2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册§4.4 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()
A．
B．－
C．－
D．＋
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋ A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 5．对于不等式 (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式 <＝＝(k＋1)＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法() A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 6．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得() A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 7．(多选题)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是() A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 二、填空题 8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． 9．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________． 10．已知f (n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k＋1)－f (2k)＝________.11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝ 2”时，第一步的验证为________；若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝________时等式成立． 12．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋________.三、解答题 13．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)； (2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)． 14．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an 15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 参考答案 一、选择题 1．答案：B 解析：因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B.] 2．答案：C 解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.] 3．答案：B 解析：由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．] 4．答案：D 解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋ 5．答案：D 解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确． 故选D.6． 答案：C 解析：若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立． 它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立． 7．答案：BC 解析：n＝1时，＞不成立，n＝2时，＋＞成立，所以A错误B正确； 当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即－＝为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC.二、填空题 8．答案：n＝k＋2时等式成立 解析：由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立． 9.答案：(k＋3)3 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除； 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故答案为(k＋3)3.10.＋＋…＋ 解析：因为假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，f (2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f (2k＋1)－f (2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋) ＝＋＋…＋.11.当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立 k＋2 解析：对1－＋－＋…＋－＝2在n为正偶数，用数学归纳法证明． 归纳基础，因为n为正偶数，则基础n＝2，当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立； 归纳假设，当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为n＝k＋2时，等式成立． 12.答案：π 解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π.三、解答题 13．证明：(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边． ②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4) ＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立． 综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． (2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2 <2k＋1，所以2＋＝＝<＝2.故当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.14．证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1 ②假设n＝k(k∈N*)时，ak ＝－＝>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立． 综上所述，不等式an 15．解：取n＝1，2，3可得解得：a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立； ②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2 ＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立． 由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.
点击咨询