已知函数单调性求参数范围公开课教案（含5篇）

第一篇：已知函数单调性求参数范围公开课教案

已知函数单调性求参数范围

教学目标

1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题;2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法;3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用.教学重点

已知单调性,利用导数求参数范围.教学难点

不同问题的处理方法.教学过程

(一)知识梳理

函数y=f(x)的导数为yf'(x),对于区间(a,b).f'(a)01.若y=f(x)的单调区间为(a,b),则

f'(b)02.若y=f(x)在区间(a,b)上单调递增(递减),则f'(x)0(f'(x)0)在(a,b)上恒成立.(二)典例分析

例1 函数f(x)lnxa2x2ax(aR)的单调递减区间是(1,),求a的值.例2 函数f(x)lnxa2x2ax(aR)在(1,)上是减函数, 求a的取值范围.例3 函数f(x)lnxax22x(a0)在定义域内单调递增,求a的取值范围.例4 函数f(x)x3mx23m2x1在区间(2,3)上是减函数,求m的取值范围.例5已知aR,函数f(x)x3ax2(a21)x3在(,0)和(1,)上都是增函数, 求a的取值范围.1312

(三)课时小结

本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围.(四)备用练习

1.函数f(x)x3ax2a2x3(a0)在[-1,1]上没有极值点, 求a的值.ex(a0)在R上为单调函数, 求a的取值范围.2.函数f(x)21ax

3.函数g(x)x3(k1)x2(5k)x1在区间上有极值点，求参数k（0,3）的取值范围。

(五)作业布置

<<状元之路>>第48页 11,12

第二篇：含参函数单调性

含参数函数单调性 ●基础知识总结和逻辑关系

一、函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1)确定函数的f(x)的定义区间；

2)求f'(x)，令f'(x)0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

3)把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4)确定f'(x)在各个区间内的符号，由f'(x)的符号判定函数fx在每个相应小区间内的单调性.二、函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1)求导数f'(x)；

2)求方程f'(x)0的所有实数根；

3)检验f'(x)在方程f'(x)0的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则f(x)在这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值

1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；

2)将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四利用导数证明不等式

1）利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.2）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：

1）第一步：先求定义域，再求导； 2）第二步：准确求出导数身给定的参数范围】

流程①：最高次项系数如果含参数，分 “0；0；0” 三种情况依次讨论该系数。（不含参就直接略过）“0”时，求出参数的值，代回含参数的【注意题目本f(x)之后，按以下四个流程依次走：

f(x)，写出不f(x)的最简洁、直观的形式；“0”或“0”时，把最高次项系数外

f(x)0是否有根。如果方程f(x)0没有提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。流程②：接流程①，判断方程任何实根，说明f(x)0或f(x)0恒成立，f(x)恒定单增或单减，直接f(x)0有实根，全部求出来，写明“x1

”，写结论；如果方程“x2

”然后进入流程③。

流程③：判断由②得出的根是否在定义域内。（i）定义域内没有根，写出数

f(x)，肯定有f(x)0或f(x)0，说明函

（ii）定义域内有且只有一f(x)在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；

（iii）f(x)单调递增区间和单调递减区间；个根，对这个唯一的根进行列表，判断定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程④。流程④：在流程③中确定二次函数型

f(x)0在定义域内有两根x1,x2的情况下，讨论两根大小（“”，“”，“”）。然后列表，依据表格写出结论。

3）第三步：（3）写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同的时候，参数范围必须合并。

【题】讨论函数f(x)xe(k0)的单调区间。【难度】**

kxk2【题】讨论函数f(x)ln(1x)xx的单调区间。

2【难度】*** 【点评】求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域，（2）求出f(x)，令f(x)0，求出根，求出在定义域内所有的根，（3）把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来，把定义域分成若干个小区间，（4）确定f(x)在每个区间的正负号，求出相应的单调区间。

【题】判断函数f(x)x4xalnx的单调性。【难度】***

2a32x1的单调区间。【题】求函数f(x)xax42【难度】*** 【题】、求函数f(x)e(xax1)(x2,aR)的单调区间。

【难度】*** 【题】求函数f(x)【难度】*** 【题】讨论函数f(x)kx2xln(2x1)的单调性。

x212xalnx(aR)的单调区间。22

【难度】***

ekx【题】讨论函数f(x)的单调性。

x1【难度】** 【题】讨论函数f(x)【难度】*** 【题】求函数f(x)e(xax1)(x1,aR)的单调区间。【难度】** 【题】求函数f(x)e(xax1)(x3,aR)的单调区间。【难度】**

x2x22xa的单调性。2(x1)3利用导数研究含参变量函数的最值问题

利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：

通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。

【题】已知函数fxxkex

1求fx的单调区间；

2求fx在区间0,1上的最小值.,k1减k1,

k（2）①k1,fxmin【解析】：（1）

②k③1k2,fxmin(1k)e

2，fxmine2k1

【难度】** f(x)ax1(a0)，g(x)xbx2当a4b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间,1上的最大值.【题】已知函数【难度】*** 【题】已知函数

313f(x)x2x23x1，给定区间

3，（a0），试求f(x)在此区间上的最大值。[a,2a]【难度】***

alnx【题】已知a0，函数f(x)：

x（1）讨论f(x)的单调性；

（2）求f(x)在区间[a,2a]上的最值.【答案】：

elna2①0a时，f(x)f(2a)max22f(x)minf(a)lna

②ae时，f(mx)axf(a)，lan

f(x)min③

ln2a f(2a)2时，2aef(xm)axaf(e)，ef(x)minln2a f(2a)2af(e)e，e④a2时，f(xm)ax2f(x)minf(a)lna

【难度】*** 【点评】

1x【题】、已知函数f(x)ln(ax1),x0,a0

1x(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围.【答案】：a2时，f(x)在[0,)上单调递增 2a0a2时，f(x)在[0,)上单调递减

a2af(x)在(,)上单调递增

aa2

【难度】***

【题】已知函数：f(x)x(a1)lnx(aR),当x1,e时，求f(x)的最小值；

【答案】当1ae时，fxminaa1lna1 当ae时，fxminea1 【难度】***

aeaxf(x)3x1(a0),g(x)x9x，若f(x)g(x)上的最大值为28.求实数k的取值范围 【题】已知函数【难度】***

【题】已知函数

23fxaxxbx（其中常数a,bR），32gxfxfx为奇函数.(1)求fx的表达式；(2)讨论gx的单调性，并求gx在区间1,2上的最大值与最小值.【答案】

132fxxxgx在1,2上最大值为

3442，最小值 33【难度】***

1312【题】设f(x)xx2ax.32

2（1）若f(x)在(,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

316（2）当0a2时，f(x)在[1,4]上的最小值为，求

3f(x)在该区间上的最大值。1【答案】a的取值范围是(,)

910f(x)在该区间上的最大值为.3【难度】****

【题】已知函数(1)求函数f(x)lnxx2

f(x)的单调递增区间；

(2)求函数f(x)在(0,a],(a0)上的最大值.2(0,)

2【答案】当0a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最

22大值为lnaa;

2当a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最大值为2

1ln2

2【难度】*** f(x)1(1a)xx2x3，其中a0:

（1）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（2）x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值.【题】设函数【难度】*** f(x)xaxbxc(实数a,b,c为常

1数)的图像过原点，且在x1处的切线为直线y

2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若m0，求函数f(x)在区间[m,m]上的最大值.【题】已知函数【难度】***

32f(x)x2ax3a2lnx(1)讨论f(x)的单调性;【题】设函数(2)若a为正常数，求f(x)在区间(0,t](t0)上的最小值.【难度】***

第三篇：函数的单调性教案

函数的单调性

教学目标

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教 具： 多媒体课件、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境，导入课题

[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化？

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；

（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。

上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

二、给出定义，剖析概念

①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当图3）；

⑵若当图4）。<时，都有f（）>f（）,则f(x)在这个区间上是减函数（如<时，都有f（）

②单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

注意：

（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1 f(x2)y随x增大而减小。

几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。

（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

判断2：定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)> f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数。（×）

函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，不能用特殊值代替。

训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

三、范例讲解，运用概念

具有任意性，例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数出函数。的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的图象，根据图象说

是增函数还减

注意：

（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2 判断函数 f(x)=3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

证明：设任意的 由

于是

即

所以。

在R上是增函数。，得，且，则

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号

④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差

0，则为减函数）

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

例

3、证明函数

证明：设，且

在(0,+)上是减函数.，则

由

又由

于是

即。，得，得即

（*）。

所以，函数

问题1 ：

在区间

在上是单调减函数。

上是什么函数？(减函数)在定义域

上是减函数？（学生讨论

问题2 ：能否说函数得出）

四、课堂练习，知识巩固

课本59页 练习：第1、3、4题。

五、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：

证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

六、布置作业，教学延伸

课本60页习题2.3 ：第4、5、6题。

第四篇：函数的单调性(教案)

函数的单调性（教案）

一、教学目标

1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

二、重点、难点分析

1、重点：函数单调性的概念、判断及证明。

2、难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

三、教学过程

1、学生动手作图，引入课题：结合函数图像画法的相关知识，让学生实际动手操作，分别画出函数f(x)x,f(x)x,f(x)x2,f(x)x2的图像。如下：

图1 图2

图3 图4

2、借助图像，直观感知：引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。并让学生回答以下两个问题：

（1）以上4个函数图像中，随自变量x的变化，函数值f(x)发生了怎样的变化？

① 图1中，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小； ② 图2中，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大；

③ 图3中，对于y轴的左半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大。对于y轴的右半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小。

④ 图4中，对于y轴的左半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小。对于y轴的右半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大。

（2）如何用数学语言描述上述函数中，函数值f(x)随自变量x的变化情况？

① 对于函数f(x)x而言，x1,x2(,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

② 对于函数f(x)x而言，x1,x2(,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

③ 对于函数f(x)x2而言，x1,x2(,0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。而x1,x2(0,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

④ 对于函数f(x)x2而言，x1,x2(,0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。而x1,x2(0,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

3、归纳探索，形成概念：引导学生归纳总结出增函数和减函数的定义：

（1）增函数：I为函数f(x)的定义域，DI，若x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

（2）减函数：I为函数f(x)的定义域，DI，若x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

4、例题讲解，巩固定义；归纳总结，寻求一般证明步骤：讲解例题，引导学生归纳证明函数单调性的步骤（设元、求差、变形、断号，定论）。

k例题1：证明波意耳定律P,(k为正常数)为减函数。

Vk 证明：按题意，只要证明函数P在区间(0,)上是减函数即可。

V V1,V2(0,)，当V1V2时，有：

设元

P(V1)P(V2)kk

求差 V1V2V2V

1变形 VV1 k

又V1,V2(0,)，V1V2

VV120,V1V20，同时，k0，断号

P(V1)P(V2)0

即，P(V1)P(V2).所以，函数Pk在区间(0,)上是减函数。定论 V3

5、通过例题，强调关键点：提出课文中容易误解和忽略指出，予以提醒。

1（1）例题2：“已知f(x)，因为f(1)f(2)，所以函数f(x)是增函数。”

x这种说法对吗？

解析：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

2（2）例题3：能否直接观察函数f(x)x,(x0)的图像（如下），说出这

x个函数分别在哪个区间为增函数和减函数？

图5

解析：学生难以确定分界点的确切位置。从而，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。

（3）例题4：如何从解析式的角度说明f(x)x2在[0,)为增函数？

222法一： 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12,所以f(x)x[0,)为增函数。

法二：仿法一，取很多组验证均满足，所以f(x)x2在[0,)为增函数。法三：任取x1,x2[0,)且x1x2，因为x12x22(x1x2)(x1x2)0,即x12x22，所以f(x)x2在[0,)为增函数。

解析：自变量不可能被穷举，证明函数的单调性时，要在给定的区间内任意取两个自变量。

（4）例题5：“若函数f(x)满足f(2)f(3)，则函数在区间[2,3]上为增函数。”这种说法对吗？

解析：对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)。

（5）例题6：“若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数。”与“因为函数f(x)减函数，所以f(x)1在区间(,0]和(0,)上都是x1在(,0]和(0,)上是减函数”这两种种说法对吗？ x解析：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在Ab上是增（或减）函数。

四、作业布置

教材p39 A组：第2题、第5题、第6题； B组：第1题、第3题。

第五篇：优秀教案 函数单调性教案

1.3.1 函数的单调性

教学目标：

1、理解函数单调性的定义，会判断和证明简单函数的单调性。

2、培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力，体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。教学重点：

形成增、减函数的形式化定义。教学难点：

形成增、减函数概念的过程中如何从图像的直观认识过渡函数增、减的数学符号；用定义证明函数的单调性。

一、复习旧知识

区间的有关知识及其表示方法。

二、讲授新课

1、观察下面各个函数的图像，并说出函数图像的特点。

yyy

1-1 x-1O1x OxO

22、研究一次函数f(x)2x1和二次函数f(x)x的单调性。

y2 f(x)xyY=2x+

1o xOx

不同的函数，图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间的变化趋势也不同，通过描述这两个函数图像的性质，引出本节课题——函数的单调性。

3、深入研究二次函数f(x)x的图像，从特殊到一般引出增、减函数的定义。

2yf(x)x2Ox

(,0]上f(x)随x的增大而减小，[0,)上f(x)随x的增大而增大

增函数：x1,x2D,当x1x2时，有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在D上是增函数。减函数：x1,x2D,当x1x2时，有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在D上是减函数。

区间D叫做yf(x)的单调区间。

三、例题演练

例1 下图是定义在-6,9上的函数yf(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数。

例2 证明函数f(x)2x1在R上的单调性。

四、随堂练习

证明：

（1）函数f(x)3x2在R上是单调减函数。（2）函数f(x)x1在(0,)上是增函数。

五、课堂小结

1、增、减函数的的形式化定义是什么？

2、如何用定义证明函数的单调性？

六、作业布置

A：证明：函数f(x)121在(,0)上的单调性。xB：探究一次函数的ymxb(xR)的单调性，并证明你的结论。