高一数学 等差数列前n项和(二)教案（最终五篇）

第一篇：高一数学 等差数列前n项和(二)教案

湖南省师范大学附属中学高一数学教案：等差数列前n项和

（二）教材：等差数列前n项和

（二）目的：使学生会运用等差数列前n项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。过程：

一、复习：等差数列前n项和的公式

二、例一 在等差数列an中 已知S848 S12168 求a1和d；

解：8a128d48 a18 d4

12a166d168 已知a3a540，求S17．

2解：∵a1a17a3a1540

∴S1717(a1a17)1740340 例二 已知an，bn都成AP，且 a15，b115，a100b100100试求数 列anbn的前100项之和S100．

解：S100100(a1a1a100b100)100(515100)6000 例三 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。121112ad35412652d

解一：设首项为a1，公差为d 则6(a1d) d5

322176a652d12S奇S偶354S偶19232 解二：S偶  由 S偶S奇6d d5 S奇162S27奇 例四 已知：an1024lg21n（lg20.3010）nN* 问多少项之和为最 大？前多少项之和的绝对值最小？

解：1 an1024(1n)lg20

an11024nlg2010241024n13401n3403 ∴n3402 lg2lg2  2 Sn1024nn(n1)(lg2)0 2 当Sn0或Sn近于0时其和绝对值最小

令：Sn0 即 1024+ 得：nn(n1)(lg2)0 2204816804.99 lg2 ∵ nN* ∴n6805

例五 项数是2n的等差数列，中央两项为an和an1是方程x2pxq0的 两根，求证此数列的和是方程 lg2x(lgn2lgp2)lgx(lgnlgp)20 的根。（S2n0）

解：依题意：anan1p

∵a1a2nanan1p ∴S2n2n(a1a2n)np ∵lg2x(lgn2lgp2)lgx(lgnlgp)20

∴(lgxlgnp)20 ∴xnpS2n（获证）

例六（机动，作了解）求和 1 1111 12123123n 解：an12112()

123nn(n1)nn1 ∴ Sn2(1)()()2(1)223nn1n1n1 2(10099)(9897)(43)(21)222222221111112n 解：原式=19919573

三、作业 《精编》P167-168 6、7、8、9、10

(1993)50101505050 2

第二篇：等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

6、布置作业

第三篇：等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和

（一）教学目标

1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2.过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。

（二）教学重、难点

重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

（三）学法与教学用具

学法：讲练结合 教学用具：投影仪

（四）教学设想

[创设情景]

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+„„+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+„„+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，„，n，„前100项的和的问题。

今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。

[探索研究]

我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，„，n，„的前n项的和：

由 1 + 2 + „ + n-1 + n n + n-1 + „ + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ „ +（n+1）+（n+1）

可知

上面这种加法叫“倒序相加法”

请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n项和的。

[等差数列求和公式的教学]

一般地，称

1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示

：

为数列的前n项的和，用

表示，即 ①

②

由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

=

=

=

=

这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道点是第一个公式还需知道条件决定选用哪个公式。

[公式运用]

（课本52页练习1、2）

1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和S.和n，不同，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知⑴

⑵

[例题分析]

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

⑴、先阅读题目；

⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；

⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。

解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列投入的资金，其中，表示从2001年起各年，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为

（万元）

答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2．已知一个等差数列

前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定关系式，从而求得。

分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于的二元一次方程，由此可以求得

与d，从而得到所求前n项和的公式.与d的 解：由题意知，将它们代入公式

得到

解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6，所以

另解：

得

所以

②

②-①，得，所以

代入①得：

所以有

例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.例3 已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据

＞

与 可知，当n＞1时，①

当n=1时，也满足①式.所以数列的通项公式为.由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和出通项，可求

（n＞1）

用这种数列的不一定满足由足已求出的.来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意求出的通项表达式，所以最后要验证首项

是否满

思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列前n项和为的其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。

所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.例4 已知等差数列的值.的前n项和为，求使得最大的序号n 分析：等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列的公差为，所以

=

于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.[随堂练习]课本52页“练习”第1、2、3、4题

[补充练习]

1、已知数列差数列，设

生：分析题意，解决问题.解：设首项是，公差为d

是等差数列，Sn是其前n项和，且S6，S12-S6，S18-S12成等

成等差数列吗？

则：

成等差数列.同理可得

2、求集合的元素个数，并求这些元素的和。

解由m=100，得

满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，„7×14

即：7，14，21，28，„98

这个数列是等差数列，记为

其中

解由m=100，得

满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，„7×14 即：7，14，21，28，„98

这个数列是等差数列，记为

答：集合m中共有14个元素，它们和等于735

其中

[课堂小结] 等差数列 的前n项和的公式和

也成等差数列.（五）评价设计

课本52页A组第1、3、6

思考：课本53页B组第4题

第四篇：等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和

一：教材分析

本节课内容位于高中人教版必修五第二章第三节。它是在学习了等差数列的基础上来研究和讨论的，是继等差数列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法来求等差数列的前n项和。本节内容与函数也有着密切的联系。通过对公式的推导让学生进一步了解与掌握从特殊到一般的研究问题的方法，这对学生的观察、分析、归纳、概括问题的能力有着重要的作用。而且本节的公式推导为后面的等比数列前n项求和奠定了基础。通过上一节的内容不难知道等差数列在日常生活中比较常见，学生学习起来也就比较得心应手。

二：学情分析

学生通过上一节课的学习已经了解的等差数列的定义，基本掌握了等差数列的通项公式及其基本性质，能简单的对其运用和计算。对高斯算法也有一定的了解，他们已具备一定的抽象逻辑思维能力，能在老师的引导下独立的完成一些问题。

三：教学重、难点

重点：等差数列前n项和公式的推导

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得以及渗透倒序相加的方法。四：教学目标

知识与过程：能说出并写出等差数列前n项和的公式，掌握等差数列前n项和公式的推导和运用。

技能与方法：从公式证明的推导过程体会从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、总结，培养学生灵活运用公式的能力。

情感态度与价值观：通过生动具体的现实问题，激发学生的好奇心及求知欲，增强学生喜欢并热爱数学的情感。

五：教法

老师不仅是知识的传授者，而且也是组织者、引导者与合作者，所以我采用引导发现法和讲授法，通过实际生活中的具体例子创设情境，然后建立模型并对其探究。

六：学法

引导学生自主探索，观察分析与归纳概括，创造机会让学生合作、探究、交流。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，让学生在观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与的活动中学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

七：教学过程

创设情境，问题引入

在一个建筑工地上堆放这样一

堆大小一样的钢管，共123层，第1层有一根钢管，第2层有2根钢管，…，第123层有123，求这堆钢管共有多少？若在旁边放上同样多的钢管，又该怎么计算呢？

mmn'n

nm'

通过分析对比，并不是所有的等差数列利用首尾配对都刚好合适的。经过同学们的观察比较发现，若n为偶数时两两刚好完全配对，若n为奇数时不能完全配对。

通过观察引导学生发现利用倒叙相加法计算求此等差数列前123项的和。S123= 2 + 3 + … + 124

S123=124+ 123 + …+

S123=123(2124)两式相加得

高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性。教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律。学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计学生对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计题时应由易到难的． 引导发现，公式探究

问题1： 1，2,3，…, n,… 的前n项和为多少？

学生分组探究，老师收集学生得出的不同方法并由学生讲解，尽可能地展示分类讨论的倒序相加法。

+ 2 + … + n n +（n-1）+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 问题2：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,求这个等差数列的前n项和 ,则

Sna1a2an1an

由高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，我们可以用以下式子表示：

推导: Sna1a2an1an

Snanan1a2a1

相加得：2Snn(a1an)

n Sn(a1an)2n公式一：Sn(a1an)

2由ana1(n1)d

n得Sn[a1a1(n1)d]

2n所以Sn(a1an)

2n公式二：Sn(a1an)

2我们将这种方法称为倒序相加法。

类比记忆，例题练习

问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？

（提示：与梯形联系起来）

学生通过作图并建立一一对应关系来解释

nan(a1an)得a1为梯形的上底，an为梯形的下底，n为梯形的高.2同理比较Snna1n((n1)d 2 例题：根据下列条件，求相应的等差数列前n项的和（1）a1100,d=-2,n=50;（2）a4，a818，n=8;例题：

1:已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗？ 练习

12: 已知数列{an}的前n项和为Snnn，求这个数列是等差数

22列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

3:已知等差数列5,4，3，…的前n项和为sn，求使得n最大

2747s的序号n的值。

知识梳理，归纳总结 1：体会倒序相加的算法.2：掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思 想。3：将等差数列前n项和与梯形面积联系记忆。

第五篇：高一数学《2.3等差数列的前n项和(一)》

湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

2.3等差数列的前n项和

（一）一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入：

1．等差数列的定义： an－an1=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

（1）ana1(n1)d

（2）anam(nm)d

（3）an=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① dan－an

1② 4．等差中项：Aab2a,b,成等差数列

dana1n1

③

danamnm

5．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)6．数列的前n项和：数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.“小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2

证明：

Sna1a2a3an1an

①

Snanan1an2a2a

1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

∵a1ana2an1a3an2

n(a1an)

2∴2Snn(a1an)

由此得：Sn．

．

2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an．

但ana1(n1)d

代入公式1即得： Snna1

此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Snd2n(a12n(n1)d2

d2)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．

三、例题讲解

例

1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1)1728(4a8)2a839

394(81)dd5

(2)设题中的等差数列为an，前n项为Sn

则 a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n1)2454.解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合Mm|m7n,nN*且m100的元素个数，并求这些元素的和．

解：由7n100得 n10071427

∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

即：7，14，21，…，98 是a17为首项a1498等差数列．

∴ Sn14(798)273

5答：略．

例

4、等差数列an的前n项和为Sn，若S1284,S20460，求S28.（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列an中，已知a3a99200，求S101.⑵在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.a1a2a3a421,解：依题意，得

aaaa67,n1n2n3n

两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)88, 又a1ana2an1a3an2a4an3,所以a1an22

n(a1an)又Sn286，所以n=26．

例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中S10,S20S10,S30S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2mSm.、S3mS2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2 ；

． 2.等差数列的前n项和公式2：Snna1

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页； 2.《习案》作业十三．

n(n1)d2