高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修5[五篇范文]

第一篇：高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修5

第 10 课时：§3.4.1基本不等式的证明（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

【教学重点与难点】：

ab的证明过程；

2ab等号成立条件及 “当且仅当ab时取等号”的数学内涵

2【学法与教学用具】：

1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案

2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

a

b

2ab2.的几何背景： 21.提问：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

证明: ab2ab(ab),当ab时，(ab)0,当ab时,(ab)0,2222

2所以ab2ab

22注意强调当且仅当ab时, ab2ab 22

注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；

（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。

基本不等式：对任意正数a、b，有ab当且仅当ab时等号成立。

2ab当且仅当ab时等号成立。2证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。由基本不等式1，得22



证法2：a

b11

222

0ab222

时，取“”。

a

b，只要证a

b，只要证0a

b，只要证02

a

bab时，取“”。2

ab证法4：对于正数a,b

有2

0，ab

0ab2

a

b说明： 把a,b的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正2证法

3

数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述结论可推广至3个正数。

（1）基本不等式成立的条件是：a0,b0

（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）

abab的几何解释：（如图1）以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦

2abDDAB，则CD2CACBab，从而CDab，而半径CDab

2ab几何意义是：“半径不小于半弦” 2B（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即

abab

；另一方面是仅当ab时取等号，即

2（图1）abab。2（3）

22（5）如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“”）．

（6）如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙

2述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

.2.在数学中，我们称ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙

2述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P88例1）设a,b为正数，证明下列不等式成立：（1）

证明：（1）∵a,b为正数，∴ba12；（2）a2 abababa,也为正数，由基本不等式得2∴原不等式成立。ab

ab（2）∵a,1a

均为正数，由基本不等式得a1

a2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

证明：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，所以，a2b2c2abbcca．

例3 已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd．

证明：由a,b,c,d都是正数，得：

abcd

2

0，acbd

20，∴(abcd)(acbd)

4abcd，即(abcd)(acbd)4abcd．

例4 已知函数yx1

x1,x(1,)，求y的范围

例

522．

0，又x231，，2

2

22．

四、巩固深化，反馈矫正

1.已知x,y都是正数，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y

32.已知a,b,c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc；

3.思考题：若x0，求x

1x的最大值

五、归纳整理，整体认识

1．算术平均数与几何平均数的概念；

2．基本不等式及其应用条件；

3．不等式证明的三种常用方法。

小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二篇：高中数学 3.4.1《基本不等式的证明》教案 苏教版必修5

第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式；

2.学会推导并掌握均值不等式定理；

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取“”号)

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取“”号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数，①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s． 4xyxy，2①当xyp(定值)有(xy)min2p； xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys(定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s． 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（1）求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10．

（2）若上题改成0x1，结果将如何？

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2（1）求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

（2）求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1． 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:（1）y3x11yx；（2）2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1．已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。93

32．已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3．已知0x

2，求函数f(x)x值。

4．已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；

（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计（略）

八、课后记：

第三篇：高中数学必修3经典教案全集

新课标高中数学必修3教案

目

录

第一章 算法初步...............................................................................................................................1 1．1．1算法的概念.......................................................................................................................3 1．1．2 程序框图(第二、三课时)................................................................................................9 1.2.1输入、输出语句和赋值语句（第一课时）.......................................................................15 1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句（第二、三课时）..................................................................21 1.3算法案例 第1、2课时 辗转相除法与更相减损术.............................................................27 第3、4课时 秦九韶算法与排序.........................................................................31 第5课时 进位制...................................................................................................35 算法初步 复习课...........................................................................................................................39 第二章 统计初步.............................................................................................................................45 2.1.1 简单随机抽样.......................................................................................................................45 2.1.2 系统抽样...............................................................................................................................49 2.1.3 分层抽样...............................................................................................................................53 ２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时).......................................................................57 ２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)...........................................................61 第三章 概率......................................................................................................................................65 3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)...............65 3.1.3 概率的基本性质（第三课时）...........................................................................................69 3.2 古典概型（第四、五课时）3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生..............................73 3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生.......................................................79

I

第四篇：[苏教必修3]长江三峡

长江三峡

【教学目标】

1、通过比较阅读，赏析“散文中三峡的神韵”。

2、借助研究性学习，培养学生收集、筛选信息的能力和创新能力。【教学过程】

一、导入课题

同学们，人们常用“亘古未变”来形容山川河流，现在，山川河流正在发生“日新月异”的变化。明年的6月1日，三峡这条古文明的大通道就要消失了，永远的消失了。三峡是灵异的、浪漫的、富有诗意的，这一节课我们就一起用心去认读三峡、研究三峡。

二、播放三峡风光片

1、学生谈从“风光片” 中获得的信息。（风光片中的三峡过于文静、单薄）

2、学生补充自己收集的资料。

教师小结：从同学们的交流中，我深深地感到，人们的心中存在两种三峡：一个是自然的三峡，一个是文学作品中的三峡。那么，到底哪个更具魅力？

三、明确研究专题

如此美丽的自然三峡就要消失了，这是令人遗憾的，幸运的是文学作品保存了三峡的美丽，这一节课我们就一起研读“文学作品中的三峡”。文学作品的样式很多，可研究的领域依然很广阔，一节课是不可能面面俱到的，我们只可能就一种样式展开研究，我们这一节课的研究专题是：“散文中的三峡神韵”。

四、比较阅读 要求：

自读郦道元《三峡》和刘白羽《长江三峡》，说说你更喜欢哪一篇？为什么？（提示：可以从景物特点、写作角度、语言风格、情感态度等方面比较）让学生跳读两分钟，然后让同一爱好的学生自由组合，学习研讨，进而双方擂台赛。

（谈到情感态度的差异时插入的资料：相同的景物，不同的作者，由此写出不同的意韵；其实，就同一作者，对同一景物也会写出不同的篇章。如李白58岁时流放到夜郎，经过三峡时，他的感觉是“三朝上黄牛，三暮行太迟。三朝又三暮，不觉鬓成丝”（《上三峡》）。而到白帝城时，忽然接到大赦的消息，这时的李白是“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”。“一切景语皆情语”，文学作品中的景物无不烙上作者的感情色彩。）

五、老师引导大家梳理归纳讨论结果

大家刚才找出了许多的不同点，现在我们把它归纳整理一下，着重是哪几方面？

异同点主要体现在：①景物特点②情感态度③语言风格④写作角度 这就是我们这节课围绕研究专题重点探讨的四个方面，即四个切入点。

六、引导学生探究研究课题

我们从散文中去看三峡，还是一孔之见，三峡是我们民族古文化的繁衍之地，是自古以来文人墨客的聚集之地，值得我们去探究的东西还很多。如今，随着“高峡出平湖”的奇观出现，中国人70年的梦想就要实现了，其经济价值是不言而喻的，但令人遗憾的是三峡的灵异、浪漫也将不复存在，它将意味着三峡的文化，特别是传统文化面临着如何继承和发展的问题。

下面就请大家凭着对三峡的热爱、了解，思考一下，你将确立哪方面的研究专题。（小小组讨论，后大班交流；所研究的专题可以独立操作，也可以几个人合作。）

（如果时间允许，就其中的某一课题探讨研究方向）

七、老师总结

你们关注、研究的领域很广阔，三峡的文化积淀的确很丰厚的。同学们，随着你们走近三峡、研究三峡，美丽的三峡将在你们心中永恒！

第五篇：高中数学 一元二次不等式及其解法教案 新人教A版必修5

湖南省怀化市溆浦县第三中学人教版数学必修五321 一元二次不等

式及其解法 教案

课时安排 1课时 教学分析

学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础和必要。结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法；难点确定为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；掌握象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力；培养讨论的思想方法；培养抽象概括能力和逻辑思维能力；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元次不等式的解法。激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

课题 §3.1一元二次不等式及其解法 教学目标

（一）知识与技能 掌握图象法解一元二次不等式的方法

（二）过程与方法 培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，（三）情感态度与价值观 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，教学重点 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法 教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系 教学方法 合作探究、自学指导法 教具准备 多媒体课件 教学过程

一、导入新课

学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?

二、讲授新课

自主学习

1、阅读教材P84-P87

2、一元二次不等式的定义 象次不等式

合作探究

探究1：求一元二次不等式的解集。这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

； ； 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即当0

探究2：一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式 的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。，一般地，怎样确定一元二次不等式>0与

学生展示：

1、从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=0的根的情况

(2)抛物线

2、（1）抛物线 由一元二次方程 的开口方向，也就是a的符号

（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以

=0的判别式

三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）

与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程<0的解集呢？

来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式与<0的解集

3、一元二次不等式(学生完成课本第86页的表格)的解集： >0 教师精讲

例1(课本第87页)求不等式的解集.解：因为.所以，原不等式的解集是例2(课本第88页)解不等式解：整理，得因为所以不等式从而，原不等式的解集是 巩固提高

..无实数解，的解集是..课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

四、布置作业

课本第89页习题3.2[A]组第1题

五、板书设计

§3.1一元二次不等式及其解法

学生练习例题1 课堂小结 例题2 布置作业