1.5 两条直线的交点坐标
1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为()
A.(-4,-3)
B.(4,3)
C.(-4,3)
D.(3,4)
2.过2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且与4x-3y-7=0平行的直线是()
A.3x+4y+17=0
B.4x-3y-6=0
C.3x+4y-17=0
D.4x-3y+18=0
3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为()
A.3x-19y=0
B.19x-3y=0
C.19x+3y=0
D.3x+19y=0
4.两条直线x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交点在第二象限,则m的取值范围是()
A.(-∞,5)
B.(-5,0)
C.(0,5)
D.(-5,5)
5.直线l1:x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标为(0,2),则a= ,b=.6.(2020福建莆田一中高二月考)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.7.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.能力达标
8.过直线l1:3x+y-1=0与直线l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是()
A.x-3y+7=0
B.x-3y+13=0
C.x-3y+6=0
D.x-3y+5=0
9.已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为()
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0或x-2y=0
C.x-y-1=0或x-2y=0
D.x+y-3=0或x-y-1=0
10.若点A(2,-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是()
A.2x-3y+1=0
B.3x-2y+1=0
C.2x-3y-1=0
D.3x-2y-1=0
11.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值为()
A.-24
B.6
C.-6
D.0
12.(多选题)已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是()
A.(1,-3)
B.(3,-4)
C.(-3,1)
D.(-4,3)
13.经过两直线11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交点,且与A(3,-2),B(-1,6)等距离的直线的方程是.14.(2020银川一中高二月考)已知直线l:x+y-2=0,一束光线从点P(0,1+3)以120°的倾斜角投射到直线l上,经l反射,则反射光线所在的直线方程为.15.在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2).(1)求点A的坐标;
(2)求直线BC的方程;
(3)求点C的坐标.16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为边BC,AC,AB上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为()
A.(-4,-3)
B.(4,3)
C.(-4,3)
D.(3,4)
答案C
解析由3x+2y+6=0,2x+5y-7=0,解得x=-4,y=3,即交点坐标是(-4,3).故选C.2.过2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且与4x-3y-7=0平行的直线是()
A.3x+4y+17=0
B.4x-3y-6=0
C.3x+4y-17=0
D.4x-3y+18=0
答案B
解析由2x+y-8=0,x-2y+1=0,解得x=3,y=2,∴直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为(3,2).设与直线4x-3y-7=0平行的直线的方程为4x-3y+a=0,把点(3,2)代入4x-3y+a=0,得a=-6,∴所求直线方程为4x-3y-6=0.故选B.3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为()
A.3x-19y=0
B.19x-3y=0
C.19x+3y=0
D.3x+19y=0
答案D
解析过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标,求得λ=-45,故所求直线方程为x-3y+4-45(2x+y+5)=0,即3x+19y=0,故选D.4.两条直线x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交点在第二象限,则m的取值范围是()
A.(-∞,5)
B.(-5,0)
C.(0,5)
D.(-5,5)
答案C
解析由x-my+4=0,2mx+5y-4m=0,解得x=4m2-202m2+5,y=12m2m2+5,即两条直线的交点为4m2-202m2+5,12m2m2+5,由交点在第二象限,得4m2-202m2+5<0且12m2m2+5>0,解得m∈(0,5).5.直线l1:x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标为(0,2),则a= ,b=.答案-2 12
解析将点(0,2)代入直线x+by=1,解得b=12,将点(0,2)代入直线x-y=a,解得a=-2.6.(2020福建莆田一中高二月考)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.答案x+y+1=0或3x+4y=0
解析由题意可设所求直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,令x=0,得y=7λ-62+5λ;令y=0,得x=7λ-63+2λ.∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等,∴7λ-63+2λ=7λ-62+5λ,即λ=13或λ=67,∴所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.7.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.证明将原方程整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4.所以m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).能力达标
8.过直线l1:3x+y-1=0与直线l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是()
A.x-3y+7=0
B.x-3y+13=0
C.x-3y+6=0
D.x-3y+5=0
答案B
解析由3x+y-1=0,x+2y-7=0,解得x=-1,y=4,所以直线l1与l2的交点为(-1,4),又与直线l1垂直的直线的斜率为13,由点斜式,得所求直线方程为y-4=13(x+1),即x-3y+13=0,故选B.9.已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为()
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0或x-2y=0
C.x-y-1=0或x-2y=0
D.x+y-3=0或x-y-1=0
答案C
解析由2x+y-5=0,x+2y-4=0,解得x=2,y=1.所以两直线的交点坐标为(2,1),因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,①当直线l与坐标轴的截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入x-y=a,得a=1,则直线l的方程为x-y=1,即x-y-1=0;
②当直线l与两坐标的截距等于0时,设直线l的方程为y=kx,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入y=kx,得k=12,所以直线l的方程为y=12x,即x-2y=0.综合①②,直线l的方程为x-y-1=0或x-2y=0.故选C.10.若点A(2,-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是()
A.2x-3y+1=0
B.3x-2y+1=0
C.2x-3y-1=0
D.3x-2y-1=0
答案A
解析∵A(2,-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,∴2a1-3b1+1=0,且2a2-3b2+1=0,∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线2x-3y+1=0上,故点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是2x-3y+1=0,故选A.11.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值为()
A.-24
B.6
C.-6
D.0
答案BC
解析因为两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上,设交点为(0,b),所以3b-m=0,-mb+12=0,消去b,可得m=±6.故选BC.12.(多选题)已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是()
A.(1,-3)
B.(3,-4)
C.(-3,1)
D.(-4,3)
答案AB
解析由y=2x,x+y=3,得x=1,y=2,由三条直线相交于一点,可知m×1+n×2+5=0,即m+2n+5=0,结合选项可知AB正确.13.经过两直线11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交点,且与A(3,-2),B(-1,6)等距离的直线的方程是.答案7x+y-9=0或2x+y+1=0
解析直线11x+3y-7=0和直线12x+y-19=0的交点坐标是(2,-5),线段AB的中点为(1,2),当所求直线过线段AB的中点时,所求方程是7x+y-9=0;直线AB的斜率是-2,当所求直线与直线AB平行时,所求直线的方程是2x+y+1=0.故所求直线方程是7x+y-9=0或2x+y+1=0.14.(2020银川一中高二月考)已知直线l:x+y-2=0,一束光线从点P(0,1+3)以120°的倾斜角投射到直线l上,经l反射,则反射光线所在的直线方程为.答案x+3y-(1+3)=0
解析如图,设入射光线与l交于点Q,反射光线与x轴交于点P＇,由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为-3,又入射光线过点P(0,1+3),∴入射光线所在的直线方程为y-(1+3)=-3x,即3x+y-(1+3)=0.解方程组3x+y-(1+3)=0,x+y-2=0,得x=1,y=1,所以点Q的坐标为(1,1).过点Q作垂直于l的直线l＇,显然l＇的方程为y=x.由反射原理知,点P(0,1+3)关于l＇的对称点P＇(1+3,0)必在反射光线所在的直线上.所以反射光线所在直线P＇Q的方程为y-01-0=x-(1+3)1-(1+3),即x+3y-(1+3)=0.15.在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2).(1)求点A的坐标;
(2)求直线BC的方程;
(3)求点C的坐标.解(1)直线x-2y+1=0和直线y=0的交点是(-1,0),即点A的坐标为(-1,0).(2)∵直线x-2y+1=0为BC边上的高,由垂直关系得kBC=-2,∴直线BC的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.(3)∵角A的平分线所在直线的方程为y=0,A(-1,0),B(1,2),∴kAC=-kAB=-1,设点C的坐标为(a,b),则ba+1=-1,b-2a-1=-2,解得a=5,b=-6,即点C的坐标为(5,-6).16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为边BC,AC,AB上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.解建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),则直线CF的方程为x=0.由直线的截距式方程可得直线AC的方程为xa+yc=1,即cx+ay-ac=0.同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为bc,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=bc(x-a).同理,得直线BE的方程为y=ac(x-b).设直线CF和直线AD交于点O,由y=bc(x-a),x=0得点O的坐标为0,-abc.又O点坐标也满足直线BE的方程,所以直线BE也过点O.所以AD,BE,CF三线共点.
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