2.1.2　椭圆的简单几何性质——高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册第二章课时作业

1.2　椭圆的简单几何性质

1.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()

A.13

B.12

C.22

D.223

2.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()

A.8,6

B.4,3

C.2,3

D.4,23

3.已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则()

A.a2=25,b2=16

B.a2=9,b2=25

C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25

D.a2=25,b2=9

4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()

A.12

B.14

C.2

D.4

5.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()

A.x236+y216=1

B.x216+y236=1

C.x26+y24=1

D.y26+x24=1

6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过点C,D的椭圆的离心率为.7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M43,13,求椭圆C的离心率.能力达标

9.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为()

A.3-1

B.2-3

C.22

D.32

10.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()

A.2m-1m-1

B.-2-mm

C.2mm

D.-21-mm-1

11.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程是()

A.x28+y24=1

B.x23+y25=1

C.x26+y22=1

D.x26+y29=1

12.已知点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()

A.33

B.12

C.22

D.32

13.(多选题)如图,已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是该椭圆在第一象限内的点,∠F1PF2的平分线交x轴于Q点,且满足OF2=4OQ,则椭圆的离心率e可能是()

A.18

B.14

C.12

D.34

14.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.15.如图,把椭圆x24+y22=4的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.16.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.17.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1⊥QP,sin

∠F1PQ=513,则该椭圆离心率的取值范围是()

A.2626,1

B.15,53

C.15,22

D.2626,22

1.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()

A.13

B.12

C.22

D.223

答案C

解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.2.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()

A.8,6

B.4,3

C.2,3

D.4,23

答案B

解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍,长度为3.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则()

A.a2=25,b2=16

B.a2=9,b2=25

C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25

D.a2=25,b2=9

答案D

解析椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.所以a2=25,b2=9.4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()

A.12

B.14

C.2

D.4

答案B

解析因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,短半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故1m=2,解得m=14.5.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()

A.x236+y216=1

B.x216+y236=1

C.x26+y24=1

D.y26+x24=1

答案A

解析依题意得c=25,a+b=10,又a2=b2+c2,所以解得a=6,b=4,椭圆的标准方程为x236+y216=1.6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过点C,D的椭圆的离心率为.答案12

解析如图,AB=2c=4,∵点C在椭圆上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0

解析∵e=1-(ba)2,b=1,0b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M43,13,求椭圆C的离心率.解2a=|MF1|+|MF2|=(43+1)2+(13)2+(43-1)2+(13)2.所以a=2.又由已知c=1,所以椭圆C的离心率e=ca=12=22.能力达标

9.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为()

A.3-1

B.2-3

C.22

D.32

答案A

解析∵过F1的直线MF1是圆F2的切线,∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c,∴|MF1|=3c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+3c=2a,∴椭圆离心率e=21+3=3-1.10.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()

A.2m-1m-1

B.-2-mm

C.2mm

D.-21-mm-1

答案C

解析椭圆方程可化简为x211+m+y21m=1,由题意,知m>0,∴11+m<1m,∴a=mm,∴椭圆的长轴长2a=2mm.11.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程是()

A.x28+y24=1

B.x23+y25=1

C.x26+y22=1

D.x26+y29=1

答案A

解析由题意,知当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,只有选项A符合题意,故选A.12.已知点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()

A.33

B.12

C.22

D.32

答案C

解析点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,可得4a2+1b2=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b2≥5+24b2a2·a2b2=3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故选C.13.(多选题)如图,已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是该椭圆在第一象限内的点,∠F1PF2的平分线交x轴于Q点,且满足OF2=4OQ,则椭圆的离心率e可能是()

A.18

B.14

C.12

D.34

答案CD

解析∵OF2=4OQ,∴|QF2|=34c,|OQ|=14c,则∣QF1∣=54c.∵PQ是∠F1PF2的平分线,∴|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=53,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=5a4,|PF2|=3a4.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=2516a2+916a2-4c22×5a4×3a4=1715-3215e2,∵-1

解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由e=22,知ca=22,故b2a2=12.由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故a=4,∴b2=8,∴椭圆C的方程为x216+y28=1.15.如图,把椭圆x24+y22=4的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.答案28

解析根据题意,把椭圆x24+y22=4的长轴AB分成8等份,设另一焦点为F2,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余两对的和也是2a.又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.16.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解(1)∵c=9-4=5,∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为x236+y220=1.17.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1⊥QP,sin

∠F1PQ=513,则该椭圆离心率的取值范围是()

A.2626,1

B.15,53

C.15,22

D.2626,22

答案D

解析∵QF1⊥QP,∴点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q在椭圆的内部,∴以F1F2为直径的圆在椭圆内,∴c

∠F1PQ=513,∴cos

∠F1PQ=1213.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·1213.∴4c2=(m+n)2-2mn-2mn·1213,即4c2=4a2-5013mn,∴mn=2625(a2-c2).由基本不等式得mn≤m+n22=a2,当且仅当m=n时取等号,由题意知QF1⊥QP,∴m≠n,∴mn126,∴e>2626,综上可得2626