不等式总结

第一篇：不等式总结

不等式总结

一、不等式的性质

1．（不等式建立的基础）两个实数a与b之间的大小关系 (1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；

(3)a－b＜0a＜b．

(4)

若 a、bR，则(5)(6)a＞1a＞b；ba=1a=b；ba＜1a＜b．b

2．不等式的性质

(1)a＞bb＜a(对称性)

a＞b(2) a＞c(传递性)b＞c

(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞bac＞bcc＞0

(4)(乘法单调性)

a＞bac＜bcc＜0

(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)

a＞b(6)a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d---不等式相加 a＞b(7)a－c＞b－d(异向不等式可减)c＜d---不等式相减

(8)a＞b＞0ac＞bd(同向正数不等式可乘)c＞d＞0---不等式相乘 a＞b＞0ab(9)＞(异向正数不等式可除)cd0＜c＜d--不等式相除

(10)a＞b＞0nna＞b(正数不等式可乘方)nN乘方法则

a＞b＞0(11) ＞b(正数不等式可开方)nN开方

(＞b＞0111＜(正数不等式两边取倒数2))aab----倒数法则

3．绝对值不等式的性质

a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；

|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．

a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

4.基本不等式

（1）如果a，b是正数，那么ab≤ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2注意：基本不等式的证明是利用重要的不等式推导的，即

a,bR,则2ab,即有ab2

（2）基本不等式又称为均值定理、均值不等式等。其中22ab称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的2几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）均值不等式中“当且仅当”的含义：

ab＝ab 2

ab②仅当a=b时取等号，即＝aba=b 2①当a=b，取等号，即a=b

（4）几种变形公式

ab2a2b2aba2b2

ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222

5.柯西不等式

（1）代数形式：

设a1，a2，b1，b2均为实数，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等号成立条件：a1 b2= a2 b1）

（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：设a1，a2，b1，b2均为实数，则

√(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）

（4）平面三角不等式：设a1，a2，b1，b2，c2均为实数，则

√[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根）

(5)设α，β，γ为平面向量，则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。当α-β，β-γ为非零向量时。（注：等号成立条件：存在正常数λ，使得α-β＝λ（β-γ）向量α-β与β-γ同向，即夹角为零。

（6）一般形式：设a1，a2，„，an，b1，b2 „，bn均为实数，则

2222a12a2an12b2bna1b1a2b2anbn 注：等号成立aa1a2n b1b2bn

6.排序不等式：

（1）定义：设有两组数 a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则称a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 为这两个实数组的顺序积之和（简称顺序和），称a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1为这两个实数组的反序积之和（简称反序和），称a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn为这两个实数组的乱序积之和（简称乱序和）

（2）定理：（排序不等式，又称排序原理）设有两组数 a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么

a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.当且仅当 a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 时等号成立，即反序和等于顺序和。

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和。

7.贝努利不等式：

定理：设x＞-1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1+x)n≥1+nx.二、不等式的证明

1．不等式证明的依据

(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0

a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b

(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非负数）

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)

ab≥ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)

2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③

bc⑤a

abc

⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

⑦ |a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．

⑧ |x|＜ax＜a－a＜x＜a；

⑨ |x|＞ax＞ax＞a或x＜－a．

2．不等式的证明方法

(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．

(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法． 2222

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．

（4）三角换元法：多用于条件不等式的证明，如果所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。

注意：根据具体问题，常用的三角换元技巧有：

① x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα；

② a≤ x2+y2≤b，可设x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b

③ 对于

④ 对于

⑤ 对于x2，由于|x|≤1,可设x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可设x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)1,可设x=cosαα

⑥ 对于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放缩法：要证明不等式A＜B，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B，这种证法叫放缩法。常用技巧有：舍掉（或加进）一些项，在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩。

放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性、等量加不等量为不等量、同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法、综合分析法、放缩法、函数法、几何法、其它方法（换元法、判别式法、导数法、构造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比较实数大小或证明不等式

① 利用均值定理求最值，必须满足三个条件：：“一正”各项均为正数、“二定”和或积为常数、“三相等”

等号必须成立。和定积最大，积定和最小。

② 构造定值条件的常用技巧：加项变换、拆项变换、统一换元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：

若x，y是正数，有x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy=取最大值S；

42若x，y是正数，有xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y=取最小值；2P。

三、解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点：

(1)正确应用不等式的基本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

(3)注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

f(x)＞0f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0与  或同解．

 g(x)＞0 g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0与 或同解．g(x)＜0g(x)＞0

(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0与或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0与 或 同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．

f(x)＞[g(x)]2 f(x)≥0(7)f(x)＞g(x)与 f(x)≥0或同解．g(x)＜0g(x)≥0

f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)与同解．

f(x)≥0

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

f(x)＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与同解．f(x)＞0

f(x)＜g(x)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与 f(x)＞0同解．

g(x)＞0

第二篇：不等式知识点总结

感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，下面是小编帮大家整理的不等式知识点总结，希望大家喜欢。

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

第三篇：不等式证明常用技巧总结

不等式的证明

一、常用方法：

作差、作商法；分析、综合法；换元法；构造函数法；反证法；放缩法；归纳法；

（分析综合法）已知a0,b0,2cab,求证：cc2abacc2ab.二、不等式证明中常用技巧：

1(x1)的值域。1.加减常数

求函数yxx112.巧变常数

已知0x，求函数y＝x（1－2x）的最大值。

25x23x33.分离常数

已知x，求f(x)的最值。

22x44.巧用常数

若x,yR且满足

4161，求x＋y的最小值。xy11)的最小值。abc5.统一形式

已知a,b,cR，求(abc)(证：a2b2c2abbcac..6.轮换对称

若a,b,c是互不相等的实数，求7.重要不等式 ab0,求证：a21616

b(ab)8.逆向运用公式型已知a,bR,且ab1,求证：a11b2.22ab1111（提示：将a，b转换成1a，）1b然后运用公式ab22222如何巧用常数：

111.若a0,b0,且a2b1,则322.ab1112.已知a,b,cR,且abc1,求证：9.abc113.已知a,bR,且ab1,求证：119.ab1已知x,y,z均为正数，且xyz1，则x2y2z2.4.3 5.已知x,y,z均为正数，求证：abc3.bccaab2abcabcbcacab111bccaabbccaab11111911(abc)(bc)(ca)(ab）.bccaab2bccaab2不等式证明中的放缩法

11111.1.已知nN*，且n2，求证：2nn12n2.已知nN*，求证：1222332nn23.kk21kk222kkkk(k1)kkk1k(k1)(kk1)2(kk1)112(（）k2）.k(k1)k1k

3.设n∈N，求证：

(2)引进辅助式，设

比较两式的对应因式可知

第四篇：高考常用不等式全面总结

高考常用不等式

（1）基本不等式：a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）均值不等式：a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

bbmana1

aambnb（3）分式不等式：ab 0，m0，n0，则（4）证明不等式常用方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法（5）放缩法常用不等式：

tanxxexx33,sinxxtanx,x2x1xln(1x)x,1

1n1x(x0),1x1,(1x)n1（6）调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

ab222ab2ababa，bR 当且仅当ab时等号成立。2ab

（7）a3b3c33abc(a0,b0,c0).abcabbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。222（8）理解绝对值不等式的几何意义

①ababab

②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

③∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.（9）柯西不等式的几种不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.③平面三角不等式.（10）贝努利不等式：（数学归纳法证明）

(1x)1nxn＋ ≥，x1,x0,n为大于1的正整数

第五篇：初中不等式(组)考点总结

第四章不等式（组）

考点

一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点

二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。