高中数学人教B版必修二同步教案：1.1.7祖暅原理

第一篇：高中数学人教B版必修二同步教案：1.1.7祖暅原理

人教B版 数学 必修2：祖暅原理

[使用章节] 数学②中1.1.7棱柱、棱锥、台和球的体积 [使用目的] 帮助学生通过操作、观察理解祖暅原理和它的两个推论。[操作说明] 祖暅原理的图形如图2118： ½ cm S½ØÃæ = 1.95 ƽ·½ cm S½ØÃæ = 1.95 ƽ·S½ØÃæ = 1.95 ƽ·½ cm

图2118 1．理解祖暅原理

图中按钮（见课件界面）的功能是：（1）“变位”：用此按钮说明几何体的形状可以改变，但是一定要满足夹在两平行平面间这一条件。

（2）“截面”、“0”和“度量”、“0”：这两组按钮中的前一个用于显示截面并

使截面运动，或显示截面面积的度量结果。后一个用于隐去截面或度量值。由此可以说明被夹几何体要满足的另一个条件：与夹着几何体的两平面平行的截面面积相等。（3）“调整”、“0”：此按钮用于显示、隐藏调整图形用的点或线，如需要调整高及底面时就要显示这些点或线。当各截面度量值稍有出入时，也可以微调高或底面进行修正。（4）“公理六”：此按钮用于恢复公理六的初始图形。

讲解：把每一个被夹的几何体的截面想象成很薄的同一种纸片，因为高度相同的截面（纸片）面积相等，所以摞成的几个几何体的重量和体积是应该相等的。这一结论在中学里不加证明而作为公理。

2．讲解由祖暅原理推出的两个结论：

（1）使用按钮“V柱”可以把祖暅原理的图形变化为关于柱体的图形。可以用截面按钮使截面运动而变化截面位置。不必度量就可以说明只要底面积相等，平行底的截面面积就相等（柱体性质），又由等高得出可以夹在两平行平面间。因此由公理六推出：等底等高的柱体等体积。

（2）使用按钮“V锥”可以类似底说明等底等高的锥体等体积，截面面积相等可以证明也可以用按钮“度量”验证。3．理解柱体体积公式

结合图说明对于任何一个柱体，都可以做出一个和它等底等高的长方体。（例如原柱体 底面积为100，我们可以取长方体底面边长为4和25或10和10等值，高与原柱体相同）。根据关于柱体体积的推论，可知柱体的体积与长方体一样，等于底面积与高的积即V柱= s h

对于圆柱，只需把圆面积公式代入可得 V圆柱=Rh。

第二篇：2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：2.2等差数列名师导航学案及答案

2.2 等差数列

知识梳理

1.等差数列的定义

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(n∈N+).2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项

若三个数a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且A=4.等差数列前n项和公式 Sn=

ab.2n(a1an)n(n1)d或na1+.225.等差数列的单调性

等差数列{an}的公差为d,若d＞0,则数列为递增数列,且当a1＜0时,前n项和Sn有最小值;若d＜0,则数列为递减数列,且当a1＞0时,前n项和Sn有最大值.6.等差数列的常用性质

已知数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d.(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;推论:若m+n=2p,则am+an=2ap.2(2)等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列,公差等于md,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,„为等差数列,则有S3m=3(S2m-Sm).(3)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.如a1,a4,a7,a10,„(下标成等差数列).知识导学

等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前n项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对a,d的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.疑难突破

1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢? 剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+){an}是等差数列;(2)递推法:2an+1=an+an+2(n∈N+){an}是等差数列;(3)性质法:利用性质来判断;(4)通项法:an=pn+q(p、q为常数){an}是等差数列;2(5)求和法:Sn=An+Bn(A、B为常数,Sn为{an}的前n项和){an}是等差数列.其中(4)(5)两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用(1)(2)(3)这三种方法,而方法(3)还经常与(1)(2)混合运用.证明数列{an}是等差数列有两种基本方法:(1)利用等差数列的定义,证明an+1-an(n≥1)为常数;(2)利用等差中项的性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.如何求等差数列前n项和的最值? 剖析:可从以下两个方面思考:(1)利用前n项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.n(n1)ddddn2(a1)n,当d≠0时,此式可看作二次项系数为,一次项系2222dd2d数为a1-,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=x+(a1-)x上的点集,坐标为222Sn=na1+(n,Sn)(n∈N+),因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d＞0时,Sn有最小值;当d＜0时,Sn有最大值.(2)结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当d＞0时,则数列为递增数列,且当a1＜0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前n项和Sn有最小值;当d＜0时,则数列为递减数列,且当a1＞0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前n项和Sn有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.

第三篇：2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：3.2均值不等式名师导航学案及答案

3.2 均值不等式

知识梳理

1.几个重要不等式

22（1）a+b≥2ab(a,b∈R);ab≥ab(a,b＞0);2ba（3）+≥2(ab＞0);abab2（4）ab≤()(a,b∈R).2（2）2.利用算术平均数与几何平均数之间的关系求最大值、最小值

P2（1）若a,b＞0，且a+b=P（P为常数），则ab存在最大值为.若a,b＞0，且ab=S（S为

4常数），则a+b存在最小值为2S.（2）应用均值不等式求最值应满足的条件是一正、二定、三相等.知识导学

本节的主要问题是均值不等式的应用，要理解并且牢记公式及其变形.它的应用范围是非常广泛的，如：求最值、证明不等式、解决实际问题、比较大小、求取值范围等.其中应用最重要的是积大和小定理：两个正数当和是定值时积有最大值，当积是定值时和有最小值.应用该定理要注意三个限制条件——一正、二定、三相等.当等号成立的条件不成立时，要从函数的性质（单调性）入手思考.疑难突破

1.利用均值不等式求最值时应满足什么条件? 剖析：利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.“一正”,所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.例如,很容易根据均值不等式得出y=x+1≥2的错误结论.x“二定”,含变量的各项的和或者积必须是常数，例如要求a+b的最小值，ab必须是定值.求ab的最大值,a+b必须是定值.“三相等”,具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值.例如，y=x22 +11x22，满足“正”和“定值”的条件，但要取等号必须x22=x22，即x+2=1，这是不可能的，所以其最小值不是2.在利用均值不等式

2求最值时,必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立就可能得出错误的答案.2.利用均值不等式求函数最值时,凑定值有哪些技巧? 剖析：利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点:(1)将所得出的恒为正的函数式平方，然后再使用均值不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题;(2)有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数，再使用均值不等式求解.主要是一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值;(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立;(4)有时候使用均值不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如ab2a2b2ab2ab≤()、≥()等.222

第四篇：[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(二)

2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：

一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标运算

思考1：已知：a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab、ab、a的坐标吗？设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2 x1，y2 y1)的P点吗？

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

三、讲解范例：

例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例3已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：32x0x5 ∴ ∴F3(5，1)45y0y

1四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP1MN，求P点的坐标 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量的坐标运算；

六、课后作业：《习案》作业二十

第五篇：高中数学人教A版必修5第一章解三角形知识小结+测试题_经典附答案

人教A版必修五 解三角形

（一）、知识总结：

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：

（1）形式一：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 222222222bcaacbabc形式二：cosA，cosB，cosC，（角到边的转换）2bc2ac2ab

1(Sa)(Sb)(Sc)3.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△=S=Sr abcabc

2(S=,r为内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式 CAB

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2, CAB

sin2=cos2……

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB=sinC，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，acab

求出c，再由sinA=sinC求出C，而通过sinA=sinB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判

断方法，如下表：

8.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.（二）巩固练习

一

单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

S

1.△ABC中，b8，cABC，则A等于

（）





30603015060120ABC 或D 或

abc



2.△ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是（）

A 直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形

3.已知△ABC中，A30，C105，b8，则等于（）A4B4.△ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于（）

ABC2D





5.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()

A90°B120°C135°D150°



26.△ABC中，B60，bac，则△ABC一定是（）

A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形

7.△ABC中，∠A=60°6 , b=4, 那么满足条件的△ABC()

A有 一个解B有两个解C无解D不能确定

abc



8.△ABC中，若A60，asinAsinBsinC等于（）

1A 2B2

9.△ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（）11

3ABCD 0 32

410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）

A锐角三角形 B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A.4003400

米B.米C.200米D.200米

312 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()

A.10 海里B.5海里C.56 海里D.5 海里

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）



13.在△ABC

中，已知b，c150，B30，则边长a。

14.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于。15.在钝角△ABC中，已知a1，b2，则最大边c的取值范围是。

16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为。

三、解答题：（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）



17（本题12分）在△ABC中，已知2abc，sinAsinBsinC，试判断△ABC的形状。

cosAb

4cosBa3，求边a、b 的长。18（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知

19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，角A、B满足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

参考答案

一、选择题（510）

二、填空题（44）

13、或14 15c316、4三、解答题

17、（本题8分）

abcab

解：由正弦定理，sinB，2R得：sinA

sinAsinBsinC2R2R

c

。sinC2R2sinAsinBsinC可得：(a)2bc，即：a2bc。所以由

2R2R2R

又已知2abc，所以4a2(bc)2，所以4bc(bc)2，即(bc)20，因而bc。故由2abc得：2abb2b，ab。所以abc，△ABC 为等边三角形。

18、（本题8分）

cosAbsinBbcosAsinB

解：由 ,可得，变形为sinAcosA=sinBcosB ，

cosBasinAacosBsinA

∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B,∴A+B=由a2+b2=102和

b

4，解得a=6, b=8。a

3

.∴△ABC为直角三角形.219、（本题9分）

解：由2sin(A+B)3 =0，得sin(A+B)=,∵△ABC为锐角三角形

2∴A+B=120°,C=60°, 又∵a、b是方程x2－3 x+2=0的两根，∴a+b=23 , ∴c=6 ,SABC

31absinC= ×2×。

222

2a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=6 ,SABC

20、（本题9分）

1331

absinC= ×2×。

2222

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击

出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，ABv

t。

在△AOB中，由正弦定理，得

OBAB

sinOAB

sin15

∴sinOAB

OBvtABsin15

vt/4而28841.741，sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.6，即