b|cos()= |a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()= |a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos

2∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2，∴c(a + b)= ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、讲解范例：

例1．证明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

例2．已知|a|=12，|b|=9，ab542，求a与b的夹角。

例3．已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|.（利用 |a|oaa）

例4．已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.四、课堂练习：

1．P106面1、2、3题。

2．下列叙述不正确的是（）

A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b与a-b的位置关系为（）44A.平行 B.垂直 C.夹角为

 D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：

1．平面向量的数量积及其几何意义； 2．平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．向量垂直的条件.六、作业：《习案》作业二十三。

第五篇：高中数学必修4教案平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程： 复习引入：

aa1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ aa（1）|λ|=|λ|||；

aaaaa（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=0

2．运算定律

aaaaaaab结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λ

二、讲解新课：

1．思考：（1）给定平面内两个向量e1，e2，请你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？

b

a.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的aa任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1e1+λ2e2.2．探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

a(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，e1，e2唯一确定的数量

3．讲解范例：

例1 已知向量e1，e

2求作向量2.5e1+3e2 例2 如图，OA、OB 不共线,且

APt AB(tR), 用 OA，OB 表示 OP.本题实质是 已知O、A、B三点不共线，P B O

A 若点 P 在直线 AB 上，则 OPmOAnOB, 且 mn1.4．练习1：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(D)A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ）

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．

(填共线或不共线).aabOAaOBb5．向量的夹角:已知两个非零向量、，作，则∠AOB＝，叫向量、b的夹角，当=0°，a、b同向，当=180°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，记作a⊥b。

6．平面向量的坐标表示

（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基

y底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、，使得axiyj…………○1

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)…………○2

其中x的坐标，叫做a在x轴上y叫做a在y轴上的坐标，○

2式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.7．讲解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．课堂练习：P100面第3题。

三、小结：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：《习案》作业二十一