北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》教学设计说明

第一篇：北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》教学设计说明

北师大版高中数学选修2-3

《二项式定理》教 案 说 明

一、授课内容的数学本质与教学目标定位 教学内容：

本节课是北师大版高中数学选修2-3第一章《计数原理》第5节“二项式定理”的第一课时。主要内容是经历利用计数原理求解(a+b)、(a+b)、23(a+b)４展开式的过程，进一步巩固计数原理。理解计数原理是本章节的核心。组合、排列都是依托计数原理而来。并由此探索推导(a+b)n展开式，介绍二项式定理、二项式展开式、展开式通项、区分二项式系数与项的系数，并应用二项式定理解决实际问题。

教学目标: ●知识与技能：

（1）通过利用计数原理证明二项式定理；

（2）理解并掌握二项式定理及二项式展开式，并能简单应用.（3）能区分二项式系数与二项式展开式项的系数

●过程与方法：

（1）通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、类比、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。

（2）通过学习进一步理解由“特殊”到“ 一般”的数学思想.●情感与态度：

（1）培养学生的自主探究意识、创新精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

二、教材的地位及作用

本节教材是建立在学生已经掌握了本章的计数原理、组合数知识，能够使用分类、分步计数原理求解数学问题的基础上，通过探索(a+b)

2、(a+b)

3、(a+b)４展开式的过程，推导二项式展开式，二项式定理，展开式通项。解释二项式系数与项的系数。为下一节二项式系数性质奠定必要的基础．本节在教学内容上起了承上启下的作用。

本节中会联系到初中七年级项的系数、合并同类项的相关知识，对于区分二项式系数与项的系数有重要作用。同时，本节中利用二项式定理化解整除数的奥秘，培养学生成就感。培养利用二项式展开式分析理解整除问题的实际意义。

二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学.求二 北师大版高中数学选修2-3

项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计算,称为“式算”；用杨辉三角形来计算,称作“图算”。

三、教学诊断分析

1.二项式开展式中通项中r是组合数上标，并不是项数，因此要在课堂中强调是第r+1项，不是第r项。

2.在学习二项式展开式项的系数的时候,学生常常将二项式系数与二项式开展式项的系数弄混淆，因此在教学过程中作了特别强调，二项式系数是组合数，而项的系数是中包含因式中的数，并且可正可负。

3.运用二项式展开式解决问题时，学生常常会疏忽二项式项的系数中(-1)的存在。容易犯错误，因此会在例题中做出强调。r为偶数时系数为正，奇数时系数为负。

r

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

1．根据新课程课堂教学理念“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验” ．本节课的设计遵循了这一理念，注意通过动画导入激发学生学习本课的积极性，注意让学生自己思考，在操作中进行自主探索和生生、师生互动交流，从而使学生能很好地掌二项式定理，并获得用计数原理推导二项式定理的的活动经验。教师也由此将信息技术与数学学科的整合理论用于实际，将信息技术融入数学教育，辅助课堂，实现课堂效果的最优化。

2．在本节课的教材内容处理上，既注意了教材是最基本的课程资源，它是满足所有高二学生最基本的知识内容，又注意了我校学生的实际情况，因此，本节课突出了课程资源的开发，即对原有例题作了补充，又增加了反馈练习活动，让学生学会二项式展开式中项的系数问题。理解系数可正可负，与组合数是完全不同的概念。例题

1、求解(2x+y)展开式是对二项式展开式应用的一基础题。由此题标记出二项式系数与项的系数的值，从而说明二项式系数与项的系数的区别。例题

2、例题3，同样是求x平方项的系数，但区别在于例2中系数全为正，例3中的系数有正有负。并且例3有分数指数幂。考验学生的细心程度。在二项式定理应用之后，就是回答开课之前的疑问，为什么各位数之和是9的倍数就能被9整除。这是二项式定理的实际应用之一，与此同时为“4x6+5除以20的余数”留下伏笔。还有能被11整除的数的特点。

3．本节课在教法上选用了“探索——发现”教学模式，这是基于本节课的知识内容，通过探讨（a+b）中n=2、3、4的展开式，解决该（a+b）展开式问题，将会得心应手，并对计数原理有更深刻的理解。将新问题回归到已掌握的知识上，便于新问题的解决.故二项式定理展开式的核心问题依旧是计数原理的使用。是组合数的应用。故在本节课中要求学生通过前4节中的知识内容，掌握二项式展开式的展开过程，进一步巩固计数原理中分类计数方法。例如：当a1=a2=a3=a, b1=b2=b3=b,时就存在着可以合并的项，即七年级时所学的合并 n

n

n

n+

15北师大版高中数学选修2-3

同类项，合并同类项最终的结果就是组合数公式，由于学生已学习了组合数公式，对于解决该问题的优势就显而易见了。让学生体会分类记数原理和分步记数原理解决3次展开式问题的过程。与此同时也复习了七年级的合并同类项知识，单项式系数。此处学生应该能容易理解、接受并且提升。

第二篇：高中数学知识点总结---二项式定理

高中数学知识点总结---二项式定理

0n01n1rnrrn0n1.⑴二项式定理：(ab)nCnabCnabCnabCnab.展开式具有以下特点：

① 项数：共有n1项；

012r,Cn,Cn,,Cn,,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnarnrrb(0rn,rZ).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．

nI.当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大； 2

n1n1II.当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数C1项，22n1n12C2nnn

最大.③系数和：

01nCnCnCnn2

02413CnCnCnCnCn2n1

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1或(Ak为Tk1的系数或系数AAAAk1k1kk解.当a1或b1时，一般采用解不等式组的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr，另一方面在npqrqnrqqqpq(ab)nr中含有bq的项为CnrabCnrab，故在(abc)中含abc的项为

rqpqrrCnCnrabc.其系数为CnCnqr(nr)!n!n!pqrCnCnpCr.r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!

第三篇：高中数学 排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理

1．（西城区）在(2x2

A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续

数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种

3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）

A．18种B．36种C．54种D．72种

4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有

A．50种B．150种C．300种 D．600种（）

5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A．210种

x

6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x1

x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n

若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x1

x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n

项为

11．（丰台区）.在(x1

a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 754

12．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是

13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有

DBCCBC7.1715x411.53;12.±213.144

第四篇：高中数学(人教版)选修2-3典型教学设计：二项式定理(之二)

《二项式定理(一)》教案

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3.情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，如：(ab)2a22abb2，(ab)3?(ab)4?(ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

问题1.(a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2.(a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.2、(ab)3展开式的再认识

探究1：不运算(ab)3，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：(1)合并同类项之前展开式有多少项？

(2)展开式中有哪些不同的项？

(3)各项的系数为多少？

(4)从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式.【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

n(三)形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二项式定理

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是annnkbk(k0,1,n)的形 式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的k次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照(ab)

3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四)熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）1.项数：共有n１项.2.次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knk3.二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数.knkk4.二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项.用Tk1表示.knkk即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab

变一变（1）(ab)（2）(1x)例.求(2xnn16)的展开式.x思考1：展开式的第３项的系数是多少？

思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出展开式的第３项？

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

(五)课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n1knkknn1.公式：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.思想方法：1.从特殊到一般的思维方式.2.用计数原理分析二项式的展开过程.作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3

012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质． ,Cn,Cn,,Cn,,Cn

教案设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(ab)为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

n3总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

第五篇：高中数学知识点总结---二项式定理

高中数学知识点总结---二项式定理

0n01n1rnrrn0n1.⑴二项式定理：(ab)nCnabCnabCnabCnab.展开式具有以下特点： ① 项数：共有n1项；

012rn② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（ab)n展开式中的第r1项为：Trnrrbr1Cna(0rn,rZ).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．I.当n是偶数时，中间项是第n2n1项，它的二项式系数C2n最大；

II.当n是奇数时，中间项为两项，即第最大.③系数和：

CnCnCn2C024nCnCn01nn13nCnn12项和第n12n1n12n1项，它们的二项式系数C2nCC2n1

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1AkAk1或(Ak为TAAk1k解.当a1或b1时，一般采用解不等式组的绝对值）的办法来求解.k1的系数或系数⑷如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中(abc)[(ab)c]nrnnp,q,rN,且

pqrn把

rnrr(ab)C，另一方面在视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)中含有bq的项为pqrCnraqnrqbCnrabqqpq，故在(abc)n中含apbqcr的项为

(nr)!n!r!q!p!pqrnpCrCnCnrabc.其系数为CnCnrrqrqn!r!(nr)!q!(nrq)!CnC.2.近似计算的处理方法.当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)n1na，因为这时展开式的后面部分Cn2a2Cn3a3Cnnan很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.