不等式基础知识汇总

第一篇：不等式基础知识汇总

不等式基础知识

一、不等式的概念

1．不等式的定义

不等式：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫不等式．

不等式组：含有相同未知数的几个不等式组成的式子，叫不等式组．

2．不等式的分类

（1）按所用不等号分：严格不等式（简单命题）、不严格不等式（复合命题）．

（2）按变量取值范围分：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式．

（3）按变量的数量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．

（4）按解析式的类型分：

3．不等式的相互关系

（1）由不等号方向看：同向不等式、异向不等式．

（2）由变量范围看：同解不等式、等价不等式．

（3）由形式关系看：同构不等式、不同构不等式．

二、实数运算的性质（符号法则）

实数运算的符号法则是构建不等式理论的基石，其顺序为：

实数运算的符号法则→不等式的性质→不等式性质的应用．

实数运算的符号法则：正数大于负数，零小于正数，零大于负数．

1．abab0,abab0,abab0．

2．a0a0．

3．a0110,a00． aa

4．a0,b0ab0;a0,b0ab0．

5．a0,b0ab0;a0,b0ab0;a0,b0ab0．

三、不等式的性质

1．三歧性：对于任意两个实数a与b，在ab,ab,ab三种情况中仅有一种成立．

abba．

3．传递性：ab,bca(c,;,;,等号是否传到底？?2．对称性：

abcabc（移项法则、作差原理）． abacb；c

5．加法法则：ab,cdacbd（同向特征，可推广）．

6．可乘性：ab,c0acbc（若c0，则abacb）； c

． ab,c0acbc（若c0，则abacbc）4．可加性：

7．倒数法则：（1）ab01111a(若a、bR，则ab1)； ababb

1111a(若a、bR，则ab1)； ababb

11． ab（2）ba0（3）a0b

8．乘法法则：ab0,cd． 0acbd（可推广）

nn9．乘方法则：ab0ab(n2,nN)．（乘法法则的特例）

mm（若a、bR，mQ，则abab）．

10．开方法则：ab0n2,nN)．

2211．均值定理：

（1）ab2ab（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）；

（2）a、bR，ab（当且仅当a、b相等时取等号）

（几何意义：半径不小于半弦．）；

22（3）aba

b,ab(a

b)2（当且仅当a、b相等时取等号）； 2

2（4）aba、bR)2

ab

（当且仅当a、b相等时取等号）；

（调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）；

2（5）qpxpx0,qx0)（一正二定三相等）； x

(aqbp)2

（6）(apx)(bqx)（一正二定三相等）． 4pq

12．真分数性质：0ab,m00aam1（浓度不等式）． bbm

注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；

在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．

附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化

加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．

四、不等式的证明

证明不等式就是利用不等式的性质等知识，证明所给不等式在给定条件下恒成立．不等式形式的多样性导致其证明方法的灵活性，具体问题具体分析是证明不等式的准则．具体证明方法有如下几种：

1．作差比较法

原理：符号法则．

步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断．

2．作商比较法

原理：符号法则．

步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断．

3．分析法

原理：BB1B2BnA．

步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”．

特点：利于思考，方向明确，思路自然．（刑警办案、剥笋）

格式：欲证„„（#），（因为„„，所以）只需证„„，„„

（因为„„，所以）只需证„„（*），而（*）显然成立，所以（#）

4．综合法

原理：ABBn1B2B．

步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

特点：条理清楚，经验丰富，传统自然．（法官定罪、包装）

注：（1）证明时，如果首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等

式，只要推出过程的每一步都是可逆的，那么就可以断定所给的不等式成立，这也是分析法，其逻辑原理为：BB1B2BnA．

（2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证„„，只需

证„„”、“即„„”、“假定„„成立，则„„”等．并且，必须有对最后找到 的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误．

（3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用

综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．分析法和综合法之间是互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终点是综分析法的起点．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开．

（4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导

数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等．

分析法只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如

果把“只需证„„”去掉不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，掩盖了分析、探索的过程。如果直接写，而不用分析法，人们会感到看得明白，自己却做不出。因此，在做题时，通常先用分析法探求解题途径，在解答时，再用综合法书写。另外，凡是能用分析法证明的问题，一定可以用综合法证明。

反证法证题的特征是通过导出矛盾，归结为谬误，而使命题得证。因此，反证法也

叫归谬法。如果结论的反面只有一种情况，即只需作出一种反设，并设法导致矛盾，立即使命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则对每种情况都必须作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证；这就是反证法的两种类型，前者称为简单归谬法（简称归谬法），后者称为穷举归谬法（简称穷举法）。

“否定结论”在推理论证中要作为已知使用。“假设”不能写成“设”

用反证法证明“若p则q”的过程如下图所示：

适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②结论是以

“至多”、“至少”等形式出现的命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面比原

结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。

五、解不等式

利用不等式性质及相关知识，求变量的取值集合或判断其无解的过程，叫解不等式．解不等式是一个由繁到简的等价转化变形过程，大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式．

1．一次型

2．二次型

3．分式型

4．绝对值型

5．无理不等式

6．高次不等式、高次分式不等式

（1）数轴标根法：标准化→分解→标根→定号→取解集．

（2）降次成组法．

7．不等式组、不等式串

求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最

后归一）；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解．

8．混和条件组

等式（方程）和不等式共同组成的关系组称为混和条件组，求解时以等式为主，不等式起检验作用．

9．超越不等式（指数不等式、对数不等式、三角不等式等）

指数不等式、对数不等式、三角不等式等都可利用有关函数的性质（定义域、单调性等）、图象和不等式性质把原不等式化归为有之等价的代数不等式（组）．

注：有些不等式可用构造函数法利用对应函数的图象解之，步骤为：构造函数→作图象

→通过对应方程得交点的横坐标→根据图象特点取解集．

六、不等式的其他应用

利用不等式的性质，除了可以证明和求解不等式外，还可以解决求代数式的取值范

围、求最值、求实际问题的解等问题．

1．求范围

先须求出所求代数式与已知代数式之间的线性关系（常需用待定系数法），然后利用同向不等式的加法法则和乘法法则等性质求之．（亦可用线性规划法）

2．求最值

（1）二次整式可用均值定理或二次函数的单调性求其最值．

（2）分子为二次式的假分式，可用待定系数法、配凑法或换元法化为部分分式，再

用均值定理或倒数和函数的单调性求其最值；真分式用倒数法化为假分式． 注：利用均值定理求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若

为两个负变数相加，则可用提取法化归；若无和或积为定值的特征，则可用调整系数或次数的方法化归；若不存在等号成立的条件，则只能用二次函数或倒数和函数的单调性求其最值．

3．求实际问题的解（不等式建模）

七、不等式的相关知识

函数的定义域、值域、单调性、最值，一元二次方程的实根分布，线性规划等知识

都与不等式密切相关．

绝对值基础知识

1．绝对值的定义（几何意义）：数轴上某数对应的点到原点的距离，叫该数的绝对值．

2．绝对值的基本性质：(1)；a0（非负性、有界性）a(a0)(2)aa(a0)

0(a0)

(3)

(4)

(5)a；aa,aa,aaa；a2a2a； 2

(6)平方法则：若a0，则

3．绝对值的性质定理：

（1）

（2）

（3）xax2a2，xax2a2，xax2a2． aa；abab；aa；bb

（4）ana；

ababab； n（5）ababab，（可推广），ababab0，ababab0； abab0，2（6）a． b22ab（a2b22abab）

4．绝对值的处理方法：

（1）公式法：xaaxaxaxa或xa，aR；

（2）分段讨论法：（即找界点，此法适用于解含多个绝对值的问题）；

（3）平方法：（即运用平方法则，注意平方的前提为不等号两边均为非负数）；

（4）几何法：（即运用绝对值的几何意义）．

5．绝对值不等式的类型：

（1）

f(x)g(x)；（2）f(x)g(x)；（3）f(x)g(x)．

第二篇：不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab（1）

（2）

（3）

（4）0ab;ab0ab;ab0ab.不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.同向不等式与异向不等式.同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质

（1）a

（2）a

（3）a

（4）a

（5）abba（对称性）b,bcac（传递性）bacbc（加法单调性）b,cdacbd（同向不等式相加）b,cdacbd（异向不等式相减）

（6）a.

（7）a

（8）ab,c0acbc b,c0acbc（乘法单调性）b0,cd0acbd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除）cd(9)ab0,0cd

(10)ab,ab0

（11）a

（12）a11（倒数关系）abb0anbn(nZ,且n1)（平方法则）b0(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

极值定理：若x,yRab（当仅当a=b时取等号）.2,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;

（7）若a、bR,则||

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

|x|ax2a2axa a||b|||ab||a||b| ab（当仅当a=b时取等号）22ab

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则 222222222（a1b1a2b2a3b3anbn)(a1a2a3an)(b1b2b3bn)aaaa123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).2

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 2

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0 定义域g(x)0f(x)g(x)

f(x)03f(x)0○f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

第三篇：高二上不等式基础知识定时练习题及答案解析(打印稿)

不等式基础知识定时练习题

（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．不等式

1x1

2的解集是（D）

A．(,2)B．(2,)C．(0,2)D．(,2)(2,)

解：由1

x1

2得：1

x1

222x2x20，即x(2x)0，故选D。

2.“a＞b＞0”是“ab＜ab

2”的（A）

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

【考点分析】本题考查平方不等式和充要条件，基础题。

解析：由ab0能推出abab

222；但反之不然，因为平方不等式的条件是a,bR。

3．若loga(a21)loga2a0，则a的取值范围是（B）

（A）（0，1）（B）（0，4．若logxlogy12）（C）（，1）（D）（0，1）∪（1，+∞）2122≥4，则xy的最小值为（D）

2（A）8（B）4（C）2（D）

45．若0a1，则下列不等式中正确的是（A）

（A）(1a)3(1a)2（B）log(1a)(1a)0（C）(1a)3(1a)2（D）(1a)1a1用排除法、特值法。取a=2，排除（C）、（D）；又取a=1/2，排除（B）。

6．已知不等式ax25xb0的解集是{x|3

213x2}，则不等式bx25xa0的解是（C）12x

13（A）x3或x2（B）x或x（C）（D）3x

27．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（C）．．．．

（A）|ab||ac||bc|（B）a2

（C）|ab|

1ab21a2a1a（D）a3a1a2a

【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。

【正确解答】运用排除法，C选项ab

1ab

2，当a-b<0时不成立。

【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件

如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)如果a,b是正数，那么

ab

21x

ab(当且仅当ab时取“”号).8．若a0，b0，则不等式－b

A．－解：

1b

a等价于（D）

1a

x0或0x

1a

B.－x

1b

C.x-

1a

或x

1b

D.x－

1b

或x

1a

11＋bx

＋b001xx

－ba

1x－a01－ax0xx

1

x0或x－x（bx＋1）011b

x－或x

bax（1－ax）0x1或x0

a

故选D

x1

2e,x2,9．设f(x)= 

log(x1),x2,3

则不等式f(x)>2的解集为(C)

(A)（1，2）（3，+∞）(B)（，+∞）(C)（1，2）（，+∞）(D)（1，2）解：令2e

x1

22（x2），解得1x2。令log3(x1)2（x2）解得x（，+∞）选C

10．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1

A.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定

解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x1，a>0，∴ x1+x2=0，x1与x2的中点为0，x1

411．设x,y为正数, 则(x+y)(+)的最小值为(B)

xy

A.6B.9C.12D.15 解析：x，y为正数，(x+y)（1x



4y)=14

yx



4xy

≥9，选B.12．若关于x的不等式(1k)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（A）（A）2∈M，0∈M；（B）2M，0M；（C）2∈M，0M；（D）2M，0∈M． 解：选（A）

方法1：代入判断法，将x2,x0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方

法

：

求

出

不

等

式的解

集

：

(1k)x

≤k

＋

4xk24(k21)

k1

552

2x[(k1)2]min2； 22

k1k1

13．如果a0,b0，那么，下列不等式中正确的是（A）（A）

1a1b

（B



1a0,1b

（C）a2b2（D）|a||b| 0，∴

1a1b

解：如果a0,b0，那么，选A.14．“a＞0，b＞0”是“ab>0”的(A)

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不允分也不必要条件 解：由“a＞0，b＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，选A

15．（上海春）若a、b、cR,（A）

1a1b

ab，则下列不等式成立的是(C)

ac

.（B）a2b2.（C）



1

bc

1

.（D）a|c|b|c|.解：应用间接排除法．取a=1,b=0，排除A.取a=0,b=-1，排除B;取c=0，排除D．故应该选C．显然，对不等式a>b的两边同时乘以，立得

成立．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上）

12xx

11.不等式0的解集是

.解：应用结论：，所以

．不等式，从而应填

等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是

．

2．不等式lg(x22x2)1的解集是（－4，2）3．设z2xy式中变量

x4y

3

x，y满足3x5y2

5x1，则z的最大值为12．

4.若

a1，0b1，且

a

l

b

(o2x1)g

1，则实数

x的范围是

2x1．

5.（上海春）已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4.解：设直线 l 为

式，得，则有关系

．对

应用２元均值不等．从而应填4．，即ab≥8 ．于是，△OAB 面积为

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

1．解不等式：log2(x

1x

6)

3【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法

x18

3log2，0〈x68，

xx



1x1x

2【正确解答】log2

(x

1x

6)

.60

解得x(331

xx7x12

2.求函数ylg的定义域.答案：[2,3)(4,6]

3、已知x0,y0,xy1，求证：x4y4≥．

1∵x0,y0,xy1，∴xy≥2xy，两边同加上xy得，2(xy)≥(xy)1．………5分

又xy≥2xy，两边同加上xy得，2(xy)≥(xy)≥∴xy≥

222222

4444222

4，…9分

．………10分

34.设y

xx1xx1,用判别式法证明:y3.1a

5．已知不等式(x+y)(+ ≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值。

xy

解：不等式(x+y)（1x



ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1a

yx



axy

≥a1≥9，∴

≥2

4(舍去)，所以正实数a的最小值为4。

6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，请求出每次都购买x吨的具体数值。

解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为

1600x

400x

400x

次，运费为4万元/次，一

400x

44x≥160，当

44x万元，4x即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

四、附加题（20分）

三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是多少？

解：由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1x12ax25|x2

5x|，而x2510，等

xx号当且仅当x5[1,12]时成立；且|x25x|0，等号当且仅当x5[1,12]时成立；所以，a[x

|x25x|]min10，等号当且仅当x5[1,12]时成立；故a(,10]； x

第四篇：不等式知识点整理

不等式知识点整理

一、不等关系：

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0；

abab0；

abab0.2．不等式的性质：

（1）abba（自反性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；

ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab,cdacbd（同向加法）

（6）ab0,cd0acbd；（同向乘法）

（7）ab0,nN,n1anbn,a。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aR,a20,a0，当且仅当a0取“=”.（2）a,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

（3）a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）a

b注：——集几何平均数.2a2b2ab2()（当且仅当ab时取“=”（4））22

a2b2c2abc2()（当且仅当abc时取“=”（5））3

3ab（6）(a2b2)(c2d2)(acbd)2（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：设x,y0,由xy

（1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时x

y有最小值

S（2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时xy有最大值()2.2即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： ababab（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法

1．比较法

（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）

2．综合法——由因导果（由前面结论）

3．分析法——执果索因

注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式

bb1．一元一次不等式 axb(a0)（1）a0,xx ；（2）a0,xx.aa

2．一元二次不等式 ax2bxc0,(a0)

（1）步骤：一看开口方向（a的符号），二看判别式 b24ac的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：ax2bxc0(a0)解集为R（即ax2bxc0对xR恒成立），则a0,0.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0）.3．绝对值不等式

a0a（1）零点分段讨论a aa0

（2）转化法：f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法 P(x)0或P(x)Q(x)0（移项，一边化为0，不要轻易去分步骤：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化为积的形式（x系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；

④写出解集.5．注意含参数的不等式的解的讨论.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一个有用的结论 关于函数yxp x

ppx

0时x

在(0、xx

[

上是减函数；在（、[)上是增函数.1．p0时，当x

0时x

（0，）2．p0时，在，上为增函数.0、

第五篇：不等式总结

不等式总结

一、不等式的性质

1．（不等式建立的基础）两个实数a与b之间的大小关系 (1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；

(3)a－b＜0a＜b．

(4)

若 a、bR，则(5)(6)a＞1a＞b；ba=1a=b；ba＜1a＜b．b

2．不等式的性质

(1)a＞bb＜a(对称性)

a＞b(2) a＞c(传递性)b＞c

(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞bac＞bcc＞0

(4)(乘法单调性)

a＞bac＜bcc＜0

(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)

a＞b(6)a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d---不等式相加 a＞b(7)a－c＞b－d(异向不等式可减)c＜d---不等式相减

(8)a＞b＞0ac＞bd(同向正数不等式可乘)c＞d＞0---不等式相乘 a＞b＞0ab(9)＞(异向正数不等式可除)cd0＜c＜d--不等式相除

(10)a＞b＞0nna＞b(正数不等式可乘方)nN乘方法则

a＞b＞0(11) ＞b(正数不等式可开方)nN开方

(＞b＞0111＜(正数不等式两边取倒数2))aab----倒数法则

3．绝对值不等式的性质

a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；

|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．

a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

4.基本不等式

（1）如果a，b是正数，那么ab≤ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2注意：基本不等式的证明是利用重要的不等式推导的，即

a,bR,则2ab,即有ab2

（2）基本不等式又称为均值定理、均值不等式等。其中22ab称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的2几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）均值不等式中“当且仅当”的含义：

ab＝ab 2

ab②仅当a=b时取等号，即＝aba=b 2①当a=b，取等号，即a=b

（4）几种变形公式

ab2a2b2aba2b2

ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222

5.柯西不等式

（1）代数形式：

设a1，a2，b1，b2均为实数，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等号成立条件：a1 b2= a2 b1）

（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：设a1，a2，b1，b2均为实数，则

√(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）

（4）平面三角不等式：设a1，a2，b1，b2，c2均为实数，则

√[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根）

(5)设α，β，γ为平面向量，则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。当α-β，β-γ为非零向量时。（注：等号成立条件：存在正常数λ，使得α-β＝λ（β-γ）向量α-β与β-γ同向，即夹角为零。

（6）一般形式：设a1，a2，„，an，b1，b2 „，bn均为实数，则

2222a12a2an12b2bna1b1a2b2anbn 注：等号成立aa1a2n b1b2bn

6.排序不等式：

（1）定义：设有两组数 a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则称a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 为这两个实数组的顺序积之和（简称顺序和），称a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1为这两个实数组的反序积之和（简称反序和），称a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn为这两个实数组的乱序积之和（简称乱序和）

（2）定理：（排序不等式，又称排序原理）设有两组数 a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么

a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.当且仅当 a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 时等号成立，即反序和等于顺序和。

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和。

7.贝努利不等式：

定理：设x＞-1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1+x)n≥1+nx.二、不等式的证明

1．不等式证明的依据

(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0

a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b

(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非负数）

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)

ab≥ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)

2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③

bc⑤a

abc

⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

⑦ |a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

⑧ |x|＜ax＜a－a＜x＜a；

⑨ |x|＞ax＞ax＞a或x＜－a．

2．不等式的证明方法

(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．

(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法． 2222

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．

（4）三角换元法：多用于条件不等式的证明，如果所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。

注意：根据具体问题，常用的三角换元技巧有：

① x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα；

② a≤ x2+y2≤b，可设x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b

③ 对于

④ 对于

⑤ 对于x2，由于|x|≤1,可设x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可设x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)1,可设x=cosαα

⑥ 对于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放缩法：要证明不等式A＜B，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B，这种证法叫放缩法。常用技巧有：舍掉（或加进）一些项，在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩。

放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性、等量加不等量为不等量、同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法、综合分析法、放缩法、函数法、几何法、其它方法（换元法、判别式法、导数法、构造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比较实数大小或证明不等式

① 利用均值定理求最值，必须满足三个条件：：“一正”各项均为正数、“二定”和或积为常数、“三相等”

等号必须成立。和定积最大，积定和最小。

② 构造定值条件的常用技巧：加项变换、拆项变换、统一换元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：

若x，y是正数，有x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy=取最大值S；

42若x，y是正数，有xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y=取最小值；2P。

三、解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点：

(1)正确应用不等式的基本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

(3)注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

f(x)＞0f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0与  或同解．

 g(x)＞0 g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0与 或同解．g(x)＜0g(x)＞0

(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0与或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0与 或 同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．

f(x)＞[g(x)]2 f(x)≥0(7)f(x)＞g(x)与 f(x)≥0或同解．g(x)＜0g(x)≥0

f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)与同解．

f(x)≥0

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

f(x)＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与同解．f(x)＞0

f(x)＜g(x)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与 f(x)＞0同解．

g(x)＞0