第2课时 等式性质与不等式性质
学习
目
标
核
心
素
养
1.掌握不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.1．等式的性质
(1)
性质1
如果a＝b，那么b＝a；
(2)
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)
性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝.2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是()
A．a－b＞d－c
B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c
D．a－c＜a－d
B [根据不等式的性质．]
2．与a>b等价的不等式是()
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C.>1
D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设x A．x2 B．x2>ax>a2 C．x2 D．x2>a2>ax B [∵x 利用不等式性质判断命题真假 【例1】 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是() A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞ C．若a＜b＜0，则＞ D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 [思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断． D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞，故B为假命题； ⇒＞，故C为假命题； ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有＜，故C错．] 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1．下列命题正确的是() A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.] 利用不等式性质证明简单不等式 【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果． [证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以，得＜.又e＜0，∴＞.本例条件不变的情况下，求证：＞.[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜，又∵e＜0，∴＞.利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac [探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2 提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6 2．由－6 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质． 3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2 提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2 【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围． [思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围． [解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因为＜＜，所以＜＜＝2，即＜＜2.求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围． [解] ∵已知－≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤，两式相加，得－＜＜.∵－＜≤.∴－≤－＜.∴－≤＜，又知α＜β，∴＜0.故－≤＜0.1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.1．思考辨析 (1)若a>b，则ac>bc一定成立．() (2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.() [提示](1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立． (2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.[答案](1)×(2)× 2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是() A．a－d＞b－c B．－＜－ C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确； 由c＞d＞0，得＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，－＜－即B正确； 显然D正确，因此不正确的选项是C.] 3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是() A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1 C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1 A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.] 4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.
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