线性代数电子教案LA1-1B

第一篇：线性代数电子教案LA1-1B

线性代数讲稿

讲稿编者：使用教材：《线性代数》

教学参考：《线性代数典型题分析解集》张 凯 院

西北工业大学出版社 西工大数学系编 西北工业大学出版社 徐 仲 等编

第一章

n阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,,pn构成的不同排列有n!种．

解 在n个元素中选取1个

n种取法

在剩余n1个元素中选取1个

n1种取法

在剩余n2个元素中选取1个

n2种取法

„„„„„„

„„„„

在剩余2个元素中选取1个

2种取法

在剩余1个元素中选取1个

1种取法

------------------

总共n!种取法

2．标准排列：n个不同的自然数从小到大构成的排列．

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．

3．逆序数：

(1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）

之间有1个逆序．

(2)排列p1p2pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作(p1p2pn)．

算法：固定i(2,,n), 当ji时，满足pjpi的“pj”的个数记作i（称为pi的逆序数），那么(p1p2pn)2n．

例2 排列6372451中, 2710322614．

例3 排列13(2n1)(2n)(2n2)42, 求逆序数．

解

记作p1p2pnpn1pn2p2n1p2n

20, ,n10

n2221, n3422, „, 2n2(n1)

2[12(n1)]n(n1)

4．奇偶性：排列p1p2pn

(p1p2pn)奇数时, 称为奇排列；

(p1p2pn)偶数时, 称为偶排列．

5．对换：

相邻对换：p1pipi1pnp1pi1pipn

一般对换：p1pipjpnp1pjpipn(ij)

定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．

证

先证相邻对换：(1)a1alabb1bm

(2)a1albab1bm

ab：对换后a增加1, b不变, 故t2t11；

ab：对换后a不变, b减少1, 故t2t11．

所以t2与t1的奇偶性相反．

再证一般对换：(1)a1alab1bmbc1cn

(2)a1alb1bmabc1cn

(3)a1albb1bmac1cn

(1)(2)经过m次相邻对换

(2)(3)经过m1次相邻对换

(1)(3)经过2m1次相邻对换, 所以t3与t1的奇偶性相反．

推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数．

偶排列标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 n阶行列式的定义

1．二阶： a11a21a11a12a22a12a22a32a11a22a12a21

a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33 2．三阶： a21a

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

(1)乘积中三个数不同行、不同列：a1p1a2p2a3p3

行标(第1个下标)：标准排列 123

列标(第2个下标)：p1p2p3是1,2,3的某个排列(共6种)

(2)正项：123, 231, 312为偶排列

负项：132, 213, 321为奇排列

a11a12a22a32a13a23(1)a1p1a2p2a3p3, (p1p2p3)．

(p1p2p3)a33

于是 a21a31 3．n阶：n2个数aij(i,j1,2,,n), 称

a11a12a22a1na2n 

Da21an1an2ann

为n阶行列式, 它表示数值

(p1p2pn)(1)a1p1a2p2anpn, (p1p2pn)

其中, 求和式中共有n!项．

a11a12a22a1na11a1,n1a1n

例3 计算D1a2na21a2,n1, D2annan1.解 D1中只有一项a11a22ann不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

(12n)0, 故D1(1)a11a22anna11a22ann．

D2中只有一项a1na2,n1an1不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

(n21)12(n1)

故D2(1)a1na2,n1an1(1)n(n1)2n(n1)2a1na2,n1an1．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠以符号(1)

特例：

n(n1)2．

1

1212n，2(1)n(n1)212n

na11a21

定理2 Dan1a12a22a1nna2n(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn

(2)(q1q2qn)an2ann(p1p2pn)

证

由定义知

D(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

(1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(q1q2qn)a1p1a2p2anpn

(3)5

① (q1q2qn)偶数

q1q2qn12n

偶数次对换

12np1p2pn

偶数次对换

所以(p1p2pn)偶数

② (q1q2qn)奇数

q1q2qn12n

奇数次对换

12np1p2pn

奇数次对换

所以(p1p2pn)奇数

因此(1)(q1q2qn)(1)(p1p2pn), 由(3)可得

(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

同理可证(1)中的项都是(2)中的项．

课后作业：习题一

1，2，3

第二篇：线性代数电子教案LA2-2B

6.伴随矩阵：A(aij)nn, detA中元素aij的代数余子式为Aij．

a11a21

Aan1a12a22an2a1nA11Aa2n，A*12annA1nA21A22A2nAn1An2

Ann

重要性质：AA*A*A(detA)E

7.共轭矩阵：复矩阵A(aij)mn的共轭矩阵记作A(aij)mn．

算律：(1)(AB)AB

(2)(kA)kA

(3)(AB)AB

(4)(A)(A)AH

§2.3 逆矩阵

定义：对于Ann, 若有Bnn满足ABBAE, 则称A为可逆矩阵，且B为A的逆矩阵, 记作A1B．

定理1 若Ann为可逆矩阵, 则A的逆矩阵唯一．

证

设B与C都是A的逆矩阵, 则有

ABBAE, ACCAE

BBEB(AC)(BA)CECC

定理2 Ann为可逆矩阵detA0；

Ann为可逆矩阵A1

证

必要性．已知A1存在，则有

AA1EdetAdetA11detA0

充分性．已知detA0，则有

A*A*AE

AAAA(detA)EAdetAdetA1A*．

由定义知A为可逆矩阵，且A1detA**TT记作1A*． deAt 7 [注]detA0时, 亦称A为非奇异矩阵；

detA0时, 亦称A为奇异矩阵．

推论1 对于Ann, 若有Bnn满足ABE, 则A可逆, 且A1B．

证 ABEdetAdetB1detA0A可逆

A1A1EA1(AB)(A1A)BEBB

推论2 对于Ann, 若有Bnn满足BAE, 则A可逆, 且A1B．

算律：

(1)A可逆A1可逆, 且(A1)1A．

对于A1, 取BA, 有A1BA1AE．

(2)A可逆, k0kA可逆, 且(kA)1A1．

k11

对于kA, 取BA1, 有(kA)B(kA)(A1)AA1E．

kk

(3)Ann与Bnn都可逆AB可逆, 且(AB)1B1A1．

对于AB, 取CB1A1, 有

(AB)C(AB)(B1A1)A(BB1)A1E．

(4)A可逆AT可逆, 且(AT)1(A1)T．

对于AT, 取B(A1)T, 有ATBAT(A1)T(A1A)TE．

(5)A可逆detA11． detA

(6)Ann与Bnn都可逆(AB)*B*A*．

证(AB)*[det(AB)](AB)1[(detA)(detB)][B1A1]

[(deBt)B1][(deAt)A1]B*A*

负幂：A可逆, 定义A0E, Ak(A1)k(k1,2,), 则有

AkAlAkl,(Ak)lAkl

(k,l为整数)310541, A11A*110123

例1 A21155111401

例2 设Ann满足A22A4EO, 求(AE)1． 解

A22A4EOA22A3EE

(AE)(A3E)E(AE)1A3E

应用：

(1)n阶线性方程组求解 Annxb, detA0xA1b

(2)求线性变换的逆变换 yAnnx, detA0xA1y

(3)矩阵方程求解

设Amm可逆, Bnn可逆, 且Cmn已知, 则

AXCXA1C

XBCXCB1

AXBCXA1CB1

21510, C20 满足AXC2X, 求X．

例3 设A23135216

解

并项：(A2E)XC

计算：X(A2E)1C

05412131

101232071

51101351111 满足A*XA12X, 求X．

例4 设A111111 9

解

并项：

(A*2E)XA1

左乘A： [(detA)E2A]XE

t4

计算：

deA

X(4E2A)11(2EA)121101 0114

密码问题：

a1, b2,c3, „ ,z26

123011

A112 , A1221

012111

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 167981

加密：A344 , A1552

20431443发出∕接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 43 

解密：A1674413 , A18152915

43204314明码：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

101§2.4 分块矩阵

11

A0011

A00011010A11021A21003011010B1021003A12 A22B2B3B4

用若干条横线与纵线将矩阵A划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵 为A的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵．

特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；

同列上的子矩阵有相同的“列数”．

A11A1rB11B1rB, mn

As1AsrBs1Bsr

1.加法：AmnA11B11A1rB1r

AB As1Bs1AsrBsr 要求：A与B同阶, 且分块方式相同．

2.数乘：kAmnkA11kA1r

kAs1kAsr

3.乘法：AmlA11A1tB11B1rB, ln

As1AstBt1Btr

CijAi1B1jAitAi1B1jAitBtj

Btj 11 C11C1r

AB Cs1Csr 要求：A的列划分方式与B的行划分方式相同．

10

例1 A110121001000E0A211104201B111B210O E0112

B1011E B22B11

ABA21B11B211E1A21B22210241103301 31

4.转置：AmnTA11A11A1rTA, A1TrAs1AsrAsT1 TAsr 特点：“大转”+“小转”

5.准对角矩阵：设A1,A2,,As都是方阵, 记

A1A1,A2,,As)

Adia(g AsA2

性质：(1)detA(detA1)(detA2)(detAs)

(2)A可逆Ai(i1,2,,s)可逆

(3)Ai(i1,2,,s)可逆A1A111A2 As1500A1

例2 A031O021A111

AOO A20015O0 111A2023AO1M

例3 设Amm与Bnn都可逆, Cnm, M, 求． CB 解 detM(detA)(detB)0M可逆

X1

M1X3X2 , X4AOX1CBX3X1X2X3X4X2EmX4OA1OBCAB111O EnAX1EmAXO2



CX1BX3OCX2BX4En

M

1A1O 11BCAB课后作业：习题二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第三篇：线性代数电子教案LA3-1B

第三章

矩阵的初等变换

§3.1 矩阵的秩

1.子式：在Amn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k2个数按照原来的 相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作Dk．

k

对于给定的k, 不同的k阶子式总共有CkmCn个．

2.矩阵的秩：在Amn中，若

(1)有某个r阶子式Dr0；

(2)所有的r1阶子式Dr10（如果有r1阶子式的话）．

称A的秩为r, 记作rankAr, 或者 r(A)r．规定：rankO0

性质：(1)rankAmnmin{m,n}

A

(2)k0时rank(kA)rankATrankA

(3)rankAr

(4)A中的一个Dr0rankAr

(5)A中所有的Dr10rank8223 例1 A212212, 求r(A)． 3141 解

位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D223300

212

计算知, 所有的3阶子式D30, 故r(A)2． [注] Amn, 若rankAm, 称A为行满秩矩阵；

若rankAn, 称A为列满秩矩阵．

Ann, 若rankAn, 称A为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）；

若rankAn, 称A为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．

§3.2 矩阵的初等变换

1.初等变换

行变换

列变换

① 对调

rirj

cicj

② 数乘(k0)kri kci

③ 倍加 rikrj cikcj

Amn经过初等变换得到Bmn, 记作AmnBmn．

2.等价矩阵：若AmnBmn, 称Amn与Bmn等价, 记作AmnBmn．

(1)自反性：AA

(2)对称性：AmnBmnBmnAmn

(3)传递性：AmnBmn, BmnCmnAmnCmn

定理1 AmnBmnrankArankB．

1次有限次kranBk．

证

只需证明AmnBmnranAkr, 仅证行变换之(3)的情形：

设ranAirikrji

Aj{m,n}, 则有

(1)若rminkjB

jB)(B)(A)

Dr(1不含ri：Dr1Dr10

B)(B)(A)(A)

Dr(含, 不含：rDDkDrir1r1r10 1j 2

D(B)r1含ri, 且含rj：D(B)r1倍加A)Dr(10

B)krranAk

故B中所有的r1阶子式Dr(10ranBrikrjkranBk, 于是可得rankArankB．

BAranA

(2)若rm或者rn, 构造矩阵

AOBO

A1, B1 OOOO(m1)(n1)(m1)(n1)

由(1)可得A1B1rankA1rankB1

ranAk1ranAkkranBk ranAranBk1ranBkrikrj

其余情形类似．

8223 例2 A212212, 求r(A)． 314166140913行0644, 故r(A)2．

解

A064431400100行14103213行

行最简形：A012323012323B

00000000行1000

标准形：A0100H

0000行与列

定理2 若rankAmnr(r0), 则

00b1i1行

Ab1i2b2i1b1irb2irbrir00***B：行阶梯形 00

[i1][i2][ir]

00100*10*行

A1*H：行最简形

0000E 定理3 若rankAmnr(r0), 则ArO 推论1 若Ann满秩, 则AEn．

ArankB．

推论2 AmnBmnrankO, 称为A的等价标准形． O

§3.3 解线性方程组的消元法

2x1x23x31

例如

4x12x25x342x2x3612x1x23x31(2)2(1)4x2x32

(3)(1)x2x35(1)(2)(3)(4)(5)(6)2x1x23x31(5)4(6)x2x35

(5)(6)3x318x19(8)

x21

x6(9)3(7)解线性方程组的初等变换：(1)互换两个方程的位置(2)用非零数乘某个方程

(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程

用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：

31213121行0

Ab42544120261152031921100行0101

0115031800016行

a11a21

方程组：

am1a12a22am2a1na2namnx1b1xb22

或者 Axb xnbm~

增广矩阵：AAb

kr, 且A的左上角r阶子式Dr0, 则

设ranA10行~

A00000b1,r1b1n10b2,r1b2n000001br,r1brn0000d1d2dr： 行最简形 dr10

Axb的同解方程组为

x1b1,r1xr1b1nxnd1xb22,r1xr1b2nxnd2



(3.4)xbr,r1xr1brnxndrr0dr1 5

~

若dr10, 则方程组(3.4)无解：rankAr1rrankA ~

若dr10, 则方程组(3.4)有解：rankArrankA

(1)rn时, 方程组(3.4)成为

x1d1, x2d2, …, xndn 是其唯一解

(2)rn时, 方程组(3.4)成为

x1d1b1,r1xr1b1nxnxdb222,r1xr1b2nxn



xrdrbr,r1xr1brnxn

一般解为

x1d1b1,r1k1b1nknrxdb22,r1k1b2nknr2

xrdrbr,r1k1brnknr

xk1r1knrxn

其中k1,k2,,knr为任意常数．

~

定理4 Amn, AAb

~

(1)Axb有解rankArankA；

(2)Axb有解时, 若rankAn, 则有唯一解；

若rankAn, 则有无穷多组解．

定理5(1)Amnx0有非零解rankAn；

(2)Annx0有非零解detA0．

课后作业：习题三

1, 2, 3, 4

第四篇：线性代数电子教案LA1-2B

§1.4 行列式的性质

a11a1na11an1, DΤ, 则DΤD．

性质1 设Dan1anna1nann

证 令bijaji(i,j1,2,,n), 则

b11bn1

DΤ(1)b1p1b2pbp2bnpn

1nb(p12pn)nn

(1)apapp11(22apnnD

1p2pn)ai1ainaj1

性质2 设ij,D, D1aj1ajnai1

证 bikajk,bjkaik(k1,2,,n)

li,j:blkalk(k1,2,,n)

bi1bin

D1(1)(bipibjpj)bj1bjn

(1)t(1)(bjpjbipi)

(1)(1)t(aipjajpi)

(1)(1)t(aiqiajqj)D

推论1 D对调两列得D2D2D．

(p1p2pn)(根据Th2)

ajn, 则D1D．ain

(pipj)

t(pjpi)

qipj,qjpili,j:qlpl

t(qiqj)

T

证 因为D对调两列得D2, 相当于DT对调两行得D2 T

所以D2D2DTD

推论2 D中某两行(列)元素对应相等D0．

证 因为对调此两行(列)后,D的形式不变

所以DDD0

123

例如, 对于任意的a,b,c, 都有abc0．

123a11a1na1nkD anna11ka1j

性质3 kai1kainkD, an1kanjan1ann

证(1)左端(1)[a1p1(kaipi)anpn]

(p1pipn)

k(1)(a1p1aipianpn)kD

推论1 D中某行(列)元素全为0D0．

推论2 D中某两行(列)元素成比例D0．

性质4 若对某个i, 有aijbijcij(j1,2,,n), 则

a11a1na11a1na11a1ncin 

ai1ainbi1an1annan1binci1annan1ann

证 左端(1)(a1p1aipianpn)

(p1pipn)

(1)(a1p1bipianpn)(1)(a1p1cipianpn)

右端(1)+ 右端(2)[注] 性质4对于列的情形也成立．

ai1ainraikrji1aj1ainajn

性质5 (ij)

aj1ajnaj1ajn [注] 性质5对于列的情形也成立．

1533

例5 计算D20113112.41311533153315

解 D01055016101150211010023(5)0002191101110215331533

(5)011101110023(5)0023550031000112xaa

例6 计算Daxan．

aax111

解 rD1(r2rn)axan[x(n1)a] aax111

[x(n1)a]0xa0

00xa

[x(n1)a](xa)n1

33112311 123n2100

例7 计算Dn3010．

n001t23n

解 Dnc1jcjj2,,n010000101(22n2)0001

§1.5 行列式按行（列）展开

余子式：在n阶行列式中，将元素aij所在的行与列上的元素划去，其余

元素按照原来的相对位置构成的n1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij．

代数余子式：元素aij的代数余子式Aij(1)ijMij．

a11a21

定理3 Dan1a12a22a1na2n an2ann

ai1Ai1ai2Ai2ainAin

(i1,2,,n)

a1jA1ja2jA2janjAnj

(j1,2,,n)

证

证明第一式, 分以下3步．

a11a1,n1

第1步：Mnn(1)(p1pn1)a1p1an1,pn1

an1,1an1,n1

(1pin1)

a11a1,n1a1nan1,nann

0an1,1an1,n10(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn



pnn(1)(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn+ a1p1an1,pn1an,pn(p1pn1pn)pnn

ann(1)(p1pn1n)a1p1an1,pn1

(p1pn1n)(p1pn1)

annMnnann(1)nnMnnannAnn

a1jD1

第2步： D(i,j)0ai1,j0aijai1,janj0D2D4a1jD1D2ai1,jai1,j anj0aij0

D3

(1)(ni)(nj)D3000D4

(1)(ij)aijMijaijAij

第3步：DD(i,1)D(i,2)D(i,n)

ai1Ai1ai2Ai2ainAin

15332011

例8 计算D．

31124131 162

解 D310271627011(1)32211

112143043200520555

(1)211(1)(1)2271701aa

例9 计算D2nbbabcdcdd00(1)12nb(2n1)．

cD2(n1)0

解 D2n(1)11a00d0c0D2(n1)0(2n1)

(1)(2n1)(2n1)adD2(n1)(1)(1)(2n1)1bcD2(n1)

(adbc)D2(n1)(adbc)n1D2

D2abadbc

cd

D2n(adbc)n

1112210330n

例10 计算Dn．

100n1n1100 12

解 DnnDn1(1)n1(n1)!

n(n1)Dn2(1)(n1)1(n11)!(1)n1(n1)!

n(n1)Dn2(1)n



n(n1)3D(1)4n!n!n!(1)n(1)n1 n!n!(1)n1 n1n23n1

D211221(1)22(1)311

D(1)2(1)3(1)4(1)n1

n(n!)123n

课后作业：习题一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)

n

第五篇：线性代数电子教案LA5-1B

第五章

矩阵的相似变换

§5.1 矩阵的特征值与特征向量

定义： 对于n阶方阵A, 若有数和向量x0满足Axx, 称为A的特征值, 称x为A的属于特征值的特征向量．

特征方程：Axx(AE)x0 或者(EA)x0

(AE)x0有非零解de(tAE)0

EA)0

de(t

特征矩阵：AE 或者 EA

a11a12a1na2n

特征多项式：()det(AE)a21an1a22an2

ann

a0na1n1an1an[a0(1)n]

122

例1 求A212 的特征值与特征向量． 2211

解 ()222212(5)(1)2 21

()015,231

求15的特征向量：

2214101行011, p1

A5E24212401200

xk1p1(k10)

求231的特征向量：

222行111111, p0 000

A(1)E222, p2300022201

xk2p2k3p3

（k2,k3不同时为0）

110

例2 求A430 的特征值与特征向量．

1021

解 ()13000(2)(1)2 241

()012,231

求12的特征向量：

0310行100

A2E410010, p10

0001100

xk1p1(k10)

求231的特征向量：

210行1011

A1E420012, p22

0001011

xk2p2(k20)

[注] 在例1中, 对应2重特征值1有两个线性无关的特征向量；

在2中, 对应2重特征值1只有一个线性无关的特征向量．

一般结论：对应r重特征值的线性无关的特征向量的个数r．

定理1 设A(aij)nn的特征值1,2,,n, trAa11a22ann, 则

(1)trA12n；

(2)detA12n．

证 由特征值的定义可得

a11a12an2a1na2na21an1a22

()det(AE)

ann

(a11)(a22)(ann)fn2()

(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1gn2()fn2()

其中gn2(),fn2()都是次数不超过n2的多项式．由题设, 又有

()det(AE)(1)(2)(n)

(1)nn(1)n1(12n)n1(12n)

比较多项式同次幂的系数可得

a11a22ann12n

deAt(0)12n

t0 0是A的特征值．

推论

deA

一元多项式：f(t)c0c1tc2t2cmtm

矩阵多项式：f(A)c0Ec1Ac2A2cmAm

(Ann,En)

定理2 设Axx(x0), 则

(1)f(A)xf()x；

(2)f(A)Of()0．

证(1)因为 AxxAkxkx

（k1,2,）

所以 f(A)xc0Exc1Axc2A2xcmAmx

c0xc1xc22xcmmxf()x

(2)f(A)Of()xf(A)xOx0f()0

(x0)

[注] 一般结论：若A的全体特征值为1,2,,n,则f(A)的全体特征值

为f(1),f(2),,f(n)．

例3 设A33的特征值为11,22,33, 求 det(A33AE)．

解

设f(t)t33t1, 则f(A)A33AE的特征值为

f(1)1,f(2)3,f(3)17

故

det(A33AE)(1)3(17)51

定理3 设Ann的互异特征值为1,2,,m, 对应的特征向量依次为

p1,p2,,pm, 则向量组p1,p2,,pm线性无关．

证 采用数学归纳法．

m1时, p10p1线性无关．

设ml时, p1,,pl线性无关, 下面证明p1,,pl,pl1线性无关．

设数组k1,,kl,kl1使得

k1p1klplkl1pl10

(1)

左乘A, 利用Apiipi可得

k11p1kllplkl1l1pl10

(2)

(2)l1(1)：

k1(1l1)p1kl(ll1)pl0

因为p1,,pl线性无关（归纳法假设）, 所以

k1(1l1)0,,kl(ll1)0k10,,kl0

代入(1)可得 kl1pl10kl10．故p1,,pl,pl1线性无关．

根据归纳法原理, 对于任意正整数m, 结论成立．

定理4 设Ann的互异特征值为1,2,,m, 重数依次为r1,r2,,rm，(i)(i)

对应i的线性无关的特征向量为p1,p2,,pl(ii)(i1,2,,m),(1)(m)m)

则向量组p1线性无关．（自证）,,pl(11),,p1,,pl(m

§5.2 相似对角化

1．相似矩阵：对于n阶方阵A和B, 若有可逆矩阵P使得P1APB，称A相似于B, 记作A~B．

(1)A~A：

E1AEA

(2)A~BB~A：(P1)1B(P1)A

(3)A~B,B~CA~C

性质1 A~BdetAdetB．

性质2 A可逆, A~BB可逆, 且A1~B1．

性质3 A~BkA~kB,Am~Bm

（m为正整数）．

性质4 f(t)为多项式, A~Bf(A)~f(B)．

性质5 A~Bdet(AE)det(BE)

A与B的特征值相同

证

由P1APB可得 BEP1APEP1(AE)P

de(tBE)dePt1detA(E)dePt

(dePt)1detA(E)dePtdetA(E)

2．相似对角化：若方阵A能够与一个对角矩阵相似, 称A可对角化．

定理5 n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量．

证

必要性．设可逆矩阵P使得

1def1

PAP n

即APP．划分Pp1pn, 则有

Ap1pnp1pn

Ap1Apn1p1npn

Apiipi(i1,2,,n)

因为P为可逆矩阵, 所以它的列向量组p1,,pn线性无关．

上式表明：p1,,pn是A的n个线性无关的特征向量．

充分性．设p1,,pn线性无关, 且满足Apiipi

则Pp1pn为可逆矩阵, 且有

APAp1Apn1p1npn

p1pnP

即P1AP．

[注] A~的主对角元素为A的特征值．

推论1 Ann有n个互异特征值A可对角化．

推论2 设Ann的全体互异特征值为1,2,,m, 重数依次为r1,r2,,rm，则A可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值i,A有ri个线性

无关的特征向量．

(i1,2,,n)，例4 判断下列矩阵可否对角化：

100,(2)A

(1)A0016116

解(1)()(1)(2)(3)

122212,(3)A221110430 102

A有3个互异特征值 A可对角化

对应于11,22,33的特征向量依次为

111

p11, p22, p33

1491111

构造矩阵 P123, 24931

则有 P1AP．

(2)()(5)(1)2

例1求得A有3个线性无关的特征向量 A可对角化

对应于15,231的特征向量依次为

111

p11, p21, p30

101

1115, 1

构造矩阵 P1100111

则有 P1AP．

(3)()(2)(1)2, 例2求得, 对应于2重特征值231，A只有1个线性无关的特征向量 A不可对角化．

122

例5 设A212, 求Ak(k2,3,)． 2211115, 1, 使得

解

例4求得 P1100111

P1AP：APP1,AkPkP1

k1115110

故 Ak011(1)k1111 121k3(1)2115k21

5k3k55k5k25k5k5k

（(1)k）5k2