《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章二项式定理

第一篇：《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章二项式定理

§1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理

一、基础过关

1．(x＋2)6的展开式中x3的系数是A．20B．40

2x－6的展开式的常数项是2.2xA．20A．33

()A．－5

()A．840

二、能力提升

6．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于A．(x－1)3C．x

3B．(x－2)3 D．(x＋1)3

()

B．－840

C．210

D．－210

B．

5C．－10

D．10

5．(x2y)10的展开式中x6y4项的系数是

B．－20B．29

()

C．80

D．160

()

C．40C．23

D．－40

()

D．19

3．若(1＋2)4＝a＋b2(a、b为有理数)，则a＋b等于4．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是

7．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是

()A．－

4B．－2

C．2D．4

3x2－n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为8．在2xA．4

B．

5C．6

D．7

()

9．若(1－2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x的取值范围是()

11111

A．x<－B．－

10104104

10．(1＋x＋x2)(x6的展开式中的常数项为________．

x

x＋2n11.展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．

x

12．设a>0，若(1＋n的展开式中含x2项的系数等于含x项的系数的9倍，且展开式中第2

3项等于135x，求a的值．

三、探究与拓展

13．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含

x2项的系数最小值．

答案

1．D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C8．B 9.B 10.－5

911．解 C8n＝Cn，17－rrr∴n＝17，Tr＋1＝Crx2·x－ 1723

17－rr∴1，∴r＝9，23

9∴T10＝C17·x4·29·x3＝C929·x，17·－

9其一次项系数为C9172.12．解 通项公式为

1rrrrTr＋1＝Cr(ax＝Cax.nn·22

若含x2项，则r＝4，此时的系数为C4a4； n·

若含x项，则r＝2，此时的系数为C2a2.n·

422根据题意，有C4na＝9Cna，22即C4na＝9Cn.①

2又T3＝135x，即有C2na＝135.② 2C49C由①②两式相除，得Cn135

5结合组合数公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝(舍去)． 3

将n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.∵a>0，∴a＝3.1113．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为Cm·2x＋C14x＝(2C1n·m＋4Cn)x，1∴2C1m＋4Cn＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为

22222t＝C2m2＋Cn4＝2m－2m＋8n－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

37153n2－＋，＝1644

37∴当nt取最小值，但n∈N*，8

∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.

第二篇：《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2数学归纳法

§2.3 数学归纳法

2.3.1 数学归纳法

一、基础过关

1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出

A．当n＝6时命题不成立

B．当n＝6时命题成立

C．当n＝4时命题不成立

D．当n＝4时命题成立

2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()()

A．该命题对于n>2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

13．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于()2

A．1B．2C．3D．0

()1114．若f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是232n＋1

A．1

1B.3D．以上答案均不正确

11C．1＋＋2311115．已知f(n)＋ nn＋1n＋2n()

11A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝ 23

111B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋234

11C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)23

111D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋ 234

a6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项3an＋1

表达式为

2A.4n－3

2C.4n＋3

二、能力提升

7．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为

A．2k＋1

2k＋1C.k＋1()()2 6n－52D.2－1B．2(2k＋1)2k＋3D.k＋1

1118．已知f(n)(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋______________________.n＋1n＋23n－1

9．用数学归纳法证明：

11112(1－)(1)…(1－＝(n∈N*)． 345n＋2n＋

210．用数学归纳法证明：

－－nn＋112－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1(n∈N*)． 2

11．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；

(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．

三、探究与拓展

nn＋1212．是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2an＋bn12

＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．

答案

1．B2．B 3．C 4．C5．D 6．B 7．B

11118.＋ 3k3k＋13k＋2k＋1

12229．证明(1)当n＝1时，左边＝1－，等式成立． 331＋23

11112(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1)(1)…(1＝，345k＋2k＋2

那么当n＝k＋1时，1111121(1－)(1－)(1－)…(1－＝(1－345k＋2k＋3k＋2k＋3

＝2k＋22 k＋2k＋3k＋3

所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．

10．证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)11×－1×21，结论成立． 2

(2)假设当n＝k时，结论成立．

－－kk＋1即12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＝(－1)k1 2

那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＋(－1)k(k＋1)2 －

－kk＋1＝(－1)k1(－1)k(k＋1)2 2

－k＋2k＋2＝(－1)k·(k＋ 2

k＋1k＋2＝(－1)k.2

即当n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n等式都成立．

11．(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，5n＝1猜想an＝.n－2*5×2，n≥2，n∈N

(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×222＝5，公式成立． －

②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝5×2k2，－

那么当n＝k＋1时，由已知条件和假设有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k2.－

51－2k1－＝55×2k1.1－2－

故当n＝k＋1时公式也成立．

由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n2.－

所以数列{an}的通项公式为

5n＝1an＝.n－2*5×2n≥2，n∈N

12．解 假设存在a、b、c使上式对n∈N*均成立，则当n＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得

11×2＋2×3＝24a＋2b＋c，1×2＋2×3＋3×4＝9a＋3b＋c，2222211×22＝a＋b＋c，6

解此方程组可得a＝3，b＝11，c＝10，nn＋1下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝×(3n2＋11n＋10)12

对一切正整数均成立．

(1)当n＝1时，命题显然成立．

(2)假设当n＝k时，命题成立．

kk＋12即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k＋11k＋10)，12

则当n＝k＋1时，有

1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2

＝

＝

＝

＝kk＋12k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12kk＋1k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 12k＋1k＋22k＋5k＋12k＋24)12k＋1k＋2k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 12

即当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立．

第三篇：《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2综合法与分析法(一)

§2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法与分析法(一)

一、基础过关

1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是

A．若a>b，则ac2>bc

2abB．若a>b cc

11C．若a3>b3且ab<0，则> ab

11D．若a2>b2且ab>0，则 ab

2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件

3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()

A．

1C．

3＋()()B．2 D．4()4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有

a2＋b2A．1≤ab≤

2a2＋b2C．ab<<12a2＋b2B．ab<1< 2a2＋b2D.ab<1 2

ab5．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋2成立的一个充分不必要条件是()ba

A．ab>0

B．ab<0 D．a>0，b>0 C．a>0，b<0

二、能力提升

16．设0

A．aB．b()

C．cD．不能确定

()1117．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋的值abc

A．一定是正数

C．可能是0B．一定是负数D．正、负不能确定

8．设a＝2，b73，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．

9．已知p＝a＋1a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p、q的大小关系为________． a－

210．如果aa＋b>b＋a，求实数a，b的取值范围．

11．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.11112．已知a>0，－>11＋a>.ba1－b

三、探究与拓展

13．已知a、b、c是不全相等的正数，且0

答案

1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B

8．a>c>b

9．p>q

10．解 aa＋b>b＋a

⇔a－b>a－b

⇔aa－b)>ba－b)

⇔(a－b)(a－b)>0

⇔(a＋bab)2>0，只需a≠b且a，b都不小于零即可． 即a≥0，b≥0，且a≠b.11．证明 方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)

＝(3a2－2b2)(a－b)．

因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.方法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．

1112．证明 >1及a>0可知0

1＋a>1 1－b

只需证1＋a1－b>1，只需证1＋a－b－ab>1，a－b11只需证a－b－ab>0即>1，abba

这是已知条件，所以原不等式得证．

a＋bb＋ca＋c13．证明 要证logxlogx＋logx

a＋bb＋ca＋c只需证logx()

由已知0abc.222

a＋bb＋c由公式ab>0，bc>0，22a＋c≥ac>0.2又∵a，b，c是不全相等的正数，∴

即a＋bb＋ca＋cabc＝abc.222a＋bb＋ca＋cabc成立． 222

a＋bb＋ca＋c∴log＋loglogxxa＋logxb＋logxc成立． 222

第四篇：《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.1.1两角和与差的余弦

第三章 三角恒等变换

§3.1 和角公式

3．1.1 两角和与差的余弦

一、基础过关

1． 化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得

A.21B

()

()

D．－ 12

2． 计算cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是

A．

1B.2

3． 若cos(α－β)＝

πA.6

510，cos 2α＝α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为()510πB.43π

45π6

()

→

4． 已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则|AB|＝

A.2B.2

D．1

π35＋φ＝－5． 若sin(π＋θ)θ是第二象限角，sin，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)255的值是A．－

()

5525

D.56． 若cos(α－β)＝(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.311

7． 已知cos α－cos β＝sin α－sin β＝－cos(α－β)．

311

8． 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．

4二、能力提升

9． 已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

10．已知α、β均为锐角，且sin α11．已知：cos(2α－β)＝－

2cos 50°－3sin 1012．求 cos 10°

三、探究与拓展

π0，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值． 13．已知α、β、γ∈2510，cos β＝，则α－β的值为________． 51022πππ，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β

答案

8591．A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.7.372

π0，tan α＝43，8． 解 ∵α∈2431∴sin α＝，cos α77

11∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)14

3∴sin(α＋β).14

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

11153431－×＝147147＝2.1ππ9． －10.－11.0 12.1 13.243

第五篇：高二下学期数学人教A版选修2-3第一章第3节二项式定理复习学案

高二数学选修2-3第一章第3节二项式定理复习学案

教学目标：1.复习梳理二项式定理及其性质

2.练习讲解二项式定理有关题型

教学重难点：解二项式定理有关习题

知识点梳理：

1．二项式定理

(a＋b)n＝C0nan＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第r+1项；Tr＋1＝Can－rbr.2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为

n+1

.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从

C，C，一直到C，C

.3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当r＜

时，二项式系数是递增的；当r＞

时，二项式系数是递减的．

当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值．

当n是奇数时，中间两项Cn

和

Cn

相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.注：二项式的项数与项

(1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－rbr是第r＋1项．即r＋1是项数，Can－rbr是项．

(2)通项是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，……，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．

一个区别

在Tr＋1＝Can－rbr中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tr＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝C2n－r3rxn－ryr，其中C2n－r3r就是Tr＋1项的系数．

例题讲练

考点一　二项展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】►已知在n的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

【训练1】若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

考点二　二项式定理中的赋值

【例2】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)

二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．

【训练2】

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.考点三　二项式的和与积

【例3】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．

【训练3】

x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．

考点四　二项式定理的应用

【例4】►(1)已知n∈N*，求1＋2＋22＋23＋…＋24n－1除以17的余数；

(2)求(1.999)5精确到0.001的近似值．

【训练4】

求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；

(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．

课堂检测

1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________．

2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．

4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.课后练习

1．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是________．

2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为________．

3．在6的二项展开式中，x2的系数为________．

4．已知8展开式中常数项为1

120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．

5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．

6．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．

7．18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．

8．6的展开式中的第四项是________．

9．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数为________．

10．5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．

11．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.12．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．

13．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．

14．(1)当k∈N*时，求证：(1＋)k＋(1－)k是正整数；

(2)试证明大于(1＋)2n的最小整数能被2n＋1整除．(n∈N*)