钉子板上的多边形 教学设计

第一篇：钉子板上的多边形 教学设计

钉子板上的多边形

教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形” 教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子 数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体 会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展 观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇 妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学过程：

课前活动:每个小组里发一个钉子板实物。并激发他们在钉子板上围多边形。玩出精彩！有一位数学家就在小小的钉子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100个数学定理之一。今天我们也走进钉子板的世界去看一看。

一：创设情境，引出问题

今天我们研究————钉子板上的多边形（出示课题）

师：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替钉子板。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成一个面积是1cm²。你们看现在点阵图上的点子可以怎么分分类？

边上的钉子，图形内的钉子、图形外的钉子

出示课件：钉子板上的多边形，共3个不同的多边形。问题1：你想研究钉子板上的多边形的哪些项目呢？

生：多边形的面积、面积的大小和什么有关？······

问题2：你猜想下，钉子板上的多边形的面积会有什么因素有关？

生：钉子数、多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数······

师小结：这些多边形的面积是否和以上的各个因素有关呢？下面我们就来研究下这些图形。

二：自主研究，得出猜想

问题1：你想怎样研究？

生：画图、计算、数······

师：很好，下面我们就来研究影响多边形面积的因素，我们从最简单的一组图形开始。

研究1：独立完成“钉子板上的多边形”研究单1

1、学生通过算一算、数一数，完成研究单1；

2、师展示学生的研究单，说一说你的研究过程；——学生自己介绍表格中数据的由来。

3、观察分析表格中的数据，你有什么发现？

——同桌互相说一说

——个别的汇报

4、通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？

——S=n÷2

小结：根据学生的研究和汇报，初步得出多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2.三、质疑验证，归纳结论

S=n÷2这个规律是否对钉子板上所有的多边形都成立呢？应该怎么办？————验证

1、完成研究单1上面的第二题的①②两个，并填表。

2、出示课件上⑦⑧两个图形，再次验证。

3、通过两次的验证，你有什么发现？——发现S=n÷2在其它的多边形中不成立。

4、思考：为什么呢？

引导学生再次观察①②③④四个图形，你有什么发现？同桌互相说一说，再个 别发表看法。————得出：①②③④四个多边形内部都只有一个点。

5、再次验证：每位学生再提供的备用点子图上画一个内部只有一个点的多边形，计算并观察多边形的面积和边上的钉子数是否符合S=n÷2？

6、谁能完整的把刚才的规律说一说？

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：

当a=1时，S=n÷2 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。----高斯

四、合作探究，得出规律

引入：多边形内有一枚钉子的情况，同学们已经研究过了，而且找出了一般规律，那下面你们想研究什么呢？——————多边形内有2枚钉子的时候，面积和钉子数的关系。

合作交流,完成研究单1的第二题。

1、首先独立画一个内部两个点的多边形，得出S和n；

2、同桌交流，完善表格。

3、观察表格中的S与n的 值，再互相说一说，你有什么发现？

4、个别同学汇报发现，其他同学根据自己的图形验证发现是否正确。

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：

当a=2时，S=n÷2+1

五、推想、验证，得出规律

引入：当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 猜想：当a=3、4、5······时，S与n之间有什么关系呢？

学生猜想：当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3 学生验证：分组研究，分成4人小组

1、组内确定研究主题：a=3或者a=4.2、三人每人分别画一个，并且得出S与n的值，第四个人汇总并汇报小组的研究成果。

3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？

小 结： 根据刚才同学们的研究，我们得到了这些规律

当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3

请你说一说

当a=5时，S=

······

当a=10时，S=

·······

问题：你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所有的规律吗？

——————

S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成体系

出示：钉子板上的多边形实物图形，观察这些多边形有什么特点？

——内部的钉子数为0.即a=0

问题：当a=0时，上面的规律还成立吗？你是怎么想的？说一说你的想法和结论。

七：总结收获，形成方法。

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

回顾过程，交流体会。

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？ 追问：还有什么疑问吗？

小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。

第二篇：钉子板上的多边形教案

基地数学学科《钉子板上的多边形》教学设计

溧阳市平桥小学

潘红星

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，让学生自主发现钉子板上的钉子数与面积之间的关系。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。3.培养学生获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。教学过程：

一、认识钉子板

同学们，大屏幕上的是什么？今天我们要学习与钉子板有关的数学知识，老师没有带钉子板，怎么办，有没有替代品。

讲述：钉子板上的多边形是用橡皮筋围的，今天我们就用画的形式表示好吗？

二、揭题

1.今天我们学习的数学内容是什么？ 生：钉子板上的多边形 师板书：钉子板上的多边形

师：你觉得我们今天会研究多边形的什么数学问题呢？ 生：面积、周长……

2.师：今天我们就学习多边形的面积，想一想，今天学习的多边形面积还可能和什么有关系？ 生：钉子板

师补充：钉子板上的钉子，你觉得会有什么样的关系呢？ 生：钉子越多，面积越大

师：这只是你的猜想，要想得到证明，我们还要进行操作是吗？ 师：我们从简单的图形学起 师：说一说上面图形的面积各是多少 说一说你是用什么方法的呢？

根据学生的回答板书：算 说一说你是用什么方法的 根据学生的回答板书：数

3.师提问：刚才我们说多边形的面积可能和什么有关系啊？ 生：钉子数

4.多媒体出示：多边形边上的钉子数 一起读一读，我们要数什么 5.一起和老师数，师点生数 6.你发现了什么？

生：钉子数÷2＝面积

…… 让3－4名学生说一说。

师：很难说，如果我们用字母表示就简单多了。

用s表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数你会表示吗？ 学生根据自己的理解得到S＝N÷2

三、引发矛盾

师：刚才我们的图上是不是还有4幅图形啊，我们一起来验证一下好吗？ 师：你有什么想要说的

师：现在我们从不同中找相同，回头再看看前面4幅图，你有什么发现？ 生：中间只有一枚钉子 师：点一点

师：你觉得刚才我们的这句话应该怎么说才更合适呢？ 生：当中间只有一枚钉子时，师：如果中间钉子数用字母ａ表示，这个公式应该怎么表示。

四、反思与小结

师：刚才我们研究了什么，你能不能用一句话说一说。生：多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2。

五、迁移研究

师：接下来，我们应该研究什么了，生：A＝2 师出示：两幅图，你还记得刚才的数据吗？说一说

师：现在拿出你的钉子板纸，在上面画一个中间有两枚钉子的多边形，并写出他的面积与边上的钉子数。生演示并汇报，师填写

师：你有什么发现，在小组里和大家说一说。指名说一说你的发现

师：刚才我们又研究了什么，你能不能用一句话说给大家听一听。研究A＝3 师：你觉得接下来我们要研究什么了。在你的钉子板上画一画，小组里完成表格。迁移知识：如果A＝4、5…..当A＝0的时候呢？

学生利用学习研究单分别研究出A＝2、3、4、5等多边形的面积与边上钉子数的关系。

师：象这样的研究我们还可以继续，如果你有兴趣的话，老师推荐你一本书有两个人。

出示两个关于这一数学现象研究的数学家。六：全课小结

这节课，我们一起研究了什么？能不能把你的发现和大家说一说。

第三篇：五上：钉子板上的多边形 教学设计(定稿)

钉子板上的多边形

------连云港市院前小学 李吉爱

教学内容：义务教育教科书数学五年级上册第108-109页。教学目标：

1．探索并初步发现钉子板上多边形内有1、2、3枚以以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系，激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。

2．经历探索过程，积累探索经验，体验成功乐趣。

3．通过小组合作，类比迁移探索问题的方法，尝试探索研究同类问题。教学重点：

探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律。教学难点：在有限的课堂时间内进行类比推导，得出一般规律。教具准备：钉子板、钉子板套管（橡皮泥替代）、板贴、多媒体课件。学具准备：钉子板、作业纸等 教学过程：

课前交流对话：（预设3分钟）

主要围绕“会观察、敢猜想”这两个关键词。

1.孩子们，认识老师吗？老师姓啥名啥？你是怎么知道的？（在学生猜想后点击课件全部显示）只显示一半你就能猜出来，你属牛的吧！你太牛了！可见你善于观察，敢于猜想（磁板分别贴出善于观察、敢于猜想），这两点是我们学习数学时，很优秀的品质。

2.你知道今天将要学习什么知识吗？（在学生回答后点击课件出示课题）你是怎么知道的？看来咱们班会观察，敢猜想的同学真不少！

老师希望这节课中能看到更多的同学具有这种品质！准备好了吗？下面我们开始上课！

一、激趣生疑，直观感知（预设：3分钟）

1.复习学过的平面图形的面积，引出一道稍难的问题，埋下伏笔，引出课题。a.过渡引入：我们学过好多平面图形，老师考考你，谁能在20秒之内答出它的面积是多少吗？（点击课件出示例题中平行四边形的那道题）

b.看来这种题目难不倒大家！老师再出一道，考考你！（点击出示在20秒后，点击课件消失，问：怎么没有刚才那么迅速呢？），预设：学生会说出关于“割补”的字眼。教师板书“割补拼接”二字。教师用课件配合进行点拨。（揭示答案17.5平方厘米）

c.过渡：老师想告诉你，只要你用心上完这节课，保你在20秒之内就能解答出来！你们想学习这个绝招吗？（想）

告诉你吧，解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中。（磁板贴出课题：钉子板上的多边形），学生齐读。

二、学习新课，建构知识（预设33分钟）

1.呈现一个钉子板围成的多边形-----简化成点子图。（预设：2分钟）a.师：为了便于研究，我们把钉子板上的多边形简化在点子图上。（课件显示）我们约定钉子板上以及点子图上的每相邻两个点之间的距离都是1厘米。（显示1cm）

b.请问这四枚钉子围成的多边形，它的面积是多少平方厘米？

c.这八枚钉子围成的多边形呢？你是怎么知道的？（求出来的，还可以数出来。我们数数看，小结：这种规则的多边形用“数”的办法更实用）d.观察比较：这两个图形有什么不同之处呢？

预设：边长不同，面积不相等；边上的钉子枚数也不相同；里面钉子个数不同； 边上的钉子枚数越多，围成的图形的面积就越大。如果学生说不出“边上钉子数” 这点，点击课件，友情提示。

2.探究多边形内有1枚钉子的规律。（10分钟）（1）个例发现，形成猜想。

a.过渡：看来一个图形的面积与这个图形边上的钉子数密切有关。（在表述的同时进行板贴：“多边形的面积”“边上的钉子数”）它们之间到底有着怎样的联系呢？

b.我们先来观察这几个图形。带着学生一起数一数1号图形的边上有几枚钉子？面积是多少呢？4号图形我们刚才就已经知道了它的面积，它边上的钉子数是几呢？（在学生回答后，点击课件显示）

c.出示探究表格，让学生仿照老师的样子独立完成剩下的2个图形吗？ d.全班集体交流。

指名学生回答，教师即时点击课件显示。在反馈3号图形时，稍加突出，追问：这个图形的面积是多少？你是怎么想的？还可以怎么想？教师小结：在核算面积时，巧妙的“割补拼接”是个好方法。

填写完成后，让学生仔细观察表格，你有什么发现？

预设:学生回答出“多边形面积平方厘米数乘以2等于边上钉子的数量”；教师就追问：倒过来怎么说呢？（多边形边上的钉子数的一半，等于多边形面积的平方厘米数）用数量关系式表达出来就是-----。在学生答道点子上后，即时整理板书，补充“=”、“÷2”。

评价：宝贝们，你们太了不起了，异中求同，找到了规律！（板贴：异中求同）（2）举例验证，再生疑惑。

过度：不过我们发现的这个规律，到目前为止只能算是一个“猜测”，只有经得住“验证”（板贴勤于验证），才能称作规律。下面我们找个多边形验证一下，好吗？

课件出示：一个底4厘米，高2厘米的三角形。

师：让学生一起数边上的钉子数（8枚），按照刚才的发现，这个图形的面积就应该是?(8的一半，等于4平方厘米)，用原先底×高÷2的方法，谁帮老师算一下？（4×2÷2=4），完全符合！

师：老师这儿还有一个边上是8枚钉子的图形（点击课件），它的面积是？（预设大多数学生上当会说是4）

师：追问：同意吗？教师课件点拨---这儿光整格子就已经是4平方厘米了，何况还多了一个三角形呢！怎么回事呢？（3）归纳概括，形成结论。

师：我们暂且不看这个图形，先比较一下这几个符合规律的有什么共同点？（内部钉子只有一枚）

师：看样多边形的面积不仅和边上的钉子数有关，还和内部的钉子数有关系！因而我们的这个发现，必须要加上一个条件，才能正确！附加什么条件呢？（在学生表述后，贴上板贴：“内部钉子数1枚”；在贴上板贴时，教师故意贴不下，用 3

字母表示的需求由此而生。）

师：这么多字，都贴不下了，有办法让这句话简洁一些吗？（用字母表示）我们在表示面积时一般用s表示，多边形边上的钉子数用n表示，（在对应的位置板书“s”、和“n”）那么这个规律可以写成-----s=n÷2。

小结回顾：回顾刚才我们在探索规律的过程，我们先是仔细观察，然后异中求同，提出猜想，最后通过验证，终于找到了这样的一条规律：（指着板书）当多边形内部钉子数1枚时，-----提示学生齐读“多边形的面积=边上钉子数÷2”，也就是s=n÷2。

3.探究多边形内有2枚钉子的情况。（预设10分钟）

过渡：老师有个疑问：（对着课件）这种内部有2枚钉子的多边形，会不会也有类似的规律呢？我们能继续探究吗？（能）

（1）出示探究要求。请看活动要求，师 简单解读活动要求，宣布活动开始。（2）学生小组合作，完成探究活动

（二），教师巡视，选取完成迅速的且具有典型性的2个小组作品，贴在黑板上。同时让学生代表用钉子板套管（或者橡皮泥）在内部钉子上做标记，并到电脑上输入相应的数据。（3）班级反馈。

教师带着全班同学先检查内部钉子数是否符合要求。

（宝贝们，完成的小组向老师示意一下。不好意思，因为时间有限，所以不能让你们尽情的玩了。没有完成的小组，也停下来，好吗？我们一起来检查一下这几个小组围成的图形内部有几枚钉子）

然后指名其中一个小组代表表述发现的规律。（这是哪个小组的？能说说你们的发现吗？）

教师随机板书： 当内部钉子数2枚 s=n÷2+1。

课件中其它输入的数据，仅当作验证规律使用。(这是哪一组的数据，你们同意刚才的发现吗？我们一起来验证一下)预设：如果出现s=（n+2）÷2这种情况，可以把÷2转化为×0.5，用乘法分配率处理。

4.探究多边形内有3枚以及更多钉子的情况。（预设10分钟）（1）推想多边形内部有3枚以及3枚以上钉子的规律。

过度：（对着板书）你们太了不起来，如此迅速的从不同的多边形中找到了两条规律。这两个规律，看起来有些不同，但又有所相同。如果多边形内部有3枚钉子，你猜猜会有怎样的变化？（学生表述后，教师板书“3”、“s=n÷2+2”）4枚呢？（教师板书“4”、“s=n÷2+3”）5枚呢？（教师板书“5”、“s=n÷2+4”）6枚呢？7枚呢？8枚呢？ 20枚呢？a枚呢？

师追问：后面加上的数有什么规律？（在学生回答到“后面加的数比内部的钉子数少1”，板贴：内部钉子数－1）（2）出示验证要求，完成探究活动

（三）a.过度：你们太棒了，特别善于观察，敢于猜测！但是这些猜测现在要打上一个“？”，因为只用通过验证，才能完全成立！时间关系，我们分组行动吧！请你们小组合作，从中选择一条加以验证。

b．活动前稍加指导：（出示课件）如果你们小组想验证“内部钉子数3枚”，这儿就填上3，如果你们小组想验证“内部钉子数4枚”，这儿就填上4，这儿要填写刚才相应的推测！明白了吗？活动开始吧！c.学生活动，教师巡视。

d．集体交流。现在我们来汇报一下你们的验证结果！哪组先说？请你们组的一位同学把你们围成的图形举起来，给大家看一下，哪位代表发言？还有哪个组和他们组一样，也是验证这种类型的？你们和他们的结论一致吗？ 你们组是验证那一条？能说说吗？ e．得出结论：

师：经过大家的努力，我们现在可以确定这些猜想都是成立的。这么多的规律归结成一句话就是----多边形的面积=边上钉子数÷2+内部钉子数-1，用字母表示就是s=n÷2+a-1，这里的a可以表示许多数。

老师有个疑问：这里的a可以是0吗？（预设：不能|能）

教师点拨：（点击课件）出示四根钉子围成的一个正方形，我们把它放大一下（课件显示放大后的图形）带着学生一起核算。板书（0 s=n÷2+0-1，并随机改成s=n÷2-1）

三、课堂总结（预设3分钟）

1.简介皮克定理

师：孩子们，今天我们一起探索发现了---多边形的面积等于边上钉子数除以2，加上内部钉子数减一这个规律。实际上这和伟大的科学家皮克发现的“皮克定理”是一致的：（课件展示）皮克在1899年发现：给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，其面积S与内部格点数a、边上格点数n的关系：S=n÷2 + a-1。

2.照应课前的问题。课件出示课前谈话中的难题，并告诉学生边上钉子数与内部钉子数，让学生快速计算。3.回顾反思：

师：同学们谢谢你们的精彩合作！回顾我们探索和发现规律的过程，得出这个结论固然重要，但我觉得更重要的是整个过程中的体会，你想说说吗？（预设，学生不说，出现冷场，这样应对：老师估计你们会说，却不敢说，三个人是条龙，一个人变成“虫”！

这样吧，老师送你一个“李悟”吧，注意此“李悟”非“礼”物但胜似“礼物”-----那是什么礼物呢？（点击课件出示）“一切推理猜想都必须从观察与验证得来。---李界”

四、课外拓展：推荐一本书《格点与面积》

今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习，有兴趣的同学可以阅读这本书《格点与面积》。在这本书中提及了这种横竖不相等的格点，有兴趣的同学自己探究一下。

板书设计：

板书设计

钉子板上的多边形

教师随机运用区

割补拼接

学生钉子板粘贴区

善于观察

异中求同

多边形的面积 = 内部钉子数1枚:

s = 2:

s = 3: s = 4: s = 5: s = 6: s = a: s = 0:

s

=

敢于猜想 边上钉子数 n n n n n n n n

勤于验证 2

+内部钉子数-1 2 2 +1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +a-1 2

+0-1

÷÷÷÷÷÷÷÷÷

第四篇：钉子板上的多边形面积说课稿

《钉子板上的多边形》说课稿 横板桥镇中心小学 廖为火

一、说教学内容：

苏教版（新版）五年级上册第8单元108-109探索规律“钉子板上的多边形”

二、说教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

三、说教学重点难点：

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

四、说教学过程：

一、问题引入，揭示课题

1.设疑激趣。

PPT出示点子板上围成的多边形，提出问题：不准分割你能迅速计算出下列方格图中每个多边形的面积吗（说明：这里的每个格子面积1cm²的正方形）？

在学生学习了常见多边形面积计算后，咋一看以为用常规方法能解答以上问题，但仔细一看题目要求，这些图形的面积计算就比较困难，这样就激发起学生强烈的求知欲。此时教师提出：用数格点的方法可以解决。此时学生脑里想的是：格点是什么？怎么数？与图形面积有什么关系？带着这一系列疑问，我出示第二组图形（图1-图3）

2.引入课题。

谈话：钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？我们这节课就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知。

1.引导学生观察 图1-图3。

引导：请大家观察PPT上面的多边形，按上面要求数一数，在教材第108页的表格里填一填。

（1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；

（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；

（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。

2.学生交流，完成第108页的表格。

3.观察数据，比较发现。

引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。

交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）

说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，PPT出示：

S=n÷2 4.观察比较，反思质疑。

（二）继续研究，拓展认识。

1.提出问题，引发思考。PPT出示图4-图6：

引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家自己在方格纸中画图，数一数、比一比，看看有没有规律。

2.小组合作，探究规律。

引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。

出示活动要求：

（1）每人在方格纸中画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；

（2）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；

（3）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？

学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。

3.交流引导，发现规律。

PPT 出示图4-图6及表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。

引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2 有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。

提问：通过数据比较，你有什么发现？

小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1）

追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。

（三）引导猜想，概括规律。

1.引发学生猜想。

提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。

交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？

2.画图举例，验证猜想。

让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。

交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

PPT出示图7-图9，引导学生完成表格。

确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2。

追问：现在我们又有什么发现？

3.拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？

那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。

提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？

指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1）

验证：请大家用这个规律解决本课开始的问题。PPT返回到本课 最早的三个多边形图，用上面的公式迅速计算，体验成功的快乐。

(四).适当介绍，拓展视野。PPT

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

第五篇：钉子板上的多边形教案

钉子板上的多边形

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。

3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。

4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律 教学难点：

类比推导出一般规律 教学准备：

作业纸，多媒体课件 教学过程：

一、激趣生疑，直观感知

1、呈现一个钉子板上的多边形

说明：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。提问：这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？ 组织交流：（1）、面积公式计算；（2）、分割数方格

2、启发：你能再围一个面积和刚才不一样的多边形吗？在围过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢？

学生动手围一围，同桌相互说一说怎样求出面积的。

3、追问：跟哪里的钉子数有关？

4、揭题：面积与钉子数之间是否存在一定的规律呢？我们这节课就来研究钉子板上的多边形面积与钉子数之间的关系。提问：想一想，我们可以怎样来研究？ 提出猜想——验证猜想——概括结论

二、简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况

1、个例发现，形成猜想

出示：一组钉子板上的多边形。提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发现。

生独立计数，完成表格 出示资源： 提问：（1）校对结果

（2）你有什么发现？

全班交流：（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大

（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半

如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？动手写一写。

2、举例验证，明确前提

引导：由刚才这四个图形，有了这样的发现，这一发现是否也适用于钉子板上的其他图形呢？我们还要举例验证。

要求：在钉子板上画一些多边形，验证刚才的发现。并列呈现学生资源，引导观察。

（1）符合规律（2）不符合规律

提问：看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？，它们有什么共同的特点？仔细观察，把你的发现说给同桌听听。

指名交流：多边形中间只有一枚钉子

3、归纳概括，形成结论

总结：看来要使这一发现成立，还要加个前提，谁能把这个规律完整的说一说？

同桌互相说一说，再指名交流。

当多边形里面只有1枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

如果把多边形里面的钉子数用a来表示，完善字母表达式。总结：看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形里面的钉子数有关。

正因为面积和两个量都有关系，所以我们研究是时候先确定一个量（里面的钉子数）

三、运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况

1、探究形内有2枚钉子的情况

形内只有1枚钉子的情况已经研究了，往下我们应该研究？

当形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢？同学们也像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形，老师这里也提供一些，算一算，数一数，多边形有几个面积单位？多边形边上的钉子数有几枚？把结果填入表中，再与同桌说说你的发现。

过程指导：也像刚才那样，把钉子数除以2，再跟面积进行比较。看看有什么规律。

如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？ 学生独立探究，发现规律 个别交流：当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2＋1 同桌互说规律 学生独立完成

板书：当a=2时，S= n÷2＋1

2、推想形内有2枚以上钉子的情况

提问：比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎样的规律? 如果你能直接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。左边同学研究a=3的情况，右边同学研究a=4的情况。

分工合作，推想规律 个别交流规律

当a=3时，S=n÷2＋2 当a=4时，S=n÷2＋3

3、归纳推理，形成一般公式

像这样推想下去，当a=m时，s=？ 学生独立完成 个别交流：

当a=m时，s=n÷2＋m－1 同学们：今天我们通过对形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子数的的多边形的研究，发现多边形的面积单位个数与钉子数之间的关系，并归纳推理出一般公式，当a=m时，s=n÷2＋m－1，这一公式对于形内有5、6…甚至更多钉子时是否成立，我们还需举例验证，下节课我们就来验证这一规律。板书设计：

钉子板上的多边形

当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积单位的个数等于多边形边上的钉子数÷2 当a=1时，S=n÷2

当a=2时，S=n÷2＋1 当a=3时，S=n÷2＋2 当a=m时，s=n÷2＋m－1