合情推理-归纳推理(第1课时)教案1

第一篇：合情推理-归纳推理(第1课时)教案1

2.1.1归纳推理

泾川一中 权贵荣

【教学目标】

知识与技能目标：1：理解归纳推理的思想与步骤；

2：能够利用归纳进行简单的推理应用；

过程与方法目标：让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生的积极参与，亲身经历归纳推理定义的获得过程，培养学生归纳推理的思想；

情感态度与价值观目标：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识，了解数学文化的积极态度；

【教学重点与难点】

重点：归纳推理的概念及应用； 难点：归纳推理的应用； 【教学过程】

一：创设情景，引入概念

今天我们要学习第二章：推理与证明。

在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如: 医生诊断病人的病症;警察侦破案件;气象专家预测天气的可能状态;考古学家推断遗址的年代;数学家论证命题的真伪等等;在数学中，证明的过程更离不开推理。

那么什么是推理呢？

从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的思维过程就是推理。数学中几个非常著名的猜想就是由归纳推理催生的，例如

哥德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、哥尼斯堡七桥猜想等等。我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过哥德巴赫猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）

据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。他有意把上面的式子改写成：10=3+7，20=3+17，30=13+17 其中反映出这样一个规律：偶数=奇质数+奇质数

于是，哥德巴赫产生了一个想法：10,20,30,都是偶数，那么其他的偶数是否也有类似的规律呢？

显然第一个等于两个奇质数之和的数是6，即6=3+3 再看看超过6的偶数：8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11… 1000=29+971,1002=139+863… 根据上述过程，哥德巴赫大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

这就是哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想的过程就是一个归纳推理的过程。他根据上述部分等式的基本特征，（即等式左边的数都是不小于6的偶数，右边是两个奇质数之和），就猜想出：任何不小于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

或者说，由这些个别等式的共同特征，就得出一个一般性的猜想。那么现在大家能不能用一般性的语言来描述归纳推理的定义？

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，称为归纳推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

归纳推理的思想我们在日常生活中也经常用到。大家能不能结合自己生活的实际，举出几个例子说明归纳推理的运用。（学生思考，讨论，给出例子）。

二：讲解例题，巩固概念

应用归纳推理可以发现新事实、获得新结论。例1：已知数列an的第一项a11，且an1an，试归纳出(n1,2,3...)1an这个数列的通项公式。

例2：设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数.当n ≥3 时, f(n)=.(用n表示)

x2例3:已知函数f(x)1x211(1)求f(2)与f(),f(3)与f()；231(2)猜想f(x)与f()有什么关系？并证明你的猜想；x(3)求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)++f(2013)+f(2014)+f(2015)+111111f()+f()+f()++f()+f()+f();***

在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个猜想。但猜想未必可靠，例如： 法国数学家费马观察到215,2117,21257,2165537

21(nN)都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如：

2n12223242 的数都是质数——这就是著名的费马猜想。半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数

F21429496729764167004175

不是质数，从而推翻了费马的猜想。

三：课堂练习，加深理解

1、已知a11,an11(an1)(n2)，试猜想出这个数列的通项公式。2an

12、观察下面的图形,请指出每个图形分别有几个球？按照这个规律，猜想第5

个图形的形状应该是怎么样的？它应该由多少个球构成？第n个图形有几个球？

3、观察下列等式： 1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…

你能猜想到一个怎样的结论？

四：小结、布置作业：

在进行归纳推理时，一般步骤是：首先是对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，；最后，检验这个猜想。

1、课本P83，A组1，2题，B组1题。

2、课后自己了解四色猜想、七桥猜想。

分析哥德巴赫猜想的提出过程，我们能得到什么启示？

1、“猜想”有一定的偶然性；

2、数学研究中，有时对研究对象进行一些形式上的改变有利于发现规律；

3、在猜想提出的过程中，特例的验证是必须的；

4、由于特例的属性可能有许多，所以，特例也要尽量选的具有一般性；

5、猜想是从具体实例中概括出来的，因此对每一个具体事例的不同方面的特征进行细致分析很重要，这样才有利于概括出不同事例的共同特征，进而做出猜想；

练习：已知a11,an11(an1)(n2)，试猜想出这个数列的通项公式。2an1

在进行归纳推理时，一般步骤是：首先是对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，；最后，检验这个猜想。

1.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动1个金属片；

(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；

试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？3

2.观察下面的图形,请指出每个图形分别有几个球？按照这个规律，猜想第5个图形的形状应该是怎么样的？它应该由多少个球构成？第n个图形有几个球？

四：小结、布置作业：归纳推理的关键是找出某类事物的部分对象的共同特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征。

1：课本P83，A组1，2题，B组1题。

2：查阅相关资料，了解课本上提到的“四色猜想”，“费马猜想”等。

大家先看下面一个例子

佛教《百喻经》中有这样一则故事。从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:“要甜的,好吃的,你才买.”仆人拿好钱就去了.到了果园,园主说:“我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看.”仆人说:“我尝一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠.”仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.回答下面三个问题：

1：如果你是这个仆人，你会怎么做？ ○ ○2：说说你这么做的理由，3：那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？ ○

第二篇：合情推理-归纳推理(第1课时)教案1

归纳猜想

广州市86中学 张科

【教学目标】

知识与技能目标：1：理解归纳推理的思想；

2：能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。3：能够归纳、猜想出某些数列的通项公式。

过程与方法目标：让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生的积极参与，亲身经历归纳推理定义的获得过程，培养学生归纳推理的思想。

情感态度与价值观目标：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识，了解数学文化的积极态度。

【教学重点与难点】

重点：归纳推理的概念及应用。难点：归纳推理的应用。【教学方法】 启发、探索 【教学手段】

运用多媒体辅助教学 【教学过程】

一：创设情景，引入概念

师：今天我们要学习第二章：推理与证明。那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？

生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？

生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！

（引出推理的概念）。师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）

师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。大家看这3个等式都是什么运算？

生：加法运算。

师：对。我们看来这些式子都是简单的加法运算。但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？

生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？ 生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？ 生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？ 生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？

（学生观察，有人看出这些数还都是质数。）

师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？ 生：不行！

师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？

生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

师：这就是哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想的过程就是一个归纳推理的过程。他根据上述部分等式的基本特征，（什么特征呢？即等式左边的数都是大于6的偶数，右边是两个奇质数之和），就猜想出：任何大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。或者说，由这些个别等式的特征，就得出一个一般性的猜想。那么现在大家能不能用一般性的语言来描述归纳推理的定义？（学生得出归纳推理的概念）。

师：归纳推理的思想我们在日常生活中也经常用到。大家能不能结合自己生活的实际，举出几个例子说明归纳推理的运用。（学生思考，讨论，给出例子）。

二：讲解例题，巩固概念

师：应用归纳推理可以发现新事实、获得新结论。我们来看一个数学中的例子。

例题1：观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，你能猜想到一个怎样的结论？ 练习：观察下列等式：

1=1

1+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，你能猜想到一个怎样的结论？ 例题2：已知数列an的第一项a11，且an1an(n1,2,3...)，试归纳1an出这个数列的通项公式。

练习：已知an(n25n5)2，求a1,a2,a3,a4的值？根据a1,a2,a3,a4的值，你能够猜想出an的值吗？你能得到什么结论？

三：问题探究，加深理解

观察下面的图形,请指出每个图形分别有几个球？按照这个规律，猜想第5个图形的形状应该是怎么样的？它应该由多少个球构成？第n个图形有几个球？

四：布置作业，巩固提高。

1：课本P44，A组1，2题，B组1题。

2：查阅相关资料，了解课本上提到的“四色猜想”，“费马猜想”等。

第三篇：选修1-2合情推理第1课时

第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

（一）〖课前准备〗

【课型】新授课【课时】1教时

【课标要求】

1.知识与能力

了解合情推理的含义，掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题．

2.过程与方法

通过参与课堂活动,经历归纳推理概念的获得过程,了解归纳推理的含义．通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用合情推理去猜测和发现一些结论，探索和提供解决一些问题的思路和方法．通过具体解题，进一步感受归纳推理的优缺点及其使用方法．

3.情感态度与价值观

学生乐于主动探究，积极思考，欣赏合情推理的价值，认识到“大胆猜想，小心求证”的重要性。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感．

【重点.难点】

重点：归纳推理及方法的总结．

难点：归纳推理的含义及其具体应用．

【教学用具】多媒体.〖教学过程〗

一、数学知识引入：

【提问】从古到今数学中有各式各样的猜想，同学们听说过哪些？下面我们来介绍几个猜想：

【数学猜想介绍】

1.哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, „„, 50=13+37, „„, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”

.02.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对F02213，F12215，F222117，F3221257，F422165537的观察，发现其结果都是123

4素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn221的数都是素数.后来瑞士数学家欧

拉，发现F522142949672976416700417不是素数，推翻费马猜想

.5n

3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里,来到一家科研单位搞地图着色工作，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡七桥猜想：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）．有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.【思考】猜想是怎么提出来的呢？

【讨论】略．

【总结】比如哥德巴赫提出猜想的推理过程：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出哥德巴赫猜想，整个猜想的过程就是归纳推理的过程．

二、新课讲授

【概念】归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

【解释】归纳推理的特点：

⑴归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

⑵归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的． ⑶人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．

⑷归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．

【练习】

①由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，……，能归纳出什么结论？

③由三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……，能归纳出什么结论？

【解答】

①一切金属都能导电．

②三角形内角和是180度．

③凸n 边形的内角和是（n—2）×1800．

【问题】统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属于归纳推理？归纳推理的结果是否正确？归纳推理有何作用？

【讨论】略.【回答】统计学中，用样本估计总体属于归纳推理．归纳推理的结果不一定正确，比如费马猜想，就是经过半世纪之后欧拉才推翻了的．应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段.下面咱们看看数学中的例子．

【例１】观察等式：112,13422,135932,13571642,135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？

【分析】第一，所谓“规律”，是指“项数”与它们的“和”之间的关系，因此要努力把“和”与“项数”联系起来；第二，数学符号语言、图形语言、日常语言等相互转换，容易发现规律。

【解】将上述事实分别叙述如下：１等于１的平方；前２个正奇数的和等于２的平方；前３个正奇数的和等于３的平方；前４个正奇数的和等于４的平方；前５个正奇数的和等于５的平方；„„，*2由此猜想：前n(n∈N)个连续正奇数的和等于n的平方，即1+3+5+„+(2n-1)=n.【总结】归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．

【例2】已知数列an的第1项a12，且an1an(n1,2,)，试归纳出这个数列的通项公式.1an

【分析】数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系．为此，我们先根

据已知的递推公式，算出数列的前几项．

【解】当n=1时，a11;

当 n =2时，a211； 11

2当n =3时，a1；

31312

当n=4时，a1．

4141

3观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an

【补例】数列an中，a12,a21,a31． n21,a4，求an? 32

【分析】当有整数和分数时，往往将整数化为分数；当分子分母都在变化时，往往统一分子(或分母)，再寻找另一部分的变化规律． 22222【解】因为a1,a2,a3,a4，所以猜想：an． n123

4〖课时小结〗

【课后小结】

⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．

⑵归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．

【板书设计】

略

【课后作业】

课本P35习题2.1 Ａ组第１,2,4,5题；Ｂ组第1,3题．

第四篇：《数学广角──推理》教材分析(第1课时)

本套教材从一年级开始就渗透和应用推理的数学思想，如一年级下册的找规律，本单元把推理的数学思想通过学生日常生活中最简单的事例以及游戏呈现出来，并运用观察、猜测等直观手段解决这些问题，使学生初步了解推理的数学思想，感受数学思想的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识。

修订教材删去了实验教材二年级上册第八单元例2的教学，保留了例3的教学，使得例题的教学目标更清晰，层次更清楚，方便教师教学。新增例2，让学生通过观察、分析、尝试调整活动，利用推理去解决一些简单的游戏中的数学问题，从而经历稍复杂的推理过程，学会按一定方法进行推理，进一步体验推理的作用。

例1以猜书的游戏活动，让学生体验推理的过程，理解推理的含义，即根据已知条件推出结论。同时初步获得一些简单推理的经验。题目中包含了3个条件，即3本书每人各拿一本书、小红拿的是语文书，小丽拿的不是数学书。学生在理解题意的基础上需要梳理信息之间的关系，即左侧学生所列摘录的内容，其解决问题的关键在于由小红拿的是语文书的条件将问题转化为最简单的推理问题小丽和小刚拿数学书和品德书，小丽拿的不是数学书。对于推理时采用的辅助方法，教材呈现了摘录信息再连线的方法和综合排除法，其中右侧学生的方法又体现了一定的开放性，可以肯定后面可以补充为小丽拿的是语文书或品德与生活书，也可以是小刚拿的是数学书。此外，这里也可以采用列表的方法辅助推理，提示学生将题目中的信息分成两类，一类是人名，一类是书名，将相对应的人名与书名连线。

做一做利用现实而有趣的素材使学生进一步体验简单推理的过程。

本课时的教学重点是借助生活中简单的事件，通过观察、猜测等活动，初步理解逻辑推理的含义;难点是经历简单推理的过程，按一定方式整理信息，让学生学会有序地、全面地思考问题，培养学生有条理地进行数学表达的能力。

第五篇：2015届高考数学总复习第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理课时训练

n－mb答案： a解析：等差数列中bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中bn－am可以类

n－m

bbn－ambn

比等比数列中的，等差数列中.an－max7.设函数f(x)，观察： x＋

2xxxf1(x)＝f(x)f2(x)＝f(f1(x))f3(x)＝f(f2(x))x＋23x＋47x＋8

xf4(x)＝f(f3(x))15x＋16

根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．

x答案：（2－1）x＋2

解析：观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x

n＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2－1)x

x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))（2－1）x＋238.观察：① sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝ sin26°＋cos236°＋sin 6°

43cos36°＝4

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

3解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°).4

证明如下：

2左边＝sinα＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]

＝sin2α＋α－1sinαα＋1α 2222313＝sin2α＋22α＝ 444

所以，猜想是正确的．

9.在Rt△ABC中，两直角边的长分别为a、b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证11

1.在四面体S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，hab点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a、b、c之间的等式关系并证明．

1111解：类比得到：＋.habc

证明：过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，连结CO并延长交AB于D，连结SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中，有

111111中，有＝＋＋.hSDcabc111，在Rt△CDSSDab 2210.老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x＋y＝r，求证：经过圆C上一点

2M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意

思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则经过圆

2C上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.你认为小明的猜想正确

吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

解：小明的猜想正确．

(证法1)若x0≠a，y0≠b，则因圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圆C上

y0－b一点，所以直线MC的斜率为k1＝，设过M(x0，y0)的切线斜率为k，因直线MC与切x0－a

x0－ax0－a1线l垂直，所以k＝－＝－所以过M(x0，y0)的切线l方程为y－y0(x－x0)，k1y0－by0－b

22整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)＋(y0－b).又点M(x0，y0)在圆C上，所以有(x0

222－a)＋(y0－b)＝r，故此时过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)2＝r.若x0＝a或y0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此时切线方程分别为y＝y0或x＝x0，适合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)22＝r.综上所述，过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.→→→(证法2)设P(x，y)为切线上任一点，则PM＝(x0－x，y0－y)，CM＝(x0－a，y0－b)．又PM

→→→⊥CM，∴ PM·CM＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化简得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2为所求切线．

11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

1111(3)＋＋„＋的值． f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1

解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，„，由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋

1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝„＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋„＋4＝2n2－2n＋1.11111，(3)当n≥2＝

f（n）－12n（n－1）2n－1n

1111所以＋＋„＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－111111111＝1＋(1－＋－„＋)222334n－1n

1131＝1＋1－＝－2n22n