2021年高中数学人教A版(新教材)选择性必修第二册第四章章末复习课
(满分:150分 时间:120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列1,,3,…,…,则是这个数列的()
A.第10项
B.第11项
C.第12项
D.第21项
2.已知等差数列{an}满足3a3=4a4,则该数列中一定为零的项为()
A.a6
B.a7
C.a8
D.a9
3.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()
A.8
B.-8
C.±8
D.以上选项都不对
4.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=()
A.1
B.9
C.10
D.55
5.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()
A.+
B.+
C.+
D.n2+n
6.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列第18项为()
A.200
B.162
C.144
D.128
7.已知数列{an},若a1=2,an+1+an=2n+1,则a2
020=()
A.2
017
B.2
018
C.2
019
D.2
020
8.已知等差数列的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则=()
A.3
B.6
C.9
D.12
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知等比数列的前n项和为Sn,下列数列中一定是等比数列的有()
A.
B.
C.
D.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n
10.设是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
11.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值为()
A.2
B.3
C.4
D.14
12.在公比q为整数的等比数列中,Sn是数列的前n项和,若a1·a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()
A.q=2
B.数列是等比数列
C.S8=510
D.数列是公差为2的等差数列
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知各项均不为0的等差数列,满足2a3-a+2a11=0,数列为等比数列,且b7=a7,则b1·b13=________.14.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=________.15.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则每天比前一天少织布的尺数为________.
16.已知数列满足a1=21,an+1=an+2n,则a4=________,数列的最小值为________.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列,且a3=5,a7=13.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足an=log4bn,求数列{bn}的前n项和Tn.18.(本小题满分12分)已知正项数列的前n项和为Sn,且Sn=2.(1)求a1,a2;
(2)求证:数列是等差数列.
19.(本小题满分12分)已知数列{an},{bn}满足an+1-an=bn,为等比数列,且a1=2,a2=4,a3=10.(1)试判断列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(2)求an.20.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+kn+k.(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.21.(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
22.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2
000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
参考答案
(满分:150分 时间:120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.答案:B
解析:观察可知该数列的通项公式为an=(事实上,根号内的数成等差数列,首项为1,公差为2),令21=2n-1,解得n=11,故选B.2.
答案:B
解析:∵3a3=4a4,∴3a3=4(a3+d)=4a3+4d,∴a3=-4d,∴an=a3+(n-3)·d=-4d+(n-3)d=(n-7)d,∴a7=0,故选B.3.
答案:A
解析:∵a2+a6=34,a2·a6=64,∴a=64,且a2>0,a6>0,∴a4=a2q2>0(q为公比),∴a4=8.4.
答案:A
解析:a10=S10-S9.由条件知S1+S9=S10.∴a10=(S1+S9)-S9=S1=a1=1,故选A.5.
答案:A
解析:设公差为d,则a1(a1+5d)=(a1+2d)2,把a1=2代入可解得d=.∴an=2+(n-1)×=n+.∴Sn==n2+.故选A.6.
答案:B
解析:偶数项分别为2,8,18,32,50,即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25,即偶数项对应的通项公式为a2n=2n2,则数列的第18项为第9个偶数,即a18=a2×9=2×92=2×81=162,故选B.7.
答案:C
解析:∵an+1+an=2n+1,∴an+1-(n+1)=-(an-n),即数列{an-n}是以1为首项,-1为公比的等比数列,∴an-n=(-1)n-1,∴an=n+(-1)n-1,∴a2
020=2
020-1=2
019.8.
答案:C
解析:由题意,知S3,S9,S27成等比数列,所以S
=
S3
×S27,即=×,整理得81a=
3a2
×27a14,所以(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),解得d=2a1,所以=÷====9,故选C.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.答案:AB
解析:由数列{an}为等比数列可知,=q,(q≠0),对于A,=
q2,故A正确;对于B,==q2≠0,故B正确;对于C,lg
an-lg
an-1=lg=lg
q,为等差数列,但是不一定为常数,即不一定为等比数列,故C错误;对于D,若an=(-1)n为等比数列,公比为-1,则Sn有可能为0,不一定成等比数列,故D错误.故选AB.10答案:ABD
解析:由是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5
由S9-S5=a9+a8+a7+a6=2(a8+a7)<0,即S9 由a1>a2>…>a6>a7=0>a8>a9>…,可得S6与S7均为Sn的最大值,即选项D正确,故选ABD.11.答案:ACD 解析:由题意可得===,则====3+,由于为整数,则n+1为15的正约数,则n+1的可能取值有3,5,15,因此,正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.12. 答案:ABC 解析:因为数列为等比数列,又a1·a4=32,所以a2·a3=32,又a2+a3=12,所以 或又公比q为整数,则 即an=2n,Sn==2n+1-2,对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确; 对于选项B,Sn+2=2n+1,==2,则数列是等比数列,即选项B正确; 对于选项C,S8=29-2=510,即选项C正确; 对于选项D,lg an+1-lg an=(n+1)lg2-nlg2=lg2,即数列是公差为lg2的等差数列,即选项D错误.故选ABC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.答案:16 解析:各项均不为0的等差数列,2a3-a+2a11=0,∴4a7-a=0,∴a7=4,b1 ·b13 = b = a = 16.14.答案:768 解析:由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.15. 答案: 解析:设第n天织布的尺数为an,可知数列为等差数列,设等差数列的公差为d,前n项和为Sn,则a1=5,an=1,Sn=90,则Sn==3n=90,解得n=30,∴a30=a1+29d=5+29d=1,解得d=-,因此,每天比前一天少织布的尺数为.16. 答案:33 解析:因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,从而an-an-1=2(n-1)(n≥2).所以 a4-a3=2×3=6,a3-a2=2×2=4,a2-a1=2×1=2,a1=21,∴a4=6+4+2+21=33.an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1) =2(n-1)+2(n-2)+…+2×2+2×1=2×[1+2+…+(n-1)]=2×=n2-n.而a1=21,所以an=n2-n+21,则==n+-1,因为f (n)=n+-1在(0,4]递减,在[5,+∞)递增,当n=4时,==8.25,当n=5时,==8.2,所以n=5时取得最小值,最小值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:(1)设an=a1+(n-1)d,则解得a1=1,d=2.所以{an}的通项公式为an=1+(n-1)×2=2n-1.(2)依题意得bn=4an=42n-1,因为==16,所以{bn}是首项为b1=41=4,公比为16的等比数列,所以{bn}的前n项和Tn==(16n-1). 18.解:(1)由已知条件得:a1=2,∴a1=1.又有a1+a2=2,即a-2a2-3=0,解得a2=-1(舍)或a2=3.(2)由Sn=2得n≥2时,Sn-1=2,∴Sn-Sn-1==,即4an=a-a+2an-2an-1,∴a-a-2an-2an-1=0,∴=0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2,经过验证n=1也成立,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列. 19.解:(1)数列{bn}不是等比数列. 理由如下: 由an+1-an=bn,且a1=2,a2=4,a3=10得: b1=a2-a1=2,b2=a3-a2=6,又因为数列{bn+2}为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2.所以b3+2=4×22=16,∴b3=14,显然b=36≠b1b3=28,故数列{bn}不是等比数列. (2)结合(1)知,等比数列{bn+2}的首项为4,公比为2,故bn+2=4·2n-1=2n+1,所以bn=2n+1-2,因为an+1-an=bn,∴an-an-1=2n-2(n≥2). 令n=2,…,(n-1),累加得an-2=-2(n-1),∴an=-2n+2=-2n+2=2n+1-2n,又a1=2满足上式,∴an=2n+1-2n.20.解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+kn+k-22-k-k=4n+k-2,当n=1时,a1=S1=2k+2,又数列为等差数列,故当n=1时,a1=2k+2=2+k,解得k=0,故an=4n-2.(2)由(1)可知,bn==,故Tn=== .故数列{bn}的前n项和Tn=.21.解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意知q>0.由已知,得 消去d,整理得q4-2q2-8=0.因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*; 数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则 Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n =2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N*.22.解:(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.(2)由(1)得an=an-1-d=-d =·an-2-d-d =… =a1-d.整理得an=(3 000-d)-2d=·(3 000-3d)+2d.由题意知am=4 000,所以(3 000-3d)+2d=4 000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.