高中数学 3.4.1《基本不等式的证明》教案 苏教版必修5

第一篇：高中数学 3.4.1《基本不等式的证明》教案 苏教版必修5

第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式；

2.学会推导并掌握均值不等式定理；

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取“”号)

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取“”号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数，①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s． 4xyxy，2①当xyp(定值)有(xy)min2p； xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys(定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s． 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（1）求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10．

（2）若上题改成0x1，结果将如何？

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2（1）求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

（2）求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1． 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:（1）y3x11yx；（2）2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1．已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。93

32．已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3．已知0x

2，求函数f(x)x值。

4．已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；

（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二篇：3.4.1 基本不等式的证明[模版]

a＋b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23．4.1 基本不等式的证明

一、基础过关

111．已知a>0，b>0＋ab的最小值是________． ab

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．

112ba①a2＋b2>2ab②a＋b≥ab③＋>④≥2 ababab

1213．已知m＝a＋(a>2)，n＝2x－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是________． a－

24．设0

①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2

③logab＋logba≤－2④logab＋logba>2

255．若lg x＋lg y＝1，则的最小值为________． xy

6．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中恒成立的是________．

111①a＋b≥22②(a＋b)a＋b≥4 ab

a2＋b22ab③2ab④ab a＋bab

bccaab7．设a、b、c都是正数，求证：＋≥a＋b＋c.abc

2x＋y

28．已知x>y>0，xy＝1，求证：22.x－y

二、能力提升

19．若a<1，则a＋______(填“大”或“小”)值，为__________． a－

1x10．若对任意x>0，a恒成立，则a的取值范围为________． x＋3x＋1

1111．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋________． xy

12．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.111求证：＋<＋abc

三、探究与拓展

1613．已知a>b>0，求证：a2＋16.ba－b

答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③

bccaab7．证明 ∵a、b、c都是正数，也都是正数． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcac

bccaab三式相加得2abc≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋c.abc

8．证明 ∵xy＝1，x2＋y2x－y2＋2xyx－y2＋2∴＝x－yx－yx－y

2＝(x－y)＋≥x－y x－yx－y

＝22.2x－y＝x－y当且仅当，xy＝1

时取等号． －2

1，＋∞ 11.1 9．大 －1 10.5

1112．证明 ≥＝2c，abab

11＝2a，bcbc

11≥＝2b，caac

111∴2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋c.abc∵a，b，c为不等正实数，111∴a＋b＋c＋.abc

13．证明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.1616∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ ba－bba－b

16≥[2a－bb]2＋ ba－b

16＝4(a－b)b＋ ba－b

4≥4×2a－bb×＝16.ba－b

4取“＝”时当且仅当：a－b＝b>0且(a－b)b＝，ba－b

即当a＝2且b＝2时“＝”成立．

方法二 ∵a>b>0，a2a∴a－b>0，b(a－b)≤2＝4，当且a＝2b时取等号，2x＝即y＝6＋22

161664∴a2＋a2＋a2＋ aaba－b

≥264＝16.当a＝2，b＝2时，等号成立．

第三篇：3.4.1 基本不等式的证明

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

3.4.1 基本不等式的证明（1）

江苏省靖江高级中学杨喜霞

教学目标：

一、知识与技能

1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

3．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握 定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几 何解释．

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础．两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．

三、情感、态度与价值观

1．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；

2．培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力．

教学重点：

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程． 教学难点：

理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵．

教学方法：

先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式；从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情；定理的证明要留给学

生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案．

教学过程：

一、问题情景

a

b

2ab2.的几何背景： 21.提问：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．

二、学生活动

问题1 我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

a2b2.问题2 那4个直角三角形的面积和呢？

生答 2ab.问题3 好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2b22ab.什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即xy时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab.三、建构数学

1．重要不等式：一般地，对于任意实数 a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立．

问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明：a2b22ab(ab)2,当ab时，(ab)20,当ab时,(ab)20,所以a2b22ab

注意强调：当且仅当ab时, a2b22ab

注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；

（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛．

问题5：将a降次为a,b降次为b,则由这个不等式可以得出什么结论？

2．基本不等式：对任意正数a、b，有

立．（学生讨论回答证明方法）

证法1：a

b11

222

0当且仅当222ab当且仅当ab时等号成2． ab时，取“”

a

b，只要证a

b，只要证0ab，ab只要证0

2成立，当且

2证法2



ab时，取“=”号．

证法3：对于正数a,b

有20，ab

0ab

说明： 把ab2a

ba,b的算术平均数和几何平均数，上述2

不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

注意：（1）基本不等式成立的条件是：a0,b0；

（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；

（3）abab的几何解释：（如图1）以ab为直径作圆，在直径AB上

2取一点C，过C作弦DDAB，则CD2CACBab，从而CDab，而半abCDab

径2

abB 几何意义是：“半径不小于半弦”；

（图1）

（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即 ab

ababab； ；另一方面是仅当a

b时取等号，即22

（5）如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“”）；

（6）如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的2等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．

四、数学运用

1．例题．

ba1例1设a,b为正数，证明下列不等式成立：（1）2；（2）a2.aba

baba证明（1）∵a,b为正数，∴,也为正数，由基本不等式得2abab∴原不等式成立．

（2）∵a,立．

例2已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca.证明 ∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，11均为正数，由基本不等式得a2，∴原不等式成a

a以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，所以，a2b2c2abbcca．

例3已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd.证明 由a,b,c,d都是正数，得：

∴abcdacbd

0，0，22(abcd)(acbd)abcd，即(abcd)(acbd)4abcd.42．练习．

（1）已知x,y都是正数，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3；

（2）已知a,b,c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc；

（3）思考题：若x0，求x

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容： 1的最大值.x

1．算术平均数与几何平均数的概念；

2．基本不等式及其应用条件；

3．不等式证明的三种常用方法．

小结 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

六、课外作业

课后练习第2题、第3题；习题3.4第1题、第2题、第3题．

第四篇：6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的证明)

ab

23.4 基本不等式：ab

3.4.1 基本不等式abab的证明

从容说课

在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：abab

2，然后

从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，

根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.

教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；

2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学

生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情） 推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）

生 应该先从此图案中抽象出几何图形.

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.

（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）［过程引导］

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和. 师 一定吗？

（大家齐声：不一定，有可能相等）

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？生 每个直角三角形的面积为

2ab，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为

ab，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a+b≥2ab证明了吗？

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已. 师 回答得很好.

（有的同学感到迷惑不解）

师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）

2师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a+b≥2ab.

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)≥0，所以可得a+b≥2ab.

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？ 生 正确.

［教师精讲］

师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.

生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明. 师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.

（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言） 生 作商，用商和“1”比较大小.

师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.

（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生） ［合作探究］

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）

师 从不等式a+b≥2ab的证明过程能否去说明. 生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.

师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.

（大家齐声）一致.

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）

师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.

2（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a+b≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）

师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 生 完全可以.

师 为什么？

生 因为不等式中的a、b∈R.

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把

ab

2叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：

ab

2

ab，①

只要证a+b≥2ab，②

要证②，只要证：a+b

-2ab≥0，③ 要证③，只要证：(a

b)0,④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）［合作探究］

老师用投影仪给出下列问题.

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础） ［合作探究］

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？ 生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得CD生 由射影定理也可得CD

ab.

ab

2ab.

师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？

ab2

生ab表示半弦长，表示半径长.

师 半径和半弦又有什么关系呢？ 生 由半径大于半弦可得

ab2

ab.

师 这位同学回答得是否很严密？

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式ab(a＞0,b＞0). 课堂小结

师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a+b≥2ab.

生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以a、b分别代替a、b，得到了基本不等式

ab

ab

2ab2

(a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用. 布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索

21a1b,ab ,ab

2,ab2

22的大小关系，并

证明你的结论. 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.

（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.

第五篇：高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修5

第 10 课时：§3.4.1基本不等式的证明（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

【教学重点与难点】：

ab的证明过程；

2ab等号成立条件及 “当且仅当ab时取等号”的数学内涵

2【学法与教学用具】：

1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案

2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

a

b

2ab2.的几何背景： 21.提问：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

证明: ab2ab(ab),当ab时，(ab)0,当ab时,(ab)0,2222

2所以ab2ab

22注意强调当且仅当ab时, ab2ab 22

注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；

（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。

基本不等式：对任意正数a、b，有ab当且仅当ab时等号成立。

2ab当且仅当ab时等号成立。2证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。由基本不等式1，得22



证法2：a

b11

222

0ab222

时，取“”。

a

b，只要证a

b，只要证0a

b，只要证02

a

bab时，取“”。2

ab证法4：对于正数a,b

有2

0，ab

0ab2

a

b说明： 把a,b的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正2证法

3

数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述结论可推广至3个正数。

（1）基本不等式成立的条件是：a0,b0

（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）

abab的几何解释：（如图1）以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦

2abDDAB，则CD2CACBab，从而CDab，而半径CDab

2ab几何意义是：“半径不小于半弦” 2B（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即

abab

；另一方面是仅当ab时取等号，即

2（图1）abab。2（3）

22（5）如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“”）．

（6）如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙

2述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

.2.在数学中，我们称ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙

2述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P88例1）设a,b为正数，证明下列不等式成立：（1）

证明：（1）∵a,b为正数，∴ba12；（2）a2 abababa,也为正数，由基本不等式得2∴原不等式成立。ab

ab（2）∵a,1a

均为正数，由基本不等式得a1

a2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

证明：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，所以，a2b2c2abbcca．

例3 已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd．

证明：由a,b,c,d都是正数，得：

abcd

2

0，acbd

20，∴(abcd)(acbd)

4abcd，即(abcd)(acbd)4abcd．

例4 已知函数yx1

x1,x(1,)，求y的范围

例

522．

0，又x231，，2

2

22．

四、巩固深化，反馈矫正

1.已知x,y都是正数，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y

32.已知a,b,c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc；

3.思考题：若x0，求x

1x的最大值

五、归纳整理，整体认识

1．算术平均数与几何平均数的概念；

2．基本不等式及其应用条件；

3．不等式证明的三种常用方法。

小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：