直觉思维在数学教学中的应用

第一篇：直觉思维在数学教学中的应用

直觉思维在数学教学中的应用

数学思维按照思维过程中是否遵循一定的逻辑规则可划分为分析思维和直觉思维。分析思维，就是逻辑思维，它主要是以逻辑规则对事物按部就班地认识，对其过程主体有清晰的意识。在中学数学中，由于数学知识的严谨性，抽象性和系统性，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，因而在目前教学中往往偏重于演绎推理的训练，过分强调形式论证的严密逻辑性，而忽视了直觉思维的突发性理解与顿悟作用。在新课程标准深入课堂的今天，加强学生直觉思维能力的培养是非常有必要的。本文拟从以下三个方面谈谈个人的看法。

一、数学直觉思维的涵义及其特性

数学直觉思维是人脑对教学对象，结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断。所谓判断就是人脑对于数学对象及其规律性关系的迅速认识、直接的理解、综合的判断，也就是数学的洞察力，有时也称为数学直觉判断。

根据数学直觉思维的涵义，它具有下列特性：（1）直接性。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是数学直觉思维的本质属性。（2）或然性。由于数学直觉思维是一种跳跃的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出判断，因而直觉思维的结果可能正确，也可能不正确，这一特性称为数学直觉思维的或然性。（3）不可解释性。由于直觉思维是在一刹那时间内完成的，许多中间环节被略去了，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要对它的过程进行分析研究和追忆，往往是十分困难的，只有当得出结果并转换成逻辑语言时才能为别人所理解。

逻辑思维在数学中虽然据着主导的地位，但直觉思维是思维中最活跃，最积极，最具有创造性的成分。逻辑思维与直觉思维形成了辨证的互补关系。直觉思维为逻辑思维提供了动力并指引方向，而逻辑思维则对直觉思维做出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化。

二、数学直觉思维的重要地位和作用

(一)数学直觉思维是学习数学与创造数学必不可少的思维形式

彭加勒认为：“逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具”，“没有直觉，数学家只能按语法书写而毫无思想”。爱因斯坦说：“我相信直觉与灵感，真正可贵的因素是直觉”，“看来，直觉是头等重要的”。数学家们对直觉思维在数学研究和数学发现中的作用都给予高度评价。因此，数学直觉思维是学习数学与创造数学必不可少的思维形式。

(二)数学直觉思维有利于提高学生的思维品质，可以提高解题效率

直觉思维要求一定的依据，但又不苛求有充分的依据。这既符合学生的思维习惯，又不至于过早筛掉可能有用的信息。在数学解题中，不但要运用逻辑进行分析，而且还应在分析问题特征的同时，运用数学直觉思维判断思路，直觉解题方向，并迅速洞察问题实质，可获得事半功倍的效果。

三、数学直觉思维能力培养的途径

（一）鼓励大胆猜想，养成善于猜想的数学思维习惯

猜想是一种合情合理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程，牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，对于数学研究或者发现性学习来说，猜想方法是一种重要的基本思维方法。正如G．波利亚所说：“在您证明一个数学定理之前，您必须猜想这个定理证明的主导思想”。数学猜想是证明的前提，“数学事实首先是被猜想，然后是被证实”，猜想是数学发现的动力。数学理论上的重大突破，常常起源于主意深刻的猜想。比如目前的数学“王冠”上的颗颗“明珠”，就是一个个的猜想：哥德巴赫猜想、黎曼猜想、费马猜想等。

(二)鼓励标新立异培养直觉思维

有突出创造智能的人，总想突破常人思维的局限，热衷于求异思维，标新立异。在传统的中学数学教学过程中，基本上注意力放在由学生准确地再现学过的知识上面，常常对有天赋的学生的独到之见评价不高，却给死记硬背的答案以高分。而前者有时虽不能给出清晰的思维过程，但结果正确，而后者缺乏创造力。因此在教学过程中要创设宽松的研讨环境培养学生独立思考，善于思考的习惯，鼓励学生敢于发表自己的想法，哪怕错了也没关系，对有天赋的学生的独到之见要给予高度评价以激发他们的积极性。

(三)加强观察力的训练，培养学生洞察问题实质的能力

在平时的教学中，应结合教材内容，提供素材，让学生进行认真仔细的观察、分析、有意识地进行训练，在观察中，特别要注意培养抽象、概括、洞察问题实质的能力。

第二篇：浅论数学直觉思维及培养

中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。

一、数学直觉概念的界定

简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。

对于直觉作以下说明：

(1)直觉与直观、直感的区别

直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。”由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓'直觉'……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。”

(2)直觉与逻辑的关系

从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。

一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”，一个成功的数学证明是这些基本运算或“演绎推理元素”的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。

在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《中国青年报》曾报道，“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。

二、直觉思维的主要特点

直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，笔者以为直觉思维有以下三个主要特点：

(1)简约性

直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。

(2)创造性

现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。

伊恩．斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”，许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分了环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

(3)自信力

学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力。

高斯在小学时就能解决问题“1+2+　…… +99+100＝?”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而现在的中学生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信。

三、直觉思维的培养

一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”数学直觉是可以通过训练提高的。

(!)扎实的基础是产生直觉的源泉

直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”阿达玛曾风趣的说：“难道一只猴了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗?”

(2)渗透数学的哲学观点及审美观念

直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。

美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。

(3)重视解题教学

教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。

例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。

(4)设置直觉思维的意境和动机诱导

这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。

“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。

四、结束语

直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思．斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

第三篇：数学直觉思维的培养

数学直觉思维的培养

定西师范高等专科学校 03级数学(1)班 xxx 743000

【摘要】 在数学发展史上,许多数学家都十分重视直觉思维的作用.“逻辑用于证明，直觉用于发明。” 伟大的数学家彭加勒的这一名言对于数学创造活动中直觉思维的作用论述是十分精辟的.一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。” 本文主要阐述了本人对数学直觉思维的认识，以及培养数学直觉思维的重要性和必要性，进一步阐述了如何培养的问题。

【关键词】 直觉思维 逻辑思维 创新 猜想 数型结合

我们在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养，由于长期直觉思维得不到重视，学生在学习的过程中认为数学是枯燥乏味的，对数学的学习缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多地注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。思·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”。许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，基于直觉，欧几里得几何学的五个公设梦幻般建立起了欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法。现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。因此培养学生的直觉思维是必要的。

一、对数学直觉思维的认识

1.扎实的基础是产生直觉的源泉,直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”伟大的数学家、物理学家和天文学家彭加勒说：“逻辑用于证明，直觉用于发明。”前苏联科学家凯德洛夫更明确地说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动。”直觉思维就是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。

2．数学直觉思维的表现形式是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物作出一种比较迅速的直接的综合判断，它不受固定的逻辑约束，以潜逻辑的形式进行。关于数学直觉思维的研究，目前比较统一的看法是认为存在着两种不同的表现形式，即数学直觉和数学灵感。这两者的共同点是它们都能以高度省略、简化和浓缩的方式洞察数学关系，能在一瞬间迅速解决有关数学问题。

3．数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自由性、直观性、自发性、不可靠性等特点。迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠‘直觉’。”在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。《中国青年报》曾报道，“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。

直观性：数学直觉思维活动在时间上表现为快速性，即它有时是在一刹那间完成的；在过程上表现为跳跃性；在形式上表现为简约性，简约美体现了数学的本质。直觉思维是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。

创造性：直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外扩展，因而具有反常规律的独创性。许多重大的发现都基于数学直觉。

自信力: 数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信力。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。从马斯洛的需要层次来看，它使学生的自我价值得以充分实现，也就是最高层次的需要得以实现，比起其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。布鲁纳认为学习的最好刺激是对教学材料的兴趣。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力。高斯在小学时就能解决问题“1＋2＋„„ ＋99＋100＝?”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。

数学直觉思维还有利于提高学生的思维品质。直觉思维具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或结论，给人以“发散”、“放射”的感觉，一计不成又生一计。因此，加强直觉思维能力的训练，对克服思维的单向性，提高思维品质是有利的。

二、数学直觉思维的培养

一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”对于一个专业的数学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种朴素意义上的原始直觉，而是一种精致化了的直觉，也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的。

扎实的基础是产生直觉的源泉。迪瓦多内一语道破了直觉的产生过程：“我以为获得‘直觉’的过程，必须经历一个纯形式表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化”。“直觉”不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于1%的灵感和99%的血汗中。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂了一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”

在课堂教学中，数学直觉思维的培养和发展是情感教育下的产物之一，把知情融为一体，使认知和情感彼此促进，和谐发展，互相促进。敏锐的观察力是直觉思维的起步器；‘一叶落而知天下秋’的联想习惯、科学美的鉴赏力是直觉思维的助跑器；强有利的语言表达能力是直觉思维的载体。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维。直觉思维能力可以通过多方联想，学会从整体考察问题，注意挖掘问题内部的本质联系，借助对称、和谐等数学美感，养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。1．注重整体洞察，培养学生的整体直觉思维和观察能力。直觉思维不同于逻辑思维，直觉思维是综合的而不是分析的，它依赖于对事物全面和本质的理解，侧重于整体上把握对象而不拘泥于细节的逻辑分析，它重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向。观察是信息输入的通道，是思维探索的大门。没有观察就没有发现，更不能有创造。中学数学教学中图形的识别，规律的发现以及理解能力、记忆能力、抽象能力、想象能力和运算能力等都离不开观察。在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。指导学生从整体上观察研究对象的特征，比如对于三角问题指导学生从角、函数名和形式进行观察，注意帮助学生养成自问和反思的习惯，努力培养学生浓厚的观察兴趣。

2．重视解题教学，注重培养学生数形结合思维。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略。重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为“可以理解的”、“可以学到手的”和“可以加以推广应用的”，以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学．例如:设a,b,c为三角形ABC的三边长,求证:abcabcabcabc3

分析:用证明不等式的一般方法证明结论较为繁琐,由左边诸分母的形式,可以联想到构造三角形ABC的内切圆,利用上图就可以将左边化简,于是原不等式可证.3．注重引导学生进行合理猜想，培养归纳直觉思维。在数学解题中，运用归纳直觉，是值得重视的。在我们的数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维，引发猜想的意境，可以提出“怎么发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此类的问题，组织学生进行猜想、探索，还可以编制一些变换结论，引发学生猜想的愿望，猜想的积极性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。比如：探讨平面内n条直线最多能把平面分成几个部分？

从一条直线开始，寻找规律（如图1）． 从图1到图2，我们发现图中多了一个交点，平面被多分成2个部分，即为2+2个部分；

图1 从图2到图3，我们发现图中多了2 个交点，而平面被多分成3个部分，即 为（2+2）+3=7个部分；

依次类推，每多m个交点，则平面被多分成m+1分．因此，可以得到，图图2 图3 个

4图5 部

n(n+1)2 一般地，n条直线最多可分平面为2+2+3+4+5+„+n=1+1+2+3+4+5+„+n=1+ 个部分．

4．注重渗透数学的哲学观点，加强在其它学科中应用的意识，提高信息处理能力。直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等特点。例如(a+b)²=a²+2ab+b²，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。而函数y=x+(1/x)的单调性充分体现了对立统一的辩证关系。有意识地应用于其它学科，尤其是应用学科。例如，已知a+b=1，a>0，b>0求(1/a)+(1/b)的最小值．运用物理学科的知识去解释，即串联电路的电阻值为1，将其改装为并联电路，使得并联电路电阻值最大，由并联电阻的阻值总比任一支路的电阻值小，从而使得基本不等式“深入人心”。使学生在豁然开朗中提高直觉思维能力。

5.设置直觉思维的意境和动机诱导, 注意诱发学生的灵感.灵感是一种直觉思维。它大体是指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路。它是认识上质的飞跃。灵感的发生往往伴随着突破和创新。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。有这样 道题:把3/7,6/13,4/9,12/25用”>”号排列起来.对与这道题,学生通常都是先通分再比较的,但由于公分母太大,解答非常麻烦,为此我们可以让学生回头观察题目(*/*,*/*,*/*,*/*),然后再想一想,可以轻松的比较这些数的大小.倒过的数字引发学生瞬间的灵感.三.总结

思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思．斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

参考书目：

［1］张奠宙主编《数学教育研究引导》江苏教育出版社

［2］郭思乐 喻纬著《数学思维教育论》 上海教育出版社 [3] 李玉琪主编 《中学数学教学与实践研究》 高等教育出版社

［4］唐绍友 《试论数学教学与情感教育》《数学教学通讯》2002.3 [5] 赵振威 《中学数学教材教法》 华东师范大学出版社

［6］史保怀 《直觉思维在解题中的运用》 2000.5

第四篇：思维导图在小学数学教学中的应用

思维导图在小学数学教学中的应用

摘要：数学是一门抽象的学科，为了更好地使学生们掌握好基础知识，教师通过不断地探究，发现学生对数字与图示的理解是最快的，在数学教学的课堂上，实施了思维导图教学法。通过教师利用思维导图合理地设计教学内容，不仅仅提高了学生们的学习成绩，更好地培养学生们学会识图、分析图示的能力。在新课程改革的不断推进下，将思维导图运用到小学数学教学中，教师开展了思维导图的数学思维训练之后，明显地提高了学生的想象能力、理解能力，有效提高了教学的质量，提高教学效率。

在新课程标准的指导下，教师不断地努力尝试着新的教学方法，在小学的数学教学中实施了思维导图的教学方法之后，体现了学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣，提高了学生学习的逻辑思维，挖掘了学生的学习潜能，提高学生的学习效率和整体成绩，直接体现出学生的综合素质。在学习数学知识的时候，需要学生具有一定的认知能力和理解能力，但是由于小学生受到年龄因素的影响，学习时的思路不够明确，思维方式也缺乏，为了让学生的思维得到训练与发展，思维导图式教学法起到了非常中要求的作用。

一、应用思维导图在小学数学教学中的重要意义

思维导图可以使学生发散性思维，利用图形可以更直观、更直白地表达某一观点，解题过程中思路明确，培养学生创新能力。思维导图相当于心智图、脑图、流程图、示意图，可以使人类思维发散，充分发挥学生的潜能。这种教学方法应用在小学的数学教学中，对学生们的学习起到了积极的作用，有效提高教学质量，利用图形技术是打开学生的学习思路，充分发挥出学生的学习潜能。在思维导图的协助下，更好地培养学生们养成良好的解题思路与学习习惯，具有较强的逻辑分析能力，有效地提高学生的学习成绩。

二、应用思维导图在小学数学课程中的教学策略

（一）、利用思维导图激发学生兴趣

学生接受新鲜事物的能力不同，但是大多数的学生都对数字与图示的感觉比较好，相对于对文字的理解要直接得多，通过思维导图的教学方式，可以吸引学生学习的注意力，使学生们具有较强的学习兴趣[1]。例如在学习《数一数》《分一分》《比一比》这些内容的时候，首先，教师可以先给学生讲授课程的主要内容，然后，教师可以用多媒体将彩色的图示按照教师早已设计好的样式展示在学生的眼前，使学生们看见数字与数字之间的关系，“1、2、3、4、5、6、7、8、9„„”清晰认识数字的大小，并能够快速地进行对比和分解，接着，教师给学生们在用思维导图的方式，将对应的习题展示在学生的眼前，使学生们看图说明答案。最后给与学生正确的指导与鼓励。通过这样的教学策略，有效地提高了学生的学习兴趣，使学生们积极主动地进行学习，按照思维导图的引导，能够正确的分析与判断，有利于培养学生的创新精神和实践能力，使学生们热爱数学知识，有效提高学生的数学成绩。

（二）、利用思维导图活跃课堂气氛

在小学的数学课堂上营造出活跃的课堂气氛，是每一名优秀教师希望达到的效果，通过思维导图的方式，使学生们在学习中可以相互探究，可以到黑板进行实践填写，使学生们学习的气氛更加浓厚。例如在学习《认识钟表》这部分内容的时候，首先，教师讲授一下认识钟表的技巧，然后，教师可以让学生们自己到黑板前利用思维导图将认识时间的过程表示出来，学生们马上拿出了自己了笔记本，认真地进行画着，写着，教师需要检验学生的完成情况，让学生们轮流到黑板去完成之前布置的任务，让其他的学生们一同进行审查，学生们你一言我一语，最后，教师给与正确的评价与鼓励。通过这样的教学策略，使学生更好地进行探究与合作，活跃了课堂气氛，使学生们都能够参与到课堂的教学活动中来，不断地提高学生的参与能力，更好地掌握数学知识。

（三）、利用思维导图找到解题路径

应用题是小学数学教学中重要的组成部分，也是占据试卷的分值较高的习题，早解析应用题的过程中，应用思维导图的教学方式，可以使学生们解题过程中找到正确的思路[2]。例如在习《解决问题的策略》这部分知识内容的时候，教师可以在讲授习题之前，先用思维导图的方式，举一些形象的案例，然后，再将所要传授的知识内容套进去，让学生们看见解题的关键，例如：要想知道个小朋友一共有几个苹果，需要找到的条件是“有多少个小朋友？”“每个小朋友有多少个苹果?”,通过学生们仔细的分析，很快就会在习题中找到正确的答案。通过这样的教学策略，有助于师生更好地进行沟通，学生可以通过自己完成思维导图的内容，发现自己在知识掌握方面存在的问题。教师需要不断地引导学生能够自己独立制作思维导图，让学生们学会利用框图与线段和箭头的方式进行分析，使学生们具有良好的解题思路和逻辑分析能力。

思维导图是教师有力地教学助手，通过思维导图教师能够在学生们的视野里清晰地呈现知识的框架与结构，使教师更加有条理地进行教学。在小学的数学教学中，通过合理地运用思维导图的教学方式，使学生们具有正确的逻辑思维方式，并按照自己的推理进行画图，提高学生们用图示进行表达的能力，不断促进学生大脑潜能的开发。总而言之，通过思维导图的合理使用，加深了学生们学习的印象，对数学知识产生浓厚的学习兴趣，更好地找到解题的思路，有效提高小学生的数学能力，提高教学质量和教学效果，使思维导图成为促进学生学会学习的有效工具。

第五篇：计算机在音乐直觉培育中的应用

计算机在音乐直觉培育中的应用

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晓

白

[摘要] 直觉在人的认知过程中非常重要，它在音乐学习中的表现便 是“天赋”，而这种“天赋”并非一定要与生俱来。本文以计算机多媒 体教学用于音乐直觉培育的实践经验，阐述了对“天赋”培养的方法 和将现代科技用于音乐教学的重要性。

[关键词] 计算机多媒体，音乐，直觉培养，萨克斯教学 [中图分类号] [文献标识码] [文章编号]

计算机自20世纪60年代的诞生，到21世纪的今天，硬件配置功能、软件开发利用等方面都在日臻完善，改变着人们的音乐文化生活，并从创作、演奏、影视配乐到大众娱乐等方面获得了突飞猛进的发展，已经影响到传统的音乐教育模式。

学习音乐需要音乐的直觉思维和理性思维，然而在音乐教育中，往往把音乐直觉看作是天赋，而忽视了对音乐直觉的后天培养。其实音乐直觉主要是靠早期训练得以形成的。直觉的表现是感觉的直观，是形象的某种抽象化，但却是理性的最高表现。这种理性思维的培育，是相当一部分学生倍感枯燥和头疼的事。

音乐直觉的表现大体在对乐谱的空间直觉、对乐器操作时的直觉，对音乐各要素的直觉，对音乐的意义以及创作等方面，音乐教育如果把直觉看作是少数人的天赋，忽视它在音乐认知、记忆、表演、创作以及方法论

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上的意义，那么就很难达到令人满意的结果。人对音乐的接受是感性的，而不是理性的。只有感性才能直觉，理性是不能直觉的。心理学认为人的认知发展需要经历感觉动作阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形成运算等四个阶段，循序渐进，不能颠倒。只有在前一个阶段形成、完成之后才会进入下一个阶段。在思维方面，也是先有具体的感性经验，后有抽象的理性思维。

音乐是听觉艺术，由于它刻薄的时间性，转瞬即逝，不能给人以思考的时间。因此，学习音乐者要想立刻认知、鉴赏、理解音乐，只能靠直觉去把握，而且直觉也是激活灵感和培养理性思维的基础。对音乐空间的最初认知离不开粗浅的直观，它建立在如乐器的音高、五线谱上的位置、音阶结构的阶梯图像、模仿声音时在身体上的位置、音程与节奏概念在心理上想象的空间，以及音乐进行的图形等方面，是一切认知的基础。在音乐实践中，直觉有着独特的作用，是学习音乐最重要的能力，也是进入理性思维的前提。

由于对音乐空间的认知看不到摸不着，因而更需要直观教学的辅助。多下些力量到直觉培育上, 势必能达到事半功倍的效果。

在音乐学习初级阶段, 学生要把音程、节奏和音色作为最重要的内容去完成。人在五、六岁时有一个学习音乐的关键时段，这个时段的学生经过视唱练耳或学习乐器，心里已有内模仿活动，较容易培养对音乐各要素的直觉，但如果错过了这一时段，学起来将很困难。而学习萨克斯的学生恰好是刚刚超过这个年龄时段的孩子或进入成年爱好萨克斯的年轻人，因而越过了对音乐直觉培养的最佳时期。他们在理性知识学习的过程中感觉枯燥而乏味，本能地形成了一种排斥心理。利用计算机上的音乐软件将抽象的音乐空间转化成有声的图形，为他们拓宽感官接受范围，形成立体的认知情境，因而进一步提高了学习兴趣，效果非常显著。

在笔者早些时候的萨克斯教学中, 学生曾经与所有初学音乐的人一样，走过基本乐理的学习过程, 从音符、音程、时值开始，直到乐句、乐段的划分、各种和声及自己在声部中所应承担的作用等等。尽管按教程的要求加上自己多年的教学经验倾尽了全力，仍觉得对学生的学习进度和乐感培养不尽人意。近四五年来，本人在萨克斯教学中用计算机作为辅助工具，收效显著，发现了它在传统教学中无可替代的优势。这个优势便是利用相应的音乐软件制造培养“音乐天

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赋”的外在环境，这不仅提高了学生直觉思维，而且增强了学生的逻辑思维能力和对音乐学习的主观能动性。下面谈几点体会：

1.在计算机上了解音符 和旋律的属性

老师在对学生音符属性的讲解中通常会画出各种形态的图形，但都不如在音乐软件（如Cakewalk中的Piano Roll）中来得更为形象和直观。在这里，学生既能看到音符的时值，听到配以节拍后，速度在音符时值中的支配作用，又能在软件给我们的几个界面中欣赏到各音程在旋律走向中优美的姿态。

我曾将某些钢琴曲和其他乐器的独奏曲做成MIDI文件让初学者“耳濡目染”，从他们的目光和话语中,我看到的是神奇和惊喜；我也将各类音符点在Piano Roll中，让他们用尺子丈量、用耳朵分辩，再用乐器吹奏并录成音频信号, 自己去分析所吹奏音符的时值和音准是否准确无误，致使他们得到了极深刻的印象。

这种对音乐直觉的培养方式，效果是过去几年里从未见到的。

2.让计算机规范学生 的演奏

在器乐学习上, 初学者最难掌握的是节奏和音准。由于学生在基本功训练中掌握程度的不同，这方面的表现均不太理想。我将他们的练习曲制成MIDI文件，加上软件中的节拍器，或配以较丰富形象的打击乐伴奏，对学生的吹奏进行强化训练，让学生自己找到不足之处，再由老师指出他基本功中所欠缺的那一部分环节。

学生在吹奏老师所留作业的时候，往往因注意力集中在乐谱上，手指因灵活度的不同而与内心节奏产生差异。在吹完这首曲子之后，老师指出不足之处时，他并不认可——这种情况在我们任何一个音乐界人士身上可能都曾经发生过——这不要紧，把他的吹奏录下来与MIDI文件比较一下即可。这样，不仅能让学生听到自己与标准节奏“岔皮”的地方, 还能让他看到与标准节奏所差的距离。

如此，既有直觉的感受，又有直观的理性分析，让学生“口服心服”，进而直觉与理性双赢，在轻松的状态下完成了感性到理性的升华。

3.通过各种类型的练习曲伴奏去找感觉

练习曲对任何一个学生都是枯燥而乏味，却又不得不完成的作业负担。在这种状态下，老师若逐“字”逐句地挑毛病，便很容易造成他们的逆反心理，而不利于巩固和提高。

针对这种情况，我将同一首练习曲用数种伴奏型做成MIDI文件，让学生自己从中体会其间的差别与风格，在同一旋律中去找不同的感觉，并区分它们之中哪一类更贴近乐曲所要表达的主题……学生可能无法准确地将这些感觉加以描述，但会在他们的直觉中留下深远的影响，继而在以后的学习和深造中产生广泛的联想及触类旁通的作用——我认为这就是“音乐天赋”产生初始阶段的表现。

4.让学生欣赏自己“流动的美术”作品

在学生走出或几近走出以上几个

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阶段后，我便开始采用了让学生欣赏自己“流动的美术”作品的办法，当然，这个办法是要耗费很多时间和精力的。

第一，可以让学生用MIDI吹管将旋律输入，去分析欣赏自己演奏中节奏、音准、情感（力度）和音量的变化，从中感受是否达到了老师和自己的要求。这种感觉是呈螺旋形变化与发展的，它在自己满意和不满意的不断往复中得到提高，是感性到理性涅槃的重要过程。

第二，可以将学生和老师吹奏的同一乐曲录入电脑，通过频谱让他们自己在老师的指导下进行对比，分析音色的优劣；按乐曲的要求检查音符的各种形态、乐句与乐段强弱的图像等等，经反复实践直到满意为止。

第三，我将重点练习曲和乐曲在Cakewalk上认真地制成伴奏，让学生在比较准确的感觉中吹奏，将节奏、音准与情感均限定在固定的框架中，做到规范化。这样，既大大增强了学生的兴趣和吹奏练习曲的积极性，又使学生找到了乐队中的感觉。同时，各种和声的色彩又吸引着学生向更深层次的追求。

我的学生中有小部分人经过一年的学习后，已经迫不及待地开始了MIDI制作，尽管做出的东西很幼稚，可是别忘了，他们在到我这里之前还是连音符都不认识的孩子。由此可见，音乐直觉是可以培养的，“音乐天赋”也并非一定要与生俱来，只要老师与学生付出足够的努力。

现在，我国有的教师将音乐教材中的歌曲配上动画，以鲜明、活泼的画面激发了学生对歌曲的兴趣；高校音乐系的教师以建题库的方式将乐理、视唱练耳等学科的试题输入电脑，觉地将其灵活运用于自己所学的学科使枯燥的测试变成了饶有兴味的游和专业中，更是一种遗憾。戏；还有的把音乐理论课纷繁复杂的我的学生能将计算机多媒体技术知识构建建成一个富有逻辑性的知识运用到器乐学习中，自觉或不自觉地体系，给教学带来了极大便利。在学校、网吧、家中对电脑音乐软件、网络时代把人们的距离拉近了，电脑音乐制作随时学习，巩固所学的互联网上的丰富多彩的音乐资源，可知识，使我进一步增强了利用现代科以成为音乐教育巨大的“资源库”，技知识从事音乐教学的信心，同时也众多音乐网站提供了中外音乐作品、把我与学生紧密地粘合在一起，因为大师介绍、作品历史背景、音乐作品我在教学中使用的方式和方法是他们赏析等等，为学生的直觉培育提供了的最爱。丰富的营养，创造了很好的环境和气数字化音乐教学还是一门新生事候。如果我们对这一点视而不见，不物，有着广阔的发展空间，音乐教育去加以充分利用，将是教育工作者极要想赶上时代的要求，应该最大化地大的悲哀。采用各种新兴教学手段，计算机数字至于学生，他们中绝大部分人对化音乐教学便是其中最重要的手段之电脑也仅仅局限于上网聊天、收发一。E-mail及电脑游戏等方面，而未能自

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白晓颖（晓白）：承德市艺术研究中心

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