线性代数教案-第四章 线性方程组

第一篇：线性代数教案-第四章 线性方程组

第四章：线性方程组

一、本章的教学目标及基本要求

所谓线性方程组,其形式为

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(4.0.1)    am1x1am2x2amnxnbm.其中x1,,xn代表n个未知量,m是方程个数,aij(i1,,m；j1,,n)被称为方程组的系数,bi(i1,,m)是常数项.方程组中未知量个数n与方程个数m不一定相等.系数aij的第一个角标i表示它在第i个方程,第二个角标j表示它是未知量xj的系数.因为未知量的幂次是1,故称为线性方程组.如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,这个线性方程组就确定了.确切地说,线性方程组(4.0.1)可以用下列矩阵来表示:

a11a21am1a12a22a1na2nam2amnb1b2(4.0.2)bm实际上,给定矩阵(4.0.2),除去代表未知量的字母外,线性方程组(4.0.1)就确定了,而采用什么字母来代表未知量是无关紧要的.以后如无特别声明,类似(4.0.2)的矩阵就被看做一个线性方程组.对于线性方程组(4.0.1),设A[aij]mn,x(x1,,xn)T,b(b1,,bm)T,由矩阵乘法的定义知,它可被表为

Axb.(4.0.3)

当mn,A是一个n阶方阵.若detA0,它存在唯一解,可用克莱姆法则求得.若detA0,或mn,方程组(4.0.3)在什么条件下有解；如果有解,解是否唯一；如果解不唯一而且有无穷个,这些解是否可用简要形式表示以及如何表示等等问题,即为本章讨论的主要内容.齐次线性方程组

在线性方程组(4.0.3)中,若bθ(0,,0),则有

TAxθ.(4.1.1)

这被称为与线性方程组(4.0.3)对应的齐次线性方程组,A被称为它的系数矩阵.线性方程组的三种初等变换,与矩阵的三种行初等变换完全对应.任何矩阵均可经有限次行初等变换化为行最简形.性质1 若xξ1,xξ2是Axθ的解,则xξ1ξ2也是Axθ的解.性质2 若xξ是Axθ的解,k为任意实数,则xkξ也是Axθ的解.Axθ的全部解构成一个线性空间,记为S,被称为齐次线性方程组Axθ的解空间.定理4.1.1 齐次线性方程组(4.1.1)有非零解的充要条件是R(A)n.解空间S的基又被称为方程组(4.1.1)的基础解系.求得基础解系,就求得了全部解.通解.显然,θ(0,,0)T是齐次线性方程组的解,被称为零解或平凡解.非齐次线性方程组

在线性方程组(4.0.3)中,若bθ(0,,0)T,则它被称为非齐次线性方程组.与它对应的矩阵

a11aB21am1a12a22a1na2nam2amnb1b2 bm是一个m(n1)矩阵,它由系数矩阵A[aij]mn加上一列b(b1,,bm)T组成,即

B[Ab].称B为线性方程组(4.0.3)的增广矩阵.性质1 若xη1,xη2是Axb的解,则xη2η1是对应齐次线性方程组Axθ的解.性质2 若xη是Axb的解,xξ是对应齐次线性方程组Axθ的解,则xξη是Axb的解.性质3 非齐次线性方程组的通解是对应齐次方程组的通解加上自身的任意一个解.定理4.2.1 非齐次线性方程组Axb有解的充要条件是R(A)R(B),即系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.定理4.2.2设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵A及增广矩阵B的秩相等:R(A)R(B)r,未知量个数为n.则它有唯一解的充要条件是rn；它有无穷多解的充要条件是rn.二、本章教学内容的重点和难点

1、齐次及非齐次线性方程组的解法

2、理解解空间与前面空间的关系。

三、本章内容的深化和拓广

了解求解方程组在实际问题中的应用。

四、本章教学方式

以讲课方式为主。

五、本章的思考题和习题

1(3)(4)2 3(3)(4)4(2)(3)5 6 7 8 9

第二篇：线性方程组教案

第三章 线性方程组 教学安排说明

章节题目： §3.1 线性方程组的消元解法；§3.2 向量与向量组的线性组合； §3.3 向量的线性相关性；§3.4向量组的秩；§3.5线性方程组解的结构；习题课 学时分配：共12学时。

§3.1 线性方程组的消元解法；

3学时 §3.2 向量与向量组的线性组合 1.5学时 §3.3 向量的线性相关性

1.5学时； §3.4向量组的秩；

3学时 §3.5线性方程组解的结构；习题课

3学时 本章教学目的与要求：：

目的：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系及线性方程组的求解方法。

要求

1）．理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系； 2）．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

3）．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法； 4）．掌握线性方程组有解的判定定理及应用； 5）．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；

课 堂 教 学 方 案

课程名称：§3.1 线性方程组的消元解法

授课时数：3学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系，熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

教学重点、难点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，消元法解线性方程组的具体做法，教学内容

§3.1 线性方程组的消元解法

现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

(3.1)的方程组，aij(i1,2，m;j1,2，n)称为线性方程组的系数，bj(j1,2，m)称为常数项.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.其中x1,x2,,xn代表n个未知量，m是方程的个数，方程组中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等.若记：

a11a12a21a22Aam1am2a1nx1b1a2nxb22

X

b

xamnbsna1na2namnb1b2

（3.2）bm而系数和常数项又可以排成下表：

a11a12a21a22Aam1am2显然AXb，实际上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(3.1)就确定了，方程解的情况与采用什么文字来代表未知量没有关系.这里矩阵A称为线性方程组的系数矩阵，A 称为增广矩阵。

在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法。解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例1，解方程组

2x12x2x36,x12x24x33, 5x7xx28.231不难看出，在消去未知量的过程中，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1.互换两个方程的位置，2.用一非零数乘某一方程； 3.把一个方程的倍数加到另一个方程。

以上三种变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.所谓方程组(3.1)的一个解就是指由n个数k1,k2,,kn组成的有序数组(k1,k2,,kn)，当x1,x2,,xn分别用k1,k2,,kn代入后，(3.1)中每个等式都变成恒等式.方程组(3.1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组

线性方程组有没有解完全取决于（3.1）的系数和常数项，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组的解就基本上确定了.显然，消元法求方程组解的过程就是相当于对线性方程组的增广矩阵反复施行初等变换的过程.线性方程组的初等变换对应于矩阵的初等行变换，因此，以下从矩阵的初等变换入手讨论方程的解。

定理3.1 线性方程组(3.1)的增广矩阵总可以通过矩阵的初等行变换和第一种列变换化为以下形式：

c11c120c210000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr（3.3）dr10相应地，线性方程组(3.1)化为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

（3.4）0d,r100,00.因此线性方程组（3.1）有解的充要条件是rA,brA，并且当rA,bn时方程组有唯一解，当rA,bn时有无穷多解。简要证明：对于方程组(3.1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,,as1全为零，那么方程组(3.1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(3.1)可以看作x2,,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等变换1，不妨设a110.利用初等变换3，分别把第一个方程的(i2,,n).于是方程组(3.1)就变成

a11x1a12x2a1nxnb1,x2a2nxnb2,a22

as2x2asnxnbs,ai1倍加到第i个方程a11其中

aijaijai1a1j,i2,,s,j2,,n a11相应的，增广矩阵的第一列除a110外，其余元素全变为0 这样，解方程组(3.1)的问题就归结为解方程组

x2a2nxnb2,a22

axaxbsnnns22的问题.这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

(3.5)0d,r100,00.相应的矩阵为 c11c120c21 0000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr(3.6)dr10其中cii0,i1,2,,r.方程组(3.5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(3.11)的解.而且(3.1)与(3.5)是同解的.现在考虑的解的情况.如(3.5)中有方程0dr1，而dr10.这时不管x1,x2,,xn取什么值都不能使它成为等式.故(3.5)无解，因而(1)无解.当dr1是零或(3.5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1nxnd1,c22x2c2nxnd2,

（3.7）cnnxndn,其中cii0,i1,2,,n.由最后一个方程开始，xn,xn1,,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(3.7)的解也就是方程组(1)有唯一的解.2）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1,r1xr1c1nxnd1,c22x2c2rxrc2,r1xr1c2nxnd2, crrxrcr,r1xr1crnxndr,其中cii0,i1,2,,r.把它改写成

c11x1c12x2c1rxrd1c1,r1xr1c1nxn,c22x2c2rxrd2c2,r1xr1c2nxn,

(3.8)crrxrdrcr,r1xr1crnxn.由此可见，任给xr1,,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,,xr的值，也就是定出方程组(3.8)的一个解.一般地，由(3.8)我们可以把x1,x2,,xr通过xr1,,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(3.1)的一般解，而xr1,,xn称为一组自由未知量.从这个例子看出，对线性方程组的增广矩阵实施初等变换，有时不一定是（3.5）的样子，但总可以适当调换矩阵的列，相当于同时交换方程组中某两个未知量的位置，这并不影响方程的解。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.例2 解线性方程组

x15x2x3x41,x2xx3x3,1234 3x18x2x3x41,x19x23x37x47.例3 解线性方程组

x12x23x3x45,2x4xx3,124 x12x23x32x48,x12x29x35x421.课后作业：P152 1，3

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.2向量与向量组的线性相关性 授课时数：1.5学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明 教学内容

§3.2 向量与向量组的线性组合

（一）向量及其线性运算

定义3.1 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组

(a1,a2,,an)

(1)ai称为向量(1)的第i分量.用小写希腊字母,,,来代表向量.向量通常是写成一行：

(a1,a2,,an).有时也可以写成一列：

b1b2.bn为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.如果n维向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的对应分量都相等，即

aibi(i1,2,,n).就称这两个向量是相等的，记作.分量全为零的向量(0,0,,0)称为零向量，记为0;向量(a1,a2,,an)称为向量(a1,a2,,an)的负向量，记为.定义3.2 向量

(a1b1,a2b2,,anbn)

称为向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的和，记为

定义3.3 设k为数域P中的数，向量(ka1,ka2,,kan)称为向量(a1,a2,,an)与数k的数量乘积，记为k

定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn，Rn的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为实n维向量空间.显然线性空间中元素满足以下规律：

交换律：

.(2)结合律：

()().(3)

0.(4)

()0.(5)k()kk，(6)(kl)kl，(7)k(l)(kl)，(8)

1.(9)(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：

00，(10)

(1)，(11)

k00.(12)如果k0,0，那么

k0.(13)例1．计算

11（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

321（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）．

3例2．证明：如果

a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0．

（二）向量组的线性组合

两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数k使

k.定义3.5 向量称为向量组1,2,的数k1,k2,,ks，使

k11k22如果有数域P中,s的一个线性组合，kss, ,s其中k1,k2,,ks叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组1,2,的一个线性组合时，也说可以经向量组1,2，s线性表出.例如，任一个n维向量(a1,a2,,an)都是下面向量组的一个线性组合.1(1,0,,0),(0,1,,0),2 

n(0,0,,1)向量1,2,,n称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.a1jb1a2jb2定理3.3设，向量i（j1,2,abmmj组1,2，n），则向量可由向量,n线性表示的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵与以1,2，n，为列向量的矩阵有相同的秩

若向量组1,2，s的中每一个向量i(i1,2,s,都)可以经向量组1,2，t线性表出，那么向量组1,2，s就称为可以经向量组1,2，t线性表出.定理3.4如果向量组1,2,组1,2，s可以经向量组1,2，t线性表出，向量,s可以,t可以经向量组1,2,,p线性表出，那么向量组1,2,经向量组1,2,,p线性表出.定义3.5如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.向量组之间等价具有以下性质：

1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，那么向量组1,2,,t与1,2,,s等价.3）传递性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，1,2,,t与1,2,,p等价，那么向量组1,2,,s与1,2,,p等价.课后作业：P159 4，6（1），8

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.3向量组的线性相关性 授课时数：1.5学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明 教学内容

§3.3向量组的线性相关性

定义3.7向量组1,2,,s(s1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,,ks，使

k11k22kss0

如果当且仅当k1k2线性无关。

从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组1,2线性相关就表示

ks0上式成立，则称向量组,,,(s1)12s1k2或者2k1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量1与2共线.三个向量1,2,3线性相关的几何意义就是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由n维单位向量1,2,,n组成的向量组是线性无关的.定理3.5 向量组1,2，n，其中

a1ja2jij1,2,amj,n，则1,2，n线性相关的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n。

具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.向量组1,2，n线性相关齐次线性方程组x11x22xnn0有非零,n线,n解。或者说齐次线性方程组x11x22性无关。

推论1 设n个向量ia1j,a2j,线性相关的充要条件是：

a11a21an1a12a22an2xnn0只有零解1,2,，向量组1,2，n）,anj（j1,2,a1na2nann0

注：这里把1,2，n应理解为列向量。

也可以说向量组1,2，m线性相关A(12m)的秩小于向量个数m；向量组线性无关A(12m)的秩为m.从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n1维的向量组

i(ai1,ai2,,ain,ai,n1),i1,2,,s(5)也线性无关.例1 判断P3的向量

1(1,2,3),2(2,1,0),3(1,7,9)

是否线性相关。

例2 若向量组1,2,3线性无关，则向量组212,253,4331也线性无关.例3若向量1,2，m的部分组1,2，s(sm)线性相关,s线性无关。1,2，m线性相关。反之，1,2，m线性无关1,2,证：因为1,2，s线性相关，则存在不全为零的k1,k2,kss0s1,ks，使

k11k22则1,2,（2）记 kss0k110m0 ,m线性相关。

a1ja1j,(j1,j,jarjarjar1j,m)

若1,2，m线性无关1,2，m线性相关。,m线性无关。反之，若1,2，m线性相关1,2,证：1°记A(1,2,,m),B(1,2,m,，)显然r(A)r(B)，因为1,2，m线性无关，知r(A)m，因而r(B)m.2°因为B只有m列，所以r(B)m.由1°和2°知r(B)m，知1,2，m线性无关。,m，当nm时1,2，m线（3）m个n维向量组成的向量组1,2,性相关。

证：记Anm(1,相关。

（4）设向量组1,2，m)，因为nmr(Anm)nm，则1,2，m线性,m线性无关，1,2，m,线性相关可由1,2，m表示，且表示法唯一。

证：记A(1,2,1°因为1,2,2°因为1,2，m),B(1,2，m,)，显然r(A)r(B).,m线性无关，知r(A)m ,m,线性相关，知r(B)m1 ,m)xb有解且唯一。可由因此r(B)m，知，Ax(1,2,1,2，m表示，且表示法唯一。□

推论1 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。定理3.6 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.（二）关于线性组合与线性相关的定理

定理3.7 向量组1,2,,s(s2)，线性相关向量组1,2,,s中至少存在一个向量能由其余s1个向量线性表示。

定理3.8 设1,2,以由1,2,而向量1,2，s线性相关，则可,s线性无关，,s线性表示，且表示法唯一。,s与1,2，t是两个向量组.如果向量组定理3.9 设1,2,1,2，t可以经1,2，s线性表出，且ts，那么向量组1,2，t必线性相关.反之如果向量组1,2，t可以经向量组1,2，s线性表出，且1,2，t线性无关，那么ts.推论 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.例4（1）设1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关；对n个线性无关向量组1,2,,n，以上命题是否成立？

（2）当1,2,3线性无关，证明112,223,313也线性无关，当1,2,,n线性无关时，12,23,,n1n,n1是否也线性无关？

解：令x11x22x330，代入整理得：.因为1,2,3线性无关，则应有

x30x10x1x2x2x30

（﹡）

(x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30 101101A110011B011001

r(A)r(B)3，所以（﹡）式只有零解，由定理5推论1知1,2,3线性无关。

例5 设在向量组1,2,,n中，10且每个i都不能表成它的前i1个向量1,2,,i1的线性组合，证明1,2,,n线性无关.例6 研究下面向量组的线性相关性

10112,2,230352

解：解法1.令k11k22k330，整理得 k3k12k12k23k15k22k3因为线性方程组的系数行列式

000

101002

所以方程组必有非零解，知1,2,3线性相关。

（2）解法2.由

101101行220022B352000 2235知1,2,3线性相关。□

小结：(1)若所给的向量为行向量，转置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般说来比较好，今后尽可能用解法2.例7已知1,2,3线性无关，112，223，331，证明向量组1,2,3线性无关。

课后作业P160

11，13，15，16（1）

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.4 向量组的秩 授课时数：3学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的秩的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：向量组的秩的定义、有关定理及推论 教学内容

（一）向量组的极大线性无关组

定义3.8 n维向量组1,2,,s的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.比如看R3的向量组

1(1,0,0),2(0,1,0),3(1,1,0)

在这里｛1,2｝线性无关，而312，所以｛1,2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛1,3｝，｛2,3｝也都是向量组｛1,2,3｝的极大线性无关组.定理3.10如果 j1,j2，jr是1,2,,s的线性无关部分组，它是极大,jr线性表示。无关组的充要条件是1,2,,s中每一个向量都可由j1,j2,上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（二）向量组的秩

一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有

定义3.9 向量组1,2,,s的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.例如，矩阵

10A00的行向量组是

1321000014 501(1,1,3,1),2(0,2,1,4),3(0,0,0,5),4(0,0,0,0)

它的秩是3.它的列向量组是

1(1,0,0,0),2(1,2,0,0),3(3,1,0,0),4(1,4,5,0)

它的秩也是3.矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.定理3.11 A为mn矩阵，rAr的充要条件是A的列（行）秩为r。推论：A的列秩与行秩相等。（因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.）

例1求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1),4(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

例2设1,2,以经1,2，s与1,2，t是两个向量组.如果向量组1,2，s可,t线性表出，r1,2，sr1,2，t

定理3.11 设向量组1,2，s与1,2，t等价，则：

r1,2，sr1,2，t

例3 设A是数域F上mn矩阵，B是数域F上ns矩阵，于是

r(AB)min[r(A),r(B)]，即乘积的秩不超过各因子的秩.特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一个因子的秩。

课后作业P161

17，18，19

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.5 线性方程组解的结构 授课时数：3学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：理解基础解系的概念，掌握线性方程组解的结构 教学重点、难点：线性方程组解的结构 教学内容

§3.5 线性方程组解的结构

设线性方程组为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

当用初等行变换把增广矩阵A化成如下阶梯形

其中cii0,i1,2,c1100000c12c1r0000crr000c1nc2ncrn000c22c2rd1d2dr 000,r时方程组有解.以下讨论线性方程组解的结构。所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.首先讨论齐次线性方程组。

一、齐次线性方程组的解的结构 设

a11x1a12x2axax211222 am1x1am2x2a1nxn0,a2nxn0,amnxn0(1)是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1.两个解的和还是方程组的解.2.一个解的倍数还是方程组的解.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？

定义3.10 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,,t称为(1)的一个基础解系，如果

1）(1)的任一个解都能表成1,2,,t的线性组合； 2）1,2,,t线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.定理3.13在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr，这里r表示系数矩阵的秩(nr是自由未知量的个数).设齐次线性方程组经过初等变换化为

x1k1,r1xr1xkx22,r1r1xrkr,r1xr1knx1x1k1r,x1r1n，xkxkx,2r,1r1n2n,2k1,nxn,k2,nxn,xr1krnx

即

xrkr,r1,n，xxr1r1kr,nxn.xr2xr2xnxn用矩阵表示即为：

k1,r1k1,r2x1kk2,r12,r2x2kkr,r1xr,r2xxrr1r201xr101xn00k1,nk2,nkr,nxn0

01k1,r1k1,r2kk2,r12,r2kkr,r1r,r2，记12100100x1x2则xnkk1122k1,nk2,nkr,n,r0称作原方程组的一个基础解系

01krr 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(2)as1x1as2x2asnxnbs的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1).齐次线性方程组(1)称为方程组(2)的导出组.方程组(2)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：

1.线性方程组(2)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2.线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理3.14 如果是线性方程组(2)的一个特解，是其导出组的全部解，那么即为线性方程组(2)的全部解。

定理说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0是线性方程组(2)的一个特解，1,2,,nr是其导出组的一个基础解系，那么(2)的任一个解都可以表成

0k11k22knrnr

推论 在线性方程组(2)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.课后作业P161 20（1）（3），23（2），26

第三篇：线性代数教案

第一章

线性方程组的消元法与矩阵的初等变换

教学目标与要求

1.了解线性方程组的基本概念

2.掌握矩阵的三种初等变换 教学重点

运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组 教学难点

矩阵的初等变换

§1.1 线性方程组的基本概念

一、基本概念

定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn(1)am1x1am2x2amnxnbm称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bm0时则称为齐次线性方程组。方程组(1)

a12a22am2a1na2n为系amna11a21TA的一个解为：x(c1,c2,,cn)（或称为解向量）；此时称am1a11a12a1na21a22a2n数矩阵，称Bam1am2amn

二、线性方程组的消元法

b1b2为增广矩阵。bm2x1x23x31例1：解线性方程组4x12x25x34

2x2x6312x1x23x312x1x23x312x1x23x31解：4x2x32，x2x35，x2x35；

xx54xx23x18232332x1x23x312x1x2192x118x19

x2x35，x21，x21，x21

x6x6x6x63333从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关，且仅用了以下3种变换：①交换两行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。

故我们隐去x1,x2,x3,，得到一个数字阵（即矩阵B），对B进行初等行变换：

213121312131B425404120115

2026011504121213121019213011501150101 003180016001620018100901010101 0016001612131009其中0115称为行阶梯形矩阵，0101称为行最简形矩阵。

003180016

三、小结

例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法：对其增广矩阵B进行3种初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，再最终变成行最简形矩阵，然后从中读出所需的解。

四、一般解和通解

x12x2x32x41例2：解方程组2x14x2x3x45

x2x2xx42341解：

212112121121211B241150033300333

12214003330000012121120120011100111 0000000000即x12x2x42x122x2x4，亦即一般解为，其中x2,x4为自由未知量。

x3x41x31x4x122c1c2xc21令x2c1,x4c2，得方程组的通解为

x31c2x4c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn2、定理：在齐次线性方程组中，若mn（即方程

am1x1am2x2amnxn0的个数小于未知数的个数），则它必有非零解。

五、习题

P11 T1(2)

T2

§1.2 矩阵的初等变换

一、矩阵及其初等变换

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mn。amn

二、矩阵的初等行(列)变换

①交换两行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩阵的标准形

定理：任意一个mn的矩阵A，总可以经过初等变换（包括行变换和列变换）化为如10下的标准形：F00000001000Er0100即AmnFO00000000O O其中1的个数r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。

四、习题

P18

T1(4)(5)

T2(1)

T3 P19 总复习题：T3

T4

第二章

行列式

教学目标与要求

1.会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式

2.理解排列、逆序数的概念，掌握n阶行列式的定义及其重要性质 3.理解并会灵活运用行列式的展开公式，掌握范德蒙德行列式的结论 4.掌握克拉默法则及其应用 教学重点

1.n阶行列式的重要性质

2.n阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论

3.克拉默法则的运用 教学难点

1.n阶行列式的重要性质及其展开公式 2.克拉默法则的运用

§2.1 二阶和三阶行列式 一、二阶行列式

a11x1a12x2b1a11a12

1、引例：对于线性方程组（1），其系数矩阵为A a21x1a22x2b2a21a22

用消元法解得 (a11a22a12a21)x1b1a22b2a12（2）

(a11a22a12a21)x2b2a11b1a21a12a11a22a12a21称为二阶行列式，记DAdetA

a12a11b1，D2 a22a21b22、定义：Da11a21a22a11a12b1Dx1D1那么（2）可以表示为，其中D，D1aab2DxD212222从而x1 二、三阶行列式 D1D,x22。DDa11x1a12x2a13x3b1a11a12axaxaxb1、定义：对于三元线性方程组211a222222332，记Aa21axaxaxba331a32311322333a11称DAdetAa21a13 a23，a33a12a22a32a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33a

31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 为三阶行列式。

a112、三对角线法则（记忆）：Da21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、习题

P25 T1(2)(3)(5)

T2

T3

§2.2 n阶行列式的定义和性质

一、排列与逆序数

1.定义1：由1,2,,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。（n级排列共有n!个）定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作。)402107（奇排列）例：(25431；)1412108（偶排列）

(5243。

定理：对换改变排列的奇偶性；在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有

二、n阶行列式的定义

n!个。21.定义：n阶矩阵A(aij)nna11a21am1a12a22am2a1na2n，则n阶行列式定义如下： amna11 DAa12a1np1p2pna21an1a22a2nan2ann(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

这里，表示对1,2,,n这n个数的所有排列p1p2pn求和。即n阶行列式是指n!项取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。

2、例：（常用结论）

a11（1）

a11a22ann0a11a22ann0n(n1)2a12a1na11000 a22a2na210annan1a22an2ann1（2）2(1)12n

n3、n阶行列式的等价定义

定理：D12(1)ai1j1ai2j2ainjn；其中1为行标排列i1i2in的逆序数，2为列标排列j1j2jn的逆序数。

三、行列式的性质

设n阶矩阵A(aij)nn的行列式为DA，则D有如下性质：

T①AA；

②交换两行（列），则D变号；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特别地，若某行（列）为0，则D0；若某两行（列）成比例，则D0。④拆和：若D中某行（列）的元皆为两项之和，则D等于两个行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），则D不变。

123例：②如211111211234234；③如33932113

***123123④如456123333；

112112112111111111111⑤如23340120120120 45345012000

注意：计算行列式的常用方法：(1)利用定义；

(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值；(3)利用展开公式(下一节)。

四、习题

P36

T1

T4

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展开公式

一、余子式与代数余子式

1、定义：在n阶行列式det(aij)中，划去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原来的顺序所构成的n1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij；又记Aij(1)ijMij，称Aij为aij的代数余子式。

142.如：***中，a111的余子式为M11412，代数余子式为 23411234A11(1)11M11M11，a214的余子式为M21412，代数余子式为

341A21(1)21M21M21，二、展开公式

定理：n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即可按第i行展开

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)

或可按第j列展开

Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)

14如：3221433214431A112A123A134A141A114A213A312A41 21

2、讲解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dnx12x1n1 1x22x2n1x21x32x311xn2xn1ijn(xjxi)

n1n1x3xn推论：行列式某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn(ij)或

a1iA1ja2iA2janiAnj(ij)

11例证：如3222433314441A112A123A134A14a21A11a22A12a23A13a24A140

21四、习题

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法则

一、克拉默法则

定理1：含有n个未知数x1,x2,,xn与n个方程的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn

2

(1)

an1x1an2x2annxnbn

称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bn0时称为齐次线性方程组。

如果线性方程组(1)的系数行列式DA0（这里A(aij)nn），那么(1)有唯一解，且解为xjDjD(j1,2,,n)，其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素用方程组右端的常数项替代后所得到的n阶行列式。

推论：

(1)如果线性方程组(1)无解或至少有两个不同的解，那么它的系数行列式D0。

(2)如果齐次线性方程组的系数行列式D0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D0。

注意：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：①方程个数等于未知数个数；②系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系。它主要适用于理论推导。

二、习题

P50

T2 T3 ；

P51 总复习题：T1 T2 T3

T6

第三章

矩阵

教学目标与要求

1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的3种运算(加法、数乘、乘法)，以及它们的运算律

2.熟记几种特殊矩阵(单位阵、对角阵、数量矩阵、三角阵、转置矩阵、对称和反对称阵)及其性质，掌握方阵行列式的性质

3.掌握伴随矩阵和逆矩阵的定义及其性质，熟悉逆矩阵的运算规律 4.了解分块矩阵的运算律，以及常用结论

5.理解初等矩阵与初等变换之间的关系，掌握初等变换求逆矩阵的方法 6.掌握矩阵的秩的概念及其性质，会用初等变换求矩阵的秩 教学重点

1.矩阵乘法的运算律和方阵行列式的性质

2.逆矩阵和伴随矩阵的运算性质，以及初等变换法求逆矩阵

3.矩阵的秩的性质，以及初等变换法求矩阵的秩 教学难点

1.逆矩阵的概念，以及求逆的方法 2.矩阵的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩阵的概念及其运算

一、矩阵的概念

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mnAmn。amn矩阵的相等：AmnBmnaijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)

b1b2行矩阵（行向量）：A(a1,a2,,an)；列矩阵（列向量）：A

bn

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法

定义1：设A(aij)mn，B(bij)mn，则AB(aijbij)mn

注意：两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算。

矩阵的加法满足下列运算律(设A,B,C都是mn矩阵)：(1)交换律：ABBA；

(2)结合律：(AB)CA(BC)(3)负矩阵A(A)0，规定减法运算：ABA(B)

2、矩阵的数乘

a11a21定义2：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为Aam1a12a1na22a2nam2amn；

矩阵的数乘满足下列运算律(设A,B都是mn矩阵，,为数)：(1)()A(A)；

(2)()AAA；(3)(AB)AB；

(4)1AA；(5)A00或A0

3、矩阵的乘法

定义3：设A(aij)ms，B(bij)sn,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C(cij)mn，其中

cijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkj(i1,2,,m;j1,2,,n)

k1s记为CmnAmsBsn（A的列数等于B的行数）。

例1：求矩阵A4242与B36的乘积AB与BA。12 解：AB41632242 1612368

BA424002AB 361200例1说明：矩阵的乘法不满足交换律，即一般地ABBA。若ABBA，则称方阵A与B可交换。矩阵的乘法满足下列运算律：

(1)结合律：(AB)CA(BC)

(2)(AB)(A)BA(B)(3)分配律：A(BC)ABAC，(BC)ABACA

例2：举例说明下列命题是错误的（1）若A0，则A0；

2（2）若AA，则A0或AE； 2（3）若AXAY，且A0，则XY。

11101010

解：（1）A（2）A（3）AX11；00；00,Y01。



三、方阵的幂及方阵多项式

1、定义：设A是n阶方阵，则A1A,A2AA,,Ak1AkA

klklklkl方阵的幂满足的运算律：(1)AAA；(2)(A)A

2、方阵多项式

设f(x)a0xma1xm1am1xam(a00)为m次多项式，A为n阶方阵，则 称f(A)为方阵A的多项式。f(A)a0Ama1Am1am1AamE仍为一个n阶方阵，四、习题

P61 T2(3)(4)(5)(8)

T3

T4

T6

§3.2 特殊矩阵与方阵行列式

一、特殊矩阵

1、单位矩阵

10En01000010，性质：EAAEA 01nn0

2、对角矩阵

020diag(1,2,,n)

0nmm

性质：[diag(1,2,,n)]mdiag(1,m2,,n)，m为正整数。

3、数量矩阵

00EE00

4、三角矩阵

00，性质：EAAEA a12a1na11a22a2na21或0annan

1性质：Aa11a22ann

5、转置矩阵 a110A000a220 an2ann如果A(aij)mn，则AT(aij)nm。

性质：(1)(A)A；

(2)(AB)AB；

(3)(A)A；

(4)穿脱原理：(AB)BA

6、对称矩阵和反对称矩阵

TT设A(aij)nn，如果AA，则称A为对称矩阵；如果AA，则称A为反对称TTTTTTTTTT矩阵。

二、方阵行列式

性质：①ABABBA（A,B都是n阶方阵）

n

②AA n

③kAknA

三、伴随矩阵

定义：n阶行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

A11A12A1n称为A的伴随矩阵。

A21An1A22An2

A2nAnnn1*

例1：试证：（1）AAAAAE；

（2）当A0时，AA

证明：（1）因为

a11a21*故AAan1A,ijai1Aj1ai2Aj2ainAjn(i,j1,2,,n)

0,ija12a1nA11A21An1A00a22a2nA12A22An20A0AE an2annA1nA2nAnn00A同理可得A*AAE。

（2）对A*AAE两边取行列式，得AAAE

*

即 AAAEA，所以当A0时，AAnnn1。

四、习题

P69 T1

T2

T6

T7

T8(2)

§3.3 逆矩阵

一、逆矩阵

1、定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使

ABBAE

则称A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为BA。

2、可逆的判定定理

定理：方阵A可逆A0；当A可逆时，A11 A，其中A为A的伴随矩阵。

AE。证明：必要性.因为A可逆，即存在A，使AA111

1故AAAAE1，所以A0

充分性.由§3.3的例1可知 AAAAAE；因为A0，故有

A11AAAE AA1A。

A按照逆矩阵的定义，即有

A1注意：当A0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。可见，可逆矩阵就是非奇异矩阵。同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）。

13、推论：若ABE（或BAE），则BA。

证明：ABABE1，故A0，从而A存在，于是

1BEB(A1A)BA1(AB)A1EA1

二、逆矩阵的运算律

方阵的逆矩阵满足下列运算律：

①若n阶方阵A可逆，则A也可逆，且(A)②若A可逆，数0，则A可逆，且A1111A；

1A1；

1③若A,B均为n阶可逆方阵，则AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且ABAC，则BC； ⑤若A可逆，则A也可逆，且(A)T； B1A1（穿脱原理）

T1(A1)T；

⑥若A可逆，则A也可逆，且(A*)1(A1)*；

⑦若A可逆，则(A*)T(AT)*；

1⑧若A可逆，则AA1*

⑨若A,B均为n阶可逆方阵，则(AB)*B*A*（穿脱原理）

证明： ①因为AA1E，由推论可知，(A1)1A

②因为A1A1AA1E，由推论可知，A11A1

1③(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E，由推论有，(AB)11④因为A可逆，则AABAAC，即EBEC，故BC

B1A1

⑤AT(A1)T(A1A)TETE，由推论有，(A)⑥因为A可逆，故A1T1(A1)T

1*AA1A，且AAE，从而(A*)1A； AAAA

1又A(A)(A)A11*1*A1E，即(A1)*AA1E1A A

所以(A)*1(A1)*。

T*TT11T⑦因为(A*)T(AA1)TA(A1)T，(A)A(A)A(A)

所以(A)(A)

111⑧因为AAE1，即AA1，所以A*TT*11A A⑨由ABAB0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*ABE，所以(AB)*AB(AB)1ABB1A1BB1AA1B*A*

ab1例

1、问Acd满足什么条件时可逆，并求A。

解：Aadbc，Acdb，当Aadbc0时，A可逆； a且

A

11db adbcca例

2、设A是三阶方阵，且A解：(3A)118A*11*，求(3A)18A 271112A18AA1A1A1 333(1)A1(1)3A11 3327A1

例

3、解矩阵方程2571913X411 解：X25171935719113411124111

三、习题

P75 T2

T3(3)

T6

T7

T9

23 §3.4 分块矩阵和初等矩阵

一、分块矩阵

设AnnOA1OB1，BnnOA2O，其中Ai与Bi(i1,2)是同阶的子方块，则 B2O A2B2O 1A21A2 OA1B1①ABOA1k③AOkA1B1；

②ABOA2B2OA11O1；

④AkOA21O⑤AA；

⑥A12A2A1O1AO1

二、初等矩阵

1、定义：由n阶单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。

2、三种初等变换对应三种初等矩阵

(1)交换第i行和第j行；

对应En(i,j)(2)第i行乘k倍；

对应En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；

对应En(i,j(k))

24例

1、将A13化为标准形。

解：A2413131310B 1324020101则

0100113101/22110AB 0112即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)AB

3、初等变换与初等矩阵的关系

定理1：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵。

三、初等变换求逆矩阵

定理2：对任意一个mn矩阵A，总存在有限个m阶初等矩阵P1,P2,,Ps和n阶初等矩阵Ps1,Ps2,,Pk，使得P1PsAPs1PkO

ErOFmn Omn定理3：对于n阶可逆矩阵A，总存在有限个n阶初等矩阵P1,,Ps,Ps1,,Pk，使得P1PsAPs1PkEnn

定理4：设A为可逆矩阵，则有限个初等矩阵P1,P2,,Pk，使得AP1P2Pk 推论：mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使

PAQB，记为AB。（等价关系具有反身性、对称性、传递性）

因此，由定理3可知，方阵A可逆AE

由定理4可知，方阵A可逆AP,2,,k为初等矩阵)1P2Pk(Pi,i

1由推论可知，AB存在可逆矩阵P,Q，使PAQB1、求逆方法的推导：

111由定理4的AP1P2Pk，得

PkP2P1AE

（1）1111（1）式两端分别右乘A，得

PkP2P1EA

（2）



1上述两式表明，用一样的初等行变换将A变成E的同时，会将E变成A。

2、求逆矩阵的基本方法

初等变换法：(A|E)初等行变换(E|A1)或（3、解矩阵方程AXB或XAB（A可逆）

初等变换法：(A|B)初等行变换(E|A1B)或()（四、习题

P91 T1

T2(1)(2)

T3

1AE)初等列变换(1)EAAB初等列变换E)BA1§3.5 矩阵的秩

一、k阶子式的概念

2m,n})，其交叉处的k个元素定义：在mn矩阵A中，任取k行k列(1kmin{按原来的位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。

11111111例：A1234，1,0等都是A的一个2阶子式。

12000000kk可知，mn矩阵A的k阶子式共有Cm个。Cn

二、矩阵的秩

定义：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A)。若R(A)r，则A中至少有一个r阶子式不为0，且所有r1阶子式都为0。

三、矩阵秩的性质

m,n} ① 1R(A)min{② R(A)R(A)

③ R(A)rA的行阶梯形含r个非零行A的标准形FO④ 若A~B则R(A)R(B)（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）

⑤ 若P,Q可逆，则R(PAQ)R(A)

⑥ max{A,B}R(A,B)R(A)R(B)；

特别地，当B为列向量b时，有R(A)R(A,b)R(A)

1⑦ R(AB)R(A)R(B)

⑧ R(AB)min{R(A),R(B)}

⑨ 若AmnBnsO，则R(A)R(B)n

例

1、设A为n阶矩阵A的伴随矩阵，证明 *TErO OR(A)nn,R(A*)1,R(A)n1

0,R(A)n1

证明：

**(1)当R(A)n时，则A可逆，即A0；由AAAE知AAn10。故A*可逆，从而R(A)n

(2)若R(A)n1，则AAAE0。故R(A)R(A)n，R(A)nR(A)1。又由R(A)n1知矩阵A中至少有一个n1阶子式不为零，也就是说A中至少有一个元素不为零。所以R(A)1，从而有R(A)1。

*(3)若R(A)n1，则A的任意一个n1阶子式都为零。故A0，即R(A)0。

********21113例

2、求A42232的秩

21561211132111321113解：422320045400454

215610045200006

故R(A)3

12例

3、已知矩阵A1212a32314的秩为3，求a的值

01153554a3112a311200112a200112a2解：A 0111a20111a201152a200063a0a31120111a2

因为R(A)3，所以63a0，即a2 00112a200063a0

四、习题

P96 T2

T3(2)

T7

T8

P97 总复习题：T1 T2

T3

T4

T5

第四章

线性方程组理论

教学目标与要求

1.掌握齐次和非齐次线性方程组解的判定定理和解的结构定理

2.理解向量组的线性相关与线性无关的概念，以及它们的判定方法

3.掌握向量组的秩和最大无关组的概念，会求向量组的秩

4.理解基础解系的概念，会求齐次与非齐次线性方程组的通解 教学重点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定定理以及通解的求法 2.向量组线性相关与线性无关的判定方法

3.向量组的最大无关组的求法和秩的求法 教学难点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定方法

2.向量组秩的概念及其求法

3.基础解系的概念及其求法

§4.1 线性方程组有解的条件

一、线性方程组解的判定

1、非齐次线性方程组

定理1：对于非齐次线性方程组Amnxb（1），则

① 有唯一解R(A)R(A,b)n

② 有无穷多解R(A)R(A,b)n

③ 无解R(A)R(A,b)

2、齐次线性方程组

定理2：对于齐次线性方程组Amnx0（2），则 ① 仅有零解R(A)n ② 有非零解R(A)n

推论：当mn时，Annx0有非零解R(A)nA0

定理3：矩阵方程AXB有解R(A)R(A,B)

二、线性方程组的解法

x12x23x30例

1、求下列线性方程组的通解2x15x23x30

x8x041301090123012解：253001300130

1008023800980100810900108/3

0130018/90018/9x18x4x18

x8/382x2x4，令x41，得通解为：k(kR)x8/933

1x84x3x49

例

2、问取何值时，下列线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

x1x22x3

1x1(21)x23x31

x1x2(3)x32122解：A213011(1)(1)3001由克拉默法则知，当0,1,1时，方程组有唯一解。

当0时，B002101310101310021000031003100因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

1121112当1时，B133110210

11230004因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

11211121当1时，B1131001011010010114100200000因R(A)R(B)23，所以方程组有无穷多解。

即xxx11k112x0，令x2k，得其通解为：x2k（kR）3x30

三、习题

P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7

312105

2

§4.2 向量组的线性相关性

一、n维向量及其线性运算

1.定义：由n个数a1,a2,,an组成的有序数组称为n维向量。称n1矩阵

a1a2a为n维列向量；其转置aTa1,a2,,an称为n维行向量。其中ai称为a的第ian个分量(i1,2,,n)。

2.运算

①n维向量的相等；②零向量；③负向量；④加法；⑤数乘

二、向量组的线性组合

1.向量组

定义：由若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合，称为一个向量组。

2.向量组与矩阵

a1ja2j(j1,2,,n)为矩阵A的列设A(aij)mn，则A1,2,,n，其中jamj12向量组；或A，其中iai1,ai2,,ain(i1,2,,m)为矩阵A的行向量组。

m3.向量组与线性方程组

一个线性方程组Amnxb可以写成：x11x22xnnb

4.向量组的线性组合

定义：设向量组A:1,2,,m，对于数k1,k2,,km，我们称k11k22kmm为向量组A的一个线性组合，k1,k2,,km称为这个线性组合的系数。

5.线性表示

给定向量组A:1,2,,m和向量b，若存在一组数1,2,,m，使得

b1122mm 则称向量b是向量组A的线性组合，也称向量b可以由向量组A线性表示。

例：任何一个n维向量aa1,a2,,an都可以由n维单位向量组：

Te1(1,0,0,,0)T，e2(0,1,0,,0)T，，en(0,0,,0,1)T

线性表示。即aa1e1a2e2anen。

显然，向量b能由向量组A线性表示，也就线性方程组：x11x22xnnb有解。

6.定理1：向量b能由向量组A:1,2,,m线性表示的充要条件是R(A)R(A,b)，其中A(1,2,,m)。

三、向量组的线性相关与线性无关

设齐次线性方程组Amnx0，写成向量形式：x11x22xnn0。若它有非零解，即存在一组不全为零的数k1,k2,,kn，使得k11k22knn0。因此，我们引入如下概念。

1.线性相关与线性无关

定义：设有n维向量组A:1,2,,m，如果存在一组不全为零的数k1,k2,,km使

k11k22knn0

则称向量组A线性相关；否则称它线性无关。

注意：（特殊情形）

① 只有一个向量a的向量组线性相关a0

② 两个向量a,b的向量组线性相关ab(即两向量共线：对应分量成比例)③ 三个向量线性相关：几何意义是三个向量共面。

④ 含有零向量的向量组一定线性相关。

定理2：向量组1,2,,m(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。

定理3：设向量组A:1,2,,m构成矩阵A(1,2,,m)，则向量组A线性相关的充要条件是R(A)m；向量组A线性无关的充要条件是R(A)m。

推论1：当向量的个数等于向量的维数时，向量组A线性相关的充要条件是A0；向量组A线性无关的充要条件是A0。

推论2：m(mn)个n维向量组成的向量组一定线性相关。推论3：任一个n维向量组中线性无关的向量最多有n个。

定理4：

(1)设向量组A:1,2,,m线性无关，而向量组B:1,2,,m,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量组1,2,,r线性相关，则向量组1,2,,r,r1,,n(nr)必线性相关；反之，若向量组1,2,,r,r1,,n(nr)线性无关，则向量组1,2,,r必线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。）

(3)若m个n维向量1,2,,m线性相关，同时去掉其第i个分量(1in)得到的m个n1维向量也线性相关；反之，若m个n1维向量1,2,,m线性无关，同时增加其第i个分量(1in)得到的m个n维向量也线性无关。

四、习题

P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量组的秩

一、向量组的等价

定义1：设有向量组A:1,2,,m；向量组B:1,2,,s，若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A和向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

命题1：若A,B为有限个列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵方程BAX有解。

命题2：若矩阵A经过初等行(列)变换变成B，则矩阵A的列(行)向量组与矩阵B的列(行)向量组等价。

定理1：设向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s均为列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件为R(A)R(A,B)

推论：向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s等价的充要条件是

R(A)R(B)R(A,B)

其中A和B是向量组A和向量组B所构成的矩阵。

讲教材P118例1

二、向量组的秩 1.最大无关组

定义2设向量组A0:1,2,,r是向量组A:1,2,,m(mr)的一个部分组，若(1)向量组A0:1,2,,r线性无关；

(2)A中的任意向量均可由向量组A0:1,2,,r线性表示； 则称A0:1,2,,r为A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）。

显然，最大无关组一般不唯一；任意向量组都与它的最大无关组等价。

2.最大无关组的求法

定理：矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列向量之间的线性关系； 矩阵的初等列变换不改变(部分或全部)行向量之间的线性关系。

注意：上述定理提供了求向量组最大无关组的方法 定理2：设向量组B:1,2,,r可由向量组A:1,2,,s线性表示，(1)若向量组B线性无关，则rs；(2)若rs，则向量组B线性相关。

推论1：两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。推论2：两个等价的向量组的最大无关组含有相同个数的向量。推论3：一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等。

3.向量组的秩

定义3：向量组的最大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。

定理2'：若向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。

三、矩阵的秩与向量组的秩的关系

定理3：对矩阵A(aij)mn，则 R(A)A的行秩A的列秩。即矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。

四、矩阵的秩的性质

性质1：R(AB)R(A)R(B)

性质2：R(AB)min{R(A),R(B)}

性质3：若P,Q可逆，则R(PAQ)R(PA)R(AQ)R(A)

五、习题

P124 T1

T2

T3

T9

§4.4 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于齐次线性方程组

Amnx0

(1)性质1：若1,2都是Ax0的解，则12也是Ax0的解。性质2：若是Ax0的解，则k也是Ax0的解。

2.解的结构

定义1：设1,2,,k是Ax0的非零解，且满足

(1)1,2,,k线性无关；

(2)Ax0的任一个解都可由1,2,,k线性表示，即c11c22ckk 则称1,2,,k是齐次线性方程组Ax0的基础解系；且Ax0的通解可表示为如下形式：c11c22ckk(c1,c2,,ck为任意常数)。

定理1：若n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩R(A)rn，则Ax0的基础解系恰含有nr个线性无关的解向量。

讲教材P128 例1和例2

二、非齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于非齐次线性方程组

Amnxb

(2)性质1：若1,2都是Axb的解，则12是Ax0的解。

性质2：若是Ax0的解，是Axb的解，则是Axb的解。

2.解的结构

*定理2：设是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,,nr是对应的导出组Ax0的基础解系，则Axb的通解为

*k11k22knrnr

其中k1,k2,,knr为任意常数。

讲教材P132 例3和例4

三、习题

P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 总复习题：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章 特征值和特征向量

矩阵的对角化

教学目标与要求

1.理解内积和正交向量组的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩阵的性质 2.理解特征值与特征向量的定义，掌握它们的性质及其求法 3.理解相似矩阵的定义，掌握相似矩阵的性质

4.掌握矩阵可对角化的条件，熟悉实对称矩阵的对角化方法 教学重点

1.施密特正交化方法的运用 2.特征值与特征向量的求法 3.实对称矩阵的对角化方法 教学难点

1.施密特正交化方法

2.特征值与特征向量的性质及其求法 3.实对称矩阵的对角化方法

§5.1 预备知识

一、向量的内积

定义1：设有n维向量xx1,x2,,xn，yy1,y2,,yn，令

TTx,yx1y1x2y2xnyn，称x,y为向量x与y的内积。

内积的性质：

(1)x,yy,x

(2)x,yx,y

(3)xy,zx,zy,z

(4)x,x0，当且仅当x0时等号成立

定义2：令xx,x22x12x2xn，称为n维向量x的长度（或范数）。当x1时，称x为单位向量。

向量的长度具有以下性质：

(1)非负性：x0

(2)齐次性：

定义3：当x0，y0时，称arccosxx

(3)三角不等式：xyxy

(4)柯西不等式：x,yxy

x,yxy为n维向量x与y的夹角。

定义4：当x,y0时，称向量x与y正交。

定义5：若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组。若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称此向量组为规范正交向量组或标准正交向量组。

定理1：若n维向量1,2,,r是一组两两正交的非零向量，则1,2,,r线性无关。

二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是将一组线性无关的向量1,2,,r，化为一组与之等价的正交向量组1,2,,r的方法。令

2,1；；

1,11,,r,r1。rrr11r221,12,2r1,r1r111； 22

讲教材P147 例2和例3

三、正交矩阵

定义6：如果方阵A满足AAAAE（即Acos例如：En，sinAT），则称A为正交矩阵。

01/21/2sin，2/61/61/6都是正交阵。cos1/31/31/3TT1

定理2：A为正交矩阵A的行(列)向量组为规范正交向量组。即

1,ijATAEiTj(i,j1,2,,n)（其中A(1,2,,n)）

0,ij

定理3：设A,B都是n阶正交方阵，则

(1)A1；(2)A,A,AB也是正交方阵。

定义7：若P为正交矩阵，则线性变换yPx称为正交变换。

四、习题

P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T

1一、特征值与特征向量的概念

定义1：设A是n阶方阵，如果存在数和非零列向量x，使得Axx，称为方阵A的特征值，非零列向量x称为A的属于特征值的特征向量。

特征方程：Axx(AE)x0 或者(EA)x0

(AE)x0有非零解AE0特征矩阵：(AE)或者(EA)

EA0

a11特征多项式：AEa12an2a1na2n()

a21an1a22annnn1aaan1an0[a0(1)n]

二、求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤

(1)求出特征方程()AE0的全部根1,2,...,n，即是A的特征值；(2)对于每个特征值i求解线性方程组AiEx0，得出的基础解系就是A的属于特征值i的特征向量；基础解系的线性组合就是A的属于特征值i的全部特征向量。

讲教材P152 例3和例4

三、特征值与特征向量的性质

性质1：设A是n阶方阵，则A与A有相同的特征值。性质2：设是方阵A的特征值，k,mN，则(1)是方阵A的特征值；

(2)f()a0a1am是f(A)a0Ea1AamA的特征值。

性质3：设n阶方阵A(aij)nn的n个特征值为1,2,...,n，则(1)

mmkkTaii1i1nnii，其中

ai1niitr(A)称为A的迹；

(2)iA

i1n

证明： 由特征值的定义可得

a11

a12a1na2n ()AEa21an1a22an2ann

(a11)(a22)(ann)

(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1

由题设可知 ()AE(1)(2)(n)

(1)nn(1)n1(12n)n1(12n)比较多项式同次幂的系数可得

a11a22ann12n，A(0)12n

推论：A0 0是A的特征值；A可逆A0A不含零特征值。

讲教材P154 例5和例6

性质4：1,2,,m是方阵A的互异特征值，其对应的特征向量依次为

p1,p2,,pm，则向量组p1,p2,,pm线性无关。

四、习题

P157 T1

T2

T3

T4

§5.3 相似矩阵

一、相似矩阵的概念

定义1：设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使PAPB，则称矩阵A与B相似，记为A~B，可逆矩阵P称为相似变换矩阵。

相似矩阵的基本性质：

1、(1)反身性：对任意方阵A，都有A~A

(2)对称性：若A~B，则B~A

(3)传递性：若A~B，B~C，则A~C

2、定理1：若A~B，则

① A与B有相同的特征多项式和特征值；

② AB； ③ R(A)R(B)；

mm④ A与B也相似（m为正整数）；

1⑤ tr(A)tr(B)

二、矩阵可对角化的条件

定义：n阶方阵A可以相似于一个对角矩阵，则称A可对角化。

定理2：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。

推论：n阶方阵A有n个互异的特征值A可对角化。

定理3：n阶方阵A可对角化A的每个k重特征值对应有k个线性无关的特征向量（或R(AE)nk）。即A的几何重数nR(AE)等于代数重数k。

讲教材P160 例1和例2

三、小结

n阶方阵A对角化的步骤：

(1)解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2)对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini；(3)令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则PAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为ni个（i1,2,,s）。

四、习题

P162 T1

T2

T3

T4

T5

T6

§5.4 实对称矩阵的相似矩阵



1一、实对称矩阵的特征值性质

定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。

定理2：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则R(AE)nr，即对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。

二、实对称矩阵的相似理论

定理4：任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似。即实对称阵一定可以对角化。

1T定理5：设A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAPPAP。其中diag(1,2,,n)，且1,2,...,n是A的n个特征值。

三、实对称矩阵对角化方法

n阶实对称矩阵A对角化的步骤：

(1)解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2)对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini；(3)利用施密特正交化方法将i1,i2,...,ini正交化，得正交向量组i1,i2,...,ini，再单位化得规范正交向量组i1,i2,...,ini（i1,2,,s）；

(4)令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则P为正交矩阵，且P1APPTAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为。ni个（i1,2,,s）

讲教材P164 例1和例2

四、习题

P167 T1

T2

T4 P167 总复习题：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章 特征值和特征向量

矩阵的对角化 教学目标与要求

1.理解二次型及其秩的相关概念，了解矩阵的合同关系

2.掌握二次型的标准形，以及用配方法、正交变换法和初等变换法化二次型为标准型

3.理解惯性定理和二次型的规范形，掌握二次型正定的判别方法 教学重点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法 教学难点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法

§6.1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示

定义1：含有n个变量的二次齐次函数：

22f(x1,x2,...,xn)a11x12a22x2annxn 2a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn称为二次型。当aij全为实数时，f称为实二次型。

为了便于用矩阵讨论二次型，令aijaji，则二次型为：

f(x1,x2,...,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn2 a21x2x1a22x2a2nx2xn.................................................2 an1xnx1an2xnx2annxn

a11a21记

Aan1a12a22an2i,j1anijxixj

a1nx1a2nx2x，，xannnT则二次型f(x1,x2,,xn)xAx，其中A为对称矩阵。

由此可见，对称矩阵A与二次型f是一一对应关系，故称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，R(A)也称为二次型f的秩。

讲教材P173 例1和例2

二、线性变换 x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn

定义2：称为由变量x1,x2,,xn到变量y1,y2,,yn.................................................xncn1y1cn2y2cnnyn的一个线性变量替换，简称线性变换。

c11c21其中，矩阵Ccn1c1nc22c2n称为线性变换的矩阵。cn2cnnc12x1y1x2y2记x，y，则线性变换可用矩阵形式表示：xCy。

xynn若C0，则称线性变换xCy为非退化的(或满秩变换)；否则，称为退化的(或降秩变换)。若C是正交矩阵，则称线性变换xCy为正交变换。因此，我们有

f(x)xTAx(Cy)TA(Cy)yTCTACyyTBy，其中BCTAC，而且 BT(CTAC)TCTATCCTACB

三、矩阵的合同

1．定义3：设A,B为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CACB，则

TB。称矩阵A与B合同，记为：A~B（合同）定理：若A~，则AB（等价），且R(A)R(B)。

2．合同的性质

A

① 反身性：对任意方阵A，都有A~B，则B~A

② 对称性：若A~C B,B~C，则A~③ 传递性：若A~3．定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特征根为对角元的对角阵），即存在可逆矩阵C，使得CAC。

四、习题

P175 T1

T3

T4

§6.2 二次型的标准形

T一、二次型的标准形

222定义：形如d1x1的二次型称为二次型的标准形。d2x2dnxn

二、化二次型为标准形

（1）配方法

对任意一个二次型fxTAx，都可用配方法找到满秩变换xCy，将f化为标准形。步骤：若f中含变量项xi的平方项，则先将所有含xi的项合并在一起配成完全平方，依次类推直到都配成完全平方项；若f中不含任何平方项，则令x1y1y2,x2y1y2，xkyk，使f中出现平方项，再按照前面的思路进行配方。

（2）正交变换法

定理：任给二次型f(x)xTAx，总存在正交矩阵Q，使QTAQQ1AQ，其中diag(1,2,,n)，1,2,,n是A的全部特征值。

22即存在正交变换xQy使f化为标准形：（其中1,2,,n1x122x2nxn是对称矩阵A的全部特征根）

讲书上P176 例1

（3）初等变换法

由于任意对称阵A都存在可逆矩阵C，使CAC为对角阵；由于C是可逆阵，故可表

TTTT示一系列初等矩阵的乘积。设CP1P2PS，则CPsP2P1，因此

TCTACPsTP2TP1AP1P2Ps

①

T

CP1P2PSEP1P2PS

②

①式表示对实对称矩阵A施行初等列变换的同时也施行相应的行变换，将A化为对角阵；②表示单位阵E在相同的初等列变换下就化为C。即（三、习题

P181

T1

T3

T4

§6.3 惯性定理和二次型的正定性

A)合同变换()EC

一、惯性定理和规范形

定理1：设实二次型fxTAx的秩为r，有两个实满秩线性变换xCy及xPz，222使得 fk1y1kpy2,2,,r)

（1）pkp1yp1kryr(ki0,i12222及

f1z1qzqq1zq,2,,r)1rzr(i0,i1则pq；且称p为二次型f的正惯性指数，rp为二次型f的负惯性指数。

对二次型f的标准形（1）式再作满秩线性变换

(y1,,yr,yr1,,yn)Tdiag(11,，1,,1)(t1,,tr,tr1,,tn)T k1kr2222则有ft1tptp1tr，称之为二次型f的规范形。

惯性定理的等价表述：任意一个秩为r的实二次型f都可以经过满秩线性变换化为规范形，且其规范形是唯一的。即规范形中正项的个数p与负项的个数rp都是唯一确定的。

定理2：实对称阵A与B合同A与B的正负惯性指数相同

A与B的规范形相同R(A)R(B)，且A与B的正惯性指数相同 二、二次型的正定性

定义1：设实二次型f(x)f(x1,x2,,xn)xTAx，若对任意x0，都有f(x)0，则称f为正定二次型，并称其对称矩阵A为正定矩阵。三、二次型正定的判别方法

定理3：设A是n阶实对称矩阵，则

fxTAx正定（或A正定）A的n个特征值全为正；

f的标准形的n个系数全为正f的正惯性指数pn； 存在可逆矩阵P，使APTPA与单位矩阵合同； A的各阶顺序主子式全为正，即

a11a1na11a120

a110，0，，a21a22an1ann讲教材P184 例3

四、习题

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T3

T4

T5

T6 P186 总复习题： T4

T5

T6

T7 ；

T9

T12

T13

第四篇：高等代数教案第四章线性方程组

第四章

线性方程组

一 综述

线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论.二 要求

掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论.重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法

一 教学思考

本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法.二 内容要求

主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系.三 教学过程

11x213x2x3151．引例：解方程组x1x23x3

3（1）

32x4x5x21233定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换.2．消元法的理论依据

TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）

3．转引

在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因

a11a21Aa12a22a1na2n,则A可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：

am1aam2mn1010001brr1； 000000000000进而化为以下形式：

1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn.其中r0,rm,rn,“”表示不同的元素.0000000000005）用矩阵的初等变换解线性方程组

a11x1对线性方程组：a12x2a1nxnb1ax1a22x2a2nxnb212

（1）am1x1am2x2amnxnbma11a12a1n由定理1其系数矩阵Aaaa21222n可经过行初等变换和列换法变换化为 am1am2amn1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn；则对其增广矩阵 000000000000

y1d1c1r1kr1c1nknydckck22r1r12nn2,这也是（1）的解,由kr1,,kn的任意性（1）有无穷多解.yrdrcrr1kr1crnknyr1kr1ynknx12x23x3x452x4xx3124例1 解线性方程组.x12x25x32x48x12x29x35x421解：对增广矩阵作行初等变换：

23151140132A01252801295210200100001212003213 60013x2xx24122同解,故原方程组的一般解为所原方程组与方程组113x3x42631x2xx42122.131x3x4624.2 矩阵的秩

线性方程组可解判别法

一 教学思考

1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r,其含义是至少有一个r阶非零子式,所有大于r阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳.二 内容要求

1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理

2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程

1．矩阵的秩（1）定义

x1x2x31x1x2x3 xxx23124.3 线性方程组的公式解

一 教学思考

1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）.二 内容要求

1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解

2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程

1．线性方程组的公式解

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2

（1）有解时,用方程组的系数和常数项把解本节讨论当方程组am1x1am2x2amnxnbm表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.x12x2x32,(G1)为此看例,考察2x13x2x33,(G2)

（2）

4xxx7,(G)3123显然G1,G2,G3间有关系G32G1G2,此时称G3是G1,G2的结果（即可用G1,G2线性表示）.则方程组（2）与x12x2x32(G1)同解.2x3xx3(G)2321同样地,把（1）中的m个方程依次用G1,G2,,Gm表示,若在这m个方程中,某个方程Gi是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的Gi舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的r(A)r,则可把（1）归结为解一个含有r个方程的线性方程组.同样

TH4.3.1设方程组（1）有解,r(A)r(A)r(0),则可以在（1）中的m个方程中选取r个方程,使得剩下的mr个方程是这r个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r个方程组成的方程组.下看如何解方程组：

第五篇：线性代数教案第一章

线性代数教案第一章 第一章 行列式（12学时）

教学时数：12学时

教学目的与要求：理解并掌握行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理，行列式的计算，克莱姆法则解方程组。

教学重点：行列式的性质，行列式按行（列）展开，克莱姆法则解方程组。教学难点：行列式按行按列展开。本章主要阅读文献资料：

1.吴赣昌主编，《线性代数》(第4版)，中国人民大学出版社，2008年2月。2.戴斌祥主编，《线性代数》，北京邮电大学出版社，2005年10月。3.陈维新主编，《线性代数》（第二版），科学出版社，2010年8月。

4.赵树嫄主编，《线性代数学习与考试指导》，中国人民大学出版社，2008年5月。

教学内容：

第一节 二阶与三阶行列式

一．二阶行列式

引入新课：

我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为

（1）

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当

时，有

（2）这就是二元方程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。

（一）定义：我们称记号

为二阶行列式，它表示两项的代数和：

即定义

（3）

二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有

如果将D中第一列的元素a11，a21 换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1 的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a a b2，12，22 换成常数项b1，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为

其中D≠0

例1 计算51=5×2-（-1）×3=13 32例2 设D231

问：(1)当λ为何值时D=0(2)当λ为何值时D≠0 解：D231=23

(1)当λ=0或3时，D=0(1)当λ≠0且λ≠3时，D≠0

二.三阶行列式

含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为

（1）

还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当

时，有

（2）

这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。

（二）定义： 我们称记号

为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有

同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项得到另外三个三阶行列式，分别记为

于是有

就可以

按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3 的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。

123例3 405

106解：原式=-58 例4 实数a，b满足什么条件时

ab0ba00 101ab0解：ba0a2b2

a，b为实数，若要a2b20，则a，b需同时等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要条件是什么？

411a10a10解：1a0=a21，即a＞1时，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要条件a＞1 411作业：课本35页，1,2,3,4,5