高一数学必修1各章知识点总结
(拂晓搜集整理)
第一章
集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)
元素的确定性如:世界上最高的山
(2)
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)
元素的无序性:
如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{
…
}
如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
u
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)
记作:N
正整数集
N*或
N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
1)
列举法:{a,b,c……}
2)
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xÎR|
x-3>2},{x|
x-3>2}
3)
语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)
Venn图:
4、集合的分类:
(1)
有限集
含有有限个元素的集合(2)
无限集
含有无限个元素的集合(3)
空集
不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:A=B
(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设
A={x|x2-1=0}
B={-1,1}
“元素相同则两集合相等”
即:①
任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果
AÍB,BÍC,那么
AÍC
④
如果AÍB
同时
BÍA
那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
u
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交
集
并
集
补
集
定
义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’),即AB
={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
S
A
记作,即
CSA=
韦
恩
图
示
S
A
性
质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABA
ABB
(CuA)
(CuB)
=
Cu
(AB)
(CuA)
(CuB)
=
Cu(AB)
A
(CuA)=U
A
(CuA)=
Φ.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
()
A某班所有高个子的学生
B著名的艺术家
C一切很大的书
D
倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c
}的真子集共有
个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是
.4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有
人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=
.7.已知集合A={x|
x2+2x-8=0},B={x|
x2-5x+6=0},C={x|
x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|
x∈A
}叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致
(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域
:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上
.(2)
画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)
平移变换
2)
伸缩变换
3)
对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)
称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 任取x1,x2∈D,且x1 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 确定f(-x)与f(x)的关系; 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴ ⑵ 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数,若,则= 5.求下列函数的值域: ⑴ ⑵ (3) (4) 6.已知函数,求函数,的解析式 7.已知函数满足,则=。 8.设是R上的奇函数,且当时,则当时= 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴ ⑵ ⑶ 10.判断函数的单调性并证明你的结论. 11.设函数判断它的奇偶性并且求证:. 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*. u 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。 当是奇数时,当是偶数时,2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:,u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)·; (2); (3) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1