人生的不等式

第一篇：人生的不等式

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人生的不等式

作者：水漠

来源：《新高考·高一数学》2012年第05期

学完奇妙而略显深奥的数列后，我们走进了不等式的世界，发现这个世界看似简单——比较大小的不等关系，却不时见到奇峰迭起——一元二次不等式、二元一次不等式组、线性规划，到均值不等式，比之数列，它更显得平淡中暗藏繁杂奥妙。

仔细想想，人生亦如此，不等式真是实实在在发生在人生活的每一个细节里，验算人生的承转启合，证明生活的奇数和偶数间的联系，“他的话影响了你的人生，当你想真诚表示谢意时，却发现他已悄然远去”；“你最忘不掉的事恰恰是你最想忘掉的事”；“你最想得到的东西，就是你永远得不到的东西”；“你在物理上花费的精力是最多的，但成绩总是徘徊在及格线”；“你和她是多年好友，可她总是在某些小事上让你心存芥蒂，以致渐行渐远”……生活中，希望总是小于失望，付出总是大于回报，这些人生中的一个个“不等式”，总是让你欢喜让你忧，人生充盈着许多或大或小的“数量关系”，客观地认知它们，认真解析由于学习、生活所产生的“不等式”，少走弯路，的确需要花费很多精力，同时也是非常有必要的。

生活中，人们常常绞尽脑汁去计算得与失，感叹着“不等式”所带来的痛苦和惊喜，收获和失落，总是期盼着在平衡中划上一个等号，寻找着平衡，而不愿意接受现实里的“大于”或“小于”，因此给自身平添了很多烦恼和曲折，人生的不等式说到底就是每个人心理的失衡，人生在世，很难做到事事平衡，但这种不平衡是由于自己期望值过高而对他人和客观现实的苛求造成的，不等式所产生的结果大都事与愿违，可无论人如何努力去避免不等式，却很难做到完全回避，这就是现实的存在，是不以人的意志而更改的，平衡是希望，不平衡是现实，世间没有绝对的平衡，月有阴晴圆缺，人有悲欢离合，这就是人生最大的不等式!

解析人生的不等式，要怀有一颗平常心并拥有接受现实的勇气，勤奋与机遇的不等式是命运的安排；付出与得到的不等式是自己的把握；喜悦与忧伤的不等式是性格的释然；成功与失败的不等式是客观规律的存在，当失望大于希望的时候人要淡然处置，当收获小于付出的时候人要含笑面对，当喜悦出乎意料的时候不能得意忘形，当结果难以接受的时候不要丧失信心，名气不等于财气，活泼不等于轻浮，流泪不等于软弱，形象不等于气质，高贵不等于孤傲……正确地看待人生中的种种不等式所需要的，仅仅是一种平和的心态，“宠辱不惊，看庭前花开花落，去留无意，望天上云卷云舒，”这是解析人生不等式的最佳公式。

第二篇：人生四个不等式

人生四个不等式

记得读小学时，老师曾问过这样一个问题：“是先有打雷还是先有闪电？”

“先有闪电。”学生们说，“因为每当打雷闪电时，总是先看到耀眼的闪电，后听到隆隆的雷声。”

“其实，打雷和闪电，是同时的。为什么呢？因为光传播的速度快，而声音传播的速度慢，所以我们也就先看到了闪电，然后才听到了雷声。”老师说，“同学们，这种现象说明了什么呢？”

“说明看到的比听到的快。”学生们说。

“看到的比听到的快，这只是一种现象，透过这种现象，我们从中可以受到一点什么启发呢？”老师问，“这种现象是不是在告诉我们，听到不等于看到，也就是说，我们亲耳所听到的东西，与我们亲眼所看到的东西，不是等同的，是有差别的，如果光顾去听，而不亲眼去看，亲身去实践，那么我们就会作出错误的判断，说出失实的言词。”

无论什么时候，亲耳听到的东西，不等于你亲眼看到。很多年过去后，我还不忘时时用这个道理来告诫自己

看到≠走到

我站在山脚下，看着山顶，问当地的一位村民：“从山脚到山顶，需要多长时间？”

“少说也得两个小时吧。”村民说。

“两个小时？怎么可能呢？山不高，距离山顶也不远。”我说。“那是你看到的，而不是你走到的。”村民说。

果不其然，从山底登上山顶，我足足花了两个多小时。当我在山顶的时候，我才真正明白那位村民话中的含义：看“到”与走“到”，永远不是一回事，看“到”了，不等于走“到”了。

对于人生的目标，也是如此，我们用眼看“到”的，只是我们树立的目标，只有用脚走“到”的，才能成为我们实现的目标。眼里看到的目标是“直”的，而脚下走到的目标往往是“弯”的，因为上帝不会让谁幸运到让他一直走直路，其间的坎坷、挫折和障碍，不是我们能用眼所能看到的。

用眼看“到”，永远不等于走“到”，看“到”，只是你视线到达的地方，只有走“到”，才能让你真正实现目标、抵达目标。

跟所有的目标一样，人生的目标不是看“到”的，不是用眼测量出来的，而是走“到”的，是用脚一步步丈量出来的。

知道≠做到

一次，美国通用电器公司首席执行官杰克•韦尔奇应邀来我国讲课，一些企业管理人员听完课后，感到有些失望，便问:“你讲的那些内容，我们也都知道，可为什么我们之间的差距有那么大呢?”杰克•韦尔奇听后回答说:“那是因为你们是知道，而我是做到了，这就是我们的差别。”

是的，很多道理很简单，很多道理我们都知道，但这些简单易知的道理我们却没有去做到。比如，我们都知道“聚沙成塔”的道理，但我们却常常忽视了那些成功的细沙，不愿做细小的事情，自然也就无法构筑起事业成功的高塔。再比如我们都清楚“水滴石穿”的道理，但我们却缺少水滴那样心系一处的定力，三心二意，浅尝辄止，结果总是在半途而废中与成功失之交臂。

知道得再多，想得再好，如果不去做，不去行动，那永远都不会有超越，永远都只能在原地踏步。

正是行动，使人与人之间拉开了距离;正是行动，使人与人之间分出了高低;正是行动，使人与人之间产生了差别。

心动≠行动

老师给学生们出了一道题:“岸上有五只青蛙，它们眼前的池塘很美–绿绿的荷叶，粉红的荷花，飘香的莲子。这时，有四只青蛙准备跳进池塘美美地畅游一番。请问，岸上还有几只青蛙?”

“一只。”学生们异口同声地回答。

“真的是一只吗?”老师问。“一只!”学生们再次肯定地回答。“可大家的答案是错的，”老师说，“岸上仍有五只青蛙。”还有五只青蛙?学生们想不通了。

老师说，那四只青蛙只是准备跳进池塘，只是它们的一个美好的想法，仅是心动而已，并没有付诸行动。没有行动，再心动、再美的想法也等于零。

第三篇：不等式知识点整理

不等式知识点整理

一、不等关系：

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0；

abab0；

abab0.2．不等式的性质：

（1）abba（自反性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；

ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab,cdacbd（同向加法）

（6）ab0,cd0acbd；（同向乘法）

（7）ab0,nN,n1anbn,a。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aR,a20,a0，当且仅当a0取“=”.（2）a,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

（3）a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）a

b注：——集几何平均数.2a2b2ab2()（当且仅当ab时取“=”（4））22

a2b2c2abc2()（当且仅当abc时取“=”（5））3

3ab（6）(a2b2)(c2d2)(acbd)2（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：设x,y0,由xy

（1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时x

y有最小值

S（2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时xy有最大值()2.2即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： ababab（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法

1．比较法

（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）

2．综合法——由因导果（由前面结论）

3．分析法——执果索因

注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式

bb1．一元一次不等式 axb(a0)（1）a0,xx ；（2）a0,xx.aa

2．一元二次不等式 ax2bxc0,(a0)

（1）步骤：一看开口方向（a的符号），二看判别式 b24ac的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：ax2bxc0(a0)解集为R（即ax2bxc0对xR恒成立），则a0,0.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0）.3．绝对值不等式

a0a（1）零点分段讨论a aa0

（2）转化法：f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法 P(x)0或P(x)Q(x)0（移项，一边化为0，不要轻易去分步骤：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化为积的形式（x系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；

④写出解集.5．注意含参数的不等式的解的讨论.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一个有用的结论 关于函数yxp x

ppx

0时x

在(0、xx

[

上是减函数；在（、[)上是增函数.1．p0时，当x

0时x

（0，）2．p0时，在，上为增函数.0、

第四篇：不等式总结

不等式总结

一、不等式的性质

1．（不等式建立的基础）两个实数a与b之间的大小关系 (1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；

(3)a－b＜0a＜b．

(4)

若 a、bR，则(5)(6)a＞1a＞b；ba=1a=b；ba＜1a＜b．b

2．不等式的性质

(1)a＞bb＜a(对称性)

a＞b(2) a＞c(传递性)b＞c

(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞bac＞bcc＞0

(4)(乘法单调性)

a＞bac＜bcc＜0

(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)

a＞b(6)a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d---不等式相加 a＞b(7)a－c＞b－d(异向不等式可减)c＜d---不等式相减

(8)a＞b＞0ac＞bd(同向正数不等式可乘)c＞d＞0---不等式相乘 a＞b＞0ab(9)＞(异向正数不等式可除)cd0＜c＜d--不等式相除

(10)a＞b＞0nna＞b(正数不等式可乘方)nN乘方法则

a＞b＞0(11) ＞b(正数不等式可开方)nN开方

(＞b＞0111＜(正数不等式两边取倒数2))aab----倒数法则

3．绝对值不等式的性质

a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；

|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．

a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

4.基本不等式

（1）如果a，b是正数，那么ab≤ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2注意：基本不等式的证明是利用重要的不等式推导的，即

a,bR,则2ab,即有ab2

（2）基本不等式又称为均值定理、均值不等式等。其中22ab称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的2几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）均值不等式中“当且仅当”的含义：

ab＝ab 2

ab②仅当a=b时取等号，即＝aba=b 2①当a=b，取等号，即a=b

（4）几种变形公式

ab2a2b2aba2b2

ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222

5.柯西不等式

（1）代数形式：

设a1，a2，b1，b2均为实数，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等号成立条件：a1 b2= a2 b1）

（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：设a1，a2，b1，b2均为实数，则

√(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）

（4）平面三角不等式：设a1，a2，b1，b2，c2均为实数，则

√[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根）

(5)设α，β，γ为平面向量，则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。当α-β，β-γ为非零向量时。（注：等号成立条件：存在正常数λ，使得α-β＝λ（β-γ）向量α-β与β-γ同向，即夹角为零。

（6）一般形式：设a1，a2，„，an，b1，b2 „，bn均为实数，则

2222a12a2an12b2bna1b1a2b2anbn 注：等号成立aa1a2n b1b2bn

6.排序不等式：

（1）定义：设有两组数 a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则称a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 为这两个实数组的顺序积之和（简称顺序和），称a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1为这两个实数组的反序积之和（简称反序和），称a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn为这两个实数组的乱序积之和（简称乱序和）

（2）定理：（排序不等式，又称排序原理）设有两组数 a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么

a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.当且仅当 a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 时等号成立，即反序和等于顺序和。

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和。

7.贝努利不等式：

定理：设x＞-1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1+x)n≥1+nx.二、不等式的证明

1．不等式证明的依据

(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0

a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b

(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非负数）

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)

ab≥ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)

2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③

bc⑤a

abc

⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

⑦ |a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

⑧ |x|＜ax＜a－a＜x＜a；

⑨ |x|＞ax＞ax＞a或x＜－a．

2．不等式的证明方法

(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．

(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法． 2222

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．

（4）三角换元法：多用于条件不等式的证明，如果所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。

注意：根据具体问题，常用的三角换元技巧有：

① x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα；

② a≤ x2+y2≤b，可设x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b

③ 对于

④ 对于

⑤ 对于x2，由于|x|≤1,可设x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可设x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)1,可设x=cosαα

⑥ 对于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放缩法：要证明不等式A＜B，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B，这种证法叫放缩法。常用技巧有：舍掉（或加进）一些项，在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩。

放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性、等量加不等量为不等量、同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法、综合分析法、放缩法、函数法、几何法、其它方法（换元法、判别式法、导数法、构造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比较实数大小或证明不等式

① 利用均值定理求最值，必须满足三个条件：：“一正”各项均为正数、“二定”和或积为常数、“三相等”

等号必须成立。和定积最大，积定和最小。

② 构造定值条件的常用技巧：加项变换、拆项变换、统一换元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：

若x，y是正数，有x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy=取最大值S；

42若x，y是正数，有xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y=取最小值；2P。

三、解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点：

(1)正确应用不等式的基本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

(3)注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

f(x)＞0f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0与  或同解．

 g(x)＞0 g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0与 或同解．g(x)＜0g(x)＞0

(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0与或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0与 或 同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．

f(x)＞[g(x)]2 f(x)≥0(7)f(x)＞g(x)与 f(x)≥0或同解．g(x)＜0g(x)≥0

f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)与同解．

f(x)≥0

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

f(x)＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与同解．f(x)＞0

f(x)＜g(x)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与 f(x)＞0同解．

g(x)＞0

第五篇：不等式基础知识汇总

不等式基础知识

一、不等式的概念

1．不等式的定义

不等式：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫不等式．

不等式组：含有相同未知数的几个不等式组成的式子，叫不等式组．

2．不等式的分类

（1）按所用不等号分：严格不等式（简单命题）、不严格不等式（复合命题）．

（2）按变量取值范围分：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式．

（3）按变量的数量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．

（4）按解析式的类型分：

3．不等式的相互关系

（1）由不等号方向看：同向不等式、异向不等式．

（2）由变量范围看：同解不等式、等价不等式．

（3）由形式关系看：同构不等式、不同构不等式．

二、实数运算的性质（符号法则）

实数运算的符号法则是构建不等式理论的基石，其顺序为：

实数运算的符号法则→不等式的性质→不等式性质的应用．

实数运算的符号法则：正数大于负数，零小于正数，零大于负数．

1．abab0,abab0,abab0．

2．a0a0．

3．a0110,a00． aa

4．a0,b0ab0;a0,b0ab0．

5．a0,b0ab0;a0,b0ab0;a0,b0ab0．

三、不等式的性质

1．三歧性：对于任意两个实数a与b，在ab,ab,ab三种情况中仅有一种成立．

abba．

3．传递性：ab,bca(c,;,;,等号是否传到底？?2．对称性：

abcabc（移项法则、作差原理）． abacb；c

5．加法法则：ab,cdacbd（同向特征，可推广）．

6．可乘性：ab,c0acbc（若c0，则abacb）； c

． ab,c0acbc（若c0，则abacbc）4．可加性：

7．倒数法则：（1）ab01111a(若a、bR，则ab1)； ababb

1111a(若a、bR，则ab1)； ababb

11． ab（2）ba0（3）a0b

8．乘法法则：ab0,cd． 0acbd（可推广）

nn9．乘方法则：ab0ab(n2,nN)．（乘法法则的特例）

mm（若a、bR，mQ，则abab）．

10．开方法则：ab0n2,nN)．

2211．均值定理：

（1）ab2ab（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）；

（2）a、bR，ab（当且仅当a、b相等时取等号）

（几何意义：半径不小于半弦．）；

22（3）aba

b,ab(a

b)2（当且仅当a、b相等时取等号）； 2

2（4）aba、bR)2

ab

（当且仅当a、b相等时取等号）；

（调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）；

2（5）qpxpx0,qx0)（一正二定三相等）； x

(aqbp)2

（6）(apx)(bqx)（一正二定三相等）． 4pq

12．真分数性质：0ab,m00aam1（浓度不等式）． bbm

注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；

在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．

附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化

加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．

四、不等式的证明

证明不等式就是利用不等式的性质等知识，证明所给不等式在给定条件下恒成立．不等式形式的多样性导致其证明方法的灵活性，具体问题具体分析是证明不等式的准则．具体证明方法有如下几种：

1．作差比较法

原理：符号法则．

步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断．

2．作商比较法

原理：符号法则．

步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断．

3．分析法

原理：BB1B2BnA．

步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”．

特点：利于思考，方向明确，思路自然．（刑警办案、剥笋）

格式：欲证„„（#），（因为„„，所以）只需证„„，„„

（因为„„，所以）只需证„„（*），而（*）显然成立，所以（#）

4．综合法

原理：ABBn1B2B．

步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

特点：条理清楚，经验丰富，传统自然．（法官定罪、包装）

注：（1）证明时，如果首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等

式，只要推出过程的每一步都是可逆的，那么就可以断定所给的不等式成立，这也是分析法，其逻辑原理为：BB1B2BnA．

（2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证„„，只需

证„„”、“即„„”、“假定„„成立，则„„”等．并且，必须有对最后找到 的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误．

（3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用

综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．分析法和综合法之间是互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终点是综分析法的起点．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开．

（4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导

数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等．

分析法只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如

果把“只需证„„”去掉不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，掩盖了分析、探索的过程。如果直接写，而不用分析法，人们会感到看得明白，自己却做不出。因此，在做题时，通常先用分析法探求解题途径，在解答时，再用综合法书写。另外，凡是能用分析法证明的问题，一定可以用综合法证明。

反证法证题的特征是通过导出矛盾，归结为谬误，而使命题得证。因此，反证法也

叫归谬法。如果结论的反面只有一种情况，即只需作出一种反设，并设法导致矛盾，立即使命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则对每种情况都必须作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证；这就是反证法的两种类型，前者称为简单归谬法（简称归谬法），后者称为穷举归谬法（简称穷举法）。

“否定结论”在推理论证中要作为已知使用。“假设”不能写成“设”

用反证法证明“若p则q”的过程如下图所示：

适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②结论是以

“至多”、“至少”等形式出现的命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面比原

结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。

五、解不等式

利用不等式性质及相关知识，求变量的取值集合或判断其无解的过程，叫解不等式．解不等式是一个由繁到简的等价转化变形过程，大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式．

1．一次型

2．二次型

3．分式型

4．绝对值型

5．无理不等式

6．高次不等式、高次分式不等式

（1）数轴标根法：标准化→分解→标根→定号→取解集．

（2）降次成组法．

7．不等式组、不等式串

求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最

后归一）；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解．

8．混和条件组

等式（方程）和不等式共同组成的关系组称为混和条件组，求解时以等式为主，不等式起检验作用．

9．超越不等式（指数不等式、对数不等式、三角不等式等）

指数不等式、对数不等式、三角不等式等都可利用有关函数的性质（定义域、单调性等）、图象和不等式性质把原不等式化归为有之等价的代数不等式（组）．

注：有些不等式可用构造函数法利用对应函数的图象解之，步骤为：构造函数→作图象

→通过对应方程得交点的横坐标→根据图象特点取解集．

六、不等式的其他应用

利用不等式的性质，除了可以证明和求解不等式外，还可以解决求代数式的取值范

围、求最值、求实际问题的解等问题．

1．求范围

先须求出所求代数式与已知代数式之间的线性关系（常需用待定系数法），然后利用同向不等式的加法法则和乘法法则等性质求之．（亦可用线性规划法）

2．求最值

（1）二次整式可用均值定理或二次函数的单调性求其最值．

（2）分子为二次式的假分式，可用待定系数法、配凑法或换元法化为部分分式，再

用均值定理或倒数和函数的单调性求其最值；真分式用倒数法化为假分式． 注：利用均值定理求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若

为两个负变数相加，则可用提取法化归；若无和或积为定值的特征，则可用调整系数或次数的方法化归；若不存在等号成立的条件，则只能用二次函数或倒数和函数的单调性求其最值．

3．求实际问题的解（不等式建模）

七、不等式的相关知识

函数的定义域、值域、单调性、最值，一元二次方程的实根分布，线性规划等知识

都与不等式密切相关．

绝对值基础知识

1．绝对值的定义（几何意义）：数轴上某数对应的点到原点的距离，叫该数的绝对值．

2．绝对值的基本性质：(1)；a0（非负性、有界性）a(a0)(2)aa(a0)

0(a0)

(3)

(4)

(5)a；aa,aa,aaa；a2a2a； 2

(6)平方法则：若a0，则

3．绝对值的性质定理：

（1）

（2）

（3）xax2a2，xax2a2，xax2a2． aa；abab；aa；bb

（4）ana；

ababab； n（5）ababab，（可推广），ababab0，ababab0； abab0，2（6）a． b22ab（a2b22abab）

4．绝对值的处理方法：

（1）公式法：xaaxaxaxa或xa，aR；

（2）分段讨论法：（即找界点，此法适用于解含多个绝对值的问题）；

（3）平方法：（即运用平方法则，注意平方的前提为不等号两边均为非负数）；

（4）几何法：（即运用绝对值的几何意义）．

5．绝对值不等式的类型：

（1）

f(x)g(x)；（2）f(x)g(x)；（3）f(x)g(x)．