不等式的性质
【例1】 如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,则以下列选项中不一定成立的是()
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
C [c<b<a,ac<0⇒a>0,c<0.对于A:⇒ab>ac,A正确.
对于B:⇒c·(b-a)>0,B正确.
对于C:⇒cb2≤ab2cb2<ab2,C错,即C不一定成立.
对于D:ac<0,a-c>0⇒ac(a-c)<0,D正确,选C.]
不等式真假的判断,要依靠其适用范围和条件来确定,举反例是判断命题为假的一个好方法,用特例法验证时要注意,适合的不一定对,不适合的一定错,故特例只能否定选择项,只要四个中排除了三个,剩下的就是正确答案了.1.若a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是()
A.ab>ac
B.ac>bc
C.a|b|>c|b|
D.a2>b2>c2
A [由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c<0,又∵a>0,b>c,∴ab>ac.故选A.]
2.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为________.
-1≤a-b≤6 [∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.]
基本不等式
【例2】 设x<-1,求y=的最大值.
[解] ∵x<-1,∴x+1<0.∴-(x+1)>0,∴y==
==(x+1)++5
=-+5
≤-2+5=1,当(x+1)2=4,即x=-3时取“=”.]
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围,既适用于一个变量的情况,也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的目的在于使等号能够成立.3.若x,y为实数,且x+2y=4,则xy的最大值为________.
2 [xy=·x·(2y)≤·2=2(当且仅当x=2y,且x+2y=4,即x=2,y=1时取“=”).]
一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.[解] 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
(1)当a<-1时,原不等式解集为{x|a<x<-1};
(2)当a=-1时,原不等式解集为∅;
(3)当a>-1时,原不等式解集为{x|-1<x<a}.
解一元二次不等式时,要注意数形结合,充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数,则需按一定的标准对参数进行分类讨论.4.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是{x|1<x<m},则m=________.2 [因为ax2-6x+a2<0的解集是{x|1<x<m},所以1,m是方程ax2-6x+a2=0的根,且m>1⇒⇒]
不等式恒成立问题
【例4】(1)若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈{x|m≤x≤m+1}都成立,则实数m的取值范围是________.
(2)对任意-1≤m≤1,函数y=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
(1)-<m<0 [由题意,得函数y=x2+mx-1在{x|m≤x≤m+1}上的最大值小于0,又抛物线y=x2+mx-1开口向上,所以只需
即解得-<m<0.]
(2)[解] 由y=x2+(m-4)x+4-2m
=(x-2)m+x2-4x+4,g=(x-2)m+x2-4x+4可看作以m为自变量的一次函数.
由题意知在-1≤m≤1上,g的值恒大于零,所以
解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时,对任意的-1≤m≤1,函数y=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零.
对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种:
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围
已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值的集合为B={y|m≤y≤n},则(1)y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k;
(2)y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.5.若不等式ax2-2x+2>0对于满足1 [解] ∵1