不等式知识点

第一篇：不等式知识点

不等式

一．知识点：

1．不等式的性质：

2．不等式的解法：

（一）整式不等式的解法；

（二）分式不等式的解法；

（三）指对不等式的解法； 重点：含参二次不等式的解法；

3．不等式的证明：（1）作差变形；（2）分析法

4．均值不等式：（一正二定三等）

题型1：题型2：题型3：题型4：

5．线性规划：

二．典型题：

1．已知二次函数零点分布，求参数范围问题；

2．恒成立问题的解法；

3．均值不等式的应用；

1．已知二次函数零点分布，求参数范围问题；

2．恒成立问题的解法；

3．线性规划问题的讲解方式；

4．递推式问题：相邻项的关系较复杂，隔项或相邻多项的关系会简单。

5．均值不等式的几种常见题型；

6．变形种类：

第二篇：不等式知识点整理

不等式知识点整理

一、不等关系：

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0；

abab0；

abab0.2．不等式的性质：

（1）abba（自反性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；

ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab,cdacbd（同向加法）

（6）ab0,cd0acbd；（同向乘法）

（7）ab0,nN,n1anbn,a。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aR,a20,a0，当且仅当a0取“=”.（2）a,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

（3）a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）a

b注：——集几何平均数.2a2b2ab2()（当且仅当ab时取“=”（4））22

a2b2c2abc2()（当且仅当abc时取“=”（5））3

3ab（6）(a2b2)(c2d2)(acbd)2（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：设x,y0,由xy

（1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时x

y有最小值

S（2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时xy有最大值()2.2即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： ababab（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法

1．比较法

（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）

2．综合法——由因导果（由前面结论）

3．分析法——执果索因

注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式

bb1．一元一次不等式 axb(a0)（1）a0,xx ；（2）a0,xx.aa

2．一元二次不等式 ax2bxc0,(a0)

（1）步骤：一看开口方向（a的符号），二看判别式 b24ac的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：ax2bxc0(a0)解集为R（即ax2bxc0对xR恒成立），则a0,0.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0）.3．绝对值不等式

a0a（1）零点分段讨论a aa0

（2）转化法：f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法 P(x)0或P(x)Q(x)0（移项，一边化为0，不要轻易去分步骤：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化为积的形式（x系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；

④写出解集.5．注意含参数的不等式的解的讨论.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一个有用的结论 关于函数yxp x

ppx

0时x

在(0、xx

[

上是减函数；在（、[)上是增函数.1．p0时，当x

0时x

（0，）2．p0时，在，上为增函数.0、

第三篇：不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab（1）

（2）

（3）

（4）0ab;ab0ab;ab0ab.不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.同向不等式与异向不等式.同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质

（1）a

（2）a

（3）a

（4）a

（5）abba（对称性）b,bcac（传递性）bacbc（加法单调性）b,cdacbd（同向不等式相加）b,cdacbd（异向不等式相减）

（6）a.

（7）a

（8）ab,c0acbc b,c0acbc（乘法单调性）b0,cd0acbd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除）cd(9)ab0,0cd

(10)ab,ab0

（11）a

（12）a11（倒数关系）abb0anbn(nZ,且n1)（平方法则）b0(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

极值定理：若x,yRab（当仅当a=b时取等号）.2,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;

（7）若a、bR,则||

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

|x|ax2a2axa a||b|||ab||a||b| ab（当仅当a=b时取等号）22ab

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则 222222222（a1b1a2b2a3b3anbn)(a1a2a3an)(b1b2b3bn)aaaa123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).2

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 2

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0 定义域g(x)0f(x)g(x)

f(x)03f(x)0○f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

第四篇：不等式知识点总结

感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，下面是小编帮大家整理的不等式知识点总结，希望大家喜欢。

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

第五篇：必修五基本不等式 知识点

第三章:不等式、不等式解法、线性规划

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cd11ab（异向不等式相除）(10)ab,ab0（倒数关系）abcd

（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

（12）ab0ab(nZ,且n1)（开方法则）

练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；

③若ab0,则aabb；④若ab0,则

⑤若ab0,则22222211； abba；⑥若ab0,则ab； ab

ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。cacbab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

（3）已知abc，且abc0,则

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

c1的取值范围是______（答：2,）2a2222ab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

ab（当仅当a=b时取等号）2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2ab2a2b2ab2a2b2))ab）特别地，ab(（当a = b时，(2222

a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

222幂平均不等式：a1a2...an21(a1a2...an)2 n

注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n

n1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则

2222222（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

x1x2f(x1)f(x2)xxf(x1)f(x2))或f(12).222

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根轴法：

步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.a0x1x20x1x2 a000

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)g(x)0 f(x)f(x)0f(x)g(x)0;0g(x)g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)g(x)g(x)0

f(x)03f(x)g(x) ○g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（5）对数不等式：转化为代数不等式 af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

7、线性规划

（1）线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如zaxbyc（b0）时，可把目标函数变形为

azczc，则可看作在在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题yxbbb的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：

1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.（2）非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：

比值问题：当目标函数形如zya时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线xb

22的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。距离问题：当目标函数形如z(xa)(yb)时,可把z看作是动点P(x,y)与定点

Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

x+y02截距问题：例 不等式组xy0表示的平面区域面积为81，则xy的最小值为_____

xa

x4y30,OPOA的向量问题：例已知点P的坐标（x，y）满足：3x5y25,及A（2，0），则OAx10.

最大值是.