线性代数教案-第五章 特征值和特征向量

第一篇：线性代数教案-第五章 特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量

特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、教学目标与基本要求 线性变换的特征值和特征向量

定义5.1.1设V是一个线性空间,T:V→V是一个线性变换.若对于数,存在一个非零向量x,使得

T(x)x(5.1.1)则称为T的一个特征值,而称x为T的属于特征值的特征向量.定义5.1.2设A[aik]是一个n阶方阵,是一个变量,矩阵EA的行列式

a11a21det(EA)an1a12an2a1na2n a22ann被称为A的特征多项式,记为f().这是一个变量的n次多项式.而称以为未知量的方程det(EA)f()0为A的特征方程.讨论一个方阵A(被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤: 1.求出方阵A的特征方程det(EA)0的全部根,它们就是A的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组(EA)xθ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.T2 特征值和特征向量的性质

性质1 若是方阵A的特征值,则是A的特征值；若A可逆,则是A的特征值.性质2 设1,2是方阵A的相异的特征值,ξ1,ξ2是分别属于1及2的A的特征向量,则

2211ξ1,ξ2是独立的.性质3 设V是n维线性空间,T:V→V是一个线性变换,它有n个彼此相异的特征值1,,n,ξ1,,ξn是分别属于它们的特征向量.则{ξ1,,ξn}是V的一组基,且T在此基下的矩阵表示就是对角阵Adiag(1,,n).性质4 若A是实对称方阵,1,2是其相异特征值,ξ1,ξ2是分别属于它们的特征向量,则ξ1与ξ2正交.性质5 设1,2,,n是n阶方阵A[aik]的全部特征值,则

(1)f()|EA|n(a11a22ann)n1(1)ndetA,(2)trAi1ni,(3)detA12n 相 似 矩 阵

定义5.3.1设A,B都是n阶方阵,若有可逆方阵C,使

C1ACB,(5.3.5)

1则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.对A进行运算CAC,被称为对A进行相似变换.可逆方阵C被称为将A变成B的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A与A相似.因为取单位阵E,有EAEA.(2)对称性:若B与A相似,则A与B相似.因为(5.3.5)式两端左乘C,右乘C1,有

1CBC1A.(3)传递性:若B与A相似,D与B相似,则D与A相似.因为据假设,有可逆方阵C1及C2,使C1AC1B,C2BC2D,故有DC2(C1AC1)C2(C1C2)A 11111(C1C2),故D与A相似.定理5.3.1若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.而且detAdetB.推论 若n阶方阵A与对角阵Λdiag(1,,n)相似,则1,,n即为A的n个特征值.若一个n阶方阵A与一个对角阵Λdiag(1,,n)相似,就称A可以对角化.定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A为n阶实数对称阵,是A的特征方程的r重根,则方阵EA的秩是nr,从而属于的特征向量中,恰有r个独立的特征向量.定义5.3.2由n个两两正交的n元单位列向量所构成的n阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：

第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时 第二节特征值和特征向量的性质

2学时 第三节相 似 矩 阵 2学时

三、教学内容的重点及难点：

1、重点：特征根及特征向量的求法

2、难点：什么时候可以将矩阵对角化

四、教学内容的深化和拓宽：

大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题(3)(4)(5)

3警 4

11

六、教学方式（手段）

本章主要采用讲授新课的方式。

第二篇：高等教育自学考试复习专题：线性代数（经管类）讲义-第五部分特征值与特征向量

第五部分　特征值与特征向量

本章讨论方阵的特征值和特征向量，进而讨论方阵能与对角阵相似的充分必要条件以及实对称阵与对角阵相似的问题。

5.1　特征值与特征向量

5.1.1　特征值与特征向量的定义

定义5.1.1　设A是一个n阶方阵，λ是一个数。如果存在一个非零的n维列向量p，使得Ap=λp。

则称λ为方阵A的一个特征值，称p为A的属于特征值λ的特征向量。

由以上定义容易看出，p为A的属于特征值λ的特征向量p是齐次方程组（λE-A）=0的非零解。

由此可见，λ为方阵A的一个特征值

定义5.1.2　称带参数λ的方阵λE-A为方阵A的特征方阵，称为A的特征多项式，称为A的特征方程。

为什么称为A的特征多项式？看

为二次多项式。对n阶方阵

是一个n次多项式。

所以n阶方阵A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n阶方阵A在复数范围内，有n个根（重根按重数进行计算）。

所以n阶方阵A在复数范围内必有n个特征值（重根按重数计算）。

而当λ是A的特征值时，齐次方程组（λE-A）X

=0的所有非零解都是A的属于特征值λ的特征向量。

例1　求n阶的所有特征值和所有特征向量。

【答疑编号12050101】

解

这说明，n阶O矩阵的n个特征值都是0。

对于任给的n维非零向量p，都有Ap=0=0p，所以p都是O矩阵的属于特征值0的特征向量。

例2　当时，2是A的特征值。当时，λ=　　　是A的特征值。

【答疑编号12050102】

例3　设A是一个n阶方阵，且满足证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050103】

例4　设A是一个n阶方阵，且A≠E。如果证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050104】

5.1.2　关于特征值和特征向量的若干结论

命题1　方阵的特征值未必是实数。

例5　设

显然，即特征值都是复数。

命题2　三角形矩阵的特征值就是它主对角线上的所有元素。

命题3　设是矩阵A的一个特征值，是矩阵A属于特征值的特征向量，是两个任意数，则当时，也是矩阵A属于特征值的特征向量。

定理5.1.1　n阶方阵A与它的转置有相同的特征值。

这只要看

值得注意的是与A未必有相同的特征向量。

例6

解　显然，λ=1是A的特征值，故属于特征值λ=1的特征向量。

但

所以不是的特征向量。（此题给出了判断向量是否是A的特征向量的方法）。

【答疑编号12050105】

定理5.1.2　设是n阶方阵的全体特征值。则

定理5.1.3

设A为n阶方阵，为对应的方阵多项式。如果非零向量p满足Ap=λp，则f(A)p=f(λ)p。

这表明，如果λ是A的特征值，则f(λ)就是方阵f(A)的特征值，且如果p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则p也是方阵f(A)属于特征值f(λ)的特征向量。

例7

设的所有特征值。

【答疑编号12050201】

例8

已知n阶方阵求A的所有特征值。

【答疑编号12050202】

定理5.1.4

设A是可逆方阵，λ是A的一个特征值，p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则λ≠0，且p是方阵属于特征值的特征向量。

定理5.1.5

设是矩阵A的k个两两不相同的特征值，且分别是关于的特征向量。则线性无关。

5.1.3　关于求特征值和特征向量的一般方法

例9

求出的特征值和线性无关的特征向量。

【答疑编号12050203】

解

（1）写出特征多项式

得为的全部特征值。

下面求A的特征向量。

当时,A的属于该特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。

对

取为自由未知数，得A的属于特征值2的线性无关的特征向量

当时，则A的属于特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。而

取自由未知数，得的属于特征值的线性无关的特征向量为

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

例10

求矩阵的特征值和特征向量。

【答疑编号12050204】

小结：

（1）求特征值特征向量的方法步骤。

（2）对于A的二重特征值，可能有两个线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量。一般，若λ=a是A的k重特征值，A至多有k个属于λ=a的线性无关的特征向量。(可能少于k个!)

例11

设n阶方阵的每一行中元素之和同为a，证明：a是矩阵的特征值，并求出它属于该特征值的一个特征向量。

【答疑编号12050205】

例12

求出k的值，使得的逆矩阵的特征向量。

【答疑编号12050206】

小结

1.特征值和特征向量的定义；

2.λ是n阶矩阵A的特征值的充分必要条件是，而齐次方程组的所有非零解都是A属于特征值λ的特征向量；

3.关于特征值和特征向量的若干重要结论；如

A属于不同特征值的特征向量线性无关等

4.求矩阵的特征值和特征向量的方法。

作业p135

习题5.1

2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

5.2　方阵的相似变换

对于方阵A，要求一般来说，这是一个十分困难的问题。

有两种情况我们会处理。

而对一般的方阵A，要求十分困难。于是思考能否把求的问题转化为求一个对角阵的k次幂的问题呢？这首先希望找到A与对角阵的联系。

这一节就讨论这个问题。

5.2.1　相似矩阵的概念

一、定义

定义5.2.1　设A，B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P，使得

则称A与B相似，记为A～B。

例1　取

故A与B相似。

【答疑编号12050301】

例2　设A，B都是n阶方阵。

A可逆，则AB与BA相似。

【答疑编号12050302】

证　因为故AB与BA相似。

例3　设B是n阶方阵，若n阶单位阵与B相似，则

【答疑编号12050303】

二、相似矩阵的性质：

（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。

定理5.2.1　设n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值完全相同。从而有和

需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。

只要看例1中，取

故的一个属于特征值0的特征向量，但

所以不是矩阵属于特征值0的特征向量。

推论　若n阶方阵A与三角阵相似，则该三角阵的主对角元素就是A的所有特征值。

例4　设且A与B相似。求参数x，y。

【答疑编号12050304】

例5　设n阶方阵A与B相似，证明：方阵多项式f（A）与f（B）相似，其中

【答疑编号12050305】

5.2.2　方阵与对角阵相似

设三阶方阵A与对角阵相似存在可逆阵，使得

即

即

即是矩阵A的三个特征值，依次为矩阵A属于特征值的特征向量。

注意可逆的充分必要条件是线性无关。上面的讨论对n阶方阵可类似的进行。于是有下面的重要定理

定理5.2.2n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。设

是A的n个特征值，依次是A属于特征值的线性无关的特征向量，则令

有

推论

设n阶方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能和对角阵相似。（这是充分条件，不是必要条件）

分析矩阵不能与对角阵相似的原因。

例6

不能与对角阵相似。

【答疑编号12050401】

例7

判断能否与对角阵相似？若能，求出变换矩阵P。

【答疑编号12050402】

在上一节例9已求出A的全部特征值

当时，A有两个线性无关的特征向量:对，A有一个线性无关的特征向量

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

故A能与对角阵相似，取变换矩阵

必有

例8

判断矩阵

能否与对角阵相似，若相似，求出变换矩阵。

【答疑编号12050403】

解

在上一节例10

已求出A的全部特征值

得A的全部特征值为

对

A只有一个属于特征值的线性无关的特征向量

所以A没有三个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。

例9

设

问A是否相似于对角阵？若是，则求出其相似标准形。

【答疑编号12050404】

例10

已知三阶方阵A的三个特征值为

与它们对应的特征向量分别为：

求矩阵A。

【答疑编号12050405】

例11

设，求。

【答疑编号12050406】

小结

主要概念:

1.相似的定义和性质。

2.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；及充分条件（特征方程无重根）。

主要习题类型:

1.判断n阶方阵能否与角阵相似，相似时，求出变换矩阵。

2.已知方阵的全部特征值和n个线性无关的特征向量，求矩阵A

3.利用相似矩阵的性质求矩阵中的未知参数。

作业

p144

习题5.2

1.（1），（2），（5），2，3，4（2），5

5.3　向量内积和正交矩阵

5.3.1　向量的内积

一、定义

定义5.3.1设都是n维实向量。

定义为α与β的内积。

显然，α与β的内积的内积是一个实数，所以内积也称数量积。

例1

设求它们的内积。

【答疑编号12050501】

解

二、性质

（1）交换律（α,β）=（β,α）

（1）线性性质

正定性

对任意的α，总有（α,α）≥0，且（α,α）=0的充分必要条件是α=0。

只要看

（4）许瓦兹不等式（*）

而且式

（*）中等式成立的充分必要条件是α与β线性相关。（证明从略）

三、向量的长度

定义5.3.2

设为向量α的长度。

当时，称向量α为单位向量。

显然，α为单位向量

向量长度的性质：

（1）非负性：

（2）齐次性：

只要看

（3）三角形不等式

可见，n维向量长度的性质与三维向量长度的性质相同。

显然，基本单位向量为单位向量。

对于任意的非零向量为单位向量，称它为α的单位化向量。

因为

容易看出，当k≠0时，kα的单位化向量与α的单位化向量相同。

例2

对于α=（1,2,3）。求它的单位化向量。

【答疑编号12050502】

解，所以，它的单位化向量为

请自已读例3（p147），目的搞清楚每个式子是否有意义。

四、向量的正交与正交向量组

定义5.3.3

若（α,β）=0，则称向量α与β正交。显然零向量与任何向量都正交。

定义5.3.4

如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。

例3

在中，一个正交向量组。且为一个标准正交向量组。（还是一个标准正交基）。

【答疑编号12050503】

例4

求一个单位向量x,使得

即垂直于α=（1,1,1）又垂直于β=（1.-2,1）。

【答疑编号12050504】

定理5.3.1

正交向量组必线性无关。

5.3.2　施密特正交化手续

能否根据给定的一个线性无关向量组，构造出与它等价的正交向量组。

例5

将标准正交化。

【答疑编号12050505】

5.3.3　正交矩阵

一、定义

定义5.3.5

如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。

例6

证明下列矩阵为正交矩阵

（1）因为　所以为正交阵。

【答疑编号12050601】

（2）

【答疑编号12050602】

（3）

【答疑编号12050603】

二、正交矩阵的性质

1.如果A是正交阵，则

2.如果A是正交阵，则A必可逆，且；

3.正交阵的逆，转置和伴随阵都是正交阵；

4.设A，B都是正交阵，则它们的乘积仍为正交阵；

5.设A是n阶正交阵，α,β都是n维向量，则。

特别，时。

定理5.3.2

n阶方阵是正交阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。

例7

判断下列矩阵是否为正交阵

（1）

【答疑编号12050604】

（2）

【答疑编号12050605】

例8

设x为n维单位列向量。证明:是对称正交阵。且有Hx=-x

【答疑编号12050606】

例9

设A是n阶正交阵。λ是A的一个特征值。证明λ≠0，且也是A的一个特征值。

【答疑编号12050607】

小结

1.向量α与β内积的定义与性质；

2.向量长度的定义，如何将向量单位化；

3.两向量正交与正交向量组的定义，正交向量组必线性无关；

4.施密特正交化手续；

5.正交矩阵的定义和性质。

作业

p153

习题5。3

1，5（1），6，7，8

5.4　实对称矩阵的相似标准形

5.4.1　实对称矩阵的性质

定理5.4.1

实对称矩阵的特征值必为实数。

定理5.4.2

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定义5.4.1

设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。

定理5.4.3

(实对称矩阵的基本定理)设A为n阶实对称阵，则A必能与对角阵正交相似，即存在正交阵P，使得

其中，是方阵A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角阵的实方阵一定是实对称阵。

我们证明定理的后半部分。

设A是n阶方阵，存在正交阵P使得

则，即A为对称阵。

5.4.2　求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形

设A是实对称阵。要求正交阵P,使得为对角形。

下面看例题。

例1

设,求正交阵

和对角阵，使得。

【答疑编号12050701】

解

(1)求A的特征值

故

（2）求特征向量

当时,得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时,，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

(3)将特征向量单位化

因为三个特征值都是单根，故它们对应的特征向量两两正交.故只需单位化。

得。

于是得正交阵。

则

例2

设，求正交阵P和对角阵，使得。

【答疑编号12050702】

解

（1）求A的特征值

得特征值。

（2）求特征向量，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

（3）将正交化

注意，但相互不正交，故需正交化。

取

（4）将特征向量单位化。

于是得正交阵

则

例3

设三阶实对称矩阵A的特征值为。已知A的属于的特征向量为，求出矩阵A属于特征值的特征向量，并求出矩阵A。

【答疑编号12050703】

小结

1.实对称阵的性质；

2.正交相似的定义；

3.用正交变换将实对称矩阵化为对角阵的方法。

作业

p160

习题5.4

1,2,4(2),6,7

第五章总结

1方阵特征值和特征向量的定义和求法；

2.关于特征值特征向量的若干重要结论；

3.矩阵相似的定义和性质；

4.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；

5.向量内积的定义和性质；

6.向量长度的定义，单位向量，向量的单位化；

7.正交与正交向量组的概念和性质；施密特正交化手续；

8.实对称矩阵的性质，如何用正交变换将实对称阵化成对角形。

第三篇：线性代数教案

第一章

线性方程组的消元法与矩阵的初等变换

教学目标与要求

1.了解线性方程组的基本概念

2.掌握矩阵的三种初等变换 教学重点

运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组 教学难点

矩阵的初等变换

§1.1 线性方程组的基本概念

一、基本概念

定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn(1)am1x1am2x2amnxnbm称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bm0时则称为齐次线性方程组。方程组(1)

a12a22am2a1na2n为系amna11a21TA的一个解为：x(c1,c2,,cn)（或称为解向量）；此时称am1a11a12a1na21a22a2n数矩阵，称Bam1am2amn

二、线性方程组的消元法

b1b2为增广矩阵。bm2x1x23x31例1：解线性方程组4x12x25x34

2x2x6312x1x23x312x1x23x312x1x23x31解：4x2x32，x2x35，x2x35；

xx54xx23x18232332x1x23x312x1x2192x118x19

x2x35，x21，x21，x21

x6x6x6x63333从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关，且仅用了以下3种变换：①交换两行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。

故我们隐去x1,x2,x3,，得到一个数字阵（即矩阵B），对B进行初等行变换：

213121312131B425404120115

2026011504121213121019213011501150101 003180016001620018100901010101 0016001612131009其中0115称为行阶梯形矩阵，0101称为行最简形矩阵。

003180016

三、小结

例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法：对其增广矩阵B进行3种初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，再最终变成行最简形矩阵，然后从中读出所需的解。

四、一般解和通解

x12x2x32x41例2：解方程组2x14x2x3x45

x2x2xx42341解：

212112121121211B241150033300333

12214003330000012121120120011100111 0000000000即x12x2x42x122x2x4，亦即一般解为，其中x2,x4为自由未知量。

x3x41x31x4x122c1c2xc21令x2c1,x4c2，得方程组的通解为

x31c2x4c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn2、定理：在齐次线性方程组中，若mn（即方程

am1x1am2x2amnxn0的个数小于未知数的个数），则它必有非零解。

五、习题

P11 T1(2)

T2

§1.2 矩阵的初等变换

一、矩阵及其初等变换

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mn。amn

二、矩阵的初等行(列)变换

①交换两行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩阵的标准形

定理：任意一个mn的矩阵A，总可以经过初等变换（包括行变换和列变换）化为如10下的标准形：F00000001000Er0100即AmnFO00000000O O其中1的个数r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。

四、习题

P18

T1(4)(5)

T2(1)

T3 P19 总复习题：T3

T4

第二章

行列式

教学目标与要求

1.会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式

2.理解排列、逆序数的概念，掌握n阶行列式的定义及其重要性质 3.理解并会灵活运用行列式的展开公式，掌握范德蒙德行列式的结论 4.掌握克拉默法则及其应用 教学重点

1.n阶行列式的重要性质

2.n阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论

3.克拉默法则的运用 教学难点

1.n阶行列式的重要性质及其展开公式 2.克拉默法则的运用

§2.1 二阶和三阶行列式 一、二阶行列式

a11x1a12x2b1a11a12

1、引例：对于线性方程组（1），其系数矩阵为A a21x1a22x2b2a21a22

用消元法解得 (a11a22a12a21)x1b1a22b2a12（2）

(a11a22a12a21)x2b2a11b1a21a12a11a22a12a21称为二阶行列式，记DAdetA

a12a11b1，D2 a22a21b22、定义：Da11a21a22a11a12b1Dx1D1那么（2）可以表示为，其中D，D1aab2DxD212222从而x1 二、三阶行列式 D1D,x22。DDa11x1a12x2a13x3b1a11a12axaxaxb1、定义：对于三元线性方程组211a222222332，记Aa21axaxaxba331a32311322333a11称DAdetAa21a13 a23，a33a12a22a32a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33a

31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 为三阶行列式。

a112、三对角线法则（记忆）：Da21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、习题

P25 T1(2)(3)(5)

T2

T3

§2.2 n阶行列式的定义和性质

一、排列与逆序数

1.定义1：由1,2,,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。（n级排列共有n!个）定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作。)402107（奇排列）例：(25431；)1412108（偶排列）

(5243。

定理：对换改变排列的奇偶性；在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有

二、n阶行列式的定义

n!个。21.定义：n阶矩阵A(aij)nna11a21am1a12a22am2a1na2n，则n阶行列式定义如下： amna11 DAa12a1np1p2pna21an1a22a2nan2ann(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

这里，表示对1,2,,n这n个数的所有排列p1p2pn求和。即n阶行列式是指n!项取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。

2、例：（常用结论）

a11（1）

a11a22ann0a11a22ann0n(n1)2a12a1na11000 a22a2na210annan1a22an2ann1（2）2(1)12n

n3、n阶行列式的等价定义

定理：D12(1)ai1j1ai2j2ainjn；其中1为行标排列i1i2in的逆序数，2为列标排列j1j2jn的逆序数。

三、行列式的性质

设n阶矩阵A(aij)nn的行列式为DA，则D有如下性质：

T①AA；

②交换两行（列），则D变号；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特别地，若某行（列）为0，则D0；若某两行（列）成比例，则D0。④拆和：若D中某行（列）的元皆为两项之和，则D等于两个行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），则D不变。

123例：②如211111211234234；③如33932113

***123123④如456123333；

112112112111111111111⑤如23340120120120 45345012000

注意：计算行列式的常用方法：(1)利用定义；

(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值；(3)利用展开公式(下一节)。

四、习题

P36

T1

T4

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展开公式

一、余子式与代数余子式

1、定义：在n阶行列式det(aij)中，划去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原来的顺序所构成的n1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij；又记Aij(1)ijMij，称Aij为aij的代数余子式。

142.如：***中，a111的余子式为M11412，代数余子式为 23411234A11(1)11M11M11，a214的余子式为M21412，代数余子式为

341A21(1)21M21M21，二、展开公式

定理：n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即可按第i行展开

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)

或可按第j列展开

Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)

14如：3221433214431A112A123A134A141A114A213A312A41 21

2、讲解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dnx12x1n1 1x22x2n1x21x32x311xn2xn1ijn(xjxi)

n1n1x3xn推论：行列式某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn(ij)或

a1iA1ja2iA2janiAnj(ij)

11例证：如3222433314441A112A123A134A14a21A11a22A12a23A13a24A140

21四、习题

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法则

一、克拉默法则

定理1：含有n个未知数x1,x2,,xn与n个方程的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn

2

(1)

an1x1an2x2annxnbn

称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bn0时称为齐次线性方程组。

如果线性方程组(1)的系数行列式DA0（这里A(aij)nn），那么(1)有唯一解，且解为xjDjD(j1,2,,n)，其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素用方程组右端的常数项替代后所得到的n阶行列式。

推论：

(1)如果线性方程组(1)无解或至少有两个不同的解，那么它的系数行列式D0。

(2)如果齐次线性方程组的系数行列式D0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D0。

注意：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：①方程个数等于未知数个数；②系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系。它主要适用于理论推导。

二、习题

P50

T2 T3 ；

P51 总复习题：T1 T2 T3

T6

第三章

矩阵

教学目标与要求

1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的3种运算(加法、数乘、乘法)，以及它们的运算律

2.熟记几种特殊矩阵(单位阵、对角阵、数量矩阵、三角阵、转置矩阵、对称和反对称阵)及其性质，掌握方阵行列式的性质

3.掌握伴随矩阵和逆矩阵的定义及其性质，熟悉逆矩阵的运算规律 4.了解分块矩阵的运算律，以及常用结论

5.理解初等矩阵与初等变换之间的关系，掌握初等变换求逆矩阵的方法 6.掌握矩阵的秩的概念及其性质，会用初等变换求矩阵的秩 教学重点

1.矩阵乘法的运算律和方阵行列式的性质

2.逆矩阵和伴随矩阵的运算性质，以及初等变换法求逆矩阵

3.矩阵的秩的性质，以及初等变换法求矩阵的秩 教学难点

1.逆矩阵的概念，以及求逆的方法 2.矩阵的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩阵的概念及其运算

一、矩阵的概念

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mnAmn。amn矩阵的相等：AmnBmnaijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)

b1b2行矩阵（行向量）：A(a1,a2,,an)；列矩阵（列向量）：A

bn

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法

定义1：设A(aij)mn，B(bij)mn，则AB(aijbij)mn

注意：两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算。

矩阵的加法满足下列运算律(设A,B,C都是mn矩阵)：(1)交换律：ABBA；

(2)结合律：(AB)CA(BC)(3)负矩阵A(A)0，规定减法运算：ABA(B)

2、矩阵的数乘

a11a21定义2：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为Aam1a12a1na22a2nam2amn；

矩阵的数乘满足下列运算律(设A,B都是mn矩阵，,为数)：(1)()A(A)；

(2)()AAA；(3)(AB)AB；

(4)1AA；(5)A00或A0

3、矩阵的乘法

定义3：设A(aij)ms，B(bij)sn,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C(cij)mn，其中

cijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkj(i1,2,,m;j1,2,,n)

k1s记为CmnAmsBsn（A的列数等于B的行数）。

例1：求矩阵A4242与B36的乘积AB与BA。12 解：AB41632242 1612368

BA424002AB 361200例1说明：矩阵的乘法不满足交换律，即一般地ABBA。若ABBA，则称方阵A与B可交换。矩阵的乘法满足下列运算律：

(1)结合律：(AB)CA(BC)

(2)(AB)(A)BA(B)(3)分配律：A(BC)ABAC，(BC)ABACA

例2：举例说明下列命题是错误的（1）若A0，则A0；

2（2）若AA，则A0或AE； 2（3）若AXAY，且A0，则XY。

11101010

解：（1）A（2）A（3）AX11；00；00,Y01。



三、方阵的幂及方阵多项式

1、定义：设A是n阶方阵，则A1A,A2AA,,Ak1AkA

klklklkl方阵的幂满足的运算律：(1)AAA；(2)(A)A

2、方阵多项式

设f(x)a0xma1xm1am1xam(a00)为m次多项式，A为n阶方阵，则 称f(A)为方阵A的多项式。f(A)a0Ama1Am1am1AamE仍为一个n阶方阵，四、习题

P61 T2(3)(4)(5)(8)

T3

T4

T6

§3.2 特殊矩阵与方阵行列式

一、特殊矩阵

1、单位矩阵

10En01000010，性质：EAAEA 01nn0

2、对角矩阵

020diag(1,2,,n)

0nmm

性质：[diag(1,2,,n)]mdiag(1,m2,,n)，m为正整数。

3、数量矩阵

00EE00

4、三角矩阵

00，性质：EAAEA a12a1na11a22a2na21或0annan

1性质：Aa11a22ann

5、转置矩阵 a110A000a220 an2ann如果A(aij)mn，则AT(aij)nm。

性质：(1)(A)A；

(2)(AB)AB；

(3)(A)A；

(4)穿脱原理：(AB)BA

6、对称矩阵和反对称矩阵

TT设A(aij)nn，如果AA，则称A为对称矩阵；如果AA，则称A为反对称TTTTTTTTTT矩阵。

二、方阵行列式

性质：①ABABBA（A,B都是n阶方阵）

n

②AA n

③kAknA

三、伴随矩阵

定义：n阶行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

A11A12A1n称为A的伴随矩阵。

A21An1A22An2

A2nAnnn1*

例1：试证：（1）AAAAAE；

（2）当A0时，AA

证明：（1）因为

a11a21*故AAan1A,ijai1Aj1ai2Aj2ainAjn(i,j1,2,,n)

0,ija12a1nA11A21An1A00a22a2nA12A22An20A0AE an2annA1nA2nAnn00A同理可得A*AAE。

（2）对A*AAE两边取行列式，得AAAE

*

即 AAAEA，所以当A0时，AAnnn1。

四、习题

P69 T1

T2

T6

T7

T8(2)

§3.3 逆矩阵

一、逆矩阵

1、定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使

ABBAE

则称A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为BA。

2、可逆的判定定理

定理：方阵A可逆A0；当A可逆时，A11 A，其中A为A的伴随矩阵。

AE。证明：必要性.因为A可逆，即存在A，使AA111

1故AAAAE1，所以A0

充分性.由§3.3的例1可知 AAAAAE；因为A0，故有

A11AAAE AA1A。

A按照逆矩阵的定义，即有

A1注意：当A0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。可见，可逆矩阵就是非奇异矩阵。同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）。

13、推论：若ABE（或BAE），则BA。

证明：ABABE1，故A0，从而A存在，于是

1BEB(A1A)BA1(AB)A1EA1

二、逆矩阵的运算律

方阵的逆矩阵满足下列运算律：

①若n阶方阵A可逆，则A也可逆，且(A)②若A可逆，数0，则A可逆，且A1111A；

1A1；

1③若A,B均为n阶可逆方阵，则AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且ABAC，则BC； ⑤若A可逆，则A也可逆，且(A)T； B1A1（穿脱原理）

T1(A1)T；

⑥若A可逆，则A也可逆，且(A*)1(A1)*；

⑦若A可逆，则(A*)T(AT)*；

1⑧若A可逆，则AA1*

⑨若A,B均为n阶可逆方阵，则(AB)*B*A*（穿脱原理）

证明： ①因为AA1E，由推论可知，(A1)1A

②因为A1A1AA1E，由推论可知，A11A1

1③(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E，由推论有，(AB)11④因为A可逆，则AABAAC，即EBEC，故BC

B1A1

⑤AT(A1)T(A1A)TETE，由推论有，(A)⑥因为A可逆，故A1T1(A1)T

1*AA1A，且AAE，从而(A*)1A； AAAA

1又A(A)(A)A11*1*A1E，即(A1)*AA1E1A A

所以(A)*1(A1)*。

T*TT11T⑦因为(A*)T(AA1)TA(A1)T，(A)A(A)A(A)

所以(A)(A)

111⑧因为AAE1，即AA1，所以A*TT*11A A⑨由ABAB0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*ABE，所以(AB)*AB(AB)1ABB1A1BB1AA1B*A*

ab1例

1、问Acd满足什么条件时可逆，并求A。

解：Aadbc，Acdb，当Aadbc0时，A可逆； a且

A

11db adbcca例

2、设A是三阶方阵，且A解：(3A)118A*11*，求(3A)18A 271112A18AA1A1A1 333(1)A1(1)3A11 3327A1

例

3、解矩阵方程2571913X411 解：X25171935719113411124111

三、习题

P75 T2

T3(3)

T6

T7

T9

23 §3.4 分块矩阵和初等矩阵

一、分块矩阵

设AnnOA1OB1，BnnOA2O，其中Ai与Bi(i1,2)是同阶的子方块，则 B2O A2B2O 1A21A2 OA1B1①ABOA1k③AOkA1B1；

②ABOA2B2OA11O1；

④AkOA21O⑤AA；

⑥A12A2A1O1AO1

二、初等矩阵

1、定义：由n阶单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。

2、三种初等变换对应三种初等矩阵

(1)交换第i行和第j行；

对应En(i,j)(2)第i行乘k倍；

对应En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；

对应En(i,j(k))

24例

1、将A13化为标准形。

解：A2413131310B 1324020101则

0100113101/22110AB 0112即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)AB

3、初等变换与初等矩阵的关系

定理1：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵。

三、初等变换求逆矩阵

定理2：对任意一个mn矩阵A，总存在有限个m阶初等矩阵P1,P2,,Ps和n阶初等矩阵Ps1,Ps2,,Pk，使得P1PsAPs1PkO

ErOFmn Omn定理3：对于n阶可逆矩阵A，总存在有限个n阶初等矩阵P1,,Ps,Ps1,,Pk，使得P1PsAPs1PkEnn

定理4：设A为可逆矩阵，则有限个初等矩阵P1,P2,,Pk，使得AP1P2Pk 推论：mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使

PAQB，记为AB。（等价关系具有反身性、对称性、传递性）

因此，由定理3可知，方阵A可逆AE

由定理4可知，方阵A可逆AP,2,,k为初等矩阵)1P2Pk(Pi,i

1由推论可知，AB存在可逆矩阵P,Q，使PAQB1、求逆方法的推导：

111由定理4的AP1P2Pk，得

PkP2P1AE

（1）1111（1）式两端分别右乘A，得

PkP2P1EA

（2）



1上述两式表明，用一样的初等行变换将A变成E的同时，会将E变成A。

2、求逆矩阵的基本方法

初等变换法：(A|E)初等行变换(E|A1)或（3、解矩阵方程AXB或XAB（A可逆）

初等变换法：(A|B)初等行变换(E|A1B)或()（四、习题

P91 T1

T2(1)(2)

T3

1AE)初等列变换(1)EAAB初等列变换E)BA1§3.5 矩阵的秩

一、k阶子式的概念

2m,n})，其交叉处的k个元素定义：在mn矩阵A中，任取k行k列(1kmin{按原来的位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。

11111111例：A1234，1,0等都是A的一个2阶子式。

12000000kk可知，mn矩阵A的k阶子式共有Cm个。Cn

二、矩阵的秩

定义：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A)。若R(A)r，则A中至少有一个r阶子式不为0，且所有r1阶子式都为0。

三、矩阵秩的性质

m,n} ① 1R(A)min{② R(A)R(A)

③ R(A)rA的行阶梯形含r个非零行A的标准形FO④ 若A~B则R(A)R(B)（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）

⑤ 若P,Q可逆，则R(PAQ)R(A)

⑥ max{A,B}R(A,B)R(A)R(B)；

特别地，当B为列向量b时，有R(A)R(A,b)R(A)

1⑦ R(AB)R(A)R(B)

⑧ R(AB)min{R(A),R(B)}

⑨ 若AmnBnsO，则R(A)R(B)n

例

1、设A为n阶矩阵A的伴随矩阵，证明 *TErO OR(A)nn,R(A*)1,R(A)n1

0,R(A)n1

证明：

**(1)当R(A)n时，则A可逆，即A0；由AAAE知AAn10。故A*可逆，从而R(A)n

(2)若R(A)n1，则AAAE0。故R(A)R(A)n，R(A)nR(A)1。又由R(A)n1知矩阵A中至少有一个n1阶子式不为零，也就是说A中至少有一个元素不为零。所以R(A)1，从而有R(A)1。

*(3)若R(A)n1，则A的任意一个n1阶子式都为零。故A0，即R(A)0。

********21113例

2、求A42232的秩

21561211132111321113解：422320045400454

215610045200006

故R(A)3

12例

3、已知矩阵A1212a32314的秩为3，求a的值

01153554a3112a311200112a200112a2解：A 0111a20111a201152a200063a0a31120111a2

因为R(A)3，所以63a0，即a2 00112a200063a0

四、习题

P96 T2

T3(2)

T7

T8

P97 总复习题：T1 T2

T3

T4

T5

第四章

线性方程组理论

教学目标与要求

1.掌握齐次和非齐次线性方程组解的判定定理和解的结构定理

2.理解向量组的线性相关与线性无关的概念，以及它们的判定方法

3.掌握向量组的秩和最大无关组的概念，会求向量组的秩

4.理解基础解系的概念，会求齐次与非齐次线性方程组的通解 教学重点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定定理以及通解的求法 2.向量组线性相关与线性无关的判定方法

3.向量组的最大无关组的求法和秩的求法 教学难点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定方法

2.向量组秩的概念及其求法

3.基础解系的概念及其求法

§4.1 线性方程组有解的条件

一、线性方程组解的判定

1、非齐次线性方程组

定理1：对于非齐次线性方程组Amnxb（1），则

① 有唯一解R(A)R(A,b)n

② 有无穷多解R(A)R(A,b)n

③ 无解R(A)R(A,b)

2、齐次线性方程组

定理2：对于齐次线性方程组Amnx0（2），则 ① 仅有零解R(A)n ② 有非零解R(A)n

推论：当mn时，Annx0有非零解R(A)nA0

定理3：矩阵方程AXB有解R(A)R(A,B)

二、线性方程组的解法

x12x23x30例

1、求下列线性方程组的通解2x15x23x30

x8x041301090123012解：253001300130

1008023800980100810900108/3

0130018/90018/9x18x4x18

x8/382x2x4，令x41，得通解为：k(kR)x8/933

1x84x3x49

例

2、问取何值时，下列线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

x1x22x3

1x1(21)x23x31

x1x2(3)x32122解：A213011(1)(1)3001由克拉默法则知，当0,1,1时，方程组有唯一解。

当0时，B002101310101310021000031003100因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

1121112当1时，B133110210

11230004因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

11211121当1时，B1131001011010010114100200000因R(A)R(B)23，所以方程组有无穷多解。

即xxx11k112x0，令x2k，得其通解为：x2k（kR）3x30

三、习题

P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7

312105

2

§4.2 向量组的线性相关性

一、n维向量及其线性运算

1.定义：由n个数a1,a2,,an组成的有序数组称为n维向量。称n1矩阵

a1a2a为n维列向量；其转置aTa1,a2,,an称为n维行向量。其中ai称为a的第ian个分量(i1,2,,n)。

2.运算

①n维向量的相等；②零向量；③负向量；④加法；⑤数乘

二、向量组的线性组合

1.向量组

定义：由若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合，称为一个向量组。

2.向量组与矩阵

a1ja2j(j1,2,,n)为矩阵A的列设A(aij)mn，则A1,2,,n，其中jamj12向量组；或A，其中iai1,ai2,,ain(i1,2,,m)为矩阵A的行向量组。

m3.向量组与线性方程组

一个线性方程组Amnxb可以写成：x11x22xnnb

4.向量组的线性组合

定义：设向量组A:1,2,,m，对于数k1,k2,,km，我们称k11k22kmm为向量组A的一个线性组合，k1,k2,,km称为这个线性组合的系数。

5.线性表示

给定向量组A:1,2,,m和向量b，若存在一组数1,2,,m，使得

b1122mm 则称向量b是向量组A的线性组合，也称向量b可以由向量组A线性表示。

例：任何一个n维向量aa1,a2,,an都可以由n维单位向量组：

Te1(1,0,0,,0)T，e2(0,1,0,,0)T，，en(0,0,,0,1)T

线性表示。即aa1e1a2e2anen。

显然，向量b能由向量组A线性表示，也就线性方程组：x11x22xnnb有解。

6.定理1：向量b能由向量组A:1,2,,m线性表示的充要条件是R(A)R(A,b)，其中A(1,2,,m)。

三、向量组的线性相关与线性无关

设齐次线性方程组Amnx0，写成向量形式：x11x22xnn0。若它有非零解，即存在一组不全为零的数k1,k2,,kn，使得k11k22knn0。因此，我们引入如下概念。

1.线性相关与线性无关

定义：设有n维向量组A:1,2,,m，如果存在一组不全为零的数k1,k2,,km使

k11k22knn0

则称向量组A线性相关；否则称它线性无关。

注意：（特殊情形）

① 只有一个向量a的向量组线性相关a0

② 两个向量a,b的向量组线性相关ab(即两向量共线：对应分量成比例)③ 三个向量线性相关：几何意义是三个向量共面。

④ 含有零向量的向量组一定线性相关。

定理2：向量组1,2,,m(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。

定理3：设向量组A:1,2,,m构成矩阵A(1,2,,m)，则向量组A线性相关的充要条件是R(A)m；向量组A线性无关的充要条件是R(A)m。

推论1：当向量的个数等于向量的维数时，向量组A线性相关的充要条件是A0；向量组A线性无关的充要条件是A0。

推论2：m(mn)个n维向量组成的向量组一定线性相关。推论3：任一个n维向量组中线性无关的向量最多有n个。

定理4：

(1)设向量组A:1,2,,m线性无关，而向量组B:1,2,,m,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量组1,2,,r线性相关，则向量组1,2,,r,r1,,n(nr)必线性相关；反之，若向量组1,2,,r,r1,,n(nr)线性无关，则向量组1,2,,r必线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。）

(3)若m个n维向量1,2,,m线性相关，同时去掉其第i个分量(1in)得到的m个n1维向量也线性相关；反之，若m个n1维向量1,2,,m线性无关，同时增加其第i个分量(1in)得到的m个n维向量也线性无关。

四、习题

P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量组的秩

一、向量组的等价

定义1：设有向量组A:1,2,,m；向量组B:1,2,,s，若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A和向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

命题1：若A,B为有限个列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵方程BAX有解。

命题2：若矩阵A经过初等行(列)变换变成B，则矩阵A的列(行)向量组与矩阵B的列(行)向量组等价。

定理1：设向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s均为列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件为R(A)R(A,B)

推论：向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s等价的充要条件是

R(A)R(B)R(A,B)

其中A和B是向量组A和向量组B所构成的矩阵。

讲教材P118例1

二、向量组的秩 1.最大无关组

定义2设向量组A0:1,2,,r是向量组A:1,2,,m(mr)的一个部分组，若(1)向量组A0:1,2,,r线性无关；

(2)A中的任意向量均可由向量组A0:1,2,,r线性表示； 则称A0:1,2,,r为A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）。

显然，最大无关组一般不唯一；任意向量组都与它的最大无关组等价。

2.最大无关组的求法

定理：矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列向量之间的线性关系； 矩阵的初等列变换不改变(部分或全部)行向量之间的线性关系。

注意：上述定理提供了求向量组最大无关组的方法 定理2：设向量组B:1,2,,r可由向量组A:1,2,,s线性表示，(1)若向量组B线性无关，则rs；(2)若rs，则向量组B线性相关。

推论1：两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。推论2：两个等价的向量组的最大无关组含有相同个数的向量。推论3：一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等。

3.向量组的秩

定义3：向量组的最大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。

定理2'：若向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。

三、矩阵的秩与向量组的秩的关系

定理3：对矩阵A(aij)mn，则 R(A)A的行秩A的列秩。即矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。

四、矩阵的秩的性质

性质1：R(AB)R(A)R(B)

性质2：R(AB)min{R(A),R(B)}

性质3：若P,Q可逆，则R(PAQ)R(PA)R(AQ)R(A)

五、习题

P124 T1

T2

T3

T9

§4.4 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于齐次线性方程组

Amnx0

(1)性质1：若1,2都是Ax0的解，则12也是Ax0的解。性质2：若是Ax0的解，则k也是Ax0的解。

2.解的结构

定义1：设1,2,,k是Ax0的非零解，且满足

(1)1,2,,k线性无关；

(2)Ax0的任一个解都可由1,2,,k线性表示，即c11c22ckk 则称1,2,,k是齐次线性方程组Ax0的基础解系；且Ax0的通解可表示为如下形式：c11c22ckk(c1,c2,,ck为任意常数)。

定理1：若n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩R(A)rn，则Ax0的基础解系恰含有nr个线性无关的解向量。

讲教材P128 例1和例2

二、非齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于非齐次线性方程组

Amnxb

(2)性质1：若1,2都是Axb的解，则12是Ax0的解。

性质2：若是Ax0的解，是Axb的解，则是Axb的解。

2.解的结构

*定理2：设是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,,nr是对应的导出组Ax0的基础解系，则Axb的通解为

*k11k22knrnr

其中k1,k2,,knr为任意常数。

讲教材P132 例3和例4

三、习题

P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 总复习题：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章 特征值和特征向量

矩阵的对角化

教学目标与要求

1.理解内积和正交向量组的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩阵的性质 2.理解特征值与特征向量的定义，掌握它们的性质及其求法 3.理解相似矩阵的定义，掌握相似矩阵的性质

4.掌握矩阵可对角化的条件，熟悉实对称矩阵的对角化方法 教学重点

1.施密特正交化方法的运用 2.特征值与特征向量的求法 3.实对称矩阵的对角化方法 教学难点

1.施密特正交化方法

2.特征值与特征向量的性质及其求法 3.实对称矩阵的对角化方法

§5.1 预备知识

一、向量的内积

定义1：设有n维向量xx1,x2,,xn，yy1,y2,,yn，令

TTx,yx1y1x2y2xnyn，称x,y为向量x与y的内积。

内积的性质：

(1)x,yy,x

(2)x,yx,y

(3)xy,zx,zy,z

(4)x,x0，当且仅当x0时等号成立

定义2：令xx,x22x12x2xn，称为n维向量x的长度（或范数）。当x1时，称x为单位向量。

向量的长度具有以下性质：

(1)非负性：x0

(2)齐次性：

定义3：当x0，y0时，称arccosxx

(3)三角不等式：xyxy

(4)柯西不等式：x,yxy

x,yxy为n维向量x与y的夹角。

定义4：当x,y0时，称向量x与y正交。

定义5：若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组。若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称此向量组为规范正交向量组或标准正交向量组。

定理1：若n维向量1,2,,r是一组两两正交的非零向量，则1,2,,r线性无关。

二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是将一组线性无关的向量1,2,,r，化为一组与之等价的正交向量组1,2,,r的方法。令

2,1；；

1,11,,r,r1。rrr11r221,12,2r1,r1r111； 22

讲教材P147 例2和例3

三、正交矩阵

定义6：如果方阵A满足AAAAE（即Acos例如：En，sinAT），则称A为正交矩阵。

01/21/2sin，2/61/61/6都是正交阵。cos1/31/31/3TT1

定理2：A为正交矩阵A的行(列)向量组为规范正交向量组。即

1,ijATAEiTj(i,j1,2,,n)（其中A(1,2,,n)）

0,ij

定理3：设A,B都是n阶正交方阵，则

(1)A1；(2)A,A,AB也是正交方阵。

定义7：若P为正交矩阵，则线性变换yPx称为正交变换。

四、习题

P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T

1一、特征值与特征向量的概念

定义1：设A是n阶方阵，如果存在数和非零列向量x，使得Axx，称为方阵A的特征值，非零列向量x称为A的属于特征值的特征向量。

特征方程：Axx(AE)x0 或者(EA)x0

(AE)x0有非零解AE0特征矩阵：(AE)或者(EA)

EA0

a11特征多项式：AEa12an2a1na2n()

a21an1a22annnn1aaan1an0[a0(1)n]

二、求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤

(1)求出特征方程()AE0的全部根1,2,...,n，即是A的特征值；(2)对于每个特征值i求解线性方程组AiEx0，得出的基础解系就是A的属于特征值i的特征向量；基础解系的线性组合就是A的属于特征值i的全部特征向量。

讲教材P152 例3和例4

三、特征值与特征向量的性质

性质1：设A是n阶方阵，则A与A有相同的特征值。性质2：设是方阵A的特征值，k,mN，则(1)是方阵A的特征值；

(2)f()a0a1am是f(A)a0Ea1AamA的特征值。

性质3：设n阶方阵A(aij)nn的n个特征值为1,2,...,n，则(1)

mmkkTaii1i1nnii，其中

ai1niitr(A)称为A的迹；

(2)iA

i1n

证明： 由特征值的定义可得

a11

a12a1na2n ()AEa21an1a22an2ann

(a11)(a22)(ann)

(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1

由题设可知 ()AE(1)(2)(n)

(1)nn(1)n1(12n)n1(12n)比较多项式同次幂的系数可得

a11a22ann12n，A(0)12n

推论：A0 0是A的特征值；A可逆A0A不含零特征值。

讲教材P154 例5和例6

性质4：1,2,,m是方阵A的互异特征值，其对应的特征向量依次为

p1,p2,,pm，则向量组p1,p2,,pm线性无关。

四、习题

P157 T1

T2

T3

T4

§5.3 相似矩阵

一、相似矩阵的概念

定义1：设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使PAPB，则称矩阵A与B相似，记为A~B，可逆矩阵P称为相似变换矩阵。

相似矩阵的基本性质：

1、(1)反身性：对任意方阵A，都有A~A

(2)对称性：若A~B，则B~A

(3)传递性：若A~B，B~C，则A~C

2、定理1：若A~B，则

① A与B有相同的特征多项式和特征值；

② AB； ③ R(A)R(B)；

mm④ A与B也相似（m为正整数）；

1⑤ tr(A)tr(B)

二、矩阵可对角化的条件

定义：n阶方阵A可以相似于一个对角矩阵，则称A可对角化。

定理2：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。

推论：n阶方阵A有n个互异的特征值A可对角化。

定理3：n阶方阵A可对角化A的每个k重特征值对应有k个线性无关的特征向量（或R(AE)nk）。即A的几何重数nR(AE)等于代数重数k。

讲教材P160 例1和例2

三、小结

n阶方阵A对角化的步骤：

(1)解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2)对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini；(3)令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则PAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为ni个（i1,2,,s）。

四、习题

P162 T1

T2

T3

T4

T5

T6

§5.4 实对称矩阵的相似矩阵



1一、实对称矩阵的特征值性质

定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。

定理2：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则R(AE)nr，即对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。

二、实对称矩阵的相似理论

定理4：任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似。即实对称阵一定可以对角化。

1T定理5：设A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAPPAP。其中diag(1,2,,n)，且1,2,...,n是A的n个特征值。

三、实对称矩阵对角化方法

n阶实对称矩阵A对角化的步骤：

(1)解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2)对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini；(3)利用施密特正交化方法将i1,i2,...,ini正交化，得正交向量组i1,i2,...,ini，再单位化得规范正交向量组i1,i2,...,ini（i1,2,,s）；

(4)令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则P为正交矩阵，且P1APPTAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为。ni个（i1,2,,s）

讲教材P164 例1和例2

四、习题

P167 T1

T2

T4 P167 总复习题：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章 特征值和特征向量

矩阵的对角化 教学目标与要求

1.理解二次型及其秩的相关概念，了解矩阵的合同关系

2.掌握二次型的标准形，以及用配方法、正交变换法和初等变换法化二次型为标准型

3.理解惯性定理和二次型的规范形，掌握二次型正定的判别方法 教学重点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法 教学难点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法

§6.1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示

定义1：含有n个变量的二次齐次函数：

22f(x1,x2,...,xn)a11x12a22x2annxn 2a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn称为二次型。当aij全为实数时，f称为实二次型。

为了便于用矩阵讨论二次型，令aijaji，则二次型为：

f(x1,x2,...,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn2 a21x2x1a22x2a2nx2xn.................................................2 an1xnx1an2xnx2annxn

a11a21记

Aan1a12a22an2i,j1anijxixj

a1nx1a2nx2x，，xannnT则二次型f(x1,x2,,xn)xAx，其中A为对称矩阵。

由此可见，对称矩阵A与二次型f是一一对应关系，故称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，R(A)也称为二次型f的秩。

讲教材P173 例1和例2

二、线性变换 x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn

定义2：称为由变量x1,x2,,xn到变量y1,y2,,yn.................................................xncn1y1cn2y2cnnyn的一个线性变量替换，简称线性变换。

c11c21其中，矩阵Ccn1c1nc22c2n称为线性变换的矩阵。cn2cnnc12x1y1x2y2记x，y，则线性变换可用矩阵形式表示：xCy。

xynn若C0，则称线性变换xCy为非退化的(或满秩变换)；否则，称为退化的(或降秩变换)。若C是正交矩阵，则称线性变换xCy为正交变换。因此，我们有

f(x)xTAx(Cy)TA(Cy)yTCTACyyTBy，其中BCTAC，而且 BT(CTAC)TCTATCCTACB

三、矩阵的合同

1．定义3：设A,B为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CACB，则

TB。称矩阵A与B合同，记为：A~B（合同）定理：若A~，则AB（等价），且R(A)R(B)。

2．合同的性质

A

① 反身性：对任意方阵A，都有A~B，则B~A

② 对称性：若A~C B,B~C，则A~③ 传递性：若A~3．定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特征根为对角元的对角阵），即存在可逆矩阵C，使得CAC。

四、习题

P175 T1

T3

T4

§6.2 二次型的标准形

T一、二次型的标准形

222定义：形如d1x1的二次型称为二次型的标准形。d2x2dnxn

二、化二次型为标准形

（1）配方法

对任意一个二次型fxTAx，都可用配方法找到满秩变换xCy，将f化为标准形。步骤：若f中含变量项xi的平方项，则先将所有含xi的项合并在一起配成完全平方，依次类推直到都配成完全平方项；若f中不含任何平方项，则令x1y1y2,x2y1y2，xkyk，使f中出现平方项，再按照前面的思路进行配方。

（2）正交变换法

定理：任给二次型f(x)xTAx，总存在正交矩阵Q，使QTAQQ1AQ，其中diag(1,2,,n)，1,2,,n是A的全部特征值。

22即存在正交变换xQy使f化为标准形：（其中1,2,,n1x122x2nxn是对称矩阵A的全部特征根）

讲书上P176 例1

（3）初等变换法

由于任意对称阵A都存在可逆矩阵C，使CAC为对角阵；由于C是可逆阵，故可表

TTTT示一系列初等矩阵的乘积。设CP1P2PS，则CPsP2P1，因此

TCTACPsTP2TP1AP1P2Ps

①

T

CP1P2PSEP1P2PS

②

①式表示对实对称矩阵A施行初等列变换的同时也施行相应的行变换，将A化为对角阵；②表示单位阵E在相同的初等列变换下就化为C。即（三、习题

P181

T1

T3

T4

§6.3 惯性定理和二次型的正定性

A)合同变换()EC

一、惯性定理和规范形

定理1：设实二次型fxTAx的秩为r，有两个实满秩线性变换xCy及xPz，222使得 fk1y1kpy2,2,,r)

（1）pkp1yp1kryr(ki0,i12222及

f1z1qzqq1zq,2,,r)1rzr(i0,i1则pq；且称p为二次型f的正惯性指数，rp为二次型f的负惯性指数。

对二次型f的标准形（1）式再作满秩线性变换

(y1,,yr,yr1,,yn)Tdiag(11,，1,,1)(t1,,tr,tr1,,tn)T k1kr2222则有ft1tptp1tr，称之为二次型f的规范形。

惯性定理的等价表述：任意一个秩为r的实二次型f都可以经过满秩线性变换化为规范形，且其规范形是唯一的。即规范形中正项的个数p与负项的个数rp都是唯一确定的。

定理2：实对称阵A与B合同A与B的正负惯性指数相同

A与B的规范形相同R(A)R(B)，且A与B的正惯性指数相同 二、二次型的正定性

定义1：设实二次型f(x)f(x1,x2,,xn)xTAx，若对任意x0，都有f(x)0，则称f为正定二次型，并称其对称矩阵A为正定矩阵。三、二次型正定的判别方法

定理3：设A是n阶实对称矩阵，则

fxTAx正定（或A正定）A的n个特征值全为正；

f的标准形的n个系数全为正f的正惯性指数pn； 存在可逆矩阵P，使APTPA与单位矩阵合同； A的各阶顺序主子式全为正，即

a11a1na11a120

a110，0，，a21a22an1ann讲教材P184 例3

四、习题

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T3

T4

T5

T6 P186 总复习题： T4

T5

T6

T7 ；

T9

T12

T13

第四篇：java求矩阵的特征值和特征向量(AHP层次分析法计算权重)(附源代码)

java求矩阵的特征值和特征向量(AHP层次分析法计算权重)(附源代码)这几天做一个项目，需要用到 求矩阵的特征值特征向量。我c++学的不好，所以就去网站找了很多java的源代码，来实现这个功能。很多都不完善，甚至是不准确。所以自己参考写了一个。这个用于我一个朋友的毕业设计。结果肯定正确。话不多说，贴源代码！

import java.math.BigDecimal;import java.util.Arrays;/** * AHP层次分析法计算权重

*

* @since jdk1.6 * @author 刘兴

* @version 1.0 * @date 2012.05.25 *

*/ public class AHPComputeWeight {

/**

* @param args

*/ public static void main(String[] args){

/** a为N*N矩阵 */

//double[][] a= {{1,1,1},{1,1,1},{1,1,1}};

double[][] a ={{1,3,5},{2,3,1,},{4,7,3}};

//double[][] a = {{1 ,1/5, 1/3},{5, 1, 1},{3,1,1}};

//double[][] a ={{1, 1/2, 2, 1},{2, 1, 3, 4},{1/2 ,1/3, 1, 1},{1 ,1/4, 1, 1}};

//double[][] a = {{1 ,0.5, 0.5},{2 ,1, 1},{2 ,1, 1}};

//double[][] a = {{1, 1/4, 1/3, 1},{4, 1 ,3 ,5},{3, 1/3, 1, 4},{1, 1/5, 1/4, 1}};// double[][] a= {{1,2,3,5},{0.5,1,2,3},{0.33,0.5,1,2},{0.2,0.33,0.5,1}};

int N = a[0].length;

double[] weight = new double[N];

AHPComputeWeight instance = AHPComputeWeight.getInstance();

instance.weight(a, weight, N);

System.out.println(Arrays.toString(weight));}

// 单例

private static final AHPComputeWeight acw = new AHPComputeWeight();

//平均随机一致性指针

private double[] RI = { 0.00, 0.00, 0.58, 0.90, 1.12, 1.21, 1.32, 1.41，1.45, 1.49 };// 随机一致性比率 private double CR = 0.0;// 最大特征值

private double lamta = 0.0;/** * 私有构造

*/ private AHPComputeWeight(){ } /** * 返回单例

*

* @return */ public static AHPComputeWeight getInstance(){ return acw;} /** * 计算权重

*

* @param a * @param weight * @param N */ public void weight(double[][] a, double[] weight, int N){ // 初始向量Wk double[] w0 = new double[N];for(int i = 0;i < N;i++){

w0[i] = 1.0 / N;}

// 一般向量W（k+1）

double[] w1 = new double[N];// W（k+1）的归一化向量 double[] w2 = new double[N];

double sum = 1.0;double d = 1.0;// 误差

double delt = 0.00001;while(d > delt){ d = 0.0;sum = 0;

} // 获取向量 int index = 0;for(int j = 0;j < N;j++){ double t = 0.0;for(int l = 0;l < N;l++)

t += a[j][l] * w0[l];// w1[j] = a[j][0] * w0[0] + a[j][1] * w0[1] + a[j][2] * w0[2];w1[j] = t;sum += w1[j];} // 向量归一化

for(int k = 0;k < N;k++){ w2[k] = w1[k] / sum;

} // 最大差值

d = Math.max(Math.abs(w2[k]N)/(N1]!= 0){

} } CR = CI / RI[N-1];// 四舍五入处理

lamta = round(lamta, 3);CI = Math.abs(round(CI, 3));CR = Math.abs(round(CR, 3));for(int i = 0;i < N;i++){ w0[i] = round(w0[i], 4);w1[i] = round(w1[i], 4);w2[i] = round(w2[i], 4);} // 控制台打印输出

System.out.println(“lamta=” + lamta);System.out.println(“CI=” + CI);System.out.println(“CR=” + CR);// 控制台打印权重

System.out.println(“w0[]=”);for(int i = 0;i < N;i++){ System.out.print(w0[i] + “ ”);} System.out.println(“");System.out.println(”w1[]=“);for(int i = 0;i < N;i++){ System.out.print(w1[i] + ” “);} System.out.println(”“);System.out.println(”w2[]=“);for(int i = 0;i < N;i++){ weight[i] = w2[i];System.out.print(w2[i] + ” “);} System.out.println(”“);/** * 四舍五入

*

* @param v

} * @param scale * @return */ public double round(double v, int scale){ if(scale < 0){

throw new IllegalArgumentException（”The scale must be a positive integer or zero“);} BigDecimal b = new BigDecimal(Double.toString(v));BigDecimal one = new BigDecimal(”1");return b.divide(one, scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP).doubleValue();} /** * 返回随机一致性比率

*

* @return */ public double getCR(){ return CR;}

第五篇：线性代数教案第一章

线性代数教案第一章 第一章 行列式（12学时）

教学时数：12学时

教学目的与要求：理解并掌握行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理，行列式的计算，克莱姆法则解方程组。

教学重点：行列式的性质，行列式按行（列）展开，克莱姆法则解方程组。教学难点：行列式按行按列展开。本章主要阅读文献资料：

1.吴赣昌主编，《线性代数》(第4版)，中国人民大学出版社，2008年2月。2.戴斌祥主编，《线性代数》，北京邮电大学出版社，2005年10月。3.陈维新主编，《线性代数》（第二版），科学出版社，2010年8月。

4.赵树嫄主编，《线性代数学习与考试指导》，中国人民大学出版社，2008年5月。

教学内容：

第一节 二阶与三阶行列式

一．二阶行列式

引入新课：

我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为

（1）

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当

时，有

（2）这就是二元方程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。

（一）定义：我们称记号

为二阶行列式，它表示两项的代数和：

即定义

（3）

二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有

如果将D中第一列的元素a11，a21 换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1 的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a a b2，12，22 换成常数项b1，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为

其中D≠0

例1 计算51=5×2-（-1）×3=13 32例2 设D231

问：(1)当λ为何值时D=0(2)当λ为何值时D≠0 解：D231=23

(1)当λ=0或3时，D=0(1)当λ≠0且λ≠3时，D≠0

二.三阶行列式

含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为

（1）

还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当

时，有

（2）

这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。

（二）定义： 我们称记号

为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有

同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项得到另外三个三阶行列式，分别记为

于是有

就可以

按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3 的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。

123例3 405

106解：原式=-58 例4 实数a，b满足什么条件时

ab0ba00 101ab0解：ba0a2b2

a，b为实数，若要a2b20，则a，b需同时等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要条件是什么？

411a10a10解：1a0=a21，即a＞1时，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要条件a＞1 411作业：课本35页，1,2,3,4,5