必修五基本不等式 知识点

第一篇：必修五基本不等式 知识点

第三章:不等式、不等式解法、线性规划

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cd11ab（异向不等式相除）(10)ab,ab0（倒数关系）abcd

（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

（12）ab0ab(nZ,且n1)（开方法则）

练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；

③若ab0,则aabb；④若ab0,则

⑤若ab0,则22222211； abba；⑥若ab0,则ab； ab

ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。cacbab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

（3）已知abc，且abc0,则

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

c1的取值范围是______（答：2,）2a2222ab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

ab（当仅当a=b时取等号）2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2ab2a2b2ab2a2b2))ab）特别地，ab(（当a = b时，(2222

a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

222幂平均不等式：a1a2...an21(a1a2...an)2 n

注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n

n1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则

2222222（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

x1x2f(x1)f(x2)xxf(x1)f(x2))或f(12).222

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根轴法：

步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.a0x1x20x1x2 a000

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)g(x)0 f(x)f(x)0f(x)g(x)0;0g(x)g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)g(x)g(x)0

f(x)03f(x)g(x) ○g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（5）对数不等式：转化为代数不等式 af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

7、线性规划

（1）线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如zaxbyc（b0）时，可把目标函数变形为

azczc，则可看作在在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题yxbbb的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：

1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.（2）非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：

比值问题：当目标函数形如zya时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线xb

22的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。距离问题：当目标函数形如z(xa)(yb)时,可把z看作是动点P(x,y)与定点

Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

x+y02截距问题：例 不等式组xy0表示的平面区域面积为81，则xy的最小值为_____

xa

x4y30,OPOA的向量问题：例已知点P的坐标（x，y）满足：3x5y25,及A（2，0），则OAx10.

最大值是.

第二篇：必修五3.1.1基本不等式教学设计

《基本不等式（第一课时）》教学设计

汪清刚

吉林省辽源市东辽县第一高级中学

一、教学目标 知识与技能：

1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。2．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。过程与方法

本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形俩方面深入的探究不等式的证明，从而进一步突破难点。基本不等式的证明要注重严密性，每一步都有理论依据，培养学生的逻辑能力。情感，态度与价值观

培养学生举一反三地逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

二、教学重点和难点

三、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

难点：理解“=”成立的充要条件.三、教学过程：

1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为

．于是，，那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即

．

．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和现一个不等式吗？

（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发通过学生动手操作，探索发现：

2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若，则

． 若，则．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则；（2）若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于的取值可以是全体实数），于是

时取等号．

要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．

得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立）时，等号成立）

深化认识：

称为的几何平均数；称为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰 探究三：如图，于的弦是圆的直径，点．

由于Rt

中直角边

斜边，是

上一点，．过点

作垂直，连接根据射影定理可得：于是有故而再次证明： 当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．

当时，（当且仅当时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于（1）若，（定值），则当且仅当

时，有最小值

；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求的值域．

变式1.若，求的最小值．

在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示再次感受数形结合的数学思想． 的函数图象，使学生并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 练一练（自主练习）：

1.已知2.设，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则

（当且仅当

时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想：

若将算术平均数记为，几何平均数记为

利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面 的上方

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

（3）探究作业：

现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

第三篇：必修五不等式知识汇总

必修五不等式知识汇总

1．实数的三歧性：任意两个实数a、b，a>b，a＝b，a0⇔a>ba－b＝0⇔a＝b

a－b<0⇔a

.2．不等式的性质： 性质1(对称性)a>b⇔bb，b>c⇒a>c； 性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c.移项法则：不等式中的任意一项都可以变成它的相反数后从一边移到另一边．

a>ba>b⇒acbc；c>0c<0

性质5(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

性质6(同向可乘性)a>b>0⇒ac>bd； c>d>0

性质7(不等式的乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N＋且n>1)；

性质8(不等式的开方法则)a>b>0⇒a>b(n∈N＋且n>1)．

3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：

4.常见不等式的解法：

(1)分式不等式的解法

fxA先通分化为一边为一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．⇔A·B>0；Bgx

B≥0B≤0A·A·AAA⇔A·B<0；≥0⇔；≤0⇔.BBBB≠0B≠0

如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．

(2)高次不等式的解法

只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x<－2或x>1.(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．

(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．

(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．

(6)超越不等式问题可用图象法．

5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域．

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；

(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．

(3)若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．

(4)

主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法．

一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断．

注意：画不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax＋By＋C＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．

6．线性规划的有关概念

(1)约束条件——目标函数中的变量所要满足的不等式组．

(2)线性目标函数——目标函数关于变量是一次函数．

(3)线性约束条件——约束条件是关于变量的一次不等式组．

(4)可行解——满足线性约束条件的解．

(5)可行域——由所有可行解组成的集合．

(6)最优解——在可行域中使目标函数取得最值的解．

(7)线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

7．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤

(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出，找出其公共部分．

(2)作出目标函数的等值线．

(3)确定最优解．

①在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解．

②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1、l2、…、ln的斜率分别为

k1

8．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)；

a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理．

①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.4(4)证明不等式常用方法有：综合法、比较法、分析法、反证法及利用函数单调性等． 误区警示：

1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．

2．a≥b的含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个成立，则a≥b就成立．

3．特别注意不等式性质成立的条件．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间关系发生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特别注意关于符号的限制条件．

a>b>0a>b如：a>b1111⇒但a>b⇒是错误的，⇒ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>dab>0

⇒ac>bd是错误的．a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的，但a>b⇒an>bn是错误的，若规定n为正奇数时，a>b⇒an>bn是正确的．

4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法主要有：

(1)定义法：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a分段讨论，含多个绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每一个为0，找出分界点再分段，特别注意a>0的条件．

(2)平方法：只有在不等式两端同号的情况下才适用．

(3)客观题还常结合几何意义求解．

5．在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．

其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键． 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．

6．①写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式结合起来． ②当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形．如ax2－ax－1<0的解

－b＋集为R，求实数a的范围．解答时应对a＝0，a≠0进行分类讨论．还应注意a<02a－b－Δ<2a

③解对数不等式时，莫忘定义域的限制．

④换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围等价转化为原来未知数的取值范围． ⑤解不等式的每一步变形要保持等价．

7．解线性规划问题时：

①在求解应用问题时要特别注意题目中变量的取值范围，防止将范围扩大．

②对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．

当B>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．

③解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．

第四篇：新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)（范文）

基本不等式

知识点：

1.(1)若a,bR，则ab2ab

ab时取“=”）22(2)若a,bR，则abab222（当且仅当

2.(1)若a,bR*，则

ab时取“=”）ab2(2)若a,bR，则ab2ab *ab（当且仅当

ab(3)若a,bR，则ab）(当且仅当ab时取“=”

2*

23.若x0，则x

若x0，则x1x

1x）2(当且仅当x1时取“=”2(当且仅当x1时取“=”）

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）

xxx

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）若ab0，则

ba

a

b2即a

bb

a2或

2ab2ba（）-2当且仅当ab时取“=”5.若a,bR，则（注意： ab2)2ab2（当且仅当ab时取“=”）

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x 21（2）y＝x＋ x

解：(1)y＝3x 2＋1

2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域为[6，+∞）

1(2)当x＞0时，y＝x ≥2x1x·＝2； x

当x＜0时，y＝x＋= －（－ x－）≤－

2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54x·=－2 x，求函数y

4x2

14x5的最大值。

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)要进行拆、凑项，x

54,54x0，y4x2

4x5

不是常数，所以对4x

21

54x

4x554x

231 

3

当且仅当54x

154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x)的最大值。解析：由

知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将

yx

(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x

技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t4

t

t4t

5

当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

例：求函数y的值域。

t（t2)，则y

1t

1t

t

1t

(t2)

因t0,t1，但t因为yt

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y

5

。

所以，所求函数的值域为,。

2

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知x0,y0，且

1x9y

1x

1，求xy的最小值。

9y

1x

9

xyy

12故

错．解．：x0,y0，且

1，xy



xymin

12。

等号成立条件

是xy，在错因：解法中

两次连用均值不等式，在xy1x

9y

1x



9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016

xy

xy

xy

当且仅当技巧七

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12时，xymin16。

例：已知x，y为正实数，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

221＋y中y前面的系数为，x

y 2

a 2＋b 2。

1＋y 22· ＝2

同时还应化简1＋y 2 ＝x

x·

1y 2

＋22

1y 2

＋分别看成两个因式： 22x 2＋（1y 2

＋)22222

x 2＋ ＝

y 22＋

下面将x，x·

1y 2

＋ ≤22

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

1y 23＋≤224技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8

∴ ab≤18∴ y≥

118

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。ab

－2t 2＋34t－31

1616

＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2

t·

30－2b

tttt

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab则u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3

ab≤32，ab≤18，∴y≥

ab2

ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②



点评：①本题考查不等式





如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

2ab（a,bR），这样将已知条件转换



为含ab的不等式，进而解得ab的范围

.技巧

九、取平方

例:

求函数y



12x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y

44(2x

1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。故ymax。

应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、cR，且

abc1。求证：



111

1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc，可由此变形入手。

a

a

a

a

解：a、b、cR，abc1。



1a

1

1aa



bca



a

。同理

1b

1

b，1c

1

c

1111。当且仅当时取等号。abc1118

3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令xyk,x0,y0,10k

3k

1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



9xky

1

12

。k16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

ab1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ∴R>Q>P。

Rlg(ab

第五篇：新人教A版必修五教案：3.4 基本不等式(三)

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第三课时 基本不等式

（三）（一）教学目标（1）知识与技能目标 1.熟练使用a2+b22ab和ab2ab.2.会应用此定理求某些函数的最值； 3.能够解决一些简单的实际问题.（2）过程与能力目标 了解运用ab2ab的条件，熟练运用不等式中1的变换.（3）情感与态度目标 通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.（二）教学重点：在运用ab2ab中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.教学难点：ab2ab的运用.（三）教学流程（1）复习：基本不等式（2）举例分析

例1：a,b是正数且ab4，求ab的最值 解：ab（ab2422)()4,即ab的最大值为2变形1：a,b是正数且2ab4，求ab的最值

解：ab112ab21422ab（）()222222b24，求ab的最值

即ab的最大值为2

变形2：a,b是正数且a解：ab2a(12ab)（2b即ab的最大值为8

2)22(4)28,22变形3： a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值

解：ab112a3b21422(2a)(3b)（）(),66262323,当且仅当2a3b即a1,b23取最大值

即ab的最大值为例2． a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值

解：a(1b)112a1b21329(2a)(1b)（）(),22222898,当且仅当2a1b即a34,b12取最大值 即ab的最大值为 1 河南教考资源信息网

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(2)a,b是正数,a2b222,a(12b)的最值是2。

解：a12b22a(12b)22(a12b2222)223262,b12取最大值

即a1b的最大值为2,当且仅当a例3：已知a、bR,ab1,y12b即a1a141b，求y的最小值．

证法1：直接用公式

由ab(ab2)得ab214，由ab得1a1ab4 1b1a1b21a1b21ab4 即4

证法2：对1进行变换

因为ab1,所以1a1bba1aba1babaabb2baba 而baba2baab2

所以24

练习

(1)已知a、bR,且a2b1,y1a1b，求y的最小值．111

9

abc111(3)已知a、b、cR,且abc1,求证(1)(1)(1)8

abc(2)已知a、b、cR,且abc1,求证解：(1)1a1ba2baa2bb12ba2ab32baab322baab322

(2)1a1b1cabcabaababcb2cacaacacabcc2cb3bc9baabcaaccbbc32(3)1a1c11abcaabcc11babc22bcaabc(1b1a11)(abcb1b1)(1c1abcb2acbacbabc81)8bca课堂小结：

1.熟练使用不等式 ab2ab和ab2ab． 22河南教考资源信息网

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2.注意使用ab2ab的条件．

3.注意取等号的条件．

4.灵活变换“1”．课后作业：《习案》作业三十三