高中数学1.4 三角函数的图象与性质 教案4人教版必修4

第一篇：高中数学1.4 三角函数的图象与性质 教案4人教版必修4

三角函数的图象与性质

一、知识网络

二、高考考点

（一）三角函数的性质

1、三角函数的定义域，值域或最值问题；

2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.3、三角函数的周期性；

寻求对值的三角函数的周期.（二）三角函数的图象

1、基本三角函数图象的变换；

2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出

型三角函数的周期以及难度较高的含有绝的一段函数图象求函数解析式；

3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；

4、利用函数图象解决应用问题.（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点

（一）三角函数的性质

1、定义域与值域

2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性

奇函数：y＝sinx，y＝tanx；

偶函数：y＝cosx.（2）

（ⅰ）g（x）＝g（x）为偶函数 型三角函数的奇偶性

（x∈R）

由此得

同理，（ⅱ）为偶函数

；

为奇函数

；

为奇函数

..3、周期性

（1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期

y＝sinx，y＝cosx的周期为cotx的周期为

（ⅱ）.型三角函数的周期

；

y＝tanx，y＝ 的周期为 ；

（2）认知

（ⅰ）

型函数的周期

的周期为.的周期为 ；

的周期为.（ⅱ）的周期的周期为；

的周期为

均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为

.的解析式施加绝对值后，型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究

（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；

（ⅱ）的最小正周期为 ；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性

（1）基本三角函数的单调区间（族）

依从三角函数图象识证“三部曲”：

①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；

②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；

③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）

循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝

型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为

①换元、分解：令u＝

，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝

；

②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；

③还原、结论：将u＝区间形成结论.代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或

（二）三角函数的图象

1、对称轴与对称中心

（1）基本三角函数图象的对称性

（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为对称中心为（，0）

.； 正弦曲线y＝sinx的（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ； 余弦曲线y＝cosx的对称中心

（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为轴.认知：

①两弦函数的共性： x＝ 为两弦函数f（x）对称轴 ＝0.； 正切曲线y＝tanx无对称

为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心

②正切函数的个性：

（，0）为正切函数f（x）的对称中心

＝0或

不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）

或g（x）＝

为最值（最大值或最小值）；（的图象

，0）为两弦函数g（x）

（ⅰ）对于g（x）＝x＝ 为g（x）对称轴 ＝0.对称中心（ⅱ）对于g（x）＝＝0或 不存在.的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心

2、基本变换

（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移

3、y＝

（1）五点作图法

的图象

（2）对于A，T，的认知与寻求： ①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；

2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离.② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；心间的距离.：图象的对称轴与相邻对称中

： 由T＝ 得出.③ ：

解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得

解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题

例

1、求下列函数的值域：

值为增根；

（1）

（4）

（2）

（5）

（3）（6）

分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：

（1）

∵

∴，即所求函数的值域为.（2）由

∴

∴ 注意到这里x∈R，∴

∴所求函数的值域为[－1，1].（3）这里

令sinx＋cosx＝t 则有

且由

于是有

∵ ∴

因此，所求函数的值域为（4）注意到这里y>0，且函数的值域为

（5）注意到所给函数为偶函数，又当

同理，当 亦有.∵

.∴

即所求

∴此时..∴所求函数的值域为

（6）令 则易见f（x）为偶函数，且

∴ 是f（x）的一个正周期.①

只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x∈[0，]时，又注意到，∴x＝ 为f（x）图象的一条对称轴 ②

∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.而在[0，递增④ ]上，递增.③ 亦

∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.∴

即 ⑤.于是由①、②、⑤得所求函数的值域为

点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例

2、求下列函数的周期：

（1）

；

（2）

；

（3）；

（4）；

（5）

分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）

＝

＝

∴所求最小正周期.（2）＝ ＝ ＝

∴所求周期.（3）＝

＝

＝.注意到 的最小正周期为，故所求函数的周期为.（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0

.（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2.∴所求函数的周期为

2（5）

注意到sin2x的最小正周期小正周期，这里

，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最

.∴所求函数的周期

知，.是f（x）

的最小公倍数为

点评：对于（5），令的一个正周期.①

又正周期.②

于是由①②知，f（x）的最小正周期为

则由

∴ 不是f（x）的最小

.在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究周期，并总结自己的有关感悟与经验.例

3、已知函数的部分图象，（1）求

解：

（1）令

，则由题意得f（0）＝ 的值；

（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.的最小正

∵

∴

注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法” 得： 由此解得

∴所求，.（2）由（1）得

令，解得，∴函数f（x）图象的对称轴方程为 ；令 解得，∴函数f（x）图象的对称中心坐标为.点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：

例

4、（1）函数 的单调递增区间为。

（2）若函数 上为单调函数，则a的最大值为。

（3）函数 的图象的对称中心是。

函数（4）把函数

的图象中相邻两条对称轴的距离为

。的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为。

（5）对于函数，给出四个论断：

①它的图象关于直线x＝ 对称；

②它的图象关于点（,0）对称；

③它的周期为 ；

④它在区间〔－，0〕上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。

分析：

（1）这里递增且

的递增区间

的正号递减区间

∴应填

（2）由f（x）递增得

易见，由f（x）递减得

当k＝0时，注意到 而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为.（3）（ⅰ）令

∴所给函数图象的对称中心为（，0）；

（ⅱ）①

解法一（直接寻求）在①中令 则有②

又在②中令k＝0得，令k＝1得

∴所求距离为 －

解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为

T＝，故所求距离为.（4）这里 将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为

令

则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）

∴所求m的最小值为.（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察

①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形.（ⅰ）考察①、③ ②、④是否成立.由③得，故

；又由①得

注意到②、④成立.（ⅱ）考察②、③

.∴在①、③之下，易知此时

①、④是否成立.由③得，故 ；

又由②得 注意到.∴在②、③之下，易知此时①、④成立.②、④与②、③

①、④.；

.于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③

点评：对于（4）利用了如下认知：

对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例

5、已知取得最大值2.（1）求f（x）的表达式；

的最小正周期为2，当 时，f（x）

（2）在闭区间 上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为

＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.解：（1）去

令，①

，即 则有

由题意得② 又由①知，注意到这里A>0且B>0，取辅助角，则由②得③

（2）在③中令 解得x＝k＋

解不等式k＝5.④

注意到，故由④得

于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为.点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为式，解题便胜券在握.＋k的形

例

6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0，]时，实数a的取值范围.分析：由点A、B都在函数∴b＝a，c＝1－a.的图象上 得：，∴ ∴

此时，由g[f（x）]<0且x∈[0，]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.解：由分析得

∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0，①

∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0② ∴由①②知，当x<-2或0

.∴由③得，当

.则

h（t）＝

∴g[f（x）]<0且x∈[0，]时，h（t）<－2或0

注意到h（t）＝at＋（1－a）∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h（由0

.，解得)<-2(a>0)，.于是综上可知，所求a的点评：在这里，由③到④的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0

（1）h(t)>0，⑤得，h(1)>0，显然成立；

当a<0时，h(t)在；

当a＝0时，h（t）显然满足10，－1

⑥

（2）h(t)<2，⑦当a>0时，h(t)在 上递增，∴由⑦得，得

－

上递减

∴由⑤得，h（）>0

（－1）a＋1>0

，00且h（t）<2

上递增，∴由

⑤ 当a>0时，h(t)在h()<2 ；

上递减

∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件； 当a＝0时，当a<0时，h(t)在h（t）＝1，显然满足条件.因此由⑦得

五、高考真题

（一）选择题

1、（湖北卷）若

⑧

于是综合（1）（2）知，由0

（）

A.B.C.D.的范围入手，分析：注意到我们对去了解 的范围.的熟悉，故考虑从认知

由 ∴，∴

应选C.2、函数 的部分图象如图，则（）

A.B.C.D.分析：由图象得.∴，∴

又f(1)=1，∴

（二）、填空题

1、（湖北卷）函数为。

注意到，∴

应选C.的最小正周期与最大值的和

分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.，而sinx≥0的解区间重复出现的最小正周，故所求函数的最小正周期为

.（1）注意到sin2x的最小正周期期，而 的最小公倍数为

（2）由分段函数知，y的最大值为

2、（辽宁卷）个实数a，是正实数，设

，于是由（1）（2）知应填..若对每 含2个元素，则

的元素不超过两个，且有a使的取值范围是。

分析：

∴

注意到有a使

注意到

含有两个元素，∴相邻两 值之差

的元素不超过两个，∴相间的两个 值之差

①

②

∴由①、②得

.点评：

对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于（2），这里的 决定于f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.（三）解答题

1、若函数 的最大值为2，试确定常数a的值.＋k的形式，而后便

分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f（x）化为会一路坦途.解： ＝

＝ 由已知得

.点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.2、设函数

（1）求

y＝f（x）图象的一条对称轴是直线.；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f（x）的图象不相切.分析：对于（3），由于f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线ｌ与ｙ＝ｆ（x）的图象不相切，只需证直线ｌ的斜率不属于y＝f（x）图象上点的切线斜率的取值集合.解：（1）∵ 为函数 图象的对称轴，∴

∴ 即

又.（2）由（1）知时，y＝f（x）递增，当

∴所求函数f（x）的增区间为.（3）∵

∴y＝f（x）图象上点的切线的斜率范围为[－2，2].而直线5x－2y＋c＝0，∴直线5x－2y＋c＝0与函数 的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.3、已知函数

是R上的偶函数，其图象关于点M（）对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.的值；已知函数图象关

的分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定于某直线（或某点）对称，则只能导出关于

的可能取值，此时要进一步确定值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.解：由f（x）为偶函数得f（－x）＝f（x）（x∈R）

即

又 故有 由f（x）图象关于点M（）对称得

令x＝0得 而

由此解得

当k＝0时，此时

当k＝1时，当k≥2时，故此时

因此，综合以上讨论得

点评：对于正弦函数y＝

或.∴所求，而 或.＋k或余弦函数y＝ ＋k，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间（或减区间）的长度均不超过.因此，若区间 的长度大于，则函数在区间 上不会是单调函数.4、设函数f（x）＝xsinx（x∈R）.（1）证明：

，其中k为正整数.（2）设

，（3）设f（x）在（0，＋∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为

证明：

分析：注意到正弦函数为f（x）的成员函数之一，试题中又指出f（x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从f＇（x）切入.证明：（1）∵f（x）＝xsinx（x∈R）∴

（2）

令

①

显然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ②

②，即有

，于是 ＝

＝

（3）设 是

，则由直线y＝x与曲线

的一个正整数根，即y＝－tanx的位置关系知：对每一个，存在，使，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函数，且 ∴g（x）在 又cosx在 内符号不变，∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝

∴所有满足由题设

的 在 与在 内异号，都是f（x）的极值点.为方程x＝－tanx的全部正根.且

，∴

再注意到

③

④

而∴由④得

∴1＋ ⑤

于是由③、⑤得，点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2），即可；对于（3）中的左右两边异号.不仅要满足

只需满足

在点x＝

，还需认定

第二篇：三角函数图象变换教案

一、新课引入：

师：前面我们学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间？

生：定义域：R，值域：[-1，1]，奇函数，单增区间：[]单减区间：[] 师：回答的很好，那么形如偶性、周期及单调区间又如何呢？

（一片茫然，没有学生回答）

函数的定义域、值域、奇师：大家别着急，今天我们就要来学习它们的图象和性质，并通过它们的图象和性质进一步来探究它们的图象与y=sinx图象会有什么样的关系．

二、动手实验：

下面请大家用图形计算器在同一坐标系分别输入以下几组三角函数的图象，并观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流．

第一组：

第二组：

第三组：

（教师巡视，同时指导学生注意输入中经常出现的几个问题：窗口调节、弧度与度的单位转换、及其如何利用在同一坐标系同时画图和利用功能键

进行追踪和如何利用其它键进行的放大等等．）

三、师生交流：

师：从下列第一组图1，你有什么体会？

图1 师：的定义域、值域、周期分别是多少？

生：的定义域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：应该与y=sinx的一样还是

师：不错，那么呢？

生：的定义域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：

师：很好，那么它们三者之间的图象有什么关系呢？ 生：好象它们之间有一定的伸缩关系 师：能不能再说得具体一点吗？

生：伸缩倍数是不是与2和有关呢？

师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急．下面请大家先看大屏幕几何画板的动画演示

（老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和利用动画演示有助于验证他们的猜想）

有关，只是猜想不知是否正确，此时，图2 演示1：拖动点C,请大家观察图象上D、E的运动，在横坐标相同的条件下，纵坐标的变化，同时注意比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx）

图3 演示2：拖动点B，观察图象y=sinx与y=Asinx图象，当A发生变化时，点D、E的纵坐标的变化，同时注意比值的变化．（改变A的值，整体对比y=sinx与y=Asinx的关系）

进一步引导,观察,启发：

师：通过上述大家的实验、和我刚才的几何画板演示，你又有什么体会？ 生： 函数y=1/2sinx的图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)，函数y=2sinx图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的2倍而得(横坐标不变)师：太好了，回答完全正确．（演示进一步巩固了他们的猜想）教师总结：

一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A1)的图象可以看作把正弦曲线y=sinx上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 第二组：

师生交流：

师：和第一组一样，你们有什么体会？

图4 师：与的定义域、值域、周期分别是多少？

生：与的定义域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一样，周期是多少看不出来，反正它们的周期显然不一样．

（学生从图形计算器屏幕看到的的确如此，它们的周期明显不一样）师：是的，他们的图象差别太大，但是可以看出一个周期较小，一个较大．（教师想通过周期的不一样来突破周期变换）现在我给大家演示两个动画3．

图5 演示1：拖动点A（A、B,它们分别在各自的图象上）在纵坐标相同的条件下，观察A、B的横坐标的变化，以及的比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx的关系）

演示2：拖动点B, 改变W的值，再观察上述的变化．（改变W的值，进一步观察y=sinx与y=sinWx的图象关系）

(该环节的演示要慢，要让学生注意观察比值的不变特点)

图6 进一步引导, 观察启发: 师：通过上述你的实验、和几何画板的动画演示，你又有什么体会？

生：函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的 函数y＝sin原来的2倍(纵坐标不变)而得到，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到（的确难得，他们能发现影响周期的量是W了，这样也为下一节课周期的教学作好准备）师：大家已经能通过第一组的变换特点，类比的方式得到它们之间的关系，真的很不错．那么谁能把y=sinωx图象与y=sinx的图象作比较，说出它们之间的关系吗？

生：函数y=sinωx, x∈R(ω>0且ω1)的图象，可看作把y=sinx所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）

（鼓励学生用自己的语言来归纳，总结）师：有进步． 总结：

一般地，函数y=sinωx, x∈R(ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．我们把这种变换简称为周期（或者伸缩）变换．

第三组：

图7 师：它们的定义域、值域、周期分别是多少？以及它们的图象关系又有如何关系？ 生：定义域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，图象似乎与我们以前学过的具有平移关系．

（因为高一学习过一些简单的平移，学生对平移的说法可以很快的提出）

师：回答的十分正确．那么大家再用功能键点？

追踪，观察它们的平移的方向和平移的单位有什么特（由于学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有行换算，几分钟后）

师：请大家看我用几何画板的动画演示4． 演示1：拖动点C,观察变化．（观察平移的单位）的单位，让学生注意进演示2：拖动点B,改变B的值，观察平移的方向．（让学生去发现：从左边移动(B>0)，从右边移动（B<0）

图8 引导,观察,启发：

师：通过上述实验、和几何画板演示的结果你有什么体会？

生：函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.函数y＝sin(x－单位长度而得到)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有点向右平行移动个师：太棒了，回答的十分正确． 教师总结：

一般地，函数y＝sin(x＋＞0时)或向右(当)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，我们把这一变换称为平移变换

四、运用反思：

1、下列变换中，正确的是

A 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象

B 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象

C 将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到y＝sinx的图象

D 将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的＝sinx的图象

答案：A

倍，且变为相反数，即得到y（可以让学生使用机器来验证自己的回答是否正确，尤其是C和D的回答）

2．师：大家可以选择变换路径

（由于前面都是单一的变换，可以提示学生先选择变换路径）

生： 即把y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/2，然后把图象上的所有点向右移动个单位． 师：有不同意见吗？ 生：是的，基本就是这样．

师：从一定是向右平移个单位吗？

生：是啊

（全体学生感到纳闷，老师为什么这样问呢．）

师：好吧，请大家用计算器实验，看看他说的是否正确？ 生：我输入图象看，平移的数据似乎不对，到底是多少呢？

（由于学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有 的单位，可以让学生进行换算来回答，但是几何画板可以动态变化和计算）

师：请大家再看我的演示：拖动点A,观察点A、C横坐标的变化．（观察它们距离的单位刻度是多少．）

图9 生：我知道了，应该是向右平移，而不是 师：不错应该是应该是向右平移，这是我们经常会犯的错误，一般地，函数的平移是指变量的变化量，所以要把函数化为从中可以看出，所以应该是向右平移

（这时学生在做次类题目，经常容易犯的错误，应引起足够的重视）

五、小结与思考：

今天我们学习了三种三角函数：形如图象是由y=sinx的图象怎么变换得到，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．

思考：

上述三种三角变换适应于三角函数的图象外，是否也适应于一般函数的图象的变换吗？请同学们下去通过今天学习的方法用图形计算器探索、思考下列几组函数图象的关系

1、与2、3、（让学生下去动手实践，、探索和验证，也为后期函数图象变换的学习作准备）

六、作业：

七、教学反思：

1、本节课是以学生探索为主，教师点拨、启发、引导和利用几何画板的演示为辅．通过TI-92PLS图形计算器进行教学学习和探究活动，获得TI计算器正弦波函数性质等数学问题的体验；认识现代信息技术对学习数学知识和探究数学问题的价值．借助已知知识提出问题，体现教师为主导，学生为主体的原则，整个教学过程为：提出问题

探索

解决问题

运用反思

提高．

2、以前该部分内容的教学通常是通过取值、列表、描点、画图然后静态的让学生观察、总结，最后得出它们之间图象变化的特点，如下图所示．

（振幅变换）

（周期变换）

（平移变换）

不仅教学内容少，而且课时需要多（以前至少需要2课时）、课堂气氛枯燥、学生参与的活动少、学习的积极性较低．通过信息技术的使用，改变常规教学中处理方式，利用图形计算器让学生实验、观察、体会和交流，然后再通过几何画板的辅助教学演示，使得振幅变换、伸缩变换、平移变换变得形象、直观，学生易于理解和掌握，不仅一节课完成了三种变换而且学生的兴趣浓厚、参与活动多、课堂气氛活跃，使课堂教学落到了实处，主体作用得到了真正的体现，综合能力和素质也得到了培养，这充分体现了信息技术具有的优势．

3、但值得商榷的是：原来教学的“五点作图法”绘制函数图象，再讨论参数所起的作用，这里用技术马上就画出函数图象，并观察规律得出结论，所以“五点作图法”在技术面前如何处理会更好．

第三篇：高中数学必修4 三角函数知识点小结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

2.sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.

第四篇：湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 1.4三角函数的图像与性质学案(二) 新人教A版必修4

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 1.4三角函数的图像与性质

学案

（二）新人教A版必修

4—、复习: 1.sin( 2

2.正弦函数的图象及性质

3.用五点法作正弦函数的简图。

二、自主学习: 完成下面填空：

(1)函数y＝cosx（xR）的图象可以通过将y＝sinx（xR）的图象向平移个单位长度得到。

(2)余弦函数y＝cosx（xR）的图象叫做

(3)请画出余弦函数y＝cosx（0≤x≤2π）的图象。

（2）在上述图象上有五个点起关键作用，这五个点是、、、、。

2.余弦函数的性质：

（1）定义域：

（2）值域：，当且仅当x＝时，余弦函数取得最大值，当且仅当x＝时，取得最小值。

（3）周期性：。

（4）奇偶性：y＝cosx是，它的图象关于对称，它的对称中心是，对称轴是。

（5）单调性：余弦函数y＝cosx单调递增区间是，单调递减区间是。

3.一般地，函数y＝Acos（ωx+）（xR），其中A、ω、为常数且A≠0，ω＞0的周期为。

三、典例解析

1、自学课本例题

2、补充：求函数f(x)＝cos（1x）的单调区间，周期，对称中心，对称轴。3

4四.课后作业

1、函数y＝3cos（A、2

52

x）的最小正周期为（）565B、C、2π

D、5π

2、将函数y＝cosx图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得



个单位长度。则与所得新图象对应的函数解析式为（）4

A、y＝cos(2x+)B、y＝cos(2x－)

图象沿x轴向左平移

C、y＝sin2xD、y＝－sin2x3、已知函数y＝2cosx（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图 形，那么这个封闭图形的面积是（）A、4B、2πC、8D、4π

m1

≤x＜，cosx＝，则m取值范围为（）

m163

A.m＜－1B.3＜m≤7+4C.m＞3D.3＜m＜7+4或m＜－

15、函数f(x)＝4cos（2x－）（xR）有下列命题：

6①y＝f（x+）是偶函数

4、已知－

②要得到函数g(x)＝－4sin2x的图象，只须将f(x)的图象向右平移③y＝f(x)的图象关于x＝－



个单位 3



对称 12

511

］和［,2］ 1212

④y＝f(x)在［0，2π］内的单调递增区间是［0，其中真命题的序号是。

6、（选作）求函数ysin2x2acosx的最大值。

§1.3.2正切函数的图象与性质

一.复习：

1、用单位圆中的三角函数线作正弦曲线.2、余弦曲线的图象与性质.二.自主学习。完成下面填空：

1、用单位圆中的三角函数线作正切曲线.2、函数y＝tanx的定义域是，值域是。

3、由tan(x+π)＝知y＝tanx为，最小正周期为。

4、y＝Atan（ωx+），A＞0，ω＞0的周期为。

5、由tan（－x）＝－tanx知y＝tanx为。

6、正切函数y＝tanx在开区间 三．典例解析

1、自学课本例题

2、补充例题：

例1已知正切函数y＝Atan(ωx+)（A＞0，ω＞0，的坐标为（）的图象与x轴相交的两相邻点2

5，0）和（,0），且过（0，－3），则它的表达式为



例2已知函数f(x)＝x2+2xtanθ－1，x［－1，3］，其中θ（－,）。



①当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值。

②求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间［－1，］上是单调函数。

四．课后作业：

1、函数y＝2tan（3xA.）的最小正周期是（）

 6

B. 3

C. 2

D.2 32、若tanx≤0，则（）A.2k



＜x＜2kπ，kZ

B.2k



≤x＜（2k+1）π，kZ

C.k



＜x≤kπ，kZ

D.k



≤x≤kπ，kZ3、函数ytan(

x)的定义域是（）

A.xx

4,xR



B.xx

4,xR

 C.xxk4,kZ,xR



D.xxk34,kZ,xR



4、函数f(x)＝lg(tanx+tan2x)为（）A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数

5、下列各式正确的是（）

A.tan(－

134)＜tan(－175)B.tan(－1317

)＞tan(－5)

C.tan(－134

)＝tan(－17

5)D.大小关系不确定

6、函数y1

1tanx的定义域是。

7、给出下列命题：

①函数y＝tanx在定义域内是增函数②函数y＝sinx不是周期函数； ③函数ycos2x

2的周期是2；④y＝sin（52x）是偶函数。其中正确的命题的序号是。

8、求函数y＝tan(2x－)的定义域、周期和单调区间

第五篇：高中数学必修4说课稿 正切函数的性质和图象

《正切函数的性质和图象》说课稿

一、教材分析（说教材）： 1.教材所处的地位和作用：

本节内容是高中数学必修4第一章第四节的内容。它前承正弦余弦函数的图象和性质，后启已知三角函数值求角的问题.2.教学目标：

（1）知识目标：掌握正切函数的性质，认识并会画正切函数的的简图.（2）能力目标：让学生亲身经历数学研究的过程，学会应用内比推理与数形结合的思想处理问题.（3）情感目标：

通过学生自主探究小组合作交流的过程体检探索的乐趣，增强团队意识，增强学习数学的兴趣.3.重点，难点以及确定的依据和处理的方法：

重点：正切函数的性质和图象是本课的难点，其理论依据是任意函数的性质和图象都是紧密相连的都是研究的重点对象.对于正切函数来说由于定义域的不连续性导致了图象的间断性.所以要正确探索出性质和图象.处理方法是类比正余弦函数的图象和性质的研究.难点：画正切函数的简图.依据是正切线能准确画正切函数的图象，但不实用，在应用时一定要学会画简图.在难点的处理上我先让学生通过性质体会图象与X轴的交点，再利用定义域找到图象间断处的渐近线(用虚线)在找到点,1，1在利用单调性确定,一个周期内的几个特殊，,一个周期的图象，224422再利用周期性画出其它区间的图象.二、教学策略（说教法）：

（一）教学手段：

一般对于函数性质的研究总是先作图象，再通过图象来获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质进行严格的表述.但对正切函数教材采用了先根据已有的知识（如正切函数的定义，诱导公式，正切线等）研究性质，然后再根据性质来研究正切函数的图象，这样处理主要是为了给学生提供研究数学更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象，加强理性思考的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面.（二）教学方法及其理论依据：

如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标.我在教学中利用学案导学循环大课堂.坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，采用学生参与程度高的学案导学教学法.在学生课下看书、独立完成学案、小组讨论基础上，在教师课前批阅学案的前提下，让一部分学生把自己的学习成果先展示在黑板上，然后让学生进行质疑讨论，最后老师在进行补充学生的不足进行总结评价.三、学情分析：（说学法）

学生已经有了研究正弦余弦函数图象和性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质和图象的研究中，在心理上也具备了一定的分辨能力和语言表达能力.四、教学程序：

（一）课前展示：课间学生分配到任务后，需要板书的在课间进行板书.（二）复习回顾：以表格的形式将正余弦函数及正切函数的五个性质（即定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性）列出，让学生先进性前两个函数的填写.（三）循环探究：1.根据学生上节课后十分钟布置的任务，并通过课下学生自学探究，由学生自己把正切函数的性质填写在上表，并对其他同学的疑问进行作答.2.让学生根据正切函数的性质自己试着画正切函数的简图，对学生出现的情况进行点评.以鼓励为主然后让学生想一想怎样更快更好画出正切函数的图象.总结正切函数简图的画法，处理方式在重点中已说过.3.用正切线通过多媒体展示，准确的画出正切函数的图象，并让学生看着图象再直观的理解性质.（四）例题展示：例1通过单调性比较正切值的大小，强调正切函数的单调性是在每一个单调区间上是增函数而不是在定义域上，这类题一定把所给的x角利用诱导公式转化到同一个单调区间.例2求ytan的定义域，周期，23单调区间.估计在此题中学生会出现问题就是区间的开闭问题.例3通过正切值的范围求角的范围，强调学生要学会利用简图来做题.（五）方法总结：学生自己先总结老师然后补充.（六）巩固练习：学案上的练习按等级设置，学生根据自己的情况完成对应等级的题目.（七）当堂检测：用多媒体给出检查学生这节课掌握的情况.（八）任务布置：仍然以学案的形式给出yAsinwx的图象的研究，想用问题的形式引出这节内容然后由学生自己探究.L

五、作业布置：完成相应的学案

六、设计说明：1.板书说明：侧、后黑板留给学生展示，前黑板写标题及重点强调的内容.2.时间分配:(一)课前五分钟

（二）两分钟

（三）十分钟

（四）十分钟

（五）二分钟

（六）六分钟

（七）五分钟

（八）十分钟

以上是我说课的内容，不足之处敬请指导，谢谢！