高二下学期数学人教A版选修2-3第一章第3节二项式定理复习学案

高二数学选修2-3第一章第3节二项式定理复习学案

教学目标：1.复习梳理二项式定理及其性质

2.练习讲解二项式定理有关题型

教学重难点：解二项式定理有关习题

知识点梳理：

1．二项式定理

(a＋b)n＝C0nan＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第r+1项；Tr＋1＝Can－rbr.2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为

n+1

.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从

C，C，一直到C，C

.3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当r＜

时，二项式系数是递增的；当r＞

时，二项式系数是递减的．

当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值．

当n是奇数时，中间两项Cn

和

Cn

相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.注：二项式的项数与项

(1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－rbr是第r＋1项．即r＋1是项数，Can－rbr是项．

(2)通项是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，……，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．

一个区别

在Tr＋1＝Can－rbr中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tr＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝C2n－r3rxn－ryr，其中C2n－r3r就是Tr＋1项的系数．

例题讲练

考点一　二项展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】►已知在n的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

【训练1】若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

考点二　二项式定理中的赋值

【例2】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)

二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．

【训练2】

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.考点三　二项式的和与积

【例3】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．

【训练3】

x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．

考点四　二项式定理的应用

【例4】►(1)已知n∈N*，求1＋2＋22＋23＋…＋24n－1除以17的余数；

(2)求(1.999)5精确到0.001的近似值．

【训练4】

求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；

(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．

课堂检测

1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________．

2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．

4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.课后练习

1．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是________．

2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为________．

3．在6的二项展开式中，x2的系数为________．

4．已知8展开式中常数项为1

120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．

5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．

6．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．

7．18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．

8．6的展开式中的第四项是________．

9．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数为________．

10．5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．

11．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.12．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．

13．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．

14．(1)当k∈N*时，求证：(1＋)k＋(1－)k是正整数；

(2)试证明大于(1＋)2n的最小整数能被2n＋1整除．(n∈N*)