高一数学《2.3等差数列的前n项和(一)》

第一篇：高一数学《2.3等差数列的前n项和(一)》

湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

2.3等差数列的前n项和

（一）一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入：

1．等差数列的定义： an－an1=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

（1）ana1(n1)d

（2）anam(nm)d

（3）an=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① dan－an

1② 4．等差中项：Aab2a,b,成等差数列

dana1n1

③

danamnm

5．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)6．数列的前n项和：数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.“小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2

证明：

Sna1a2a3an1an

①

Snanan1an2a2a

1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

∵a1ana2an1a3an2

n(a1an)

2∴2Snn(a1an)

由此得：Sn．

．

2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an．

但ana1(n1)d

代入公式1即得： Snna1

此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Snd2n(a12n(n1)d2

d2)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．

三、例题讲解

例

1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1)1728(4a8)2a839

394(81)dd5

(2)设题中的等差数列为an，前n项为Sn

则 a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n1)2454.解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合Mm|m7n,nN*且m100的元素个数，并求这些元素的和．

解：由7n100得 n10071427

∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

即：7，14，21，…，98 是a17为首项a1498等差数列．

∴ Sn14(798)273

5答：略．

例

4、等差数列an的前n项和为Sn，若S1284,S20460，求S28.（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列an中，已知a3a99200，求S101.⑵在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.a1a2a3a421,解：依题意，得

aaaa67,n1n2n3n

两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)88, 又a1ana2an1a3an2a4an3,所以a1an22

n(a1an)又Sn286，所以n=26．

例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中S10,S20S10,S30S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2mSm.、S3mS2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2 ；

． 2.等差数列的前n项和公式2：Snna1

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页； 2.《习案》作业十三．

n(n1)d2

第二篇：2.3《等差数列的前n项和》说课稿

2.3《等差数列的前n项和》

各位评委 :大家好！我是----号。今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》本节内容选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修5第2章第3解第1课时,下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程分析等几个方面进行我的说课

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

在此之前，学生已经学习了等差数列的定义、通项公式，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是学生学过的等差数列”的延续和拓展。通过本节课的学习有利于深化对等差数列本质的理解，又是后继研究数列的基础。倒序相加法为数列求和提供了一种新的方法。等差数列的和与二次函数有密切的关系。此外等差数列的前n项和在生活中也有广泛的应用（如计算堆放物品的总数、剧场座位总数的计算、分期存款一次取出的储蓄利息的计算），这将有益于培养学生将实际问题数学化和将数学问题生活化的能力，有助于激发学生学习数学的热情．

二、学情分析学生已经学习了

等差数列的定义、通项公式、性质

对高斯算法有所了解。这为倒序相加法的教学提供了基础，同时学生已经有了函数知识，因此在教学中渗透函数思想。高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首位配对引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。

三：教学目标分析：新课标指出学生是教学的主体，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，基于以上对教材的认识。结合课程目标要求，以及数学课程标中的基本理念，考虑到学生已有的认知结构与心里特征，结合我校学生的实际情况。制定如下的教学目标，一、知识与技能

掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

二、过程与方法

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

三、情感态度与价值观

通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。四重难点的确定：

重点：等差数列前n项和公式，公式的熟练运用。

难点：倒序相加求和法的思路获得，等差数列前n项和公式推导过程。

第二教法与学法分析

为突出重点，突破难点，使学生达到本节课所设定的教学目标，我再从教法，学法上谈谈设计思路。教法分析： 新教材“改变课程实施过于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生自主参与、乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信的能力，获取新知识的能力。分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。为了突出这一教学思想，基于本节课的内容特点和＿＿学生的年龄特征，我主要采取，探究式教学法为主。练习法为辅的教学方法

学法：结合具体的内容。我采用问题情境-----建立模型----解释应用----拓展的模式，鼓励学生自主探究与合作交流，让学生经历概念（定理）的形成与应用的过程，从而形成对数学知识的理解和有效的学习策略，总之，在教学我贯彻的指导思想是把学习的主动权交给学生，让学生做学习的主人。教学手段教学中使用多媒体来辅助教学，充分发挥快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于适当增加课堂容量，提高课堂效率。同时与黑板板书相结合． 第三．最后我再说说教学过程。在分析教材，确定教学目标。合理选择教法与学法的基础上，我预设的教学过程是： 4.1 创设情景，引入新课

印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？()1+2+3+„+100=？（学生思考），介绍高斯故事及其算法。设计意图：这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段

4.2 合作探究，发现新知问题⑴：高斯的算法妙处在哪里？（学生思考、讨论）

设计意图：学生对高斯的算法处于简单的记忆和模仿阶段并没有真正的理解其本质含义，让学生从计算的形式和数列的性质两个方面分析，同时为下面问题做准备。

问题⑵：由高斯算法的启示计算下面的式子，“1+2+3+„+99”，能用高斯同样的方式解决吗？

设计意图：通过这个简单的变式让学生利用 “化归”的数学思想，将“奇数项”化为“偶数项”，从而充分利用高斯算法的妙处。逐步为学生领会“倒序相加求和法“搭梯子。问题⑶：还有其他更有趣的方法吗？

{（1+2+3+„+99）+（99+98+97+„+1）}÷2=100×99÷2=4950 设计意图：通过老师适当引导（筷子问题），感受数学解题方法的多样性，在此基础上得出—“倒序相加求和法”

问题⑷：由上面的算法启示你能计算1+2+„+n-1+n„的前n项和吗？ 设计意图：让学生理解倒序相加求合法并体验由特殊到一般的数学思想方法，为后面的公式推导做铺垫，同时给出前n项和的定义。问题⑸：利用上面我们得出的方法你能推导出以公差为d的等差数列前n项和吗？(老师适当引导)设计意图：利用倒序相加求和法的数学思想推导公式，并掌握公式的推导过程，提高学生的代数推理能力。4.2．2 认识公式

公式还有其他形式吗？公式从什么角度反映了等差数列的性质？（与梯形面积公式联系，PPT展示）

设计意图：充分挖掘公式的内含，将等差数列前n项和的公式同梯形面积结合起来体现数型结合的思想，并帮助学会记忆公式。4.3 变式练习巩固新知

1、根据下列条件，求等差数列｛an｝的Sn。（1）a1=-4,a8=-18,n=8（考察对公式①的运用）（2）a1=14.5,d=0.7,an=32（考察对公式②的运用）

2、已知数列｛an｝的前n项和为Sn=n2+n,求数列的通项公式（考察an= Sn-Sn-1）

3、在等差数列｛an｝中（综合考察对公式的运用）

（1）已知：a2+a5+a12+a15=36 求s16（2）已知a6=20求s11 设计意图：强化对公式的熟练运用，提高解题能力，体验知识点之间的联系。

4.4 归纳小结设计意图：让同学整体感悟本节课的内容，形成知识体系。

第三篇：湖南省长沙一中2008年 2.3等差数列的前n项和(一)

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2.3等差数列的前n项和

（一）一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入： 1．等差数列的定义： an－an1=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

（1）ana1(n1)d

（2）anam(nm)d

（3）an=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① dan－an

1② dana1

③ danam

n1nm4．等差中项：Aaba,A,b,成等差数列 25．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)6．数列的前n项和：数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.“小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2证明：

Sna1a2a3an1an

①

Snanan1an2a2a

1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

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∵a1ana2an1a3an2

∴2Snn(a1an)

由此得：Snn(a1an)． 2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d ． 2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an．

但ana1(n1)d

代入公式1即得： Snna1

此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Snn(n1)d 2d2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 22

三、例题讲解

例

1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1)1728(4a8)a839

394(81)dd5 2(2)设题中的等差数列为an，前n项为Sn

则 a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n1)454.解之得：n19,n23（舍去）2∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合Mm|m7n,nN*且m100的元素个数，并求这些元素的和．

10021

477

∴正整数n共有14个即M中共有14个元素 解：由7n100得 n

即：7，14，21，…，98 是a17为首项a1498等差数列．

14(798)73

5答：略．

2例

4、等差数列an的前n项和为Sn，若S1284,S20460，求S28.（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列an中，已知a3a99200，求S101.∴ Sn⑵在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！www.mathfans.net

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www.mathfans.net 例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得a1a2a3a421,anan1an2an367，两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)88, 又a1ana2an1a3an2a4an3,所以a1an2

2又Snn(a1an)286，所以n=26． 2例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中S10,S20S10,S30S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2mSm.、S3mS2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)； 22.等差数列的前n项和公式2：Snna1

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页； 2.《习案》作业十三．

n(n1)d． 2本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！

第四篇：2.3等差数列前n项和学案

2.3.1等差数列前n项和学案（第一课时）

姓名：班级：日期：【学习目标】

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.【本节难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

一、复习回顾

1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？

2：等差数列有哪些性质？

二、学习探究

探究：等差数列的前n项和公式问题：

1.计算1+2+„+100=?

2.如何求1+2+„+n=?

新知：

数列{an}的前n项的和：

一般地，称{an}的前n项的和，用Sn表示，即Sn反思：

① 如何求首项为a1，第n项为an的等差数列{an}的前n项的和?

② 如何求首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项的和?

试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.⑴a14，a818，n8；⑵a114.5，d0.7，n1

5小结： 1.用Sn(a1an)

n，必须具备三个条件：.2.用Sn(n1)d

nna1，必须已知三个条件：.三、典型例析：在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求

s60

(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

四、学习小结 1.等差数列前n项和公式的两种形式；2.两个公式适用条件，并能灵活运用；

3.等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.五、当堂检测 1.在等差数列{an}中，S10120，那么a1a10（）.A.12B.24C.36D.48 2.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A．5880B．5684C．4877D．4566 3.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n 为（）A.24B.26C.27D.28 4.在等差数列{an}中，a12，d1，则S8.5.在等差数列{an

}中，a125，a5

33，则S6



第五篇：等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

6、布置作业