不等式知识点不等式基础知识

第一篇：不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab（1）

（2）

（3）

（4）0ab;ab0ab;ab0ab.不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.同向不等式与异向不等式.同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质

（1）a

（2）a

（3）a

（4）a

（5）abba（对称性）b,bcac（传递性）bacbc（加法单调性）b,cdacbd（同向不等式相加）b,cdacbd（异向不等式相减）

（6）a.

（7）a

（8）ab,c0acbc b,c0acbc（乘法单调性）b0,cd0acbd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除）cd(9)ab0,0cd

(10)ab,ab0

（11）a

（12）a11（倒数关系）abb0anbn(nZ,且n1)（平方法则）b0(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

极值定理：若x,yRab（当仅当a=b时取等号）.2,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;

（7）若a、bR,则||

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

|x|ax2a2axa a||b|||ab||a||b| ab（当仅当a=b时取等号）22ab

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则 222222222（a1b1a2b2a3b3anbn)(a1a2a3an)(b1b2b3bn)aaaa123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).2

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 2

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0 定义域g(x)0f(x)g(x)

f(x)03f(x)0○f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

第二篇：不等式基础知识汇总

不等式基础知识

一、不等式的概念

1．不等式的定义

不等式：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫不等式．

不等式组：含有相同未知数的几个不等式组成的式子，叫不等式组．

2．不等式的分类

（1）按所用不等号分：严格不等式（简单命题）、不严格不等式（复合命题）．

（2）按变量取值范围分：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式．

（3）按变量的数量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．

（4）按解析式的类型分：

3．不等式的相互关系

（1）由不等号方向看：同向不等式、异向不等式．

（2）由变量范围看：同解不等式、等价不等式．

（3）由形式关系看：同构不等式、不同构不等式．

二、实数运算的性质（符号法则）

实数运算的符号法则是构建不等式理论的基石，其顺序为：

实数运算的符号法则→不等式的性质→不等式性质的应用．

实数运算的符号法则：正数大于负数，零小于正数，零大于负数．

1．abab0,abab0,abab0．

2．a0a0．

3．a0110,a00． aa

4．a0,b0ab0;a0,b0ab0．

5．a0,b0ab0;a0,b0ab0;a0,b0ab0．

三、不等式的性质

1．三歧性：对于任意两个实数a与b，在ab,ab,ab三种情况中仅有一种成立．

abba．

3．传递性：ab,bca(c,;,;,等号是否传到底？?2．对称性：

abcabc（移项法则、作差原理）． abacb；c

5．加法法则：ab,cdacbd（同向特征，可推广）．

6．可乘性：ab,c0acbc（若c0，则abacb）； c

． ab,c0acbc（若c0，则abacbc）4．可加性：

7．倒数法则：（1）ab01111a(若a、bR，则ab1)； ababb

1111a(若a、bR，则ab1)； ababb

11． ab（2）ba0（3）a0b

8．乘法法则：ab0,cd． 0acbd（可推广）

nn9．乘方法则：ab0ab(n2,nN)．（乘法法则的特例）

mm（若a、bR，mQ，则abab）．

10．开方法则：ab0n2,nN)．

2211．均值定理：

（1）ab2ab（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）；

（2）a、bR，ab（当且仅当a、b相等时取等号）

（几何意义：半径不小于半弦．）；

22（3）aba

b,ab(a

b)2（当且仅当a、b相等时取等号）； 2

2（4）aba、bR)2

ab

（当且仅当a、b相等时取等号）；

（调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）；

2（5）qpxpx0,qx0)（一正二定三相等）； x

(aqbp)2

（6）(apx)(bqx)（一正二定三相等）． 4pq

12．真分数性质：0ab,m00aam1（浓度不等式）． bbm

注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；

在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．

附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化

加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．

四、不等式的证明

证明不等式就是利用不等式的性质等知识，证明所给不等式在给定条件下恒成立．不等式形式的多样性导致其证明方法的灵活性，具体问题具体分析是证明不等式的准则．具体证明方法有如下几种：

1．作差比较法

原理：符号法则．

步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断．

2．作商比较法

原理：符号法则．

步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断．

3．分析法

原理：BB1B2BnA．

步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”．

特点：利于思考，方向明确，思路自然．（刑警办案、剥笋）

格式：欲证„„（#），（因为„„，所以）只需证„„，„„

（因为„„，所以）只需证„„（*），而（*）显然成立，所以（#）

4．综合法

原理：ABBn1B2B．

步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

特点：条理清楚，经验丰富，传统自然．（法官定罪、包装）

注：（1）证明时，如果首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等

式，只要推出过程的每一步都是可逆的，那么就可以断定所给的不等式成立，这也是分析法，其逻辑原理为：BB1B2BnA．

（2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证„„，只需

证„„”、“即„„”、“假定„„成立，则„„”等．并且，必须有对最后找到 的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误．

（3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用

综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．分析法和综合法之间是互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终点是综分析法的起点．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开．

（4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导

数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等．

分析法只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如

果把“只需证„„”去掉不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，掩盖了分析、探索的过程。如果直接写，而不用分析法，人们会感到看得明白，自己却做不出。因此，在做题时，通常先用分析法探求解题途径，在解答时，再用综合法书写。另外，凡是能用分析法证明的问题，一定可以用综合法证明。

反证法证题的特征是通过导出矛盾，归结为谬误，而使命题得证。因此，反证法也

叫归谬法。如果结论的反面只有一种情况，即只需作出一种反设，并设法导致矛盾，立即使命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则对每种情况都必须作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证；这就是反证法的两种类型，前者称为简单归谬法（简称归谬法），后者称为穷举归谬法（简称穷举法）。

“否定结论”在推理论证中要作为已知使用。“假设”不能写成“设”

用反证法证明“若p则q”的过程如下图所示：

适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②结论是以

“至多”、“至少”等形式出现的命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面比原

结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。

五、解不等式

利用不等式性质及相关知识，求变量的取值集合或判断其无解的过程，叫解不等式．解不等式是一个由繁到简的等价转化变形过程，大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式．

1．一次型

2．二次型

3．分式型

4．绝对值型

5．无理不等式

6．高次不等式、高次分式不等式

（1）数轴标根法：标准化→分解→标根→定号→取解集．

（2）降次成组法．

7．不等式组、不等式串

求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最

后归一）；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解．

8．混和条件组

等式（方程）和不等式共同组成的关系组称为混和条件组，求解时以等式为主，不等式起检验作用．

9．超越不等式（指数不等式、对数不等式、三角不等式等）

指数不等式、对数不等式、三角不等式等都可利用有关函数的性质（定义域、单调性等）、图象和不等式性质把原不等式化归为有之等价的代数不等式（组）．

注：有些不等式可用构造函数法利用对应函数的图象解之，步骤为：构造函数→作图象

→通过对应方程得交点的横坐标→根据图象特点取解集．

六、不等式的其他应用

利用不等式的性质，除了可以证明和求解不等式外，还可以解决求代数式的取值范

围、求最值、求实际问题的解等问题．

1．求范围

先须求出所求代数式与已知代数式之间的线性关系（常需用待定系数法），然后利用同向不等式的加法法则和乘法法则等性质求之．（亦可用线性规划法）

2．求最值

（1）二次整式可用均值定理或二次函数的单调性求其最值．

（2）分子为二次式的假分式，可用待定系数法、配凑法或换元法化为部分分式，再

用均值定理或倒数和函数的单调性求其最值；真分式用倒数法化为假分式． 注：利用均值定理求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若

为两个负变数相加，则可用提取法化归；若无和或积为定值的特征，则可用调整系数或次数的方法化归；若不存在等号成立的条件，则只能用二次函数或倒数和函数的单调性求其最值．

3．求实际问题的解（不等式建模）

七、不等式的相关知识

函数的定义域、值域、单调性、最值，一元二次方程的实根分布，线性规划等知识

都与不等式密切相关．

绝对值基础知识

1．绝对值的定义（几何意义）：数轴上某数对应的点到原点的距离，叫该数的绝对值．

2．绝对值的基本性质：(1)；a0（非负性、有界性）a(a0)(2)aa(a0)

0(a0)

(3)

(4)

(5)a；aa,aa,aaa；a2a2a； 2

(6)平方法则：若a0，则

3．绝对值的性质定理：

（1）

（2）

（3）xax2a2，xax2a2，xax2a2． aa；abab；aa；bb

（4）ana；

ababab； n（5）ababab，（可推广），ababab0，ababab0； abab0，2（6）a． b22ab（a2b22abab）

4．绝对值的处理方法：

（1）公式法：xaaxaxaxa或xa，aR；

（2）分段讨论法：（即找界点，此法适用于解含多个绝对值的问题）；

（3）平方法：（即运用平方法则，注意平方的前提为不等号两边均为非负数）；

（4）几何法：（即运用绝对值的几何意义）．

5．绝对值不等式的类型：

（1）

f(x)g(x)；（2）f(x)g(x)；（3）f(x)g(x)．

第三篇：不等式知识点整理

不等式知识点整理

一、不等关系：

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0；

abab0；

abab0.2．不等式的性质：

（1）abba（自反性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；

ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab,cdacbd（同向加法）

（6）ab0,cd0acbd；（同向乘法）

（7）ab0,nN,n1anbn,a。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aR,a20,a0，当且仅当a0取“=”.（2）a,bR,则a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

（3）a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）a

b注：——集几何平均数.2a2b2ab2()（当且仅当ab时取“=”（4））22

a2b2c2abc2()（当且仅当abc时取“=”（5））3

3ab（6）(a2b2)(c2d2)(acbd)2（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：设x,y0,由xy

（1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时x

y有最小值

S（2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时xy有最大值()2.2即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： ababab（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法

1．比较法

（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；

（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）

2．综合法——由因导果（由前面结论）

3．分析法——执果索因

注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；

（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式

bb1．一元一次不等式 axb(a0)（1）a0,xx ；（2）a0,xx.aa

2．一元二次不等式 ax2bxc0,(a0)

（1）步骤：一看开口方向（a的符号），二看判别式 b24ac的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：ax2bxc0(a0)解集为R（即ax2bxc0对xR恒成立），则a0,0.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0）.3．绝对值不等式

a0a（1）零点分段讨论a aa0

（2）转化法：f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法 P(x)0或P(x)Q(x)0（移项，一边化为0，不要轻易去分步骤：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化为积的形式（x系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；

④写出解集.5．注意含参数的不等式的解的讨论.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一个有用的结论 关于函数yxp x

ppx

0时x

在(0、xx

[

上是减函数；在（、[)上是增函数.1．p0时，当x

0时x

（0，）2．p0时，在，上为增函数.0、

第四篇：不等式知识点

不等式

一．知识点：

1．不等式的性质：

2．不等式的解法：

（一）整式不等式的解法；

（二）分式不等式的解法；

（三）指对不等式的解法； 重点：含参二次不等式的解法；

3．不等式的证明：（1）作差变形；（2）分析法

4．均值不等式：（一正二定三等）

题型1：题型2：题型3：题型4：

5．线性规划：

二．典型题：

1．已知二次函数零点分布，求参数范围问题；

2．恒成立问题的解法；

3．均值不等式的应用；

1．已知二次函数零点分布，求参数范围问题；

2．恒成立问题的解法；

3．线性规划问题的讲解方式；

4．递推式问题：相邻项的关系较复杂，隔项或相邻多项的关系会简单。

5．均值不等式的几种常见题型；

6．变形种类：

第五篇：不等式知识点总结

感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，下面是小编帮大家整理的不等式知识点总结，希望大家喜欢。

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。