《等差数列前n项和》教案12(第一课时)(人教A版必修5)（精选5篇）

第一篇：《等差数列前n项和》教案12(第一课时)(人教A版必修5)

2.3等差数列的前n项和

（一）一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入：1．等差数列的定义： an－an1=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

（1）ana1(n1)d（2）anam(nm)d（3）an=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① dan－an1 ② dana1 ③ danamn1nm4．等差中项：Aaba,b,成等差数列25．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)6．数列的前n项和：数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.“小故事”1、2、3高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+„100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+„+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2证明： Sna1a2a3an1an ①

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Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

∵a1ana2an1a3an2

∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)． 2n(n1)d ． 2 2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an．

但ana1(n1)d 代入公式1即得： Snna1 此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Snn(n1)d 2d2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 2

2三、例题讲解

例

1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，„前多少项的和是54？ 解：(1)1728(4a8)a839 394(81)dd5 2(2)设题中的等差数列为

an，前n项为

Sn 则

a110,d(6)(10)4,Sn54

由公式可得10nn(n1)454.解之得：n19,n23（舍去）2∴等差数列-10，-6，-2，2„前9项的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

的元素个数，并求这些元素的和． 例3．求集合Mm|m7n,nN*且m100100214 77 ∴正整数n共有14个即M中共有14个元素 解：由7n100得 n 即：7，14，21，„，98 是a17为首项a1498等差数列．

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14(798)735 答：略．

2例

4、等差数列an的前n项和为Sn，若S1284,S20460，求S28.∴ Sn（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列an中，已知a3a99200，求S101.⑵在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得a1a2a3a421，anan1an2an367, 两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)88,又a1ana2an1a3an2a4an3,所以a1an2

2又Snn(a1an)286，所以n=26． 2例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中S10,S20S10,S30S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2mSm.、S3mS2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)； 2n(n1)d． 22.等差数列的前n项和公式2：Snna1

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页；

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第二篇：必修5教案2.2等差数列前n项和(三)

§2.2第5课时 等差数列的前n项和（3）

教学目标

（1）能熟练地应用等差数列前n项和公式解决有关问题；

（2）能利用数列通项公式与前n项和之间的关系解决有关问题。

教学重点，难点

1．等差数列前n项和公式的应用；

2．数列通项公式与前n项和之间的关系的应用。

教学过程

一．问题情境

1．情境：已知等差数列an中，Snan2(a1)na2，任何求an？（an4n1）

二．学生活动

（1）求出a1和d，再用等差数列的通项公式求an；

(n1)S1（2）利用an与Sn的关系：an

SS(n2)n1n（3）把等差数列的条件去掉，求an。

三．数学运用 1．例题：

例1．（1）如果数列{an}满足a13，11，求an； 5（nN）

an1an（2）已知数列{an}的前n项和为Snn22n，求an．

11}是公差为5的等差数列，其首项为，an31115n14 ∴，5(n1)an333 ∴an．

15n14（2）当n1时，a1S13，解：（1）由题意：{22 当n2时，anSnSn1(n2n)[(n1)2(n1)]2n1，所以，an2n1（nN）。

例2．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和S'n，且

解：∵S13 所以，a7Sn7n2，求的值。b7S'nn313(a1a13)13(b1b13)13a7，S'1313b7，22a7S13713293' b7S1313316说明：若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和S'n，则

例3．在等差数列中，a1023，a2522，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？（3）求an前n项和？

解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：anS2n1 n1bnS2a25a1015d45a501 d323a1(101)(3)53，3（1）设第n项开始为负，an503(n1)533n0，n 所以从第18项开始为负。

（2）

（法一）设前n项和为Sn，则

n(n1)31033103231032(3)n2n(n)()，2222626 所以，当n17时，前17项和最大。Sn50n

an0533n05053（法二），则，n，所以n17．

3503n03an10

533n,0n17（3）an533n，3n53,n17∴Sna1a2a3ana1a2a17(a18a19an)，'32103nn，2231033103 当n17时，S'n(n2n)2S17n2n884，2222当n17时，S'n32103nn(n17)22'所以，Sn

(3n2103n)2S3n2103n884(n17)172222

说明：（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：

①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

四．回顾小结：

1．an与Sn的关系：an

2．若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和S'n，则

(n1)S1

SnSn1(n2)anS2n1

n1bnS2

3．（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：

①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

五．课外作业： P45 10 补充： 1．已知数列{11113}成等差数列，且a3，a5，求a8的值。an267 2．数列{an}的前n项和Sn32nn2，求证{an}是等差数列。

23．设Sn是等差数列{an}的前n项和，并对nN，S2n14n1，求这个数列的通项公式及前前n项和公式

4．数列an是首项为23，公差为整数的AP数列，且a60，a70，（1）求公差d；

（2）设前n项和为Sn，求Sn的最大值；

（3）当Sn为正数时，求n的最大值。

第三篇：等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

6、布置作业

第四篇：等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和

一：教材分析

本节课内容位于高中人教版必修五第二章第三节。它是在学习了等差数列的基础上来研究和讨论的，是继等差数列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法来求等差数列的前n项和。本节内容与函数也有着密切的联系。通过对公式的推导让学生进一步了解与掌握从特殊到一般的研究问题的方法，这对学生的观察、分析、归纳、概括问题的能力有着重要的作用。而且本节的公式推导为后面的等比数列前n项求和奠定了基础。通过上一节的内容不难知道等差数列在日常生活中比较常见，学生学习起来也就比较得心应手。

二：学情分析

学生通过上一节课的学习已经了解的等差数列的定义，基本掌握了等差数列的通项公式及其基本性质，能简单的对其运用和计算。对高斯算法也有一定的了解，他们已具备一定的抽象逻辑思维能力，能在老师的引导下独立的完成一些问题。

三：教学重、难点

重点：等差数列前n项和公式的推导

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得以及渗透倒序相加的方法。四：教学目标

知识与过程：能说出并写出等差数列前n项和的公式，掌握等差数列前n项和公式的推导和运用。

技能与方法：从公式证明的推导过程体会从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、总结，培养学生灵活运用公式的能力。

情感态度与价值观：通过生动具体的现实问题，激发学生的好奇心及求知欲，增强学生喜欢并热爱数学的情感。

五：教法

老师不仅是知识的传授者，而且也是组织者、引导者与合作者，所以我采用引导发现法和讲授法，通过实际生活中的具体例子创设情境，然后建立模型并对其探究。

六：学法

引导学生自主探索，观察分析与归纳概括，创造机会让学生合作、探究、交流。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，让学生在观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与的活动中学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

七：教学过程

创设情境，问题引入

在一个建筑工地上堆放这样一

堆大小一样的钢管，共123层，第1层有一根钢管，第2层有2根钢管，…，第123层有123，求这堆钢管共有多少？若在旁边放上同样多的钢管，又该怎么计算呢？

mmn'n

nm'

通过分析对比，并不是所有的等差数列利用首尾配对都刚好合适的。经过同学们的观察比较发现，若n为偶数时两两刚好完全配对，若n为奇数时不能完全配对。

通过观察引导学生发现利用倒叙相加法计算求此等差数列前123项的和。S123= 2 + 3 + … + 124

S123=124+ 123 + …+

S123=123(2124)两式相加得

高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性。教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律。学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计学生对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计题时应由易到难的． 引导发现，公式探究

问题1： 1，2,3，…, n,… 的前n项和为多少？

学生分组探究，老师收集学生得出的不同方法并由学生讲解，尽可能地展示分类讨论的倒序相加法。

+ 2 + … + n n +（n-1）+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 问题2：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,求这个等差数列的前n项和 ,则

Sna1a2an1an

由高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，我们可以用以下式子表示：

推导: Sna1a2an1an

Snanan1a2a1

相加得：2Snn(a1an)

n Sn(a1an)2n公式一：Sn(a1an)

2由ana1(n1)d

n得Sn[a1a1(n1)d]

2n所以Sn(a1an)

2n公式二：Sn(a1an)

2我们将这种方法称为倒序相加法。

类比记忆，例题练习

问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？

（提示：与梯形联系起来）

学生通过作图并建立一一对应关系来解释

nan(a1an)得a1为梯形的上底，an为梯形的下底，n为梯形的高.2同理比较Snna1n((n1)d 2 例题：根据下列条件，求相应的等差数列前n项的和（1）a1100,d=-2,n=50;（2）a4，a818，n=8;例题：

1:已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗？ 练习

12: 已知数列{an}的前n项和为Snnn，求这个数列是等差数

22列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

3:已知等差数列5,4，3，…的前n项和为sn，求使得n最大

2747s的序号n的值。

知识梳理，归纳总结 1：体会倒序相加的算法.2：掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思 想。3：将等差数列前n项和与梯形面积联系记忆。

第五篇：2.2《等差数列的前n项和1》教案(苏教版必修5)

Sna1(a1d)[a1(n1)d]或利用定义可得：

Snan(and)[an(n1)d]两式相加可得：2Snn(a1即Sn

an)

n(a1an)2将ana1(n1)d代入可得：Snna1综上所述：等差数列求和公式为：

n(n1)d

2Snn(a1an)n(n1)na1d 22师：下面来看一下求和公式的简单应用

例1：一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为an，其中a11,a120120，根据等差数列前n项和的公式，得

S120120(1120)7260

2答：V形架上共放着7260支铅笔。

例2：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为an，前n项为Sn 则：a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n01)454 2解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54（Ⅲ）课堂练习生：（书面练习）（板演练习）

师：给出答案，结合学生所做讲评练习。（Ⅳ）课时小结

师：1。等差数列前n项和公式：Snn(a1an)2Snna1n(n1)d

22．等差数列前n项和公式获取思路

高二文科数学小练(29)1.已知函数fxlog12x在其定义域上单调递减，则函数

agxloga1x2的单调减区间是__________；

2已知奇函数fx在,0上单调递减，且f20，则不等式x1fx1＞0的解集是__________；

253.函数yx23x4的定义域为0,m，值域为则实数m,4，4的取值范围是__________； 4.已知f(x)的定义域是R，且f(x2)f(x1)f(x),f(1)lg3lg2，f(2)lg3lg5，则f(2010)__________；

5.函数f(x)x3mx21(m0)在(0,2)的极大值为最大值，则m的取值范围是__________；

6.已知mR时，函数f(x)m(x21)xa的图象和x轴总有公共点，求实数a的取值范围