3线性方程组典型习题解析

第一篇：3线性方程组典型习题解析

线性方程组

3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念

a11x1a12x2axax2112221、方程组 am1x1am2x2a1nb1a2nb2amnbm 

称为含n个未知量m个方程的线性方程组，i)倘若b1,b2,....,bm不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组；

ii)若b1=b2==bm0，则该线性方程组就是齐次线性方程组，a1nc1a2nc2amncma11x1a12x2axax21122

2这时，我们也把该方程组称为 am1x1am2x2的导出组，（其中c1,c2,...cm不全为零）

a11

2、记A=am1x1b1a1nxb22,x,b amnxnbm

则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式

Axba1ja2j

3、又若记 j,j1,2,amjn

则上述方程游客一写成向量形式

x11x22xb.nn 。同时，为了方便，我们记A(A,b)，称为线性方程组（*）的增广矩阵。3.1.2 线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组Ax=0，（n=线性方程组中未知量的个数

对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解），i)那么，当r=秩(A)=n时，有唯一零解；

ii)当r=秩(A)

秩(A)<秩A(无解；)秩A()=有唯一解，n,秩(A)=A)秩=A()秩（秩A()<有无穷多解，且基础解系个数为n,-秩nA().秩(A)=秩A(不可能)秩(A)>3.1.3 线性方程组的解空间

1、齐次线性方程组的解空间

（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）

定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

dim(W)=n-秩(A)=n-r，其中A是方程组的系数矩阵。那么，当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于n-秩(A)。

2、非齐次线性方程组的解空间

我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解0（称其为方程组特解）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为1，2，...n-r），则(*)解空间的维数为n-r，且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为：

0+k11k22+...+kn-rn-r.................()

我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.3.2 经典题型解析

1x1112

1、已知方程组23a2x23无解，试求a的取值

1a2x031112 解：方程组的增广矩阵A23a23（初等行变换不影响线性方程组的1a20解）

2111进行一系列的初等行变换01a10a2311002101aa(3a)(11 1)a3由于方程组无解秩(A)<秩(A),秩(A)<3(a3)(a1)0a3 或a1

i)当a3时，秩(A)=2=秩(A)，方程组又无穷多解； ii)当a1时，秩(A)=2<3=秩(A)，方程组无解 综上可得，a1

易错提示：对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以，我们在做题的过程中，一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的，已做到深刻的理解与领悟。

2、设A为n阶方阵，r(A)=n-3，且1，2，3是Ax0的三个线性无关的解向量，则下面哪个是Ax0的基础解系()

(A)12，2,3.,131.(B)21,32(C)221,132,1.(D)1 3,,22 .233132解：由r(A)=n-3Ax0的基础解系个数为nr(A)=n-(n-3)=3

又因为1，2，3是Ax0的解，所以四个选项中的向量都是方程组的解，而我们只要验证看其是否线性无关即可，现在我们利用矩阵这里工具来进行求解：

101,31，，)110(1，，2)A 3

(12，231)=(23011101(21,32,13)=(1，2，3)110(1，2，3)B

0111011(221,32,13)=(1，2，3)210(1，2，3)C

21102101(123,32,123)=(1，2，3)110(1，2，3)D

112因为：A20,BCD0

所以，向量组12，23,31线性无关，而其余三个都是线性相关的，故选A。

评析：本题解法颇多，只要验证选项中的向量组线性无关即可，但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时，我们可以看到，在解决一些有关向量组和线性方程组问题时，有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！

3、设1,2，s是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。而1t11t22,2t12t23，st1st21，其中t1，t2是实数，问当t1，t2满足什么关系时，1,2,解：显然，1,2，s也是方程组AX0的基础解系？ ,s线性无关时，t1，t2,s为AX0的解，下证在1,2,应满足的关系。设k11k22kss0 k1(t11t22)k2(t12t23)ks1(t1s1t2s)ks(t1st21)0 (ks1t2k3t1)30(k1t1kst2)1(k1t2k2t1)2由1,2，3线性无关知

t1k1kst20tktk02112  t2ks1t1ks0由于1,2，s线性无关，此方程组只有零解，即

t1t2000t1t2000t10000t2t20s0t1s(1)s1t2 t1s故当t1s(1)s1t20时，即s为偶数时，t1t2，s为奇数时，t1t2，这时1,2，s为AX0的一个基础解系。

(1a)x1x2xn02x(2a)x2x012n4、设齐次线性方程组，(n2)，试问a为何值时， nx1nx2(na)xn0该方程组有非零解，并求其解。解：方法一

对系数矩阵进行初等行变换

111a2a22A333annn11a11122aa0033a0a0B nana00a（1）若a0，R(A)1，方程组有非零解，其同解方程为x1x2xn0

故其基础解系为

11,1,0,,0T，21,0,1,0,,0T，…n11,0，0,1

T所以方程组的通解为 k11k22kn1n1（k1,,kn1为任意常数）

（2）若a0，对矩阵B继续作初等行变换，有

1a111a2100B3010n0011n(n1)223n010001000 100当an(n1)时，R(A)n1n，方程组有非零解，其同解方程为

2x1x203x1x30得基础解系为1,2,,nT所以通解为k（k为 nx1xn012任意常数）

方法二

由于系数行列式

1a122aAnn12n(n1)n1aa

2na故当a0或an(n1)时，方程组有非零解。2111111222000（1）当a0时，有A故方程组的同解方

nnn000程为

x1x2xn0

由此行基础解系为

1(1,1,,0)T，2(1,0,1,,0)T，…，n1(1,0,,1)T

通解为k11k22kn1n1（k1,,kn1为任意常数）（2）当an(n1)时，对系数矩阵进行初等行变换，有 1211a2a2Ann11a1122aa0

na0ana001a110210210

n01n01故方程组的同解方程为

2x1x203x1x30  nx1xn0可得基础解系为(1,2,,n)T，故通解为k（k为任意常数）

5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间

x32x4，4x13x25

-2x1x23x3x47，-x7x9x4x2.2341解：

第一步，求解方程组的特解。为此，先求出它的一般解公式，4105135247进行一系列初等行变换21317015179420001175531 5500所以，方程组的一般解为

4117xxx,34155（其中x3，x4都是自由变量）

731xxx,234555由式可以推出方程组的一特解：

1751

0.500第二步，求导出组的一个基础解系。

由于原 非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同，因此，我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉，就可得到导出组的一般解。

41xxx4,3155



（其中x3，x4都是自由变量）

73xxx,23455从而得到导出组的一个基础解系

4171，2

5005第三步，写出非齐次线性方程组的解空间 ,1k2K

U0k1 1k22k评析：本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤，作为线性方程组的最一般解法，我们是必须掌握的。

1241156、已知向量1=，2=，3，0132411a1x12x2a3x3a4x4d1,

是方程组4x1b2x23x3b4x4d2,的三个解，求该方程组的解。

3xcx5xcxd.2234431解：即方程组的系数矩阵为A，则 i)由已知条件知：2-1，31时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量

由4-r(A)2r(A)2

又系数矩阵A有二阶子式110

3系数矩阵A的秩r(A)2因此，由*）与**）r(A)=2

ii)由i)齐次线性方程组基础解系由2(4-r(A)=4-2=2)个解向量构成，即



2-1，31是齐次线性方程组的一基础解系

所以，该线性方程组得通解为：1+k1(2-1)+k2(31).易错提示：按常规思路，如果把三个解代入方程组先求其参数，再求通解，则计算是非常繁琐的，在限定时间内是很难达到很好的效果，有时这种方法也是行不通的；而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解，那么当遇到相关类型的题目时也就不至于困惑了。

x1x2kx34,

7、问k为何值时，线性方程组-x1kx2x3k2，有唯一解，无解，无穷多解？

xx2x4231并且，当有解时求出其所有解。

11k解：记线性方程组的系数矩阵为A，即A=1k1，则

11211k1(k4)(k，1)21k

A11i)

当A0，即k1且k4时，方程组有唯一解，我们用克莱姆法则求之，k22kk22k+42kx1，x2，x3。

k+1k+1k+1ii)

当k=-1时，11-141114方程组的增广矩阵A1-111初等行变换0005，1-12-40238r(A)=2<3=r(A)因此，方程组无解； iii)

当k=4时，11441030方程组的增广矩阵A14116初等行变换0114，1-12-40000

r(A)=2=(rA)，可知方程组有无穷多解，于是

3c03x3x13，令x3c，则通解为x4c，亦即x4c1。x2x34c01点评：本题属于含有参数变量的线性方程组问题，这类问题一直都是本章的一个重要考察点，务必要好好把握。

8、设有两个4元齐次线性方程组

（I）xxx30x1x20；（II）12

x2x40x2x3x40（1）求线性方程（I）的基础解系；

（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。解:（1）（I）的基础解系为

10,0,1,0T，21,1,0,1T

（2）关于共公解有下列方法： 方法一

把（I）（II）联立起来直接求解，令

001111010101

A11100001110000101012000001000101

1200由nR(A)431，基础解系为1,1,2,1T，从而（I），（II）的全部公共解为k1,1,2,1T，（k为任意实数）

方法二

通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。可求得（II）的基础解系为

10,1,1,0T，21,1,0,1T

则k11k22，L11L22分别为（I），（II）的通解。令其相等，即有

k10,0,1,0Tk2(1,1,0,1)TL10,1,1,0TL21,1,0,1T

由此得

k2,k2,k1,k2TL2,L1L2,L1,L2T

比较得

k1L12k22L2

故公共解为

2k20,0,1,0Tk21,1,0,1T

Tk21,1,2,1

方法三

把（I）的通解代入（II）中，在为其解时寻求k1，k2应满足的关系式而求出公共解。

由于k11k22k2,k2,k1,k2T，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故

k2k2k10 kkk0122解出

k12k2，从而可求出公共解为 k21,1,2,1T。

评析：本题是关于两个方程组解的讨论，其实考察的也是关系线性方程组的解的结构问题，近几年的考研试题中也常有所涉及，所以还是值得我们注意的。

第二篇：线性方程组教案

第三章 线性方程组 教学安排说明

章节题目： §3.1 线性方程组的消元解法；§3.2 向量与向量组的线性组合； §3.3 向量的线性相关性；§3.4向量组的秩；§3.5线性方程组解的结构；习题课 学时分配：共12学时。

§3.1 线性方程组的消元解法；

3学时 §3.2 向量与向量组的线性组合 1.5学时 §3.3 向量的线性相关性

1.5学时； §3.4向量组的秩；

3学时 §3.5线性方程组解的结构；习题课

3学时 本章教学目的与要求：：

目的：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系及线性方程组的求解方法。

要求

1）．理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系； 2）．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

3）．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法； 4）．掌握线性方程组有解的判定定理及应用； 5）．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；

课 堂 教 学 方 案

课程名称：§3.1 线性方程组的消元解法

授课时数：3学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系，熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

教学重点、难点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，消元法解线性方程组的具体做法，教学内容

§3.1 线性方程组的消元解法

现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

(3.1)的方程组，aij(i1,2，m;j1,2，n)称为线性方程组的系数，bj(j1,2，m)称为常数项.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.其中x1,x2,,xn代表n个未知量，m是方程的个数，方程组中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等.若记：

a11a12a21a22Aam1am2a1nx1b1a2nxb22

X

b

xamnbsna1na2namnb1b2

（3.2）bm而系数和常数项又可以排成下表：

a11a12a21a22Aam1am2显然AXb，实际上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(3.1)就确定了，方程解的情况与采用什么文字来代表未知量没有关系.这里矩阵A称为线性方程组的系数矩阵，A 称为增广矩阵。

在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法。解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例1，解方程组

2x12x2x36,x12x24x33, 5x7xx28.231不难看出，在消去未知量的过程中，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1.互换两个方程的位置，2.用一非零数乘某一方程； 3.把一个方程的倍数加到另一个方程。

以上三种变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.所谓方程组(3.1)的一个解就是指由n个数k1,k2,,kn组成的有序数组(k1,k2,,kn)，当x1,x2,,xn分别用k1,k2,,kn代入后，(3.1)中每个等式都变成恒等式.方程组(3.1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组

线性方程组有没有解完全取决于（3.1）的系数和常数项，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组的解就基本上确定了.显然，消元法求方程组解的过程就是相当于对线性方程组的增广矩阵反复施行初等变换的过程.线性方程组的初等变换对应于矩阵的初等行变换，因此，以下从矩阵的初等变换入手讨论方程的解。

定理3.1 线性方程组(3.1)的增广矩阵总可以通过矩阵的初等行变换和第一种列变换化为以下形式：

c11c120c210000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr（3.3）dr10相应地，线性方程组(3.1)化为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

（3.4）0d,r100,00.因此线性方程组（3.1）有解的充要条件是rA,brA，并且当rA,bn时方程组有唯一解，当rA,bn时有无穷多解。简要证明：对于方程组(3.1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,,as1全为零，那么方程组(3.1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(3.1)可以看作x2,,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等变换1，不妨设a110.利用初等变换3，分别把第一个方程的(i2,,n).于是方程组(3.1)就变成

a11x1a12x2a1nxnb1,x2a2nxnb2,a22

as2x2asnxnbs,ai1倍加到第i个方程a11其中

aijaijai1a1j,i2,,s,j2,,n a11相应的，增广矩阵的第一列除a110外，其余元素全变为0 这样，解方程组(3.1)的问题就归结为解方程组

x2a2nxnb2,a22

axaxbsnnns22的问题.这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

(3.5)0d,r100,00.相应的矩阵为 c11c120c21 0000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr(3.6)dr10其中cii0,i1,2,,r.方程组(3.5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(3.11)的解.而且(3.1)与(3.5)是同解的.现在考虑的解的情况.如(3.5)中有方程0dr1，而dr10.这时不管x1,x2,,xn取什么值都不能使它成为等式.故(3.5)无解，因而(1)无解.当dr1是零或(3.5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1nxnd1,c22x2c2nxnd2,

（3.7）cnnxndn,其中cii0,i1,2,,n.由最后一个方程开始，xn,xn1,,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(3.7)的解也就是方程组(1)有唯一的解.2）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1,r1xr1c1nxnd1,c22x2c2rxrc2,r1xr1c2nxnd2, crrxrcr,r1xr1crnxndr,其中cii0,i1,2,,r.把它改写成

c11x1c12x2c1rxrd1c1,r1xr1c1nxn,c22x2c2rxrd2c2,r1xr1c2nxn,

(3.8)crrxrdrcr,r1xr1crnxn.由此可见，任给xr1,,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,,xr的值，也就是定出方程组(3.8)的一个解.一般地，由(3.8)我们可以把x1,x2,,xr通过xr1,,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(3.1)的一般解，而xr1,,xn称为一组自由未知量.从这个例子看出，对线性方程组的增广矩阵实施初等变换，有时不一定是（3.5）的样子，但总可以适当调换矩阵的列，相当于同时交换方程组中某两个未知量的位置，这并不影响方程的解。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.例2 解线性方程组

x15x2x3x41,x2xx3x3,1234 3x18x2x3x41,x19x23x37x47.例3 解线性方程组

x12x23x3x45,2x4xx3,124 x12x23x32x48,x12x29x35x421.课后作业：P152 1，3

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.2向量与向量组的线性相关性 授课时数：1.5学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明 教学内容

§3.2 向量与向量组的线性组合

（一）向量及其线性运算

定义3.1 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组

(a1,a2,,an)

(1)ai称为向量(1)的第i分量.用小写希腊字母,,,来代表向量.向量通常是写成一行：

(a1,a2,,an).有时也可以写成一列：

b1b2.bn为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.如果n维向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的对应分量都相等，即

aibi(i1,2,,n).就称这两个向量是相等的，记作.分量全为零的向量(0,0,,0)称为零向量，记为0;向量(a1,a2,,an)称为向量(a1,a2,,an)的负向量，记为.定义3.2 向量

(a1b1,a2b2,,anbn)

称为向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的和，记为

定义3.3 设k为数域P中的数，向量(ka1,ka2,,kan)称为向量(a1,a2,,an)与数k的数量乘积，记为k

定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn，Rn的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为实n维向量空间.显然线性空间中元素满足以下规律：

交换律：

.(2)结合律：

()().(3)

0.(4)

()0.(5)k()kk，(6)(kl)kl，(7)k(l)(kl)，(8)

1.(9)(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：

00，(10)

(1)，(11)

k00.(12)如果k0,0，那么

k0.(13)例1．计算

11（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

321（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）．

3例2．证明：如果

a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0．

（二）向量组的线性组合

两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数k使

k.定义3.5 向量称为向量组1,2,的数k1,k2,,ks，使

k11k22如果有数域P中,s的一个线性组合，kss, ,s其中k1,k2,,ks叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组1,2,的一个线性组合时，也说可以经向量组1,2，s线性表出.例如，任一个n维向量(a1,a2,,an)都是下面向量组的一个线性组合.1(1,0,,0),(0,1,,0),2 

n(0,0,,1)向量1,2,,n称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.a1jb1a2jb2定理3.3设，向量i（j1,2,abmmj组1,2，n），则向量可由向量,n线性表示的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵与以1,2，n，为列向量的矩阵有相同的秩

若向量组1,2，s的中每一个向量i(i1,2,s,都)可以经向量组1,2，t线性表出，那么向量组1,2，s就称为可以经向量组1,2，t线性表出.定理3.4如果向量组1,2,组1,2，s可以经向量组1,2，t线性表出，向量,s可以,t可以经向量组1,2,,p线性表出，那么向量组1,2,经向量组1,2,,p线性表出.定义3.5如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.向量组之间等价具有以下性质：

1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，那么向量组1,2,,t与1,2,,s等价.3）传递性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，1,2,,t与1,2,,p等价，那么向量组1,2,,s与1,2,,p等价.课后作业：P159 4，6（1），8

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.3向量组的线性相关性 授课时数：1.5学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明 教学内容

§3.3向量组的线性相关性

定义3.7向量组1,2,,s(s1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,,ks，使

k11k22kss0

如果当且仅当k1k2线性无关。

从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组1,2线性相关就表示

ks0上式成立，则称向量组,,,(s1)12s1k2或者2k1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量1与2共线.三个向量1,2,3线性相关的几何意义就是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由n维单位向量1,2,,n组成的向量组是线性无关的.定理3.5 向量组1,2，n，其中

a1ja2jij1,2,amj,n，则1,2，n线性相关的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n。

具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.向量组1,2，n线性相关齐次线性方程组x11x22xnn0有非零,n线,n解。或者说齐次线性方程组x11x22性无关。

推论1 设n个向量ia1j,a2j,线性相关的充要条件是：

a11a21an1a12a22an2xnn0只有零解1,2,，向量组1,2，n）,anj（j1,2,a1na2nann0

注：这里把1,2，n应理解为列向量。

也可以说向量组1,2，m线性相关A(12m)的秩小于向量个数m；向量组线性无关A(12m)的秩为m.从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n1维的向量组

i(ai1,ai2,,ain,ai,n1),i1,2,,s(5)也线性无关.例1 判断P3的向量

1(1,2,3),2(2,1,0),3(1,7,9)

是否线性相关。

例2 若向量组1,2,3线性无关，则向量组212,253,4331也线性无关.例3若向量1,2，m的部分组1,2，s(sm)线性相关,s线性无关。1,2，m线性相关。反之，1,2，m线性无关1,2,证：因为1,2，s线性相关，则存在不全为零的k1,k2,kss0s1,ks，使

k11k22则1,2,（2）记 kss0k110m0 ,m线性相关。

a1ja1j,(j1,j,jarjarjar1j,m)

若1,2，m线性无关1,2，m线性相关。,m线性无关。反之，若1,2，m线性相关1,2,证：1°记A(1,2,,m),B(1,2,m,，)显然r(A)r(B)，因为1,2，m线性无关，知r(A)m，因而r(B)m.2°因为B只有m列，所以r(B)m.由1°和2°知r(B)m，知1,2，m线性无关。,m，当nm时1,2，m线（3）m个n维向量组成的向量组1,2,性相关。

证：记Anm(1,相关。

（4）设向量组1,2，m)，因为nmr(Anm)nm，则1,2，m线性,m线性无关，1,2，m,线性相关可由1,2，m表示，且表示法唯一。

证：记A(1,2,1°因为1,2,2°因为1,2，m),B(1,2，m,)，显然r(A)r(B).,m线性无关，知r(A)m ,m,线性相关，知r(B)m1 ,m)xb有解且唯一。可由因此r(B)m，知，Ax(1,2,1,2，m表示，且表示法唯一。□

推论1 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。定理3.6 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.（二）关于线性组合与线性相关的定理

定理3.7 向量组1,2,,s(s2)，线性相关向量组1,2,,s中至少存在一个向量能由其余s1个向量线性表示。

定理3.8 设1,2,以由1,2,而向量1,2，s线性相关，则可,s线性无关，,s线性表示，且表示法唯一。,s与1,2，t是两个向量组.如果向量组定理3.9 设1,2,1,2，t可以经1,2，s线性表出，且ts，那么向量组1,2，t必线性相关.反之如果向量组1,2，t可以经向量组1,2，s线性表出，且1,2，t线性无关，那么ts.推论 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.例4（1）设1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关；对n个线性无关向量组1,2,,n，以上命题是否成立？

（2）当1,2,3线性无关，证明112,223,313也线性无关，当1,2,,n线性无关时，12,23,,n1n,n1是否也线性无关？

解：令x11x22x330，代入整理得：.因为1,2,3线性无关，则应有

x30x10x1x2x2x30

（﹡）

(x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30 101101A110011B011001

r(A)r(B)3，所以（﹡）式只有零解，由定理5推论1知1,2,3线性无关。

例5 设在向量组1,2,,n中，10且每个i都不能表成它的前i1个向量1,2,,i1的线性组合，证明1,2,,n线性无关.例6 研究下面向量组的线性相关性

10112,2,230352

解：解法1.令k11k22k330，整理得 k3k12k12k23k15k22k3因为线性方程组的系数行列式

000

101002

所以方程组必有非零解，知1,2,3线性相关。

（2）解法2.由

101101行220022B352000 2235知1,2,3线性相关。□

小结：(1)若所给的向量为行向量，转置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般说来比较好，今后尽可能用解法2.例7已知1,2,3线性无关，112，223，331，证明向量组1,2,3线性无关。

课后作业P160

11，13，15，16（1）

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.4 向量组的秩 授课时数：3学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的秩的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：向量组的秩的定义、有关定理及推论 教学内容

（一）向量组的极大线性无关组

定义3.8 n维向量组1,2,,s的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.比如看R3的向量组

1(1,0,0),2(0,1,0),3(1,1,0)

在这里｛1,2｝线性无关，而312，所以｛1,2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛1,3｝，｛2,3｝也都是向量组｛1,2,3｝的极大线性无关组.定理3.10如果 j1,j2，jr是1,2,,s的线性无关部分组，它是极大,jr线性表示。无关组的充要条件是1,2,,s中每一个向量都可由j1,j2,上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（二）向量组的秩

一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有

定义3.9 向量组1,2,,s的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.例如，矩阵

10A00的行向量组是

1321000014 501(1,1,3,1),2(0,2,1,4),3(0,0,0,5),4(0,0,0,0)

它的秩是3.它的列向量组是

1(1,0,0,0),2(1,2,0,0),3(3,1,0,0),4(1,4,5,0)

它的秩也是3.矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.定理3.11 A为mn矩阵，rAr的充要条件是A的列（行）秩为r。推论：A的列秩与行秩相等。（因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.）

例1求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1),4(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

例2设1,2,以经1,2，s与1,2，t是两个向量组.如果向量组1,2，s可,t线性表出，r1,2，sr1,2，t

定理3.11 设向量组1,2，s与1,2，t等价，则：

r1,2，sr1,2，t

例3 设A是数域F上mn矩阵，B是数域F上ns矩阵，于是

r(AB)min[r(A),r(B)]，即乘积的秩不超过各因子的秩.特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一个因子的秩。

课后作业P161

17，18，19

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.5 线性方程组解的结构 授课时数：3学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：理解基础解系的概念，掌握线性方程组解的结构 教学重点、难点：线性方程组解的结构 教学内容

§3.5 线性方程组解的结构

设线性方程组为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

当用初等行变换把增广矩阵A化成如下阶梯形

其中cii0,i1,2,c1100000c12c1r0000crr000c1nc2ncrn000c22c2rd1d2dr 000,r时方程组有解.以下讨论线性方程组解的结构。所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.首先讨论齐次线性方程组。

一、齐次线性方程组的解的结构 设

a11x1a12x2axax211222 am1x1am2x2a1nxn0,a2nxn0,amnxn0(1)是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1.两个解的和还是方程组的解.2.一个解的倍数还是方程组的解.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？

定义3.10 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,,t称为(1)的一个基础解系，如果

1）(1)的任一个解都能表成1,2,,t的线性组合； 2）1,2,,t线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.定理3.13在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr，这里r表示系数矩阵的秩(nr是自由未知量的个数).设齐次线性方程组经过初等变换化为

x1k1,r1xr1xkx22,r1r1xrkr,r1xr1knx1x1k1r,x1r1n，xkxkx,2r,1r1n2n,2k1,nxn,k2,nxn,xr1krnx

即

xrkr,r1,n，xxr1r1kr,nxn.xr2xr2xnxn用矩阵表示即为：

k1,r1k1,r2x1kk2,r12,r2x2kkr,r1xr,r2xxrr1r201xr101xn00k1,nk2,nkr,nxn0

01k1,r1k1,r2kk2,r12,r2kkr,r1r,r2，记12100100x1x2则xnkk1122k1,nk2,nkr,n,r0称作原方程组的一个基础解系

01krr 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(2)as1x1as2x2asnxnbs的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1).齐次线性方程组(1)称为方程组(2)的导出组.方程组(2)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：

1.线性方程组(2)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2.线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理3.14 如果是线性方程组(2)的一个特解，是其导出组的全部解，那么即为线性方程组(2)的全部解。

定理说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0是线性方程组(2)的一个特解，1,2,,nr是其导出组的一个基础解系，那么(2)的任一个解都可以表成

0k11k22knrnr

推论 在线性方程组(2)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.课后作业P161 20（1）（3），23（2），26

第三篇：高中生物典型习题

高中生物典型习题

1、正常温度条件下（25℃左右）发育的果蝇，果蝇的长翅（V）对残翅（v）为显性，这一对等位基因位于常染色体上。但即便是纯合长翅品种（VV）的果蝇幼虫，在35℃温度条件下培养，长成的成体果蝇却表现为残翅，这种现象叫“表型模拟”。

（1）这种模拟的表现性状能否遗传？为什么？

（2）现有一只残翅果蝇，如何判断它是否属于纯合残翅（vv）还是“表型模拟”？请设计实验方案并进行结果分析。

方法步骤：

结果分析

30．（22分）回答下列有关绿色植物新陈代谢的问题。

材料1科学家通过对绿色植物转换CO2的研究得到：①在一定浓度范围内，绿色植物对外界CO2的转换为定值；②绿色植物光合作用利用的CO2来自于外界与呼吸作用两方面。现用红外测量仪在恒温不同光照下测得如下的数据。（已测得呼吸作用释放CO2为0.6umol/h，且6分子

26126（1影响光合作用的因素有_______________和________________。

（2）当光照强度为1K lux时，实际光合量都为0.1umol。原因是_____________________ _______________________________________________________________________。

（3）当光照强度为2K lux时，植物对外界CO2转换率为___________。设外界CO2浓度为5.4 umol/h，则该条件下绿色植物的实际光合量为_________________ umol/h。

材料2绿色植物的代谢度受内外多种因素的影响。矿质元素就是其中一个重要因素。下图表示水稻叶片中氮、磷含量与光合速率的关

系。请据图回答问题。

（1）从图中可知水稻叶片氮、磷含量与光

合速率的关系是______________

____________________。

（2）氮是植物从土壤中大量吸收的一种元素，土壤每年因此要损失大量氮元素。作物通常从土壤获得氮的途径有两条：一是通过生物固氮，二是___________________________。

（3）下列曲线是矿质元素磷的吸收与呼吸作用强度的关系，正确的是（）

（4）下列有关各元素参与生物代谢的说法不正确的是（）

A.马铃薯植株缺K，将会造成其产量下降B.Mg是叶绿体中的色素分子必不可少的组成元素C．由Fe参与组成的血红蛋白，是内环境的成分之一

D．P是组成磷脂、ATP、NADPH及核糖等多种化合物的组成元素

29.（9分）

在光照等适宜条件下，将培养在CO2浓度为1%环境中的某植物迅速转移到CO2浓度为0.003%的环境中，其叶片暗反应中C3和C5化合物微摩尔浓度的变化趋势如下图。回答问题：

（1）图中物质A是 ______（C3化合物、C5化合物）

（2）在CO2浓度为1%的环境中，物质B的浓度比A的低，原因是_______；将CO2浓度从1%迅速降低到0.003%后，物质B浓度升高的原因是______________。

（3）若使该植物继续处于CO2浓度为0.003%的环境中，暗反应中C3和C5化合物浓度达到稳定时，物质A的浓度将比B的________（低、高）。

（4）CO2浓度为0.003%时，该植物光合速率最大时所需要的光照强度比CO2浓度为1%时的_______（高、低），其原因_______。

第四篇：不等式典型习题

1．若关于x的不等式x－1≤a有四个非负整数解，a的取值范围是

2.已知关于x的不等式组xa0的整数解共有5个，则a的取值范围是.32x1

3.若不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＜2，那么xab4．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则a，b.2xa2b1

5.若不等式组4ax0无解，则a的取值范围是_______________．

xa50

6.若不等式组

1x2 有解，则k的取值范围是.xk

第五篇：向心力典型习题

向心加速度向心力习题上海在北纬31°，求上海所在处物体绕地轴做圆周运动的向心加速度是多大？（设地球半R=6400km，cos31°=0.86）

2、在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1=2m2，用细线把两小球连接起来，当架匀速 转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1：r2之比为：（）

A、1：1B、1：2C、2：1D、1：

23、一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是半径的1/3，当大轮边缘上P点的向心加速度是12m/s2 时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度多大？小球做圆锥摆时细绳长L，与竖直方向成θ角，求小球做匀速圆周运动的角速度ω。

5、一端固定在光滑水平面上O点的细线，A、B、C各处依次系着质量相同的小球A、B、C。现将它们排成一直线，并使细线拉直，让它们在光滑的桌面上绕O点做圆周运动，如果增大转速，细线OA、AB、BC三段线中哪一段先断掉？

6、如图：质量均为m的A、B两物体用细绳跨过固定在圆盘中央的光滑的定滑轮，物体A与转盘摩擦系数为μ，为使A与盘保持相对静止，则转

盘ω的取值为多少？（A物离盘中心距离为R）

7、如图：物体与圆筒壁的滑动摩擦系数为μ，圆筒的半径为R，若要物体不滑

下，圆筒转动的角速度至少为多少？

8、在转盘的边缘固定有一竖直杆，在杆的端点用长为L的细线悬挂一小球，当转盘旋转稳定后，细绳与竖直方向的夹角为

θ，则小球的线速度大小

为多少，转动周期为多少？（R已知）

9、一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直与水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则

（）

A、球A的线速度必定大于球B的线速度。

B、球A的角速度必定小于球B的角速度。

C、球A的运动周期必定大于球B的角速度

D、球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力。

10、在光滑的圆锥顶端用长为L的细绳悬有一质量为m的小球，圆锥的顶角为

2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速旋转时，球紧压锥面，此时绳的张力 为多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

11：如图中小球用长为L的细绳悬与O点，使之在竖直平面内做圆周运动，当小球通过最 低点时的速率为V1，在最高点的速率为V2，则：

①、小球在最低点，最高点的细绳张力大小分别为多少？

②、要使小球能在竖直平面内做圆周运动，球在达到最高点的速度大小至少应为多少？ ③、如果图中的细绳变为轻杆，则上列两种情况怎样？

答案：

1、a=2.9×10-2m/s22、D3、as=4m/s2，aQ=24m/s24、ω=(g/Lsinθ)1/

25、OA先断

6、 g(1-μ)/R]1/2≤ω≤[g(1+μ)/R]1/

27、ω=（g/μR）1/

28、V=[g(R+Lsinθ)tanθ]1/2,T=2pi[(R+lsinθ)/gtanθ]1/

29、ABC10、ω=(g/Lcosθ)1/

211、①、T低=mg+mv2/ LT高=mv2/L-mg

②、v=(gl)1/

2③、T低=mg+mv2/ LT高=mv2/L – mgv=0