第三章
机械波
第2节
波的描述
知识点1波的图像
【生活实例】对于稳定的水波，在传播时我们可以观察到波在空间，时间上都具有周期性。对于做简谐运动的单个质点我们可以用振动图像来描述，而波却是很多质点的振动，怎样用图像来描述呢？
1、图像的建立
（1）波传播时，各质点都在各自的平衡位置附近振动，而且振动有先有后，某一时刻各质点处于定的位置，如果用各质点离开平衡位置的位移来表达它们所在的位置，就可以得到关于某时刻各质点位置情况的一条图线。
（2）如图所示，用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，在xOy平面上，画出各点（x，y），用平滑的曲线把各点连接起来就得到了波的图像。
（3）图像的物理意义
波的图像描述的是某一时刻，沿波的传播方向上的各个质点离开平衡位置的位移。
2、图像的特点
（1）横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即图像中正向位移的最大值，波谷即图像中负向位移的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰好处于平衡位置。
（2）波的图像的周期性：在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻，质点的位移不同，则不同时刻，波的图像不同。质点振动时位移做周期性变化，即波的图像也做周期性变化，经过一个周期，波的图像重复一次。（3）波传播方向的双向性：不指定波的传播方向时，图像中波可能向x轴正方向或x轴负方向传播。
（4）波形图线是正弦或余弦曲线的波称为简谐波，简谐波是最简单的波。
【说明】（1）波的传播方向不一定沿x轴正方向、有可能沿x轴负方向，由题意判定。
（2）坐标原点不一定是波源位置，要根据波的传播方向判定。
例题：
1、如图所示是一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波动图像。图中有A、B、C、D、E、F、G、H、I九个质点，下列说法错误的是（）
A．A、C、E、F、H具有相同的位移
B．A、C位移相同，H、F位移方向相反
C．B、I振幅相同
D．A、B振幅相同
2、关于波的图象的物理意义，下列说法正确的是（）
A．表示某一时刻某一质点的位移
B．表示各个时刻某一质点的位移
C．表示某一时刻各个质点的位移
D．表示各个时刻各个质点的位移
知识点2波长
波在空间的周期性怎样描述呢？
1、波长定义
【重点1】在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，叫作波长，通常用“”表示，如图所示。
【注意】“相邻”和“振动相位总是相同的”是波长定义的关键，二者缺一不可。
2、对波长的理解
【重点2】（1）波长在数值上等于一个周期内振动在介质中传播的距离，振源振动一个周期，能且仅能产生一个波长的波形。
（2）相距一个（或整数个）波长的两个质点的振动位移在任何时刻都相同，而且振动速度的大小和方向也相同，即相距一个（或整数个）波长的两个质点的振动状态相同。
（3）物理意义：表示波在空间上的周期性。
3、寻找波长的简易方法
在横波中，两个相邻波峰（或两个相邻波谷）之间的距离等于波长，如图甲所示；在纵波中，两个相邻密部（或两个相邻疏部）之间的距离等于波长，如图乙所示。
例题：
（多选）图所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图象，下列说法中正确的是（）
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相等
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
知识点3周期和频率
波在空间的周期性用波长描述，波对时间的周期性用周期和频率来描述。
1、周期和频率
【重点3】在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，它们都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作波的周期或频率。
2、决定因素
波的周期（或频率）由波源决定，与介质无关。
3、周期和频率的关系
周期（T）和频率（）互为倒数，即
4、物理意义
波的频率（或周期）是描述波的“时间周期性”的物理量。
5、时空关系
在一个周期的时间内振动在介质中传播的距离等于一个波长。
例题：
（多选）关于波的周期，下列说法正确的是（）
A．质点的振动周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驱动力的周期决定的C．波的周期与形成波的介质的密度有关
D．经历整数个周期波形图重复出现，波峰向前移动了一段距离
知识点4波速
1、波速定义
【重点4】波在介质中传播的距离跟所用时间的比值叫作波速，即
2、物理意义
描述振动（或波形）在介质中传播的快慢。
3、波长、频率与波速之间的关系
4、关于波长、频率（或周期）和波速的几点说明
（1）波的频率（或周期）由波源决定，波由一种介质进入另一种介质时波的频率（或周期）不发生变化。
（2）机械波的波速由介质本身的性质决定，与波的频率、振幅无关，在同种均匀介质中，波是匀速传播的，由一种介质进入另一种介质时，波速可能改变。
（3）波长取决于介质的性质和波的频率，可由求出。
（4）在同一种介质中，一个周期内波向前传播一个波长的距离。
（5）每隔n个波长的距离，波形重复出现；每隔n个周期，波形恢复原来的形状，这就是波的“空间周期性”和“时间周期性”。（n＝1，2，3，…）
例题：
1、（多选）下列关于机械波的公式v=λf的说法中正确的是（）
A．v=λf适用于一切波
B．由v=λf知，f增大，则波速v也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v=λf知，波长为4m的声波的传播速度是波长为2m的声波的2倍
2、从甲地向乙地发出频率为50Hz的声波，若当波速为330m/s时，在甲、乙两地间有若干个完整波形的波，当波速为340m/s时，甲、乙两地间完整波形的波数减少了一个，则甲、乙两地相距多少米？
能力拓展1机械波的多解问题
在波的传播过程中，时间上的周期性、空间上的周期性以及传播方向上的双向性是导致波的多解问题的主要原因，若题目添加一定的条件，则可使无限系列解转化为有限解或唯一解，造成波动问题多解的具体因素如下：
1、周期性
（1）时间的周期性：时间间隔△t与周期T的关系不明确。
（2）空间的周期性：波传播距离与波长的关系不明确。
2、双向性
【难点1】（1）传播方向的双向性：波的传播方向不确定。
（2）振动方向的双向性:质点振动方向不确定。如：
①质点到达最大位移处，则有正向最大位移和负向最大位移两种可能。
②质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上和向下两种可能。
③已知波速而不明确波的传播方向，则应考虑波沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向传播或沿x轴负方向传播。
④只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
解决此类问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，若知时间关系，则加nT，若知空间关系，则加。（n＝0，1，2，…）
③隐含性
【难点2】在波动问题中往往只给出完整波形的部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，造成波动问题的多解性，具体可能从以下四个方面出现：
（1）质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移处两种可能。
（2）质点由平衡位置起振，则起振方向有向y轴正方向和向y轴负方向两种可能。
（3）只给出波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿x轴正方向和x轴负方向两个方向传播的可能。
（4）只给出两时刻的波形图，则有多次重复出现的可能。
例题：
1、如图所示，A、B是一列简谐横波中的两点。某时刻，A正处于正向最大位移处，另一点B恰好通过平衡位置向-y方向振动。已知A、B的横坐标分别为xA=0，xB=70m，并且波长λ符合不等式：20m＜λ＜80m，求波长λ。
2、（多选）一列简谐波在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成图中虚线所示，已知波速大小为1m/s，则这段时间可能是（）
A．1s
B．2s
C．3s
D．4s
能力拓展2波的传播方向与质点振动方向的判断
根据质点的振动方向来判断波的传播方向或根据波的传播方向来判断质点的振动方向时，判断依据的基本规律是波形成与传播的特点，常用的方法有：
1、上下坡法
先振动的质点带动邻近的后振动质点，如图甲所示，若波向右传播，P＇点在P点前面，P向上运动；如图乙所示，若波向左传播，P点在P点前面，P向下运动，即沿波的传播方向看过去，后面的质点总是在重复前面质点的运动，即顺着波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动；“下坡”处的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图丙所示）。
2、同侧法
在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点运动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧。
3、头头（尾尾）相对法
在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，并在波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头表示质点运动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对。
4、微平移法
如图所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间（）后的波形如图丁中虚线所示，由图可见t时刻的质点由P1（或P2）位置经△t后运动到P1＇（P2＇）处，这样就可以判断质点的运动方向了。
例题：
一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图（a）是t=1s时的波形图像，图（b）是波中某振动质点位移随时间变化的振动图像（两图用同一时间起点）。
（1）若波沿x轴正方向传播，则图（b）可能是图（a）中哪个质点的振动图像？
A.x=0处的质点
B.x=1m处的质点
C.x=2m处的质点
D.x=3m处的质点
（2）设波沿x轴负方向传播，画出x=3m处的质点的振动图像。
能力拓展3振动图像和波的图像的比较
项目
振动图像
波的图像
不同点
物理意义
表示某一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
研究对象
一振动质点
沿波传播方向上的所有质点
研究内容
该质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分配规律
图像
一个完整图形所占横坐标的距离
表示一个周期T
表示一个波长
比喻
单人舞的录像
抓拍的集体舞照片
相同点及联系
图像形状
正弦曲线
可获得的信息
质点振动的振幅、位移和加速度的方向
联系
质点的振动是组成波动的基本要素
例题：
（多选）如图所示为一列向右传播的简谐横波在某个时刻的波形，由图象可知（）
A．质点b此时速度为零
B．质点b此时向y轴正方向运动
C．质点d的振幅是2cm
D．质点a再经过通过的路程是4cm，偏离平衡位置的位移是4cm
易错防范：
在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点的距离均为L，如图甲所示．一列横波沿该直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，经过时间△t第一次出现如图乙所示的波形．则该波的（）
A．周期为△t，波长为8L
B．周期为△t，波长为9L
C．周期为△t，波速为
D．周期为△t，波速为
高考真题：
题型1利用波形图计算
一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1=1m和x2=7m处质点的振动图象分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是（）
A．7
m/s
B．3
m/s
C．2
m/s
D．1
m/s
题型2波的周期性和双向性
图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.3s后，其波形曲线如图中虚线所示。已知该波的周期T大于0.3s。若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为
m/s，周期为
s；若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为
s。
课后训练
1、如图所示是一列波的波形，波沿x轴正方向传播，对a、b、c、d四个质点而言，速度为正，加速度为负的点是（）
A．b
B．a
C．d
D．c2、如图所示为一列简谐横波在某一时刻的波形图，已知质点A在此时刻的振动方向如图中箭头所示，则以下说法中正确的是（）
A．波沿x轴向左传播，质点B向y轴负方向振动，质点C向y轴正方向振动
B．波沿x轴向右传播，质点B向y轴正方向振动，质点C向y轴负方向振动
C．波沿x轴向左传播，质点B向y轴正方向振动，质点C向y轴正方向振动
D．波沿x轴向右传播，质点B向y轴负方向振动，质点C向y轴负方向振动
3、一列简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻的图像如图所示，坐标为（3cm，0）的质点经过周期后的坐标是（）
A．（3cm，2cm）
B．（4cm，2cm）
C．（4cm，-2cm）
D．（3cm，0）
4、（多选）简谐横波某时刻波形图如图所示，a为介质中的一个质点，由图象可知
（）
A．质点a加速度方向一定沿y轴负方向
B．质点a的速度方向一定沿y轴负方向
C．经过半个周期，质点a的位移一定为负值
D．经过半个周期，质点a通过的路程一定为2A5、（多选）一列简谐横波，某时刻的图象如图甲所示，从该时刻开始计时，A质点的振动图象如图乙所示，则（）
A．波沿x轴正向传播
B．波速是25m/s
C．经过△t=0.4s，质点A通过的路程是4m
D．质点P比质点Q先回到平衡位置
6、（多选）一列横波在t=0时刻的波形如图中实线所示，在t=1s时刻的波形如图中虚线所示，由此可以判定此波的（）
A．波长一定是4cm
B．周期一定是4s
C．振幅一定是2cm
D．传播速度一定是1cm/s7、一列简谐横波沿x轴传播，实线为t1=0时的波形图，此时P质点向y轴负方向运动，虚线为t2=0.1s时的波形图．已知周期T＞0.1s．则该波沿x轴
（选填“正”或“负”）方向传播，传播速度为
m/s．
8、如图所示，图甲为某一波动在t=1.0s时的图象，图乙为参与该波动的质点P的振动图象．
（1）求该波波速；
（2）求再经过3.5s时P质点经过的路程；
（3）判断波的传播方向．
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