《数学分析》课程介绍（精选5篇）

第一篇：《数学分析》课程介绍

《数学分析》是数学系的一门重要基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及《普通物理学》等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。

通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。

整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。数学分析是数学系最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用人才方面起着特别重要的作用。从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了 300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。但是随着当代科学技术（包括数学本身）的发展不断为数学的基础部分注入新鲜活力，此外，也为了适应培养 21 世纪人才的需要，对数学分析课程的改革势在必行。

回顾数学分析的课程改革，有以下几个过程。解放前，该课程的讲授一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。这种教学的优点在于：学生入门容易，而且很快就能了解数学分析的一套连续量的演算体系，并从应用中体会到其威力。但这种做法导致耗时较长，理论跃度太大，学起来困难较大。上世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这种做法的优点在于：只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。但容易导致学生在学“大头”中的极限理论时，目的性不明确，过分的严格要求带来的困难很多，结果也使很多学生失去学习兴趣，失去信心。另外，过分强调极限形式化的内容，忽略了数学分析提供微积分演算体系的本质，忽略了连续量演算的直观，造成学生忽视直观，忽视应用的倾向，对培养从事应用数学的人才不利。多年来，在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。目的是既能保证学生掌握严格的分析理论，又能使学生比较容易、快速的接受理论。

康定师专开设数学分析课程已经有20多年的历史，有很深的渊源与传统。老师们讲课十分严谨，要求严格。数学系的数学分析课程形成了自己优秀的传统，它的主要特征为：数学分析是数学系一切课程中的重中之重，是主课中的主课，认为只有学好数学分析，才有可能进入现代数学的殿堂，才有学好其他课程的基础，因此要求十分严格。2003年，由于与西华师大联办数学与应用数学本科，在这一时期，课程教学除了保持了严谨、在数学基本训练上严格要求的传统外，更注重因材施教，根据学生不同的水平和素质，调整自己的教学方法和内容，从而从总体上达到了更好的教学效果。在教材上，也逐渐参考了了北大、复旦的新编教材，并逐步开始了自己的教材建设。

本世纪以来，随着教学改革的深入，我系对数学分析课程的进一步改革认识更明确。面对新的历史时期，对教学或教材必须做到：提高教学或教材的先进性，大幅度提高教学效率，提高教材的可读性。要在基础数学中做到返朴归真，既要注重说明基础数学概念的物理源泉与应用背景，同时又要解释抽象的数学思想与方法怎样从原始的问题形态演化发展成抽象的形式。我们对数学分析教学体系与教学内容的改革主要体现在：

1． 加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力。从微积分的形成和发展可以看出它是一门极具应用活力的科学。因此，在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生在分析实际问题，建立数学模型解决实际问题等方面的能力，适应新世纪对数学人才的要求。

2．结合数学分析教学与计算机技术，融入现代化的教学手段。随着计算机和软件技术的进步，在教学中将黑板和多媒体相结合，并可利用一些优秀的数学软件（如Matlab），辅助于教学（如对极限的理解、近似求根、数值积分等）。不但可以加强对抽象概念的直观理解，还可以提高学生应用数学和计算机解决实际问题的能力。

目前，我们使用的主要教材为华东师范大学编写的《数学分析》（上、下册）（高等教育出版社，2003 年版）。该书以华东师范大学数学系近20 年中陆续多次出版的《数学分析》为基础，为适应数学教学面向 21 世纪进行改革的需要而编写的。它结合了多年来教学实践的经验体会，从体系、内容、观点、方法和处理上，对教材作了有益的改革。该书是教育部“高等教育面向 21 世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向 21 世纪课程教材，获教育部 2002 年全国普通高等学校优秀教材奖一等奖。

按上述思路，我们对数学分析课程进行改革，融入上述改革思想，准备编写新的辅导教材，进行教学实验。历年承担这门课程的教师都不遗余力地进行着数学分析的教学研究和教学改革，特别是改革开放以来，课程教学组的老师们作了大量的工作。课程已被列为系级精品课程。不断的改革和研究，摸索了许多经验，也获得了许多教学成果

第二篇：数学分析课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

(理工科师范类数学教育专业)

说明

数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。

本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。

本课程的教学目的一要求是：

一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。

二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在自然科学与社会科学中的广泛应用。

三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。

本大纲是在国家教委1990年颁布的《中学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。本课程课内学时为288学时，其中录像220学时(学时分配见下表)。

大纲内容

一、函数

（一）目的要求

１、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。

２、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。３、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。

４、了解几个常用的非初等函数的例子。

（二）主要内容

１、函数概念（函数概念绝对值不等式定义域值域函数的符号图象 函数的各种表示法）

２、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）３、函数的四则运算与复合４、反函数（定义存在的充要条件图象）

５、基本初等函数（幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）６、初等函数（基本初等函数初等函数）

７、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）

二、极限

（一）目的要求

１、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。

２、理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念，掌握它们的有关性质。

３、会用“ε-N”、“ε-δ”、“ε-E” 等语言处理极限的有关问题。

４、能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限，熟练地求极限。

（二）主要内容

１、数列极限的概念（数列数列极限的定义几何意义）

２、数列极限的性质（唯一性有界性保号性保序性两边夹定理四则运算定理单调有界数列极限存在定理）

３、子数列（子数列数列极限与子数列极限的关系）

４、函数极限的概念（在一点处函数极限的定义左、右极限及其与双边极限的关系 χ→∞时的极限几何意义）

５、函数极限的定理（函数极限的性质函数极限与数列极限的关系）

６、两个重要极限

limsinχ── χ ＝1lim（1＋1─ χ）χ＝ е

χ→0χ→∞

７、无穷小量与无穷大量（无穷小量与无穷大量的定义、关系、性质、无穷大量与无界的区别无穷小量比较）

三、连续函数

（一）目的要求

１、理解和掌握函数连续的概念，一致连续概念要清楚。

２、对于间断点及其分类要有清楚的了解。

３、掌握闭区间上连续函数的性质。

４、了解初等函数的连续性。

（二）主要内容

１、连续概念（一点处连续、单侧连续与区间上连续的定义间断点及其分类）

２、函数在一点处连续的性质（有界性全保号性四则运算复合函数的连续性反函数的连续性）

３、闭区间上连续函数的性质（价值性有界性量值定理一致连续定理（均暂不证明））

４、初等函数连续性

四、实数的连续性

（一）目的要求

１、了解实数集关于极限运算的封闭性。

２、了解实数连续性的几个基本定理的证明方法并掌握其条件与结论。

３、了解闭区间上连续函数的性质的证明方法。

（二）主要内容

１、几个基本定理（闭区间套定理确界确界存在定理聚点聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则）

２、闭区间上连续函数性质的证明（一致连续定理不证）

五、导数与微分

（一）目的要求

１、掌握导数与微分的概念及其几何意义，了解它们的应用。

２、能熟练地应用导数的定义与求导法则求函数的导数。

３、会求一些函数的高阶导数。

（二）主要内容

１、导数概念（概念引入导数定义几何意义可导与连续的关系）

２、求导法则（四则运算复合函数与反函数的导数基本公式表）

３、隐函数与参数方程求导（隐函数求导法则参数方程求导法则）

４、微分（微分定义几何意义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性微分在近似计算上的应用）

５、高阶导数与高阶微分（高阶导数莱布尼兹公式（不证）高阶微分）

６、几何应用（曲线的切线方程与法线方程两条曲线的交角弧长的微分）

六、微分学中值定理和泰勒公式

（一）目的要求

１、掌握中值定理的条件、结论和证明方法。

２、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

３、会求一些简单函数的泰勒展开式。

（二）主要内容

１、中值定理（费尔引理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理）

２、泰勒公式（泰勒公式泰勒公式的余项（拉格朗日型））

七、导数的应用

（一）目的要求

１、能熟练地应用洛毕大法则求不定理的极限。

２、会利用导数判定函数的单调性，会求函数的极值和最大（小）值。

３、能运用导数较正确地作出函数的图象。

（二）主要内容

１、洛毕大法则（0 ─0 型∞─∞ 型（不证）其他不定型的转化）

２、函数的单调性（函数单调的充要条件函数严格单调的充要条件应用函数的单调性证明不等式）

３、函数的极值（极值概念极值判别法最大值与最小值）

４、函数作图（函数的凹凸性拐点渐近线函数作图）

八、不定积分

（一）目的要求

１、掌握原函数与不定积分概念。

２、熟练掌握换元积分法与分部积分法，了解不理函数积分法。

（二）主要内容

１、不定积分的概念（原函数与不定积分的概念不定积分的运算法则基本积分表）２、换元积分法（凑微分法典型代换法）

３、分部积分法

４、有理函数的积分（有理函数部分分式（了解原理，掌握方法））

∫dχ──────（χ2＋a2）n的递推公式

５、三角函数有理式和积分

九、定积分

（一）目的要求

１、正确理解和掌握定积分概念，了解可积准则，掌握可积函数类。

２、掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分。

３、掌握并正确用换元积分法与分部积分法。

（二）主要内容

１、定积分概念（概念引入定积分的定义）

２、可积准则（大和与小和可积的必要条件可积的充要条件）

３、可积函数类（连续函数只有有限个间断点的有界函数单调有界函数可积分函数类与有原函数的函数类的区别）

４、定积分的性质（线性有限可加性单调性绝对可积性积分第一中值定理）５、定积分的计算（可变上限的定积分牛顿－莱布尼兹公式换元积分法分部积分法）

十、定积分的应用

（一）目的要求

１、掌握定积分在几何上的应用，了解定积分在物理上的应用。

２、了解定积分的近似计算。

（二）主要内容

１、定积分在几何上的应用（微元法平面区域的面积平面曲线的弧长利用截面面积计算立体体积旋转体的侧面积）

２、定积分在物理上的应用（静压力变力作功非均匀曲线的质量）

３、定积分在近似计算（梯形法抛物线法）

十一、数项级数

（一）目的要求

１、掌握无穷级数及其敛散性等基本概念。

２、了解收敛级数的性质。

３、能熟练使用几种常用的判敛法则。

（二）主要内容

１、数项级数的敛散性（无穷级数部分和收敛与发散和与余和收敛级数的性质收敛的必要条件柯西准则）

２、正项级数敛散性判别法（比较判别法级数通项比值极限法达朗贝尔判别法柯西判别法）

３、任意项级数敛散性判别法（绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼兹判别法）

十二、函数项级数

（一）目的要求

１、掌握函数项级数的收敛域、和函数与一致收敛等基本概念。

２、会使用一致收敛的优级数判别法。

３、掌握和函数与极限函数的分析性质。

４、了解极限、收敛的否定语句叙述。

（二）主要内容

１、函数项级数的收敛域（函数项级数收敛域和函数极限函数一致收敛极限与收敛的否定语句叙述）

２、一致收敛的判别法（柯西准则优级数判别法）

３、函数项级数的分析性质（和函数的连续性、可积性、可微性极限函数的连续性、可积性、可微性）

十三、幂级数

（一）目的要求

１、弄清幂级数及其收敛半径、收敛域等概念，会求幂级数的收敛半径与收敛域。２、明确幂级数和函数的分析性质。

３、了解函数能展成泰勒级数的条件，能将一些函数民成泰勒级数。

４、了解函数民开式在近似计算上的应用及三角函数表与对数表的造表原理。

（二）主要内容

１、幂级数的收敛域（幂级数阿贝尔定理收敛半径收敛域）

２、幂级数的性质（内闭一致收敛性和函数的连续性、可积性、可微性）

３、函数的泰勒展开（系数求法与展开式的唯一性可展成幂级数的充要条件 几个初等函数的幂级数展开式）

４、幂级数在近似计算上的应用（求方根的近似值e和π的近似值三角函数造表对数造表）

十四、广义积分

（一）目的要求

１、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

２、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

（二）主要内容

１、无穷区间上的广义积分（无穷积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛性判别法与级数的关系）

２、无界函数的广义积分（瑕积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛判别法与无穷积分的关系Г函数简介）

十五、多元函数微分学

（一）目的要求

１、掌握平面点集的一些基本概念与多元函数的概念。

２、理解和掌握二元函数的极限、二元函数的连续性等概念。

３、掌握偏导数、全微分等概念，能熟练地求偏导数与全微分，了解高阶偏导数的概念，能求高阶偏导数。

４、弄清全微分、偏导数与连续三者之间的关系。

（二）主要内容

１、平面点集（点的圆形领域内点聚点界点边界开集闭集区域）

２、二元函数的极限与连续性（多元函数概念二元函数的定义域二元函数的极限与累次极限二元函数连续的概念闭区间上连续函数的性质（不证））

３、偏导数与全微分（偏导数全微分高阶偏导数全微分与偏导数、连续三者之间的关系）

４、复合函数的偏导数（复合函数可导的充分条件链式公式一阶微分形式不变性）５、隐函数存在定理（一元隐函数存在定理隐函数的求导）

十六、二重积分

（一）目的要求

１、掌握二重积分的概念，了解它的性质。

２、会正确计算二重积分，并利用它计算空间形体的体积与平面图形的面积。３、了解三重积分的概念。

（二）主要内容

１、二重积分的概念（概念引入二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分存在的充分条件（不证））２、二重积分的计算（二重积分化为累次积分利用级坐标计算二重积分）

３、二重积分的应用（空间形体的体积平面图形的面积）

４、三重积分的概念计算方法举例

十七、曲线积分

（一）目的要求

１、掌握两类曲线积分的概念，会求曲线积分。

２、掌握格林公式、曲线积分与道路无关的条件。

（二）主要内容

１、两类曲线积分（第一型曲线积分的定义、性质与计算方法两类曲线积分的关系）２、格林公式

３、曲线积分与道路无关的条件

十八、微分方程简介

（一）目的要求

１、了解微分方程的一些基本概念。

２、掌握几种简单类型微分方程的解法。

（二）主要内容

１、基本概念（微分方程阶解初始条件特解通解）

２、一阶微分方程（可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性方程全微分方程）

第三篇：数学分析课程论文选题

1.初等函数的定义及分类。2.分段函数的性质及应用。3.复合函数的性质研究。

4.数列极限定义（N）的注。5.极限求法综述。

6.利用公理（实数连续性）证明极限的若干技巧。7.利用两边夹定理证明极限的若干技巧。8.极限证明方法综述。

9.连续函数的若干等价定义。

10.函数一致连续性的等价性及性质。

11．闭区间上的连续函数的性质及其应用。

12．初等函数的连续性及对中学数学教学的指导作用。13．实数的构造理论。

14．闭区间套定理的证明、推广及应用。15．有限覆盖定理的证明、推广及应用。16．实数的连续性定理的等价性。17．上、下确界的性质及应用。18．对各种导数的研究。

19．微分在近似计算中的应用。20．（高阶导数）莱布尼兹公式的应用及推广。21．拉格朗日中值定理的证明及应用。22．柯西中值定理的证明及应用。23．泰勒公式的证明及应用。

24．中值定理“中间值”的渐进性。25．罗尔中值定理的证明及应用。26．泰勒公式在近似计算中的应用。27．利用导数证明不等式。28．凸函数的等价定义。

29．凸函数在不等式证明中的应用。30.函数的最值研究。（一元、多元）31．函数的极值研究。（一元、多元）32．常用的几个函数的图象及性质。（正态分布的密度函数、函数……）33．不定积分计算中的若干技巧。34．分部积分法中U、V的选取技巧。35．换元积分法中的换元技巧。

36．有理函数的不定积分计算中的若干技巧。37．三角函数的不定积分计算中的若干技巧。38．黎曼积分的定义。39．可积准则的等价性。

40．积分变限函数的若干应用。41．积分等式证明的若干技巧。42．积分不等式证明的若干技巧。43．平面图形的面积的计算方法。44．积分中值定理的证明及推广。45．积分中值定理中间值的渐进性。46．（不同旋转轴的）旋转体体积的计算方法。47．微积分在物理学中的应用。48．微积分在经济学中的应用。49．正项级数判别法综述。50．绝对收敛级数的若干性质。51．一致收敛性质及其判别法。52．和函数的分析性质及其应用。53．将函数展开为幂级数的若干方法。54．幂级数的应用。

55．Fourier级数收敛定理的证明及应用。56．闭区间套定理的推广及其应用。

57．二元函数的极限、连续、偏导数、可微性之间的关系。58．方向导数的性质及其应用。59．多元函数极值的充要条件。60．Lagrange乘数法及应用。61．最小二乘法及应用。62．隐函数的存在性。

63．广义积分的收敛判别法。64．函数的性质及其应用。65．B函数的性质及其应用。

66．含参变量有限积分的性质及应用。67．含参变量无穷积分的性质及应用。68．二重积分的计算方法。69．三重积分的计算方法。70．重积分在几何中的应用。71．重积分在物理学中的应用。72．分片函数的重积分的计算方法。73．分片函数的可微性及其应用。74．第一型曲线积分的性质及其应用。75．格林公式及其应用。76．奥高公式及其应用。

77．奇偶对称性在重积分中的应用。78．奇偶对称性在曲线积分中的应用。79．代换技巧在曲线积分中的应用。80．第二型曲线（面）积分的计算方法。81．斯托克斯公式及其应用。

第四篇：数学分析课程教学大纲1

数学分析课程教学大纲

课程名称：数学分析/ Mathematical Analysis

学时/学分：264学时/18学分（其中课内学时264学时，实验上机0学时）先修课程：初等数学

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

数学分析是数学与应用数学专业一门重要的基础课。学好本课程为进一步学习微分方程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程必将打下坚实的基础。通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力。本课程以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括极限论、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分。理论学时共264学时，分三学期完成：《数学分析I*》88学时；《数学分析II*》88学时；《数学分析III*》88学时。

其任务是：通过本课程的学习，使学生达到：

1、对极限思想和极限方法有深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。

2、掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算（如求极限、导数、微分和积分等），并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。

3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。

二、《数学分析I*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88）

（一）函数 6学时

1、熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。

2、会求函数的定义域。

3、了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。

4、熟悉基本初等函数，初等函数。

重点：函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。难点：反函数、复合函数的概念。

（二）极限 28学时

1、掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要有所了解。

2、会用“ε-N”，“ε-δ”，“ε-A”方法处理极限问题。

3、对下述性质与定理，如唯一性、有界性、保号性、柯西收敛定理和海涅定理等，能准确地叙述并会证明。

4、会运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地求极限。

5、理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。重点：极限的相关概念及其相关理论。

难点：极限的概念，柯西收敛定理和海涅定理。

（三）连续函数 8学时

1、理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。理解保号性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。

2、会准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理；一致连续定理（一致连续性定理的证明可不作要求），并进行相关证明。

3、了解初等函数的连续性。

重点：函数连续的概念及其相关性质。

难点：一点处连续、左右连续的概念和性质。

（四）实数的连续性 9学时

1、准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理

区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛准则，有限覆盖定理。

2、会用上述定理处理某些证明问题。

重点：用实数的连续性的几个定理处理有关证明问题。难点：实数的连续性几个定理的证明及其等价性。

（五）导数与微分 14学时

1、掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。

2、能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表，隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。

3、会求一些函数的高阶导数。

4、理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变法，会用微分进行近似计算。

重点：导数（包括单侧导数与导函数）微分的概念，导数微分的计算。难点：导数（包括单侧导数函数）微分的概念

（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用 23学时

1、能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

2、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

3、会求一些简单函数的泰勒展开式。

4、能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。

0“"型与”"型(型不证),其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。0

5、函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函数的单调性证明不等式。

6、理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大（小）值。

7、理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用导数较正确地作出函数的图像。

重点：中值定理的相关应用。难点：中值定理的证明。

三、《数学分析II*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88）

（一）不定积分 18学时

1、掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。

2、熟练掌握换元积分法与分部积分法。

3、掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。

4、掌握简单无理函数的积分。重点：不定积分计算

难点：原函数与不定积分的概念，无理函数的积分。

（二）定积分 18学时

1、掌握定积分概念。

2、可积的必要条件。理解大和与小和及其性质，可积的充要条件。

3、理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）。

4、定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。

5、理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。

6、能熟练应用牛顿——莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。

7、了解定积分的近似计算方法。

重点：可积理论，定积分的性质与计算。难点：大小和的性质，可积准则。

（三）定积分的应用 10学时

1、会用微元法解决几何、物理中的一些问题。

2、掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧长与曲率。

3、定积分在物理上的应用：会求压力、功、静力矩、重心。重点：几何与物理上的应用。难点：微元法思想。

（四）级数 42学时

1、数项级数

（1）掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。（2）掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。（3）熟练掌握正项级数的敛散性判别法。

（4）掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。（5）了解级数的重排性质（黎曼定理不证明）。重点：级数收敛的性质，正项级数收敛判别法。

难点：级数收敛的定义，绝对收敛及条件收敛等概念及其判别。

2、数项级数

（1）理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。

（2）熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。

（3）理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。会用性质处理一些相关问题。

重点：函数项级数一致收敛的性质、和函数的分析性质。难点：函数项级数一致收敛的概念。

3、幂级数

（1）理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。

（2）掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。

（3）熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。（4）能用幂级数做某些近似计算。

重点：幂级数收敛的性质，和函数的性质和计算。难点：和函数的计算。

4、傅里叶哀级数

（1）掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。（2）能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。（3）能将一些函数展成傅里叶级数。

重点：傅里叶级数收敛定理及函数的傅里叶级数的展开。难点：傅里叶级数收敛定理的证明（可不做要求）。

四、《数学分析III*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88学时）

（一）多元函数及其连续性 10学时

1、掌握平面点集的有关概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。

2、了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。重点：多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，多元函数的性质 难点：平面点集的概念，多元函数极限的概念。

（二）多元函数微分学 14学时

1、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。

2、掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。

3、会求函数的偏导数、全微分、方向导数。

4、了解多元函数的泰勒公式。

5、理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和某些函数的最大（小）值。

重点：偏导数、全微分的概念和计算，极值和最值的判别和计算。难点：全微分的概念，泰勒公式。

（三）隐函数 14学时

1、了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。

2、能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。

3、理解条件极值的概念及Lagrange's乘数法。会求多元函数的条件极值。

4、会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。重点：隐函数的概念和存在定理的应用。难点：隐函数存在定理的证明。

（四）反常积分与含有参变量的积分 14学时

1、掌握反常积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

2、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

3、理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解Г-函数、-函数的性质。

4、能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。

重点：反常积分与含参积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的性质与判别.难点：含参积分的分析性质的证明。

（五）重积分 18学时

1、理解二重积分与三重积分的概念。

2、理解二重积分与三重积分的性质。

3、掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。

4、会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。重点：二重积分与三重积分的计算。难点：二重积分与三重积分换元积分法。

（六）曲线积分与曲面积分 18学时

1、理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。

2、理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥——高公式,了解斯托克斯公式。

3、了解场论初步。

重点：第一、第二曲线积分与曲面积分的计算，格林公式与高斯公式。难点：第一、第二曲线积分与曲面积分的概念，斯托克斯公式。

五、推荐教材和主要参考书：

1、推荐教材：

(1)刘玉琏 等编著，《数学分析讲义》（上、下册）北京：高等教育出版，第四版，2003。

2、推荐参考书：(1)谢惠民等，《数学分析讲义》（上、下册），北京： 高等教育出版。(2)陈纪修等著，《数学分析》（上、下册，北京： 高等教育出版。(3)华东师范大学数学系 著，《数学分析 》（上、下册），北京：高等教育出版。(4)裴礼文 著，《数学分析典型问题与方法》，北京：高等教育出版社出版。

大纲制订者：刘学飞

大纲审定者： 组合数学课程教学大纲

课程名称：组合数学/ Combinatory Mathematics 学时/学分： 48学时/3学分(上机实验0学时）

先修课程：数学分析/高等数学、高等代数/线性代数、离散数学、运筹学。适用专业：数学与应用数学模块2/数学与应用数学模块1 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

《组合数学》是数学与应用数学专业的一门选修基础课程本课程的任务是介绍组合分析的基础知识、基本原理和基本方法。目的与任务是为学习算法分析奠定基础。

二、课程内容、基本要求与学时分配

（一）排列与组合 9学时 理解加法原理与乘法原理的基本含义。2 理解排列与组合的定义。掌握排列的生成算法和邻位互换算法。4 理解组合的生成。能求解允许重复的组合问题。6 能给出常用等式的组合意义。7 掌握排列与组合的应用实例。8 理解Stirling近似公式。

重点：排列的生成算法和邻位互换算法。难点：Stirling近似公式及其应用。

（二）母函数与递推关系

13学时 掌握母函数的概念和它的基本性质及其应用。2 掌握递推关系及其应用。3 掌握常系数递推关系的求解。了解整数拆分及相关性质和Ferrers图象。5 理解指数型母函数。掌握母函数与递推关系的应用实例。掌握错排问题、Stirling数、Catalan数的组合意义及相关结论。重点：母函数的概念及其基本性质与其应用。

难点：错排问题、Catalan数的组合意义及相关结论。

（三）容斥原理与鸽巢原理

12学时 掌握容斥原理及其应用。2 会解错排问题。会熟练地解决有限制排列。4 了解Mobius反演。掌握鸽巢原理及其应用。会解决简单的Ramsey问题并记住常见的Ramsey数。重点：容斥原理、鸽巢原理及其应用。难点：Ramsey问题。

（四）Polya定理

7学时 1 了解群的有关概念。2 了解置换群的概念。掌握循环群的基本性质。了解Burnside引理的条件与结论。理解Polya定理的基本内容，掌握Polya定理的应用。6 了解母函数的Polya定理。7 掌握图的计数方法。

重点：置换群、循环群的基本性质。难点：Polya定理及其应用。

（五）区组设计与编码

7学时 了解拉丁方的概念。2 了解域的有关概念。掌握Galois域GF(pn)上的多项式的运算。4 了解正交拉丁方。掌握均衡不完全的区组设计（BIBD）的基本原理。6 了解GF(p)域上的射影空间的有关概念。理解Hadamard矩阵，掌握Hadamard矩阵的构成。8 了解编码理论的基本概念。了解线性码和Hamming码、陪集译码法、BIBD和编码。重点：均衡不完全的区组设计（BIBD）的基本原理。难点：陪集译码法、BIBD和编码。

三、推荐教材和主要参考书 推荐教材：

（1）卢开澄，组合数学,北京：清华大学出版社,1999。2 主要参考书：

（1）L.Comet.谭明术等译，高等组合学，大连：大连理工大学出版社，1991。（2）柯召等，组合论，北京：科学出版社，1981。（3）柳柏濂，组合矩阵论，北京：科学出版社，1996。注：对模块1/2的课时分别用/分开。

大纲制订者：刘学飞 大纲审定者：

泛函分析课程教学大纲

课程名称：泛函分析/ Functional Analysis 学时/学分：64学时/4学分（其中课内学时64学时，实验上机0学时）先修课程：数学分析，高等代数，复变函数，实变函数 适用专业：数学与应用数学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的任务与性质

泛函分析是数学与应用数学本科专业的一门重要的专业必修课程，是数学分析，高等代数，复变函数，实变函数的后续课程，是了解近代数学的一个窗口。它对加强学生的数学修养具有十分重要的意义。其任务是使学生学会和养成使用抽象的分析方法，为学习现代数学打下良好的基础。

二、课程内容、基本要求与学时分配

1、了解集合的对等与基数的概念。

2、理解可数集合及其基本性质。

3、知道不可数集合的存在性以及证明方法。

4、了解一维空间中内点、聚点、界点的概念。

5、理解开集、闭集、完备集的概念以及直线上开集、闭集的构造方法。

6、理解外测度的定义。

7、了解可测集的概念及其基本性质和知道不可测集的存在。

8、了解可测集类。

9、了解可测函数的基本性质。

10、解叶果洛夫定理。

11.、理解可测函数的构造。

12.、知道依测度收敛的概念及其有关的定理。

13、了解勒贝格积分的定义，理解勒贝格积分的性质。

14、熟悉积分的极限定理。

15、理解有界变差函数及其性质。

16、理解不定积分的概念和有关性质、了解斯蒂阶积分。重点：测度与勒贝格积分。

难点：可数与不可数集的概念和性质。

1、理解度量空间中的极限，稠密集以及可分空间的概念。

2、理解连续映照以及相关定理，特别是压缩映射原理。

3、理解柯西列的概念和懂得一般度量空间完备化方法。

4、掌握线性赋范空间及巴拿赫空间的基本性质。

重点：连续算子、线性赋范空间及巴拿赫空间的基本性质。难点：度量空间的完备化。

（一）预备知识

24学时

（二）度量空间和线性賦范空间

10学时

（三）线性有界算子和线性连续泛函

8学时

1、理解线性有界算子和线性连续泛函。

2、了解线性算子空间和共轭空间，知道广义函数大意。重点：线性有界算子和线性连续泛函

难点：现行线性算子空间和共轭空间

（四）内积空间和希尔伯特空间

10学时

1、理解投影定理。

2、了解希尔伯特空间中的规范正交系概念。

3、掌握希尔伯特空间上的连续线性泛函。

4、了解自伴算子、算子和正常算子。

重点：希尔伯特空间上的连续线性泛函的表示理论。难点：规范正交系及其性质。

1、理解泛函延拓定理和了解C[a,b]的共轭空间。

2、理解共轭算子。

3、熟悉纲定理和一致有界性定理

4、知道强收敛、弱收敛和一致收敛的概念。重点：泛函延拓定理、一致有界性定理。难点：共轭算子。

（五）巴拿赫空间中的基本定理

8学时

（六）线性算子的谱

4学时

1、了解谱的概念

2、理解有界线性算子谱的基本性质

3、了解紧集和全连续算子和自伴全连续算子的谱论。重点：有界线性算子谱的基本性质。难点：谱的概念与性质。

三、使用教材和主要参考书

1、推荐教材：

（1）程其襄等编著，实变函数与泛函分析基础，北京：高等教育出版社。

2、推荐参考书：

（1）薛昌兴，实变函数与泛函分析基础，北京：高教出版社。

（2）夏道行等著，实变函数与泛函分析基础，北京：高教出版社（第二版）。（3）周民强 著，实变函数论，北京大学出版社。

（4）郑维行、王声望 著，实变函数与泛函分析概要（第一、二册），高教出版社。

大纲制订者：刘学飞 大纲审定者：

运筹与优化课程教学大纲

课程名称：运筹与优化/ Operations and Optimization

学时/学分：48学时/3学分（其中课内学时48学时，实验上机0学时）

先修课程：高等代数或线性代数，概率论与数理统计，数值计算方法，算法语言等 适用专业：数学与应用数学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质、目的与任务

本课程是数学与应用数学专业基础课程之一。其任务是使学生从理论和实践上掌握数学优化的基本原理和基本方法，培养学生对典型的数学优化模型及基本算法的理解与应用能力。

二、课程内容、基本要求与学时分配

（一）绪论

了解运筹与优化这门科学的产生、发展、现状、应用及相关知识;介绍开设本课程的背景意义、注意之处、与其它课程的相互联系、教学安排、学习方法、相关参考书;介绍本课程的主要内容；介绍相关软件；对学生提出要求等。

（二）线性规划（LP）

4学时

1.理解LP建模及实际背景。

2.掌握LP(二维)的图解法、LP的标准型、LP解的相关基本概念（可行解、可行域、基、基可行解、可行基）。了解LP问题解的几种情况。

3.了解LP的几何意义（可选择其中的结论证明），掌握可行域顶点与基可行解的重要对应关系。

重点：LP(二维)的图解法，LP解的相关基本概念。难点：可行域顶点与基可行解的重要对应关系。

（三）LP的单纯形法 6学时

1．了解单纯形法原理及运算过程中的基本概念。2．熟练掌握单纯形法计算方法（特别是表上运算）。

3．掌握LP问题的大M法、两阶段法，了解LP问题的退化情况。重点：单纯形法计算方法。难点: 大M法、两阶段法。

（四）LP问题的应用举例 2学时

列举几个典型的LP问题数学模型，培养学生建立LP模型的基本能力。重点：数学建模思想。难点：建模方法。

（五）对偶理论 4学时

1．了解单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法。

2．了解LP对偶问题提出的背景，会写出一个LP问题的对偶问题。3．掌握对偶理论的基本性质（特别是互补松驰条件的应用）。4．了解对偶单纯形法及灵敏度分析。重点：对偶问题的性质。难点：互补松驰性。

（六）运输问题

4学时 掌握产销平衡的运输问题的数学模型及表上运算方法，了解产销不平衡情形。重点：产销平衡的运输问题。难点：产销不平衡问题。

（七）整数规划 4学时

1．掌握整数规划的常用两种算法之一（分支定界法与割平面法）。2．掌握0-1规划的隐枚举法。掌握指派问题的解法。重点：整数规划的分支定界法、指派问题。难点: 整数规划的割平面法。

（八）非线性规划

8学时

1．了解非线性规划问题提出的意义及一般数学模型与相关概念。

2．掌握多元无约束极值问题的2-3个常用算法（如最速下降法、共轭梯度法、变尺度法、牛顿法等），了解这些算法各自的优缺点。

3．了解约束条件下的极值问题有关基本概念及算法。重点：无约束极值问题的几种算法。难点：变尺度法。

（九）动态规划初步 4学时

1.了解动态规划的基本原理（多阶段决策的动态规划方法）。2.通过举例（典型问题）要求学生掌握应用本原理的基本方法。重点：动态规划的基本原理。难点：动态规划方法求解方法。

（十）网络优化 4学时

1．掌握最小生成树、最短路、网络最大流算法。了解最小费用最大流问题的算法。了解一些著名网络优化问题。

2．会求关键路线（CPM）。了解GERT（图解评审法）。重点：最短路、网络最大流算法。难点：最小费用最大流问题算法。

（十一）排队论 6学时

1．了解排队系统模型及基本概念。

2．了解顾客到达时间和服务时间的分布。

3．掌握几个常用排队模型（M/M/

1、M/M/1/N/、M/M/1/ /m）中相关参数的计算。重点是M/M/1模型。

4．了解多服务台排队模型。重点：重点是M/M/1模型。难点：模型的有关指标。

（十二）机动与总复习 2学时

三、推荐教材和主要参考书

1．推荐教材：

（1）运筹学教材编写组, 运筹学，北京：清华大学出版社，1998。2．主要参考书：

（1）张莹，运筹学基础，北京：清华大学出版社，1995。

（2）罗荣桂，新编运筹学题解，武汉：华中科技大学出版社，2002。

（3）胡运权，运筹学基础及应用，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1988。

（4）M S Bazarra , J Jarvis.Linear programming and network flows.New York: John Wiley & Sons , Inc.，1977。

（5）S Bradley，应用数学规划，瞿立林等译，北京：机械工业出版社，1986。（6）胡运权，运筹学习题集，北京：清华大学出版社，1995。

大纲制订者：刘学飞

大纲审定者：

第五篇：数学分析

《数学分析》考试大纲

一、本大纲适用于报考苏州科技学院基础数学专业的硕士研究生入学考试。主要考核数学分析课程的基本概念、基本理论、基本方法。

二、考试内容与要求

(一)实数集与函数

1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;

2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;

3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。

(二)数列极限

1、极限概念；

2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；

3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.(三)函数极限

1、函数极限的概念，单侧极限的概念；

2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；

3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；

4、两个重要极限；

5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-, -X语言处理极限问题；了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极

限来处理极限问题。

(四)函数连续

1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；

2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；

3、初等函数的连续性。

要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

（五）导数与微分

1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；

2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；

3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

4、高阶导数与高阶微分。

要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

（六）微分学基本定理

1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限

（七）导数的应用

1、函数的单调性与极值；

2、函数凹凸性与拐点.要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。

（八）实数完备性定理及应用

1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；

2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；

3、上、下极限。

要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，上、下极限的概念。

（九）不定积分

1、不定积分概念；

2、换元积分法与分部积分法；

3、几类可化为有理函数的积分；

要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。

（十）定积分

1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；

2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；

3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。

（十一）定积分的应用

1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；

2、定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力。

要求：重点掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）数项级数

1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

要求：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与p级数。

（十三）函数项级数

1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；

2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

要求：掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。

（十四）幂级数

1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

要求：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式

（十五）付里叶级数

1、付里叶级数：三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以２ 为周期函数的付里叶级数, 收敛定理；

2、以2L为周期的付里叶级数；

3、收敛定理的证明。

要求：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；掌握傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解收敛定理的证明。

（十六）多元函数极限与连续

1、平面点集与多元函数的概念；

2、二元函数的极限、累次极限；

3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。要求：理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区间套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。（十七）多元函数的微分学

1、可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；

2、多元复合函数微分法及求导公式；

3、方向导数与梯度；

4、泰勒定理与极值。

要求：理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值。

（十八）隐函数定理及其应用

1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；

2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；

3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

要求：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法。

（十九）重积分

1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；

2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；

3、含参变量的积分；

4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；

5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；

6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质；

7、欧拉积分：格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。

要求：了解含参变量定积分的概念与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念；理解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理，并掌握它们的应用；了解欧拉积分。

（二十）曲线积分与曲面积分

1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；

2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；

3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数；

4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；

6、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系；熟练掌握格林公式的证明及其应用，会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识。

三、主要参考书

《数学分析》（第三版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2004年。《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社，1993年。

四、主要题型：

填空题，选择题，计算题，解答题，证明题，应用题。