第一章线性方程组及矩阵综合练习

第一篇：第一章线性方程组及矩阵综合练习

第一章 矩阵的初等变换与线性方程组

1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：

10210231(1)2031;(2)0343;3043047111343231373354112024(3);(4).22320328303342123743

2．求解下列齐次线性方程组:

x1x22x3x40,x12x2x3x40,(1)2x1x2x3x40,(2)3x16x2x33x40, 2x2xx2x0;5x10xx5x0;23423411

3．求解下列非齐次线性方程组:

4x12x2x32,(1)3x11x22x310,(2)

11x3x8;122x3yz4,x2y4z5, 3x8y2z13,4xy9z6;

4．取何值时,非齐次线性方程组

x1x2x31,x1x2x3,2x1x2x3

(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?

第二篇：线性方程组教案

第三章 线性方程组 教学安排说明

章节题目： §3.1 线性方程组的消元解法；§3.2 向量与向量组的线性组合； §3.3 向量的线性相关性；§3.4向量组的秩；§3.5线性方程组解的结构；习题课 学时分配：共12学时。

§3.1 线性方程组的消元解法；

3学时 §3.2 向量与向量组的线性组合 1.5学时 §3.3 向量的线性相关性

1.5学时； §3.4向量组的秩；

3学时 §3.5线性方程组解的结构；习题课

3学时 本章教学目的与要求：：

目的：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系及线性方程组的求解方法。

要求

1）．理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系； 2）．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

3）．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法； 4）．掌握线性方程组有解的判定定理及应用； 5）．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；

课 堂 教 学 方 案

课程名称：§3.1 线性方程组的消元解法

授课时数：3学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系，熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

教学重点、难点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，消元法解线性方程组的具体做法，教学内容

§3.1 线性方程组的消元解法

现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

(3.1)的方程组，aij(i1,2，m;j1,2，n)称为线性方程组的系数，bj(j1,2，m)称为常数项.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.其中x1,x2,,xn代表n个未知量，m是方程的个数，方程组中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等.若记：

a11a12a21a22Aam1am2a1nx1b1a2nxb22

X

b

xamnbsna1na2namnb1b2

（3.2）bm而系数和常数项又可以排成下表：

a11a12a21a22Aam1am2显然AXb，实际上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(3.1)就确定了，方程解的情况与采用什么文字来代表未知量没有关系.这里矩阵A称为线性方程组的系数矩阵，A 称为增广矩阵。

在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法。解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例1，解方程组

2x12x2x36,x12x24x33, 5x7xx28.231不难看出，在消去未知量的过程中，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1.互换两个方程的位置，2.用一非零数乘某一方程； 3.把一个方程的倍数加到另一个方程。

以上三种变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.所谓方程组(3.1)的一个解就是指由n个数k1,k2,,kn组成的有序数组(k1,k2,,kn)，当x1,x2,,xn分别用k1,k2,,kn代入后，(3.1)中每个等式都变成恒等式.方程组(3.1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组

线性方程组有没有解完全取决于（3.1）的系数和常数项，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组的解就基本上确定了.显然，消元法求方程组解的过程就是相当于对线性方程组的增广矩阵反复施行初等变换的过程.线性方程组的初等变换对应于矩阵的初等行变换，因此，以下从矩阵的初等变换入手讨论方程的解。

定理3.1 线性方程组(3.1)的增广矩阵总可以通过矩阵的初等行变换和第一种列变换化为以下形式：

c11c120c210000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr（3.3）dr10相应地，线性方程组(3.1)化为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

（3.4）0d,r100,00.因此线性方程组（3.1）有解的充要条件是rA,brA，并且当rA,bn时方程组有唯一解，当rA,bn时有无穷多解。简要证明：对于方程组(3.1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,,as1全为零，那么方程组(3.1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(3.1)可以看作x2,,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等变换1，不妨设a110.利用初等变换3，分别把第一个方程的(i2,,n).于是方程组(3.1)就变成

a11x1a12x2a1nxnb1,x2a2nxnb2,a22

as2x2asnxnbs,ai1倍加到第i个方程a11其中

aijaijai1a1j,i2,,s,j2,,n a11相应的，增广矩阵的第一列除a110外，其余元素全变为0 这样，解方程组(3.1)的问题就归结为解方程组

x2a2nxnb2,a22

axaxbsnnns22的问题.这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

(3.5)0d,r100,00.相应的矩阵为 c11c120c21 0000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr(3.6)dr10其中cii0,i1,2,,r.方程组(3.5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(3.11)的解.而且(3.1)与(3.5)是同解的.现在考虑的解的情况.如(3.5)中有方程0dr1，而dr10.这时不管x1,x2,,xn取什么值都不能使它成为等式.故(3.5)无解，因而(1)无解.当dr1是零或(3.5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1nxnd1,c22x2c2nxnd2,

（3.7）cnnxndn,其中cii0,i1,2,,n.由最后一个方程开始，xn,xn1,,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(3.7)的解也就是方程组(1)有唯一的解.2）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1,r1xr1c1nxnd1,c22x2c2rxrc2,r1xr1c2nxnd2, crrxrcr,r1xr1crnxndr,其中cii0,i1,2,,r.把它改写成

c11x1c12x2c1rxrd1c1,r1xr1c1nxn,c22x2c2rxrd2c2,r1xr1c2nxn,

(3.8)crrxrdrcr,r1xr1crnxn.由此可见，任给xr1,,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,,xr的值，也就是定出方程组(3.8)的一个解.一般地，由(3.8)我们可以把x1,x2,,xr通过xr1,,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(3.1)的一般解，而xr1,,xn称为一组自由未知量.从这个例子看出，对线性方程组的增广矩阵实施初等变换，有时不一定是（3.5）的样子，但总可以适当调换矩阵的列，相当于同时交换方程组中某两个未知量的位置，这并不影响方程的解。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.例2 解线性方程组

x15x2x3x41,x2xx3x3,1234 3x18x2x3x41,x19x23x37x47.例3 解线性方程组

x12x23x3x45,2x4xx3,124 x12x23x32x48,x12x29x35x421.课后作业：P152 1，3

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.2向量与向量组的线性相关性 授课时数：1.5学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明 教学内容

§3.2 向量与向量组的线性组合

（一）向量及其线性运算

定义3.1 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组

(a1,a2,,an)

(1)ai称为向量(1)的第i分量.用小写希腊字母,,,来代表向量.向量通常是写成一行：

(a1,a2,,an).有时也可以写成一列：

b1b2.bn为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.如果n维向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的对应分量都相等，即

aibi(i1,2,,n).就称这两个向量是相等的，记作.分量全为零的向量(0,0,,0)称为零向量，记为0;向量(a1,a2,,an)称为向量(a1,a2,,an)的负向量，记为.定义3.2 向量

(a1b1,a2b2,,anbn)

称为向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的和，记为

定义3.3 设k为数域P中的数，向量(ka1,ka2,,kan)称为向量(a1,a2,,an)与数k的数量乘积，记为k

定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn，Rn的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为实n维向量空间.显然线性空间中元素满足以下规律：

交换律：

.(2)结合律：

()().(3)

0.(4)

()0.(5)k()kk，(6)(kl)kl，(7)k(l)(kl)，(8)

1.(9)(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：

00，(10)

(1)，(11)

k00.(12)如果k0,0，那么

k0.(13)例1．计算

11（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

321（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）．

3例2．证明：如果

a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0．

（二）向量组的线性组合

两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数k使

k.定义3.5 向量称为向量组1,2,的数k1,k2,,ks，使

k11k22如果有数域P中,s的一个线性组合，kss, ,s其中k1,k2,,ks叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组1,2,的一个线性组合时，也说可以经向量组1,2，s线性表出.例如，任一个n维向量(a1,a2,,an)都是下面向量组的一个线性组合.1(1,0,,0),(0,1,,0),2 

n(0,0,,1)向量1,2,,n称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.a1jb1a2jb2定理3.3设，向量i（j1,2,abmmj组1,2，n），则向量可由向量,n线性表示的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵与以1,2，n，为列向量的矩阵有相同的秩

若向量组1,2，s的中每一个向量i(i1,2,s,都)可以经向量组1,2，t线性表出，那么向量组1,2，s就称为可以经向量组1,2，t线性表出.定理3.4如果向量组1,2,组1,2，s可以经向量组1,2，t线性表出，向量,s可以,t可以经向量组1,2,,p线性表出，那么向量组1,2,经向量组1,2,,p线性表出.定义3.5如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.向量组之间等价具有以下性质：

1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，那么向量组1,2,,t与1,2,,s等价.3）传递性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，1,2,,t与1,2,,p等价，那么向量组1,2,,s与1,2,,p等价.课后作业：P159 4，6（1），8

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.3向量组的线性相关性 授课时数：1.5学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明 教学内容

§3.3向量组的线性相关性

定义3.7向量组1,2,,s(s1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,,ks，使

k11k22kss0

如果当且仅当k1k2线性无关。

从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组1,2线性相关就表示

ks0上式成立，则称向量组,,,(s1)12s1k2或者2k1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量1与2共线.三个向量1,2,3线性相关的几何意义就是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由n维单位向量1,2,,n组成的向量组是线性无关的.定理3.5 向量组1,2，n，其中

a1ja2jij1,2,amj,n，则1,2，n线性相关的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n。

具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.向量组1,2，n线性相关齐次线性方程组x11x22xnn0有非零,n线,n解。或者说齐次线性方程组x11x22性无关。

推论1 设n个向量ia1j,a2j,线性相关的充要条件是：

a11a21an1a12a22an2xnn0只有零解1,2,，向量组1,2，n）,anj（j1,2,a1na2nann0

注：这里把1,2，n应理解为列向量。

也可以说向量组1,2，m线性相关A(12m)的秩小于向量个数m；向量组线性无关A(12m)的秩为m.从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n1维的向量组

i(ai1,ai2,,ain,ai,n1),i1,2,,s(5)也线性无关.例1 判断P3的向量

1(1,2,3),2(2,1,0),3(1,7,9)

是否线性相关。

例2 若向量组1,2,3线性无关，则向量组212,253,4331也线性无关.例3若向量1,2，m的部分组1,2，s(sm)线性相关,s线性无关。1,2，m线性相关。反之，1,2，m线性无关1,2,证：因为1,2，s线性相关，则存在不全为零的k1,k2,kss0s1,ks，使

k11k22则1,2,（2）记 kss0k110m0 ,m线性相关。

a1ja1j,(j1,j,jarjarjar1j,m)

若1,2，m线性无关1,2，m线性相关。,m线性无关。反之，若1,2，m线性相关1,2,证：1°记A(1,2,,m),B(1,2,m,，)显然r(A)r(B)，因为1,2，m线性无关，知r(A)m，因而r(B)m.2°因为B只有m列，所以r(B)m.由1°和2°知r(B)m，知1,2，m线性无关。,m，当nm时1,2，m线（3）m个n维向量组成的向量组1,2,性相关。

证：记Anm(1,相关。

（4）设向量组1,2，m)，因为nmr(Anm)nm，则1,2，m线性,m线性无关，1,2，m,线性相关可由1,2，m表示，且表示法唯一。

证：记A(1,2,1°因为1,2,2°因为1,2，m),B(1,2，m,)，显然r(A)r(B).,m线性无关，知r(A)m ,m,线性相关，知r(B)m1 ,m)xb有解且唯一。可由因此r(B)m，知，Ax(1,2,1,2，m表示，且表示法唯一。□

推论1 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。定理3.6 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.（二）关于线性组合与线性相关的定理

定理3.7 向量组1,2,,s(s2)，线性相关向量组1,2,,s中至少存在一个向量能由其余s1个向量线性表示。

定理3.8 设1,2,以由1,2,而向量1,2，s线性相关，则可,s线性无关，,s线性表示，且表示法唯一。,s与1,2，t是两个向量组.如果向量组定理3.9 设1,2,1,2，t可以经1,2，s线性表出，且ts，那么向量组1,2，t必线性相关.反之如果向量组1,2，t可以经向量组1,2，s线性表出，且1,2，t线性无关，那么ts.推论 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.例4（1）设1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关；对n个线性无关向量组1,2,,n，以上命题是否成立？

（2）当1,2,3线性无关，证明112,223,313也线性无关，当1,2,,n线性无关时，12,23,,n1n,n1是否也线性无关？

解：令x11x22x330，代入整理得：.因为1,2,3线性无关，则应有

x30x10x1x2x2x30

（﹡）

(x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30 101101A110011B011001

r(A)r(B)3，所以（﹡）式只有零解，由定理5推论1知1,2,3线性无关。

例5 设在向量组1,2,,n中，10且每个i都不能表成它的前i1个向量1,2,,i1的线性组合，证明1,2,,n线性无关.例6 研究下面向量组的线性相关性

10112,2,230352

解：解法1.令k11k22k330，整理得 k3k12k12k23k15k22k3因为线性方程组的系数行列式

000

101002

所以方程组必有非零解，知1,2,3线性相关。

（2）解法2.由

101101行220022B352000 2235知1,2,3线性相关。□

小结：(1)若所给的向量为行向量，转置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般说来比较好，今后尽可能用解法2.例7已知1,2,3线性无关，112，223，331，证明向量组1,2,3线性无关。

课后作业P160

11，13，15，16（1）

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.4 向量组的秩 授课时数：3学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的秩的定义，掌握有关定理及推论 教学重点、难点：向量组的秩的定义、有关定理及推论 教学内容

（一）向量组的极大线性无关组

定义3.8 n维向量组1,2,,s的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.比如看R3的向量组

1(1,0,0),2(0,1,0),3(1,1,0)

在这里｛1,2｝线性无关，而312，所以｛1,2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛1,3｝，｛2,3｝也都是向量组｛1,2,3｝的极大线性无关组.定理3.10如果 j1,j2，jr是1,2,,s的线性无关部分组，它是极大,jr线性表示。无关组的充要条件是1,2,,s中每一个向量都可由j1,j2,上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（二）向量组的秩

一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有

定义3.9 向量组1,2,,s的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.例如，矩阵

10A00的行向量组是

1321000014 501(1,1,3,1),2(0,2,1,4),3(0,0,0,5),4(0,0,0,0)

它的秩是3.它的列向量组是

1(1,0,0,0),2(1,2,0,0),3(3,1,0,0),4(1,4,5,0)

它的秩也是3.矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.定理3.11 A为mn矩阵，rAr的充要条件是A的列（行）秩为r。推论：A的列秩与行秩相等。（因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.）

例1求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1),4(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

例2设1,2,以经1,2，s与1,2，t是两个向量组.如果向量组1,2，s可,t线性表出，r1,2，sr1,2，t

定理3.11 设向量组1,2，s与1,2，t等价，则：

r1,2，sr1,2，t

例3 设A是数域F上mn矩阵，B是数域F上ns矩阵，于是

r(AB)min[r(A),r(B)]，即乘积的秩不超过各因子的秩.特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一个因子的秩。

课后作业P161

17，18，19

课 堂 教 学 方 案

课程名称： §3.5 线性方程组解的结构 授课时数：3学时 授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：理解基础解系的概念，掌握线性方程组解的结构 教学重点、难点：线性方程组解的结构 教学内容

§3.5 线性方程组解的结构

设线性方程组为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

当用初等行变换把增广矩阵A化成如下阶梯形

其中cii0,i1,2,c1100000c12c1r0000crr000c1nc2ncrn000c22c2rd1d2dr 000,r时方程组有解.以下讨论线性方程组解的结构。所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.首先讨论齐次线性方程组。

一、齐次线性方程组的解的结构 设

a11x1a12x2axax211222 am1x1am2x2a1nxn0,a2nxn0,amnxn0(1)是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1.两个解的和还是方程组的解.2.一个解的倍数还是方程组的解.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？

定义3.10 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,,t称为(1)的一个基础解系，如果

1）(1)的任一个解都能表成1,2,,t的线性组合； 2）1,2,,t线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.定理3.13在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr，这里r表示系数矩阵的秩(nr是自由未知量的个数).设齐次线性方程组经过初等变换化为

x1k1,r1xr1xkx22,r1r1xrkr,r1xr1knx1x1k1r,x1r1n，xkxkx,2r,1r1n2n,2k1,nxn,k2,nxn,xr1krnx

即

xrkr,r1,n，xxr1r1kr,nxn.xr2xr2xnxn用矩阵表示即为：

k1,r1k1,r2x1kk2,r12,r2x2kkr,r1xr,r2xxrr1r201xr101xn00k1,nk2,nkr,nxn0

01k1,r1k1,r2kk2,r12,r2kkr,r1r,r2，记12100100x1x2则xnkk1122k1,nk2,nkr,n,r0称作原方程组的一个基础解系

01krr 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(2)as1x1as2x2asnxnbs的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1).齐次线性方程组(1)称为方程组(2)的导出组.方程组(2)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：

1.线性方程组(2)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2.线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理3.14 如果是线性方程组(2)的一个特解，是其导出组的全部解，那么即为线性方程组(2)的全部解。

定理说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0是线性方程组(2)的一个特解，1,2,,nr是其导出组的一个基础解系，那么(2)的任一个解都可以表成

0k11k22knrnr

推论 在线性方程组(2)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.课后作业P161 20（1）（3），23（2），26

第三篇：综合练习（定稿）

三、主动句与被动句的选用和变换

主动句：美国军用侦察机在我国南海上空把由王伟驾驶的我国一架军用飞机撞毁。

被动句：由王伟驾驶的我国一架军用飞机在我国南海上空被美国军用侦察机撞毁。

1.同学们交给我一项任务。

2.姐姐送给我一件最有意义的礼物。

3.陈医生看好了孩子的病。

4.森林爷爷战胜了妖魔。

5.蚂蚁吃了一条大虫。

6.濛濛细雨淋湿了人们的衣服。

四、肯定句与否定句的选用和变换 例：肯定句：我们要加强素质教育。

否定句：我们不加强素质教育不行。改成否定句 1.他去。2.我告诉你事情的原委。3.谁惧怕他的威严。

4.你若是想在这个世界留下值得让人怀念的事迹，那就得有毅力。5.他同情我。

6.东吴兵少，抵挡不住八十万大军，周瑜自不量力，肯定要失败的！改成肯定句

1.没有什么不可以。2.他的话不无道理。

3.在场的观众无不为他的精彩表演所打动。4.他无非是想多捞点退休金罢了。5.我虽然年轻，但未必不是你的对手。

五、间接转述改为直接引用

1.老师对小明说，他看了小明的作文很满意。2.妈妈告诉小花，她今天回家会晚一点 3.姐姐问明明，他作业写完没．

4.莉莉告诉老师她妈妈病了，她要替她妈妈去医院取药，因此放学想提前点走。

六、直接引用改为间接转述

1.妈妈对小花说：”今天我回家会晚一点．” 2.姐姐对明明说：“作业写完了吗？”

3.叙利亚对爸爸说：“爸爸，我来替你写吧。我能写得和你一样好呢！” 4.张 童 说 ： “ 我 一 定 要 坚 持 长 跑 锻 炼。” 5.姐 姐 说 ： “ 你 说 得 对，我 就 这 样 做。” 6.老 班 长 说 ： “ 我 没 有 完 成 任 务，没 把 你 们 照 顾 好。”

一、把肯定句改为否定句，把否定句改为肯定句。

1、街上的人真多。

2、说起地道战，谁也不能不承认是个奇迹。

3、谁也不能否认地球不是绕太阳运行的。

4、他是一个听话的孩子。

5、我只有用劳动来解除饥饿的威胁。

6、张民对学习一点也不马虎。

7、幼儿园的小朋友都喜欢王老师。

8、这个问题不能不讲清楚。

二、把下列肯定句改成否定句，不改变句子意思。

1、这部电影使我感动得流泪。

2、黑熊躲进大树洞里。

3、下个星期天，妈妈要带我去西湖划船。

三、把下列肯定句改为双重否定句。1 燕子飞过大海，肯定非常辛苦、艰难。2 爹妈都不在家，只好自己动手丰衣足食了。3 在共产党面前，什么困难都能克服。

四、把陈述句先改成否定句，再改成反问句，意思不能变。

1、那只可爱的小麻雀是我喂养的。

否定句：

反问句：

2、这个故事使妈妈感动不已。

否定句：

反问句：

3、我们要遵守交通规则。

否定句：

反问句：

五、转换句式

1、这是真理。（改为反问句）

2、多得些知识决不是一件坏事。（改为否定句）

3、这件事我一定要做。（调换顺序，意思不变）

4、在这树上有许多鸟巢。（改变词序，句子意思不变）

5、写得不怎么样，但还是有希望的。（改为双重否定句）

6、问题还没有弄清，但已经有了一点儿头绪。（改为双重否定句）

7、天气太热了，简直叫人受不住。（改成夸张句）

8、未来的社会不可能不是“多元”的社会。（改为肯定句）

9、我的心啊，留在祖国的蓝天上。（改成陈述句）

10、泰山日出的景色真美丽。（改成感叹句）

11、这是英雄的中国人民坚强不屈的声音！（改为反问句）

12、天上的星星在闪烁。（改成拟人句）

13、他这样做虽然过分了点，但还是有道理的。（改为双重否定句）

14、我在星星的怀抱中微笑着。（改变句序，句子意思不变）

15、你承认电子计算机是“天之骄子”。（改为双重否定句）

16、曹操气得脸都红了。（变换语序，意思不变）

17、邱少云趴在火堆里一动也不动。（改为比喻句）

18、桂花开了，很远就能闻到香味。（改为夸张句）

19、天空中飘着大雪。（改为比喻句）

20、指导员把我叫到跟前。（改为“被”字句）

21、小窗户里望见的能有多大呢？（改为陈述句）

22、地球资源枯竭了，人类否能活吗？（改为陈述句）

23、凶狠的老板打凡卡。（变换语序，意思不变）

24、我做成了这个试验。（改为反问句）

25、你不是不知道这件事有多重要。（改为肯定句）

26、溪水哗哗地流向远方。（改为拟人句）

27、他的鞋真大。（改为夸张句）

28、没有太阳，就没有我们这个美丽的世界。（改为反问句）

29、这个足球场太小了。（改为夸张句）30、田里的青蛙叫。（改为拟人句）

31、是不是应该用我的能力把我所能做到的事情做得更精致、更仔细、更加一丝不苟呢？（改为陈述句）

六、照样子写句子。例：大会在热烈的掌声中结束了。

在热烈的掌声中，大会结束了。

1、雷锋背着孩子在大雨中不停地走了两个小时。

2、一辆卡车在高速公路上飞快地奔驰。

3、开幕式在一阵热烈的掌声中宣布开始。

七、造句

骄傲（指不谦虚）

（指很自豪）

温和（气候不冷不热）

（使人感到亲切）

耽搁（停留）

（耽误）

新鲜（〈空气〉经常流通，不含杂类气体）

（没有变质，也没有经过腌制、干制等）

写一个表现母爱的句子，用上“凝聚”这个词语。

写一个描写战争的句子，用上“惊心动魄”这个词语。写一句关于“真正的友谊和知音”的名人名言。

参考答案：

一、把肯定句改为否定句，把否定句改为肯定句

1街上的人不多。2说起地道战，谁也不承认是个奇迹。3谁也不能否认地球是绕太阳运行的。4他不是一个听话的孩子。5我没有用劳动来解除饥饿的威胁。6张民对学习马虎。7幼儿园的小朋友不喜欢王老师。8这个问题不讲清楚。

二、把下列肯定句改成否定句，不改变句子意思。

1、这部电影没有使我感动得流泪。

2、黑熊没有躲进大树洞里。

3、下个星期天，妈妈不带我去西湖划船。

三、把下列肯定句改为双重否定句。

燕子飞过大海，不会不辛苦、艰难。2 爹妈都不在家，不得不自己动手丰衣足食了。3 在共产党面前，没有什么困难不都能克服。

四、把陈述句先改成否定句，再改成反问句，意思不能变。

1、否定句：那只可爱的小麻雀不是我喂养的。反问句：那只可爱的小麻雀不是我喂养的吗？

2、否定句：这个故事没有使妈妈感动不已。反问句：这个故事怎能不使妈妈感动不已呢？

3、否定句：我们不要遵守交通规则。反问句：我们怎能不遵守交通规则呢？

五、转换句式

1、这不是真理吗？

2、多得些知识是一件坏事。

3、我一定要做这件事。

4、有许多鸟巢在这树上。

5、写得不怎么样，但不是没有希望。

6、问题还没有弄清，但不是没一点儿头绪。

7、天气太热了，叫人无法呼吸。

8、未来的社会是“多元”的社会。

9、我的心，留在祖国的蓝天上。

10、泰山日出的景色真美丽啊！

11、这不是英雄的中国人民坚强不屈的声音吗？

12、天上的星星快乐地眨眼睛。

13、他这样做虽然过分了点，但不是没有道理的。

14、在星星的怀抱中我微笑着。

15、你不得不承认电子计算机是“天之骄子”。

16、曹操气得都红了脸。

17、邱少云像千斤巨石一般趴在火堆里一动也不动。

18、桂子花开，十里飘香。

19、天空中飘着鹅毛般的大雪。20、我被指导员叫到跟前。

21、小窗户里望见的能不大。

22、地球资源枯竭了，人类不能活。

23、凡卡被凶狠的老板打。

24、我不是做成了这个试验吗？

25、你知道这件事有多重要。

26、溪水唱着歌儿奔向远方。

27、他的鞋大得能放进一条船。

28、没有太阳，怎么会有我们这个美丽的世界呢？

29、这个足球场只有巴掌大。30、田里的青蛙快乐地唱歌。

31、应该用我的能力把我所能做到的事情做得更精致、更仔细、更加一丝不苟。

六、照样子写句子。

1、在大雨中，雷锋背着孩子不停地走了两个小时。

2、在高速公路上，一辆卡车飞快地奔驰。

3、在一阵热烈的掌声中，宣布开幕式开始。

第四篇：综合练习模版

综合练习

组员1：唐伯乐

我打算建立一个校园二手商品交易市场。

建立校园二手商品交易市场之前打算做以下3点准备工作。

1、定价方案

对于自行车、电脑等较为贵重的物品，由工作人员视情况自行定价；对于书籍类等物品按照标价的1-3折收购（具体折扣需根据书本的使用价值以及新旧程度而定）。所有二手物品卖出时需高于收购价的2-5层。如某物品定价=X元，收购价Y=（0.1~0.3）*X，卖出价Z=Y*（1.2~1.5）。

2、交易平台

现实交易部：在确定的时间，在校园申请的地点，定期的开展类似于“集市”的废品交易活动，让大家可以通过一个安全规范的平台交换或低价出售、购买自己的物品。另外，帮一些平时不能经常上网或物品没有及时出手的同学搭建平台，出售自己的物品。配合网络交易部，坚持着认真踏实及时有效的工作原则，让买者跟卖者直接接触，保证交易真实性跟实用性。网络交易部：以网络交易平台为中心，建设网站或者利用优格网，为同学二手货交易搭建渠道。网络交易部的主要职责是初步建设、管理和维护二手交易网站，为同学们能更好的在网络二手货交易提供各种服务。为更好地为学生们的二手货交易，学习各成功网站的经验，结合上饶师院实际情况，建设我们自己的二手货交易网站。

3、操作方式

卖二手物品的同学：可以在规定的时间带着物品来工作室，由工作人员定价，在双方可以同意的情况下，做好信息登记，填好档案登记表，然后由财务部的同学每日财务表，开收据，并支付现金。

买二手物品的同学：先在我们的优格上看好需要的商品，再联系我们的电话，确定后来工作室做交易，在双方可以同意的情况下，有文秘部做好信息登记，填好档案登记表，然后由财务部的同学每日财务表，开收据，并支付现金。

对于处理不掉的物品或者其他二手市场可以高价回收的物品：先由外联部与二手市场商家取得联系，然后进行交易，由财务部和档案部做好登记。

4、售后服务

1.对于出售的物品将由顾客做出满意程度评价，这样有利于工作室的形象正规化，也有助于提高工作室的服务针对性。

2.对于处于合作状态的同学适时地发送提醒、祝福等短信。这样有利于让同学时刻留意关注二手市场的动态。

在开业后打算采取以下3点方式推广我的校园二手商品交易市场。线上推广：

1、与大学生相关用品网站多做友情链接，互相宣传，共同受益。

2、大量在校内、校友网上大量发表文章，实施软文推荐宣传。

3、利用最热的聊天软件QQ进行宣传，多加学校的群，通过更新心情，发表日志等进行宣传。

4、联署计划营销。线下推广：

1、与移动联通公司联系，给学生用户进行短信群发。

2、利用条幅宣传，海报宣传，宣传板宣传，发放传单。

3、利用校园广播，校园报纸，大学生杂志宣传。

4、利用“高校通”宣传。

5、请学生会、社联、社团帮助宣传。

6、在教室黑板写上我们的网站进行宣传。

7、在学校搞活动进行宣传。

我建立的校园二手商品交易市场有以下3点赢利方式。

1、收购与销售

收购利益指我们回收旧物与出售给企业的利润差。

销售盈利指卖家出售商品从中抽取一定的费用以及公司名义出售的商品中。

2、渠道盈利

收购渠道利益是我们收购学生，市内企业再收购我们，以此获得利润差。销售渠道盈利是通过网络通往用户的渠道，通过网络宣传获得的盈利，比如通过QQ、人人、微博、微信等网络营销手段获取利润。

3、这个时候，公司发展比较稳定，利用平台之前建立的口碑和信誉度，尽可能的降低自己成本，提高市场竞争力。

我在经营校园二手商品交易市场的过程中要注意以下3点事情？

1、二手卖出货品，不能存在质量问题。卖主在出卖前要保证质量。

2、出卖旧货要保证不是来路不正，有偷、盗等嫌疑的物品，必须来自正点途径。

3、大多数二手的东西虽然没有发票和“三包”卡，原始购买时间、地点等无从知晓，使但是卖主要保证售后服务有保障。

4、摊主剩余的物件可委托工作人员处理，但不负责回收，若不能卖出仍交还卖方。

5、若有意愿摆摊位的同学所拥有的物资太少，工作人员可以协调摊主合作。

6、工作人员可适当准备零钱，但摊主应自备必要的零钱，工作人员不参与交易过程，交易结果由买卖双方承担，产生假币等情况由买卖双方自行解决。

7、为保证集市的公开透明性，集市当天的买卖情况应在近期公布。

组员2：陈艳

我打算建立1个二手车交易网店。

建立二手车交易网店之前打算做以下3点准备工作。

1、卖方个人身份证原件/卖方单位组织机构代码证书原件（组织机构代码证书须在年审有效期内）及公章。

2、买方个人身份证原件/买方单位组织机构代码证书原件（组织机构代码证书须在年审有效期内）及公章。

3、车辆原始购置发票原件或持上次过户发票。

4、车辆行驶证原件。

5、车辆登记证书（大绿本）。

在开业后打算采取以下3点方式推广我的二手车交易网店。

1、车商位置偏，顾客少。

2、已在其他网站上发贴。

3、有品牌推广需求，但又不愿意多花钱。我建立的二手车交易网店有以下3点特色。

1、交易量大，形成规模效应

2、价格低廉，平衡市场供求

3、体制健全，促进市场健康发展

4、脚印手续简便，省时省力

我在经营二手车交易网店的过程中要注意以下3点事情？

1、二手车身份要核实

在买车的时候，身份证、车辆原始发货票、车辆购置附加费(税)证明、机动车行驶证、养路费证明、年检证明及保险单等都要仔细看好没有问题才行。如果证照不全，买车后在办理相关手续时则会苦恼繁多。这方面有前车之鉴，大家千万要仔细。而发动机号、车架号更要核对好，这样才能决定车辆的身份，不会被糊弄。

2、查看里程表是否有修改 为了卖得更高的价钱，把公里数调低是车商们常用的伎俩。其实汽车里程只是判断车况的一个标准，而真实的车况通过检查发动机等部分都能了解到，里程表显示的数字并不是汽车价格的决定因素。因此大家也就不要太把公里数放在心上了。

3、不要忽略汽车重新上漆

看车身漆膜有无脱落，面部漆有无新印记，在排气管、镶条和窗子四周有无多余的喷漆，如有则证明该车系翻新，可能车身有划痕、损坏，可以作为判断其新旧程度的标准之一。

4、重点观察焊接点

确保车门、头、尾与车身之间的接缝平滑。如果主要的接缝处缝隙大小不一，线条弯曲，装饰条脱落或缺失，证明该车是事故车，经过整修或大修。

5、车厢内部不能忽略 在座椅、地毯及其他车厢部分有没有不正常的铁锈或锈蚀。锈蚀严重的有可能车子是水泡过的。有些车商为了掩盖车厢内的问题，故意加上一些亮眼的装饰迷惑人。消费者一定不要被表面现象所麻痹，还要检查汽车的配置是否完整，工作是否正常。

6、发动机状况要细查

重要的汽车性能主要还是引擎盖下面的东西，发动机工作是否正常，各油管、水管、线路是否老化，有无漏油漏水痕迹。不要以为里面干干净净就没有问题，越干净的车“心”越是经过人工清理的。另外一定要当场试驾，仔细体会发动机潜在问题。

7、了解汽车投保情况，避免保险陷阱

不少二手车都会标明该车拥有全年的保险，并把这项作为卖点，但通常都不会主动告知这辆车发生过什么理赔记录。因此，消费者除了看保险还应当看理赔记录。因为发生过理赔的车辆再次投保价格会高于没有发生过理赔记录的车辆，尤其是二手车，再次投保，保费与新车也略有不同。

8、及时办理过户手续

消费者购买了二手车之后没有及时办理过户手续，就开上刚购置的车辆了。这样做如果一旦出点交通事故需要索赔就会有麻烦了。一般保险公司会“理直气壮”地拒绝理赔。

组员3：纪婷婷

我打算建立1个二手书交易网店。

建立二手书交易网店之前打算做以下3点准备工作。

1、在了解了所有有关网店的细则之后就是找货源。一个成功的网商必定有自己的长期供应商。而成功的关键因素就是要找一个好的货源，质量、款式、价格都必须有自己独特的优势所在。这样才会在众多的竞争中留有一席之地。不过有些新手会说没有那么好的基础、没有很好的实力、没有经验等等一系列问题。当然任何问题都不是一帆风顺的，凡事都是在困难与挫折中成长的，问题与机遇并存。所以不管你如何对待这些问题，千万不可以在货源上掉以轻心。

2、图片准备好之后就可以上架了。编辑商品的时候有些新手不知道有效期是有何作用的。有7天和14天两种选择模式刚开始笔者是选择了14天有效期，而后来在生意的惨淡情况下咨询了一下朋友，才知道7天和14天的天壤之别：大家都知道，淘宝是把快要时间到期的宝贝放到最前页。而选择14天的话，你的商品曝光次数是14天一次。而选择7天的话可以多曝光一次。这样你的浏览量和成交量的机率就多了一倍。

3、发货管理选择一个好的物流公司也是关键，建议各位问下老卖家们。这样也会给卖家减少因为物流延期或破损而产生的纠纷。在发货时应该注意以下几点：1）出货之前一定要仔细的检查每一件商品，特别是带电池或电子类的是检查重点。2）如果有些商品图片和实物因为色差而出现不符的话应该在发货之前与买家说明。3）如果数量不足或稍带瑕疵的商品也尽量和买家说明，以免产生不必要的麻烦。

在开业后打算采取以下3点方式推广我的二手书交易网店。

1、销许多新手都在开始的时候面临着信用危机。为什么？我想各位不用我说了吧！所以一定要把握任何机会进行宣传、做广告：多逛社区、多写贴回帖、参加活动、加入旺铺、直通车、支付宝社区、支付宝活动、支付宝促销、写贴回帖等等。

2、SNS网店软文推广法：现在SNS类型的网店非常流行，去SNS网店主要是去几个有人气的SNS网店有针对性的加几百上千个用户。然后选择合适的软文并合理的附带上网店链接，发表到自己的日志里。再让自己的一些好友分享，这样就让很多人都关注到你的文章，关注到了你的网店

3、论坛推广法：注册几十个几百个论坛，每个论坛注册几十个帐号，把签名设为自己的网店。发表热门内容，自己顶自己帖子。注意换马甲，发布有争议性的标题内容。好的标题是论坛推广成败的100%.这里说的论坛是指泛论坛，包含留言本、论坛、贴吧等等一切网民可能聚集的地方

我建立的二手书交易网店有以下3点特色。

1、买书4-5元一斤3-5元一本都有 追求档次可读性的 您可以选择按本的 追求数量的您可以要按斤的 全部保证正版书籍 为大家提供优质书籍。

2、好评返现。

3、退换货：考虑到买家满意度问题，满意关系。无理由退换货。质量问题，来回运费本店承担。

我在经营二手书交易网店的过程中要注意以下3点事情？

拍下产品生成订单.付款，卖家发货，确认收货.双方评价

1、拍下东东看好数量和是不是自己所需的，以及收货地址手否正确

2、确认无误后付款等待卖家发货.卖家发货后跟踪物流记录.另外防止超时放款

3、货物到了后检查货物数量，有无短少损坏签收

4、确认收货，评价

组员4：林何惠

我打算建立1个二手日用品交易网店。

建立二手日用品交易网店之前打算做以下3点准备工作。

1、实行多买多送制度，只要顾客购买物品大到一定金额，就会获得价格上的优惠或赠送小礼品或小用品。

2、在新生购买用品较多的情况下我们将会有人帮忙送到宿舍，实行送货上门。

3、我们将通过的方式，发动身边的同学为我们做宣传工作。在开业后打算采取以下3点方式推广我的二手日用品交易网店。

1、提高品牌知名度和美誉度。

2、巩固通路经用品的客情关系，抢占通路、终端的 高铺货，提升经销商的信心和积极性。

3、提高现场售点的用品的销售

我建立的二手日用品交易网店有以下3点特色。

1、大学校园里稳定的学生客户群。大学生有许多共同的兴趣和消费倾向，消费商品较单一。每年数千学生的流动为校园电子商务注入了新鲜血液。大学校园里的消费群体素质较高，容易接受新鲜事物，特别是学生年龄一般在18-25 岁，正处在求知欲旺盛的阶段。

2、信用不足，信用体系不完善是阻碍我国电子商务发展的重要障碍。电子商务信用主要取决于个人信用、商家信用和社会信用等。若缺乏良好的监督机制，就会存在各种信用危机。在校园电子商务环境下，由于交易双方主要是在校学生，一旦出现违规现象，很快就会被曝光。因此，大家都会自觉培育良好的个人信用和商务。

3、校园电子商务使得买卖双方的交易成本大大降低。一是通过校园网络进行信息传递，其传递成本相对于信件、电话、传真而言较低。此外，缩短时间及减少重复的数据录入也降低了信息成本。二是买卖双方通过校园网络进行商务活动，无需中介者参与，减少了交易的有关环节。三是卖方可通过校园网络进行产品介绍、宣传，避免了在传统方式下做广告、发印刷品等大量费用。四是校园电子商务实行“无纸贸易”，可减少大量的文件处理费用。交易成本为零，符合大学生价格敏感因素要求调查统计数字表明，价格是大学生消费最为敏感的因素之一。校园交易网采用零交易成本，我在经营二手日用品交易网店的过程中要注意以下3点事情？

1、加盟的项目是否在当地有运营，运营状况怎么样，初期别不好意思，可以直接进去问，现在开店怎么样或者经营状况。我在天津开的羊老倌挺好的。人流量大。主要是味道正

2、亲自操刀。最好是参与进去，让自己直接与客人沟通联系，了解顾客的需求，及时对自己的工作、服务进行改进，还能拉近与客人之间的距离并逐步建立起朋友关系。有时候开店主要的还是老顾客，回头客。

3、产品利润，产品利润就是卖每件产品的利润，这个利润在于自己控制，如果是垄断性产品或者自己设计的一些产品，价格可以稍高一些，如果是传统产品或者代理产品，价格与其他店持平就行了。

组员5：黄飞燕

我打算建立1个二手电脑网店。

建立二手电脑网店之前打算做以下3点准备工作。

1、精心打扮你的电脑，检查你电脑的封条等重要的部位。

2、全面了解自己电脑的信息。

3、了解二手电脑市场。

4、选择买家。卖二手电脑能否把价格卖上去，选择买家很重要。在开业后打算采取以下3点方式推广我的二手电脑网店。

1、具体软文内容可由发贴人自行决定，但必须与笔记本电脑或是二手笔记本电脑有关，并针对本店进行推荐

2、本任务为每稿二元，每稿至少要有三个链接，链接不得重复提交，否则视为无效。

3、请把贴子发到IT类、数码类社区、论坛，也可包括人气比较旺的跟电脑相关的社区，贴子必须做到保留两天以上，如何做到不被删贴由发贴人自己想办法；发贴注册人数至少在1000人以上。

我建立的二手电脑网店有以下3点特色。

1、买一台二手电脑送小礼品

2、价格便宜，质量很好

3、二手电脑里功能很多

我在经营二手电脑网店的过程中要注意以下3点事情？

1、如何保证库存商品和网店的商品数量的统一

2、如何保证客户满意度100%

3、如何要学会维护客户

组员6：陈诚

我是投资人陈诚，我在看了上面5份计划书之后，觉得组员纪婷婷的计划书写的比较详细，她在计划书里面的优点是

1、在了解了所有有关网店的细则之后就是找货源。

2、图片准备好之后就可以上架了。

3、发货管理选择一个好的物流公司也是关键。

4、销许多新手都在开始的时候面临着信用危机。

5、SNS网店软文推广法。

6、论坛推广法：注册几十个几百个论坛，每个论坛注册几十个帐号，把签名设为自己的网店。我觉得组员陈艳的计划书写的比较全面，她在计划书里面的优点是

1、车商位置偏，顾客少。

2、已在其他网站上发贴。

3、有品牌推广需求，但又不愿意多花钱。

4、交易量大，形成规模效应。

5、价格低廉，平衡市场供求。

6、体制健全，促进市场健康发展。

7、脚印手续简便，省时省力。有了全面的研究，组员黄飞燕的计划书还有些欠缺，她在计划书里面的缺点是

1、二手电脑里功能，功能是什么？

2、没说怎么保证电脑质量？

3、二手电脑分别是用几年必要说清楚。

4、客户要求什么硬件或者软件就去装什么硬件或者软件？但是很多没有进行分析。如果我打算投资的话，我打算对组员纪婷婷进行投资。

组员7：胡晨阳

我是投资人胡晨阳，我在看了上面5份计划书之后，觉得组员唐伯乐的计划书写的比较详细，他在计划书里面的优点是注意到了通过大学里的同学不需要用的东西来回收后利用网上交易平台来进行买卖，在宣传方面很好地利用正规的公司资源来宣传，在售后服务考虑很完善，觉得组员唐伯乐的计划书写的比较全面，他在计划书里面的优点是对线上线下的宣传，利用不用的东西回收进行上网交易以及价格有了全面的研究，组员的黄飞燕的计划书还有些欠缺，他在计划书里面的缺点是对市场上的价格以及对交易的程序没有进行分析，宣传不够好，没有对二手电脑的配置以及价格没有充分了解。如果我打算投资的话，我打算对组员唐伯乐进行投资。

组员8：朱鹏程

我是投资人朱鹏程，我在看了上面5份计划书之后，觉得组员唐伯乐的计划书写的比较全面，她在计划书里面的优点是由于在校学生所以在资金方面没有太多的投入，在市场运转起来后会出现资金运转不周的情况，对此我们必须做好充分的准备。组员的林何惠的计划书还有些欠缺，她在计划书里面的缺点是这一点是显而易见的，毕竟我们是新手，第一办二手日用品，在某些方面肯定会有缺陷的。觉得组员陈艳的计划书写的比较详细，她在计划书里面的缺点是信息反馈及时，卖家比较主动。如果我打算投资的话，我打算对组员唐伯乐进行投资。

第五篇：综合练习

一、文言文

1.《黄香温席》 昔汉时黄香,江夏（古地名,今湖北境内）人也.年方九岁,知事亲之理.每当夏日炎热之时,则扇父母帷帐（帐子）, 令枕清凉,蚊蚋（ruì，吸人血的小虫）远避, 以待亲之安寝;至于冬日严寒,则以身暖其亲之衾（被子）,以待亲之暖卧.于是名播京师,号曰“天下无双,江夏黄香”。

过去汉朝的时候，有一个叫黄香的孩子，是江夏人。当时正好九岁，但他已经懂得了服侍父母的道理． 每次当炎炎夏日到来的时候，就给父母的蚊帐扇风，让枕头和席子清凉爽快，把吸人血的小虫和蚊子扇开，让父母好好睡； 到了寒冷的冬天，用自己的身体让父母的被子变得温暖，让父母睡得暖和． 于是黄香的事迹流传到了京城，号称“天下无双，江夏黄香”!

启发 ： 我们从小就应该懂得孝顺父母，而且应从小事做起。

2.《孟孟母三迁》 子幼时，其舍近墓，常嬉为墓间之事。其母曰：“此非吾所以处吾子也。”遂迁居市旁。孟子又嬉为贾人炫卖之事。其母曰：“此又非吾所以处吾子也。”复徙居学宫旁。孟子乃嬉为俎豆揖让进退之事，其母曰：“此可以处吾子矣。”遂居焉。

孟子小时候家离墓地很近，就常常玩办理丧事的游戏，他母亲说：“这不是我可以用来安顿儿子的地方。”于是搬迁到集市旁边，孟子又做学商人卖东西的游戏。他母亲说：“这也不是我可以用来安顿儿子的地方。”又搬家到学堂旁边。于是，孟子就又做些拱让食物的礼仪的游戏，他母亲说：“这里可以用来安顿我的儿子。”他们就在那里住了下来。

启发：后来，大家就用“孟母三迁”来表示人应该要接近好的人、事、物，才能学习到好的习惯！

3.《专心致志》 高凤字文通，家以农亩为业。妻尝之田，曝麦于庭，令凤护鸡。时天暴雨，凤持竿诵经，不觉潦水流麦。妻还怪问，乃省。

一、上面的两句翻译

1．家以农亩为业

2．凤持竿诵经，不觉潦水流麦。

二、写出《专心致志》题目的意思，再换一个意思相近的词语 例句出一个跟高凤一样专心读书的人，并简要叙述此人的故事 1.家里把种田作为职业。

2.高凤拿着竹竿诵读经书，没有发觉雨后地上的积水使麦流走了。释义：把心思全放在上面。意思相近的词语：全神贯注

4.《掩耳盗铃》

范氏之亡也，百姓有得钟者，欲负而走，则钟大不可负；以锤毁之，钟况然有声。恐人闻之而夺己也，遽掩其耳。恶人闻之，可也；恶己自闻之，悖也！译文：

晋国的大夫范氏灭亡的时候，有个老百姓得到一只钟，想要把它背走。只是钟太大，没法背。于是就用锤去把它打碎，这样钟又轰轰地响起来，那个老百姓怕别人听到响声来抢这只钟，赶忙把自己的耳朵堵起来，以为自己听不见，别人也就听不见了。

启发：对客观存在的现实不正视、不研究，采取闭目塞听的态度，这是自欺欺人，终究会自食苦果的。

5.《截竿入城》

鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可入；横执之，亦不可入。计无所出。.俄有老父至，曰：“吾非圣人，但见事多矣！何不以锯中截而入?"遂依而截之。

鲁国有个拿着长竿子进城门的人，起初竖立起来拿着它想要进城门，但不能进入城门，横过来拿着它，也不能进入城门，他实在是想不出什么办法来了。不久，有个年长的男人来到这里说：“我并不是圣贤，只不过经历了很多的事情，为什么不用锯子将长竿从中截断后 1 再进入城门呢？”那个鲁国人依照老人的办法将长竿子截断了。

启发：做事情不能忘记根本目的是什么，否则再怎么做都只能是自作聪明，徒劳无益。

这篇笑话讽刺了既蠢笨又不肯动脑筋的鲁国人和愚蠢而又自作聪明的老人，并告诉我们，遇到困难时，应开动脑筋多想想，如需要向别人请教，也别轻信盲从。6．《画蛇添足》

楚有祠者，赐其舍人卮酒。舍人相谓曰：“数人饮之不足，一人饮之有余。请画地为蛇，先成者饮酒。”一人蛇先成，引酒且饮之，乃左手持卮，右手画蛇曰：“吾能为之足！”未成，一人之蛇成，夺其卮曰：“蛇固无足，子安能为之足？”遂饮其酒。为蛇足者，终亡其酒。

古代楚国有个贵族，祭过祖宗以后，把一壶祭酒赏给前来帮忙的门客。门客们互相商量说：“这壶酒大家都来喝则不够，一个人喝则有余。让咱们各自在地上比赛画蛇，谁先画好，谁就喝这壶酒。”

有一个人最先把蛇画好了。他端起酒壶正要喝，却得意洋洋地左手拿着酒壳，右手继续画蛇，说：“我能够再给它添上几只脚呢！”可是没等他把脚画完，另一个人已把蛇画成了。那人把壶抢过去，说：“蛇本来是没有脚的，你怎么能给它添脚呢！”说罢，便把壶中的酒喝了下去。那个给蛇添脚的人终于失掉了到嘴的那壶酒。。

启发： 1.做事不可多此一举，否则有时还会失去一些东西，得不偿失，弄巧成拙。2.无论做什么事情都要尊重客观事实，实事求是。二、缩句

1.一位旅客正望着戈壁滩上的卫士出神.2.圆明园的毁灭是祖国文化史上不可估量的损失.老人们都爱到河边的树阴下钓鱼.闪烁的星星布满了天空：

3..灰黑色的鸬鹚整齐地站在船舷上.我的喉咙被心中激起的强烈感情堵住了：

4.圆明园是皇家园林.一只画眉鸟在树枝上兴奋的叫着．

5.满载旅客的列车飞一般驶向偏远的山区小站．

6..他兴奋得把一个大苹果从树上摘下来。7.生活在海洋中的鲸不是鱼类，他一不小心把小明的墨水瓶打破了

8.竞技体育是面对世界所存在的种种强权、宗族歧视、金钱掩盖下的不公平的一种抗争。

9.我对罗斯福夫人的采访报道获得了全国学生新闻报道奖。

10.在一株高大的白杨树身边，几棵小树正迎着风沙成长起来。

11.成千上万的表年在各个不同的岗位上努力为祖国做出新的贡献。

12中国足球队闯入“世界杯”的喜讯传来，入场运动员的眼眶里都闪着激动的泪花。

三、病句的几种类型：

(1)每个小学生都应该上课专心听讲的好习惯。

(2)“六一”联欢会上，我们班表演了文娱节目和大合唱。

(3)我们要不断改进学习方法，增强学习效率。

(4)周爷爷爱戴我们小朋友，我们热爱周爷爷。

(5)这本书对我很感兴趣。

(6)黄继光不但壮烈牺牲了，而且他永远活在我们的心中。

(7)大家都讲卫生，我们的健康和疾病就有保障。

(8)《繁星》的作者是巴金写的。

(9)我们要积极响应“人人动手，绿化祖国”。

(10)美丽的大草原一碧千里，到处都是绿色。

(11)我们开会通过并讨论了他的建议。

(12)《小学生语文报》和《少年文艺》这两种报纸我都很爱看。

(13)联欢会开始了，整个会场充满了热闹的气氛。

(14)战士们冒着大雨和泥泞的小路快步前进。

(15)下午，全校师生和少先队员去参观画展。

(16)《科学画报》和《少年文艺》这两种报纸我都爱看。

(17)我估计他今天一定不会来参加会议了。

(18)在美术老师的悉心指导下，使我的素描画进步很快。

(19)我们必须认真克服并善于发现学习上的毛病。

(20)上课时，始终专心听讲，因此，成绩很好。

(21)菜园里种着西红柿、西瓜、黄瓜、毛豆、红豆、扁豆等蔬菜。

(22)经过教育，我明确了学习目的和学习态度。

(23)墙上的挂钟走了一圈，一个小时又过去了。

(24)我们要热爱公共财产。

(25)草原把夕阳照得五彩缤纷。

(26)《小学生数学报》和《少年报》这两种报纸我都很爱看。

(27)王老师被光荣地评为“模范班主任”的光荣称号。

(28)我们大摇大摆地走在山间小道上。

四、把下面的句子换一种说法意思不变。

1．如果我们也能像水滴那样，没有什么事情做不成。2．十年树木，百年树人,老师的教育之恩，我们终身难忘。

3.我们永远不会忘记这比山还高比海还深的情谊。

4.对违法乱纪的现象，我们一定要严惩。5.人与山的关系日益密切，不能不使我们感到亲切、舒服。

6.同窗六载的情谊，我们不能忘记。7.我们的学校，正在开展古诗文的诵读活动。

8.这比山高比海深的情谊，我们不会忘记。9.不劳动，连棵花也养不活，这是真理。10.他那勤奋学习，刻苦钻研的精神，值得大家学习。

11.不好好学习，自然是不能取得好成绩。12.对少数同学不守纪律的现象，我们不能不闻不问。

13.那奔驰的列车正是我们祖国奋勇前进的象征。

14.功课没做完，不能去看电影。15.没有革命前辈的流血牺牲，就没有我们今天的幸福生活。

五、转述下面的句子。

1.赵王告诉蔺相如说：“你要带着宝玉到秦国。”

2.刘萍告诉老师：“这次的中队会由我来主持。”

3.武松道：“这可奇怪了！你如何不肯卖酒给我吃？”

4.蔺相如说：“秦王我都不怕，会怕廉将军吗？”

5.她深有感触地说：“我小时侯总是羞羞答答的。”

6.美丽的姑娘说：“我是智慧的女儿。”

7.一位台湾同胞说：“我是中国人，我爱中国。”

8.小明高兴地告诉妈妈：“我在新华书店买了一本《雷锋日记》。”

9.王宁说:“我要像李永勤那样关心集体。”

10.小红军对陈赓说:“我还要等我的同伴呢。”

11.爸爸：“小红，告诉妈妈，今天爸爸 不回家吃饭了。”

12.董存瑞坚决地说:“我去炸掉它!”董存瑞坚决地说，他去炸掉它!13.小青石说：“这样安静的生活,我讨厌了。我倘若能和蝴蝶和蚱蜢一样，要到哪里，就到哪里，那多好啊！”

14.鲁迅在回信中说:“我的信如果要发表,且有发表的地方,我可以同意。”

15.他凑到我耳边轻轻地问：“记者,你见过电灯吗?”

六、猜谜语

1.筋 成语一 谜底：

降落伞 成语一 谜底：

2.降温消息 成语一 谜底：

骄者必败 成语一 谜底：

3.焦 成语一 谜底：

4.角斗 成语一 谜底：

5.灰 成语一 谜底：

6.结论 成语一 谜底：

7.剪不断理还乱 成语一 谜底：

8.锦州 成语一 谜底：

9.尽收眼 成语一 谜底：10.进出口 成语一 谜底：

11.井 成语一 谜底：

12.警钟 成语一 谜底：

13静脉注射 成语一 谜底：

14结婚照 成语一 谜底：

15既输氧又输液 成语一 谜底：16《孙子》 成语一 谜底：

17回音壁 成语一 谜底：18魂魄 成语一 谜底：

19火 成语一 谜底：20货郎担 成语一 谜底：

21鸡雏 成语一 谜底：22江州司马青衫湿 成语一 谜底：

23集体朗诵 成语一 谜底：24荐之于平原君 成语一 谜底：

25寄存处 成语一 谜底：26寄情于诗酒 成语一 谜底： 佳期又误明月时 成语一 谜底：28假眼 成语一 谜底：

29捡破烂 成语一 谜底：挥毫引来蜂蝶狂 成语一 谜底：

30急诊室 成语一 谜底：

31画蛇添足 回答：

32口若悬河 回答:

33鸟语花香 回答

34囫囵吞枣 回答：

35长篇大论 回答：

36观天 回答：

37连锁反应 回答：

38固执己见 回答：

39松龄鹤寿 回答：

40穿针引线 回答：

41.过五关，斩六将。——（）

42.张飞战马超——（）

43.张飞吃豆芽——（）

44.刘备摔孩子——（）5.黄忠出阵——（）。

46.董卓进京——（47.诸葛亮吊孝——（）。8.诸葛亮借箭——（）。

49.关公门前耍大刀——（）。

50.孙二娘开店——（）。

答案：

1筋 成语一 谜底：骨肉相连

坐井10 降落伞 成语一 谜底：随机应变 2 降温消息 成语一 谜底：冷言冷语

骄者必败 成语一 谜底：人满为患

3焦 成语一 谜底：侧目而视 4 角斗 成语一 谜底：负隅顽抗 5 灰 成语一 谜底：混淆黑白 6 结论 成语一 谜底：总而言之 剪不断理还乱 成语一 谜底：难解难分 8 锦州 成语一 谜底：遍地开花

9尽收眼成语一 谜底：一览无余 进出口 成语一 谜底：反其道而行之

11井 成语一 谜底：纵横交错 12 警钟 成语一 谜底：一鸣惊人

13静脉注射 成语一 谜底：一针见血 14 结婚照 成语一 谜底：一拍即合

15既输氧又输液 成语一 谜底：双管齐下

16《孙子》 成语一 谜底：纸上谈兵 17 回音壁 成语一 谜底：人云亦云

18魂魄 成语一 谜底：鬼话连篇 19 火 成语一 谜底：灭顶之灾

20货郎担 成语一 谜底：步步为营

21鸡雏 成语一 谜底：左右为难

22江州司马青衫湿 成语一 谜底：一衣带水23 集体朗诵 成语一 谜底：众口一词 24 荐之于平原君 成语一 谜底：引人入胜 25 寄存处 成语一 谜底：待人接物

26寄情于诗酒 成语一 谜底：春风得意 27 佳期又误明月时 成语一 谜底：大喜过望

28假眼 成语一 谜底：目不转睛 29 捡破烂 成语一 谜底：人弃我取 挥毫引来蜂蝶狂 成语一 谜底：妙笔生花

急诊室 成语一 谜底：夜不闭户 31画蛇添足 回答：多此一举

口若悬河 回答: 行云流水

33鸟语花香 回答：有声有色

34囫囵吞枣 回答：不求甚解

35长篇大论 回答：千言万语

坐井观天 回答：一孔之见

37连锁反应 回答：层出不穷

38固执己见 回答：自以为是

39松龄鹤寿 回答：各有千秋

40穿针引线 回答：望眼欲穿

41.过五关，斩六将。——（出口伤人）2.张飞战马超——（不分胜负）

43.张飞吃豆芽——（小菜一碟）

44.刘备摔孩子——（收买人心）

45.黄忠出阵——（不服老）。6.董卓进京——（不怀好意）。

47.诸葛亮吊孝——（装模作样）。

48.诸葛亮借箭——（有借无还）。

49.关公门前耍大刀——（不自量力）。

50.孙二娘开店——（谋财害命）。