1.4 两条直线的平行与垂直
1.下列说法中,正确的有()
①斜率均不存在的两条直线可能重合;
②若直线l1⊥l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;
③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;
④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1⊥l2.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系()
A.平行
B.重合C.相交
D.以上答案都不对
3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为()
A.(2,0)
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(1,0)
4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为()
A.2
B.±2
C.2
D.±2
5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=.6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为.7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为.8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:
(1)倾斜角为135°;
(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;
(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.能力达标
9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于()
A.-4
B.-2
C.0
D.2
10.已知直线l1:xsin
α+y-1=0,直线l2:x-3ycos
α+1=0.若l1⊥l2,则sin
2α=()
A.35
B.-35
C.23
D.-23
11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于()
A.-3
B.3
C.-6
D.6
12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是()
①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;
②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;
③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是()
A.0或3
B.-1或3
C.0或-1或3
D.0或-1
14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为.15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为 ,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为.16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1).(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,1.下列说法中,正确的有()
①斜率均不存在的两条直线可能重合;
②若直线l1⊥l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;
③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;
④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1⊥l2.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案C
解析斜率均不存在的两条直线可能平行,也可能重合,故①正确,两直线垂直,有两种情况:当两条直线都有斜率时,斜率乘积为-1;也可以一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,故②错误,③④正确.2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系()
A.平行
B.重合C.相交
D.以上答案都不对
答案A
解析∵直线l1的斜率k1=12,直线l2的斜率k2=12,∴k1=k2.∵两条直线在y轴上的截距分别为74和52,不相等,∴l1与l2互相平行.故选A.3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为()
A.(2,0)
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(1,0)
答案B
解析设l2与y轴交点为B(0,b).∵直线l1过A(1,1),O(0,0),∴kOA=1.∵l1⊥l2,∴kOA·kAB=-1,即kAB=b-10-1=-1,解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为()
A.2
B.±2
C.2
D.±2
答案D
解析∵直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,显然a≠0,∴-12a=-a4,52a≠-12,即a2-2=0,a≠-5.解得a=±2,故选D.5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=.答案-98
解析由根与系数的关系可知k1+k2=32,k1·k2=-b2,∵l1∥l2,∴k1=k2=34,解得b=-2k1·k2=-98.6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为.答案0或5
解析当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时直线l2的斜率k2=0,则l1⊥l2,满足题意.当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.由l1⊥l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为.答案(3,-6)
解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC,∴kAB=kCD且kAD=kBC,∴3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:
(1)倾斜角为135°;
(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;
(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.解(1)由kAB=m-32m2=tan
135°=-1,解得m=-32或m=1.(2)由题意kAB=m-32m2,且-7-20-3=3,则m-32m2=-13,解得m=32或m=-3.(3)令m-32m2=9+3-4-2=-2,解得m=34或m=-1.能力达标
9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于()
A.-4
B.-2
C.0
D.2
答案B
解析∵直线l的斜率为-1,则直线l1的斜率为1,∴kAB=2-(-1)3-a=1,∴a=0.由l1∥l2,得-2b=1,得b=-2,所以a+b=-2.故选B.10.已知直线l1:xsin
α+y-1=0,直线l2:x-3ycos
α+1=0.若l1⊥l2,则sin
2α=()
A.35
B.-35
C.23
D.-23
答案A
解析∵l1⊥l2,∴sin
α-3cos
α=0,即tan
α=3.∴sin
2α=2sin
αcos
α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35.11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于()
A.-3
B.3
C.-6
D.6
答案B
解析由题意知l1⊥l2,∴kl1·kl2=-1,即-13k=-1,解得k=3.12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是()
①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;
②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;
③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案D
解析由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为12,且两直线没有公共点,故l1∥l2.故选D.13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是()
A.0或3
B.-1或3
C.0或-1或3
D.0或-1
答案D
解析∵两直线没有公共点,∴1×3a-a2(a-2)=0,∴a=0或-1或3,经检验知a=3时两直线重合,a=0或a=-1时,两直线平行.14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为.答案(0,-6)或(0,7)
解析设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP.又kAP=y+52,kBP=y-6-6,kAP·kBP=-1,所以y+52·y-6-6=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为 ,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为.答案(-4,-1)x-y+3=0
解析设Q(a,b),则b-5a-2·(-1)=-1,a+22+b+52=1,解得a=-4,b=-1.即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为x-y+c=0,将Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直线方程为x-y+3=0.16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1).(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.解(1)∵l1过点M(-4,-1),∴-4a+b+4=0.∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0.∴a=1,b=0或a=4,b=12.(2)由题意可得两条直线不可能都经过原点,当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,可知两条直线不平行.b≠0时两条直线分别化为
y=abx+4b,y=(1-a)x-b,∴ab=1-a,4b=b,解得b=2,a=23或b=-2,a=2.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-ac,因为BE⊥AC,所以-pb-ac=-1,即pa=-bc;
由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-ab,则直线CF与AB的斜率之积为-pc-ab=pabc=-bcbc=-1,所以CF⊥AB.
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