高一数学 必修五 不等式（精选五篇）

第一篇：高一数学 必修五 不等式

一、知识要点

不等式

（一）1、不等式的性质（注意不等式成立的条件）

（1）对称性：ab（2）传递性：ab,bc（3）可加性：ab

（4）移项法则：abc

（5）同向不等式相加：ab,cd（6）异向不等式相减：ab,cdacbd

（7）乘法法则：ab,c0acbc，ab,c0acbc（8）同向正值不等式相乘：ab0,cd0（9）乘方不变性：ab0nN（10）开方不变性：ab0nN,n1（11）常用不等式：a＞b，ab＞0 





11＜ ab2、用作差法证明不等式

作差法：abab0,abab03、一元二次不等式ax2bxc0，ax2bxc0(a0)与二次函数yax2bxc，二次方

21、注意不等式性质的单向性质或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性。

2、在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件。

3、一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为这两类的，条件熟练掌握。

三、例题分析

例

1、（07上海）设a，b为非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）

11ba

A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．2＜2D．＜

ababab

变式

1、若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是（）

ab1

12A．B．a2b2C．2D．acbc c1c1ab变式

2、若,满足



A．

C．



，则的取值范围是（）

B．0 D．









0

例

2、已知a,b





变式

3、若a0,b

0

例

3、函数y）

A．xx4或x3B．x4x3

变式

4、已知x2pxq＜0的解集为{x|＜x＜，求不等式qx2px1＞0的解集。

例

4、f

xR，求实数k的取值范围。

C．xx≤4或x≥3 D．x4≤x≤3 

3变式

5、设a≠0，对于函数f(x)log3(ax2xa)，若定义域为R，求实数a的取值范围。

四、课后练习

1、下列命题不正确的是（）

A．a2(a1)20 B．a202、已知

C．若a2≤0则a=0

D．若a≤－a，则a≤0

a

>1，则下列不等式中不成立的是（）b

B．

A．ab C．0

b1 a

b

1a

D．b0时，ab；b0时，ab



13、（09北京）设集合Axx2，B{xx2≤1}，则AB（）

2

A．{x|1≤x2}

B．{x|

x≤1}

2C．{xx2}D．{x|1≤x2}

4、不等式34x4x2≤0的解集是（）

3＜x≤0或1≤x＜}2213

C．{x|－＜x＜}

2A．{x|－

B．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x＜－

或x≥} 225、已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）

A．abacB．cba0C．cb2ab2D．ac(ac)0

6、若不等式ax2bx20的解集为(,)，则ab的值为（）

A．10

B．－10

C．1

4D．－14

11237、若0＜a＜1，则不等式(xa)(x)0的解集是

8、（08江苏）设集合Ax(x1)23x7,xR，则集合AZ中有个元素。

a9、比较下列各组中两个代数式的大小

b2a

2（1）若a＞0，b＞0，与a＋b；（2）x6＋1与x4＋x2（x∈R）。ab10、设A，B分别是不等式3x2＋6≤19x与－2x2＋3x＋5＞0的解集，试求A∩B，A∪B。

11、如果关于x的不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0的解集为R，求a的取值范围。

考考你：

1、已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）

A．a3＜b3B．a2＜b2C．(a)3＜(b)

32、不等式6x2x2＜0的解集为（）

A．{x|＜x＜2} C．{x|x＜

D．(a)2＜(b)

2B．{x|2＜x＜

33或x＞2}D．{x|x＞或x＜2} 223、设集合M{x|0≤x≤2}，N{x|x2x3＜0}，则MN（）

1}A．{x|0≤x＜B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}

4、如果A{x|ax2ax1＜0}，则实数a的集合为（）

A．{a|0＜a＜4}B．{a|0≤a＜4}C．{a|0＜a≤4}

D．{a|0≤a≤4}

高一数学讲义第九讲参考答案（58期）

一、知识要点

1、（1）ba（2）ac（3）acbc（4）acb（5）acbd（7）＞；＜（8）acbd（9）anbn（103、{x|x＜x1或x＞x2}；{x|x≠－b}；R；{x|x1＜x＜x2}；；

2a

三、例题分析

例

1、C变式

1、C 例

2、∵a0,b0

∴∴

变式

2、B

aa∴



baba

a

≥a

baa



ab

(ab)(ab)(a)2()

=≥0 

abab

变式

3、∵a0,b0，∴a0,ab0，a

2ab



2ab0，∴aab

31123

例

3、C

变式

4、∵x2pxq的解集为{x|＜x＜，∴,是方程x2pxq0的两实根，111

pp326∴，∴，不等式qx2px10可化为x2x60，1(1)qq1632

∴2x3，∴qx2px10的解集为（－2，3）。

k0

例

4、k0时，不等式为8≥0恒成立；k0时，，得0k≤1，△≤0

∴K的取值范围为0≤k≤

1a01

变式

5、由题意得ax2xa0时，x∈R恒成立，∴，解得a＞，22△14a0

∴a的取值范围是(,)

四、课后练习

或x＜a}

8、6 a

2(ab)(ab)baabb2a2

ab(ab)()≥0，∴≥ab

9、（1）abbaabab642422242

2（2）x1xxx(x1)(x1)(x1)(x1)(x1)(x21)≥0，∴x61≥x4x21、B2、A3、A4、A5、A6、D7、{x|x＞

51}，A∩B={x|≤x＜}，A∪B={x|－1＜x≤6}

3a2011、当a=2时，不等式恒成立，当a≠2时，由，解得－2＜a＜

2010、A={x|≤x≤6}，B={x|－1＜x＜

第二篇：必修五基本不等式 知识点

第三章:不等式、不等式解法、线性规划

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cd11ab（异向不等式相除）(10)ab,ab0（倒数关系）abcd

（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

（12）ab0ab(nZ,且n1)（开方法则）

练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；

③若ab0,则aabb；④若ab0,则

⑤若ab0,则22222211； abba；⑥若ab0,则ab； ab

ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。cacbab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

（3）已知abc，且abc0,则

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

c1的取值范围是______（答：2,）2a2222ab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

ab（当仅当a=b时取等号）2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2ab2a2b2ab2a2b2))ab）特别地，ab(（当a = b时，(2222

a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

222幂平均不等式：a1a2...an21(a1a2...an)2 n

注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n

n1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则

2222222（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

x1x2f(x1)f(x2)xxf(x1)f(x2))或f(12).222

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根轴法：

步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.a0x1x20x1x2 a000

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)g(x)0 f(x)f(x)0f(x)g(x)0;0g(x)g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)g(x)g(x)0

f(x)03f(x)g(x) ○g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（5）对数不等式：转化为代数不等式 af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

7、线性规划

（1）线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如zaxbyc（b0）时，可把目标函数变形为

azczc，则可看作在在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题yxbbb的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：

1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.（2）非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：

比值问题：当目标函数形如zya时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线xb

22的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。距离问题：当目标函数形如z(xa)(yb)时,可把z看作是动点P(x,y)与定点

Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

x+y02截距问题：例 不等式组xy0表示的平面区域面积为81，则xy的最小值为_____

xa

x4y30,OPOA的向量问题：例已知点P的坐标（x，y）满足：3x5y25,及A（2，0），则OAx10.

最大值是.

第三篇：必修五不等式知识汇总

必修五不等式知识汇总

1．实数的三歧性：任意两个实数a、b，a>b，a＝b，a0⇔a>ba－b＝0⇔a＝b

a－b<0⇔a

.2．不等式的性质： 性质1(对称性)a>b⇔bb，b>c⇒a>c； 性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c.移项法则：不等式中的任意一项都可以变成它的相反数后从一边移到另一边．

a>ba>b⇒acbc；c>0c<0

性质5(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

性质6(同向可乘性)a>b>0⇒ac>bd； c>d>0

性质7(不等式的乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N＋且n>1)；

性质8(不等式的开方法则)a>b>0⇒a>b(n∈N＋且n>1)．

3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：

4.常见不等式的解法：

(1)分式不等式的解法

fxA先通分化为一边为一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．⇔A·B>0；Bgx

B≥0B≤0A·A·AAA⇔A·B<0；≥0⇔；≤0⇔.BBBB≠0B≠0

如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．

(2)高次不等式的解法

只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x<－2或x>1.(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．

(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．

(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．

(6)超越不等式问题可用图象法．

5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域．

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；

(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．

(3)若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．

(4)

主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法．

一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断．

注意：画不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax＋By＋C＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．

6．线性规划的有关概念

(1)约束条件——目标函数中的变量所要满足的不等式组．

(2)线性目标函数——目标函数关于变量是一次函数．

(3)线性约束条件——约束条件是关于变量的一次不等式组．

(4)可行解——满足线性约束条件的解．

(5)可行域——由所有可行解组成的集合．

(6)最优解——在可行域中使目标函数取得最值的解．

(7)线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

7．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤

(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出，找出其公共部分．

(2)作出目标函数的等值线．

(3)确定最优解．

①在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解．

②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1、l2、…、ln的斜率分别为

k1

8．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)；

a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理．

①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.4(4)证明不等式常用方法有：综合法、比较法、分析法、反证法及利用函数单调性等． 误区警示：

1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．

2．a≥b的含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个成立，则a≥b就成立．

3．特别注意不等式性质成立的条件．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间关系发生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特别注意关于符号的限制条件．

a>b>0a>b如：a>b1111⇒但a>b⇒是错误的，⇒ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>dab>0

⇒ac>bd是错误的．a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的，但a>b⇒an>bn是错误的，若规定n为正奇数时，a>b⇒an>bn是正确的．

4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法主要有：

(1)定义法：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a分段讨论，含多个绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每一个为0，找出分界点再分段，特别注意a>0的条件．

(2)平方法：只有在不等式两端同号的情况下才适用．

(3)客观题还常结合几何意义求解．

5．在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．

其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键． 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．

6．①写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式结合起来． ②当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形．如ax2－ax－1<0的解

－b＋集为R，求实数a的范围．解答时应对a＝0，a≠0进行分类讨论．还应注意a<02a－b－Δ<2a

③解对数不等式时，莫忘定义域的限制．

④换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围等价转化为原来未知数的取值范围． ⑤解不等式的每一步变形要保持等价．

7．解线性规划问题时：

①在求解应用问题时要特别注意题目中变量的取值范围，防止将范围扩大．

②对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．

当B>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．

③解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．

第四篇：高一数学不等式知识点

不 等 式

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

（1）对称性：a>bb

（2）传递性：若a>b，b>c，则a>c；

（3）可加性：a>ba+c>b+c；

（4）可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

不等式运算性质：

（1）同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；

（2）异向相减：ab，cdacbd.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

（4）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则anbn；

（5）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则ab；

（6）倒数法则：若ab>0，a>b，则

2、基本不等式

定理：如果a,bR，那么a21a1。bb22ab（当且仅当a=b时取“=”号）

abab（当且仅当a=b时取“=”号）推论：如果a,b0，那么

2ab算术平均数；几何平均数2

推广：若a,bab； a2b2ab20，则ab1122ab

当且仅当a=b时取“=”号；

3、绝对值不等式

（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；

｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。

（2）||a||b|||ab||a||b|

4、不等式的证明：

(1)常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；

(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

5、不等式的解法：

（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：

a0或a0检验； ax+bx+c>0对于任意的x恒成立2b4ac0

2a0或a0检验 ax+bx+c<0对于任意的x恒成立2b4ac02

（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系

① 求一般的一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解集，要结合ax2bxc0的根及二次函数yax2bxc图象确定解集．

② 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解按照0，0，0可分为三种情况．相应地，二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，列表如下：

含

参数的不等式

应适当分类讨论。

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

az（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－x＋，所以，求z的最值可看成是bb

az求直线y＝－x＋在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化bb

而变化）。

（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与z可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点b的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。

7、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0． ①若 0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方． ②若 0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．

8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．

yC0表示直线xyC0上方的区域；①若 0，则x

xyC0表示直线xyC0下方的区域．

yC0表示直线xyC0下方的区域；②若 0，则x

xyC0表示直线xyC0上方的区域．

9、最值定理

设x、y都为正数，则有

s

2⑴ 若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵ 若xyp（积为定值），则当xy时，和x

y取得最小值 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”

注意：一正、二定、三相等

第五篇：必修五3.1.1基本不等式教学设计

《基本不等式（第一课时）》教学设计

汪清刚

吉林省辽源市东辽县第一高级中学

一、教学目标 知识与技能：

1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。2．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。过程与方法

本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形俩方面深入的探究不等式的证明，从而进一步突破难点。基本不等式的证明要注重严密性，每一步都有理论依据，培养学生的逻辑能力。情感，态度与价值观

培养学生举一反三地逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

二、教学重点和难点

三、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

难点：理解“=”成立的充要条件.三、教学过程：

1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为

．于是，，那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即

．

．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和现一个不等式吗？

（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发通过学生动手操作，探索发现：

2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若，则

． 若，则．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则；（2）若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于的取值可以是全体实数），于是

时取等号．

要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．

得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立）时，等号成立）

深化认识：

称为的几何平均数；称为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰 探究三：如图，于的弦是圆的直径，点．

由于Rt

中直角边

斜边，是

上一点，．过点

作垂直，连接根据射影定理可得：于是有故而再次证明： 当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．

当时，（当且仅当时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于（1）若，（定值），则当且仅当

时，有最小值

；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求的值域．

变式1.若，求的最小值．

在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示再次感受数形结合的数学思想． 的函数图象，使学生并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 练一练（自主练习）：

1.已知2.设，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则

（当且仅当

时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想：

若将算术平均数记为，几何平均数记为

利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面 的上方

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

（3）探究作业：

现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．