4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()
A.-12
B.12
C.-2
D.2
2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是()
A.(1,2)
B.(1,2]
C.(1,5)
D.(1,5]
4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()
A.1
B.2
C.3
D.2
5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.能力达标
7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()
A.1
B.2
C.3
D.2
8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为()
A.-13或13
B.-16或16
C.2
D.16
9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为()
A.839
B.1639
C.3239
D.6439
10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是()
A.12
B.33
C.32
D.53
11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是()
A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2
B.PB1·PB2>0
C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a
D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线
12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为.13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,且经过点32,-32.(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值.1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()
A.-12
B.12
C.-2
D.2
答案A
2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
答案B
解析抛物线的焦点为Fp2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px消去x,得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1.3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是()
A.(1,2)
B.(1,2]
C.(1,5)
D.(1,5]
答案B
4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()
A.1
B.2
C.3
D.2
答案B
5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.答案22
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,∴y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2.∵y1-y2x1-x2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2,∴-b2a2=-12.∴a2=2b2.又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴e=ca=22.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.答案(1,5)
解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba<2.∴e=ca=a2+b2a2<1+4=5,∵e>1,∴1 7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23.∴椭圆的右焦点F(23,0).∴设过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为my=x-23,其中m=1k.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立my=x-23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0.∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2.∵AF=3FB,∴-y1=3y2,把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2.又k>0,∴k=2.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 答案B 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 答案C 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB,所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1,由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,∴y1y2=-4,∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433,∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239.10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 答案B 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB2>0 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线 答案BC 解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确; ∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b2>0,∴PB1·PB2=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=x02+y02-b2>0,B正确; 当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b2=a2+b2a.∴r≤a2+b22a,∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确; 直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2-x02x2,化为y2b2-x2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确.12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为.答案3215 13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.(1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.(1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),则kAM-kBM=y-2x+2-y-2x-2=8-4yx2-4=-2,可得x2=2y(x≠±2),则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2).(2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2,又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2,即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12,直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2,可得直线l的方程为y-m22=m+n2(x-m),化为y=m+n2x-mn2,可得y-6=m+n2(x-2),可得直线l恒过定点(2,6).14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,且经过点32,-32.(1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值.解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2,又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1,联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2,联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0,因为直线AB与椭圆C相交于A,B两点,所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)>0,得k2>1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2,所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2.点O(0,0)到直线kx-y+2=0的距离d=21+k2,所以△OAB面积S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2.令k2-1=t,则k2=t2+1(t>0),所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32,当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立,此时k2=73,△OAB的面积取得最大值32.
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