2.1 圆的标准方程
1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()
A.(-1,2),2
B.(1,-2),2
C.(-1,2),4
D.(1,-2),4
2.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是()
A.(x+3)2+(y+1)2=5
B.(x+3)2+(y+1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5
D.(x-3)2+(y-1)2=25
3.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为()
A.5
B.6
C.7
D.8
4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()
A.(x+2)2+(y-3)2=13
B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()
A.|a|<1
B.a<13
C.|a|<15
D.|a|<113
6.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()
A.x+y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y-3=0
D.x-y+3=0
7.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.能力达标
10.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()
A.(x-1)2+(y+1)2=25
B.(x+1)2+(y-1)2=25
C.(x-1)2+(y+1)2=100
D.(x+1)2+(y-1)2=100
11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=5
12.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.7
13.(多选题)下列各点中,不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()
A.(0,2)
B.(3,3)
C.(-2,2)
D.(4,1)
14.(多选题)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a为常数,a∈R)不经过第二象限,则实数a的可取值为()
A.-2
B.0
C.2
D.4
15.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是.16.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.17.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:
(1)线段AB的垂直平分线l的方程;
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.18.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()
A.(-1,2),2
B.(1,-2),2
C.(-1,2),4
D.(1,-2),4
答案A
2.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是()
A.(x+3)2+(y+1)2=5
B.(x+3)2+(y+1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5
D.(x-3)2+(y-1)2=25
答案D
3.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为()
A.5
B.6
C.7
D.8
答案A
解析圆C的半径为32+42=5.4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()
A.(x+2)2+(y-3)2=13
B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
答案B
解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=(2-0)2+(-3-0)2=13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()
A.|a|<1
B.a<13
C.|a|<15
D.|a|<113
答案D
解析依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,所以a2<1169,即|a|<113,故选D.6.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()
A.x+y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y-3=0
D.x-y+3=0
答案D
解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.7.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.答案±2
解析∵点P在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(3)2=4=m2,∴m=±2.8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=9
9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.能力达标
10.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()
A.(x-1)2+(y+1)2=25
B.(x+1)2+(y-1)2=25
C.(x-1)2+(y+1)2=100
D.(x+1)2+(y-1)2=100
答案B
解析由题意可得圆心为(-1,1),半径为r=5,所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25,故选B.11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=5
答案C
解析直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.由x+1=0,-x-y+1=0,得x=-1,y=2,∴C(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.12.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.7
答案A
解析设圆心C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|≥|OM|-1=32+42-1=4,当且仅当C在线段OM上时取等号,故选A.13.(多选题)下列各点中,不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()
A.(0,2)
B.(3,3)
C.(-2,2)
D.(4,1)
答案ACD
解析由(0-1)2+(2+2)2<25,知(0,2)在圆内;由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上,由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圆内,故选ACD.14.(多选题)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a为常数,a∈R)不经过第二象限,则实数a的可取值为()
A.-2
B.0
C.2
D.4
答案CD
解析圆C:(x-a)2+y2=4表示以C(a,0)为圆心,以2为半径的圆,此圆不经过第二象限,需a>0,且OC≥2,故a≥2,故选CD.15.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是.答案(x-4)2+y2=1
解析设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),则b+1a-3·(-1)=-1,a+32+b-12-3=0,解得a=4,b=0,故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.16.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.答案6
解析因为圆C的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)的距离为32+42=5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.17.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:
(1)线段AB的垂直平分线l的方程;
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.解(1)由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).∵A(-1,2),B(3,4),∴直线AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12.∵直线l垂直于直线AB,∴直线l的斜率k=-1kAB=-2,∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A(-1,2),B(3,4),∴|AB|=(3+1)2+(4-2)2=20=25,∴以线段AB为直径的圆的半径r=12|AB|=5.又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.18.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.解设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得x=-1+1+2x0-13,y=2y03,则x0=3x+12,y0=3y2(y0≠0),代入x2+y2=1,整理得x+132+y2=49(y≠0),故所求轨迹方程为x+132+y2=49(y≠0).
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