2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()
A．－2
B．－1 C．0 D．1
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝()
A．110
B．150
C．210
D．280
3．在等差数列{an}中，a1＝－2
018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2
018的值等于()
A．－2
018
B．－2
016
C．－2
019
D．－2
017
4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝()
A．
B．
C．
D．
5.＋＋＋＋…＋等于()
A．
B．
C．
D．
6．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为()
A．S13＝0
B．a7＝0
C．{an}为递增数列
D．a13＝0
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝()
A．12
B．14
C．16
D．18
二、填空题
8．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.9．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a2
019的值为________．
10．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.11．(一题两空)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________．
12．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．
三、解答题
13．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.参考答案
一、选择题
1．答案：B
解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.2．
答案：D
解析：∵等差数列{an}前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150.又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故选D.3．
答案：A
解析：由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2
018－1)×1＝－2
018＋2
017＝－1.所以S2
018＝－2
018.4．
答案：D
解析：因为等差数列{an}和{bn}，所以＝＝，又S21＝21a11，T21＝21b11，故令n＝21有＝＝，即＝，所以＝，故选D.5．
答案：C
解析：通项an＝＝，∴原式＝
＝＝.6．
答案：AB
解析：对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确．
对A，S13＝＝13a7＝0.故A正确．
对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误．
对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6.故D错误．
故AB正确．
7．答案：B
解析：Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.二、填空题
8．答案：5
解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.9.答案：1
解析：因为an＋1＝an＋(n∈N*)，所以an＋1－an＝＝－，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…
a2
019－a2
018＝－，各式相加，可得a2
019－a1＝1－，a2
019－＝1－，所以a2
019＝1，故答案为1.10．
答案：820
解析：因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，即an＝，所以a39＝＝820.11．
答案：11 7
解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
12．答案：5
解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.]
三、解答题
13．解：法一：＝＝＝＝＝＝＝.法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列，∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n.又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)，Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R.∴an＝Sn－Sn－1＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n≥2)．
∴＝＝(n≥2)，∴＝＝＝.14．解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－≤d≤－，因此d＝－3.所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝
＝.15解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19.(2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，∴Tn＝－n2＋18n－10.当n＝1时，b1＝T1＝7；
当n≥2且n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.经验证b1≠17，∴bn＝
当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0.∴当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；
当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|
＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)
＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)
＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152，综上所述：Rn＝
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