2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
学习
目
标
核
心
素
养
1.了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.1．重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．]
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()
A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为()
A．1 B．2
C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③ [根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为()
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
B [①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
1．基本不等式≤
(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2.②若x＜0，则x＋＝－
≤－2＝－4.③若a，b∈R，则＋≥2＝2.② [
①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用基本不等式比较大小
【例2】(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()
A．a＋b≥2
B.＋≥2
C.≥2
D.≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由≥得a＋b＝2，∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是()
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
B [显然＞，又因为＜，(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.]
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.[思路点拨] 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＋＋>9.本例条件不变，求证：>8.[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴
＝··
≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明] 由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.4．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7.[证明] 由＋＝1，得b＝(a＞1)，则a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7
≥2＋7，当a－1＝时，即a＝1＋时，取等号．
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．()
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.()
(3)若a>0，b>0，则ab≤2.()
[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
(3)因为≤，所以ab≤2.[答案](1)×(2)×(3)√
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()
A．a－b<0
B．0<<1
C.<
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．]
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是()
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
C [由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]
4．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.[证明] ∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴＋≥a＋b.
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