孙维刚老师数学哲学思想在解题教学中的应用

第一篇：孙维刚老师数学哲学思想在解题教学中的应用

孙维刚老师数学哲学思想在解题教学中的应用

孙维刚老师是京城普教界的传奇人物。他去世多年，但是他创造的教育奇迹，至今让同行赞叹不已。近几年来，笔者一直研读孙老师的著作，探寻他老人家创造教育奇迹的真啼。本文试图通过案例分析，来展示孙老师数学哲学思想在解题教学中的应用。

一、孙维刚老师最重要的数学哲学思想。

1.广义对称思想：指的是“合理和和谐”。例如。轮换对称式a3b3c33abc中的a.b.c是对称的，并不是它们各占30%，指的是地位是平等的。2.换个角度思考问题：指的是“可以从不同角度去思考”。

看上去这些思想朴实无华，没有什么奇妙的地方。但是，在好多难题面前威力无比。

二、案例分析 案例1（2011年江苏高考压轴题）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a11，前n项的和为Sn，已知对任意整数kM，当nk时，SnkSnk2(SnSk)都成立．（1）设M{1}，a22，求a5的值；（2）设M{3,4}，求数列{an}的通项公式．

2011年江苏高考卷，让大部分考生眉开眼笑，因为前18题很简单。但是尖子生怎么也笑不出来，因为压轴题的第（2）小问能做的人十万分之一都不到。

根据江苏考纲等差数列、等比数列都是c级要求，所以好多考生都知道是等差数列或等比数列，有的同学甚至通过特值猜出答案。可是怎么证都难以找到理论根据。现在用孙老师的数学哲学思想分析如下： 分析：从“广义对称思想”看，把sn转化为an ,根据等式有三个方向:消

sn3sn32(sns3)(1)k3k

4、、。、代人得

消sn，snsnksnksn4sn42(sns4(2)（2）（1）得an4an32a4。消snk，（1）式下标放大一个减去（2）式得（2）式下标放大一个减去（1）式得an2an32an12a4。.消snk，an5an42an12a4。即

an7an2a4(3)an1an2an42a4(4)

上式必须消去a4，才能得到关于an关系式，根aa2a2a(5)n14n5n4 据“广义对称思想”分别有（3）和(4)、（3）和（5）、（4）和（5）消a4。

an7an12an4(6)（3）+(4)、（3）（5）、（4）并化简得：（5）an7anan5an42an1(7)。

aaaa(8)n1nn5n4（6）、（7）、（8）看不出什么关系，但是如果我们“换个角度思考”，消去a4除了（3）、（4）、（5）两两相消外，还可以（3）、（4）、（5）下标放大一个与原式相减去消。（3）、（4）、（5）下标放大一个与原式相减并化简得：an8an7an1an(9)（10）式让我们眼前一亮，an2an2(an5an4)(10)

显然（8）式、aa2(aa)(11)n2n1n6n4即得：an2an2(an1an),anan22an1,an成等差数列。由sn3sn32(sns3)得：sn6sn2(sn3s3),(n6)a1(n6)(n5)n(n1)dna1d2(n3)

22(n3)(n2)d6a16d,a11代人化简即得：d2an2n1。

其实本题从上面分析过程看，用“广义对称思想”和“换个角度思考问题”去分析，思路自然流淌。完全没有高考压轴题那种让普通学生深不见底，高不可攀的感觉。如果普通学生掌握这些思想，也能领略一下高考压轴题的奥秘。

案例2（2010年全国高中数学联赛加试题第3题）给定整数n2，设正实数

aaak,k1,2,n，a1,a2,an满足ak1,k1,2,,n记Ak12k求证:akAkk1k1nnn1 2分析：乍看这一题目，很自然把akAkakaAkk1k1nnk化成(akAk).k1na1a2ak(k1)aka1a2ak1再下去如何做，对大部分学

kk生都是一条绝路。可是我们回过头来想一想，刚才是把Ak统一成ak去寻找解题思路。这里转化只有两个方向，一个转化为Ak，另一个转化为ak。Ak转化为ak此路不通。何不“换个角度思考问题”，把左边统一成Ak形式。2 aAkk1k1nnk写到这里，对 AnAknAnAkAnAk(AnAK)。

k1k1k1k1nnnn1的处理，必然还要回归到定义。aaana1a2ak11AnAk12(a1a2ak)()

nknkaaanak1ak2an11k1k2()(a1a2ak)0a1nnknak1ak2annkk1111k1。()(a1a2ak)()k1。nnnknknnkAnAk1nkn1。本题之所以峰aAAA(1)kKnkn2k1k1k1k1nnn1n1回路转，那是“换个角度思考问题”。事实上如果掌握了这一思想，本题就不在是什么难题。

总之，孙老师的著作，博大精深。对我们师生很有指导意义。以上只是笔者学习孙老师著作的粗浅体会，望各位同行批评指正。

第二篇：读孙维刚初中数学有感

读《孙维刚初中数学》有感

———冯岩

《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行初中数学教育大纲中所要掌握的内容，是孙老师三轮实验班的数学教材。孙老师的数学教学理念可以概括成四句话：八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底。他认为，学好数学，首重概念扎实，基础知识牢固。解数学题，要在“扎实”“牢固”的基础上，加强在概念的理解，引申，概念外围的规律方法，以及解题思考规律方面的功夫。而在本书中，他更旗帜鲜明的亮出自己的观点：要学好数学，还要学会“聪明的做题”，这一论点给我留下了深刻地印象。

孙老师认为：提不求多，但求精彩，要求“知人善用”。很多老师和同学做了大量的联系，但实际上无论从知识或是从思维能力哪个方面来说，收获都很少，明显的与付出不成正比。造成这种情况的主要原因在于：其一，是否从思想上明确了如上所述的做题目的目的；其二，是否在用科学的态度和方法去做题。所谓科学的态度和方法主要包括一下几个方面：

1.题不求多，但求精彩。对于题目的选择可以遵循下述几个原则：（1）题目本身无错误；（2）不要选只是对概念，定理，方法进行复述的题目（这一点对于我校学生尤为重要），这种题目，对于理解知识，培养能力几乎毫无作用；（3）题目从解法上看，应是充满活力，不要死气沉沉，只是繁琐的堆砌公式或冗长无味；（4）同一类型的题目，解透一两个有代表性的即可，不必大量重复；（5）不问津那些对于概念无理解价值，在思考方法上远离一般规律的偏题，怪题

2、讲究做题的方法——

一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）。这三种方法与其说是是研究问题的三种手段，不如说是深入理解解题思想的三个层次。在本书中孙老师用了几个浅显的例子来说明自己如何通过这三个层次的引导，帮助学生掌握知识熟练技巧，进而思考规律的。而孙老师教学成功的所在，我认为也恰恰在于他对学生做题方法指导上。

我从一些资料中了解到，孙维刚训练学生，一要“敢”提问题；二要“会”提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。

而孙维刚学生的成绩，总是和“付出”之间有一道“不等式”：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。孙维刚到底靠什么呢？

他说：“我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。”

在孙维刚的书橱里，有一摞大硬皮本。数数共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。

他为学生开创了解题的“三级跳”：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。

所以，要想引导学生理性思维，首先教师要有很大的内存和相当的积累，并且用心总结剖析，才有可能做到这种深入浅出和行云流水的境界。

3、在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么。达到知己知彼。魏书生认为，教学中首先应当帮助学生解决“学什么”的问题。为此，他与学生多次讨论、商量，画出了语文学科的知识结构图，整理成了支干、小杈、叶子的系统，即所谓“语文知识树”，或叫“知识地图”。这样做就能使学生“当思维的车在知识的原野上奔驰时．有了这张‘地图’，目标才能明确，少走冤枉路”。

孙维刚则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：

一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；

二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；

三、在系统中进行教学。孙维刚认为这种做法所起到的作用是：“使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。”

第三篇：解读孙维刚初中数学教学秘方!

观《孙维刚老师初中数学教学视频》小结

本小结的顺利完成,首先要感谢研究孙维刚老师的存世资料的教育工作们,一周研究，让我颇有启迪, 受益匪浅。在这里'我要诚挚地向孙维刚老师表达衷心的谢意,在百忙的时间中抽出时间来观看研究，顿时让我对数学教学从困惑到茅塞顿开！

现在来谈谈我的想法：

数学“多解归一”的本质：

那么在孙维刚老师的结构教学法中,教师高于学生的部分具体体现在什么方面呢?我

想主要还是在于结构上,说得更通俗一点就在于“多解归一”的那个“一”上,这里的“一”

其实大有文章。

在三角形内角和定理的课堂上,孙维刚老师和学生一起讨论出了六种不同的证法,这

六种证明方法看似很多,但仔细分析会发现其实它们是一个统一的整体,由其中的任一种

证法容易想出其余的各种证法,只要思想方法正确,所用的手段可以任意选择。这可以归

结到“多解归一,寻求本质”的第三点上:几种解法融会贯通,由特殊到一般,统一在了

一个最本质最简捷透彻的方法上。这里“六解归一”的“一”如果要升华,便是指哲理上 的对称思想了。

在三角形内角平分线性质定理证明的八种证法中也是有“一”可循的。这八种证法咋

看杂乱无章,但若仔细分析思考,容易寻求出不同解法之间的共同木质。其一,在思想方

法上,某些证法是共同的。例如,证法

一、证法

二、证法

五、证法

六、证法

七、证法八，都是“等比代换”的思想;证法三和证法四,都是“等量代换”的思考;证法六和证法七，都是利用面积法;证法四和证法六,都是改造或制造了相似三角形。其二,在具体步骤上，某些证法也是共同的。例如,证法六和证法七,是两种不同的面积证明方法,但都离不开

“要把某个图形的面积用两种方法各表达一次”这一关键歩骤;证法和证法五,用不同 的方式去改造并制造相似三角形时,都必须保留原来相等的那一组角。甚至,在某些证明

中,有某个工具是谁都不可不用的;某个步骤,是谁都无法绕开的。这里“八解归一”所

归的“?”,便是课堂上所总结出来的证明线段成比例问题的一般思考规律,孙维刚老师

完全是站在方法论的角度来看待问题了。

教育双重目的：

教育具有双重目的,既要适合满足国家与社会的需要,又要使学生的主体个性得到充分的发展,使学生的人格和心灵得到完善。同时,课程的改革也总是要以社会需要、学科体系和学生发展为基础;随着新一轮课程标准的颁布,人们现在已经普遍意识到了,在教学中既要重视系统知识的学习,又要充分发挥学生的学习主动性。而这一点如果用来评价维刚老师的结构教学思想,只怕是孙维刚老师的这种意识是有过之而不及。当时孙维刚老师的教学理念在现今完全适用,孙维刚老师的课堂就是现在新课标所提倡的教学模板。

时代要发展,教育的改革当然要满足时代发展的需求,牛顿曾说他看得远,只是因为他站在了巨人的肩膀上;而时代发展、教育改革这些事情本来就需要高瞻远瞩、立意深远,如何做到这些呢?瞻前顾后,效仿前人的成功之典范,取其精华而吸收、利用,这是一条必经的道路。其实熟谙新课程标准思想的学者,一定不难在孙维刚老师的结构教学思想中发现新课程标准思想的影了;而孙维刚老师的教育教学实验远在新课程标准颁布之前,若认为新课程标准的颁布也参考了孙维刚老师教育教学实验的经验和教训,这种说法也不能说是全无道理,更重要的是对于研究者而言,研究的意义正在于此。

新课程标准的核心思想是什么?引“还教育之本源”,孙维刚老师的教学思想也正是“还教育之木源”的初衷而展开。做教育不仅是要使学生学会独立的思考,更重要的是让学生学会做人,孙维刚老师的结构教学思想始终不离哲理思想的指导,那么他所教出来的学生必定是能够站在哲理的高度去思考问题的“高人”，学生的思想境界高了,所能取得的成就也自然会高。

由于受时间、条件、自身素质所限,对孙维刚结构教学视频思想的探究尚有一些不足之处。

其一,案例资源有限。

想做的研究很大程度上是想向大家展示完整的孙维刚老师对初高中六年课程的整体编排和教学设计,但由于目前只观看了初中教学视频实录。笔者也就不敢妄自菲薄了,只好充分利用手头资料,做成案例的形式,供有兴趣的读者参考。

其二,没有结合布鲁纳的结构主义教学。

认为孙维刚老师的一套教育教学理论已经自成体系,可以作为一个独立的研究对象而存在,所以本文所探究的是孙维刚老师的结构教学思想,但从内容上来看,没有很好地结合布鲁纳的结构主义教学来加以评价,难免显得有些孤立。若能适当的结合布鲁纳结构主义教学的几个要点,如学科基木结构、发现学习等方面,对孙维刚老师的结构教学内容和方式加以恰当的褒奖,相信能够更好的说明孙维刚老师结构教学思想的本质。

其三,结构教学思想把握不够。

孙维刚老师的结构教学思想很好,若能把握精髓必定又是数学教育界的一笔宝贵财富。虽然曾在中学参加过见习和实习教学实践活动,但是毕竟没有真切的一线实践经验,所说之话恐有“越俎代庖”之嫌,同时受思想境界所限,对孙维刚老师结构教学思想的把握只能是浅尝辄止,并没有完全领悟透彻,还需要更多专家、学者的批评和指正。

这些不足之处,虽然笔者也在尽力弥补,但终究力不从心;只是希望把这些不足之处摆出来之后,能够为后来的研究者们提供借鉴和参考,笔者将不甚荣幸。

孙维刚老师在教育教学实验中的成就是有目共睹的,目前国内研究孙维刚老师的学者也很多,但相关著作研究鲜见于世,大概也是年代久远、资源不足等客观因素所限。笔者在当今重提孙维刚老师的教育教学思想,特别是结构教学的思想,认为具有相当大的意义。虽年代已经久远,但其精神、思想永存;而作为一名研究者,文字表达的意义也正在于此。通过观看孙维刚老师的教学视频,也让本人意识到,要格外珍惜一线教学资源,特别是一线教师的教学手稿,做好各方面的保存、保管工作,不能让珍宝流逝于粗心大意之间。同时,对孙维刚老师的结构教学思想,认为还可以从以下几个方面展开进一步的研究、探讨:

(1)孙维刚老师结构教学思想产生的背景如何 ?(2)在现今的教学活动中,如何落实、实践孙维刚老师的结构教学方法?(3)对于不同层次的学生,孙维刚老师的结构教学应如何把握进度?(4)在孙维刚老师的结构教学中,应怎样发挥学生的主体意识?(5)孙维刚老师结构教学思想的木质是什么?

参考文献：

[I] 《孙维刚,全班55%怎样考上北大、清华》 [2] 《 孙维刚,孙维刚初中数学》 [3] 《 孙维刚,孙维刚高中数学》

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[4] 《 孙维刚初中数学辅导》教学视频 [5] 《 孙维刚高中数学辅导》教学视频

初中、高中数学教学视频

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第四篇：数学模型方法在数学解题教学中的应用

数学模型方法在数学解题教学中的应用

摘 要：数学模型方法是一种重要的数学方法，阐述了灵活应用函数模型、不等式模型、几何模型等模型的解题方法，以及数学模型方法教学的基本原则。

关键词：数学模型；模型方法；解题；教学

一、数学模型的概念及分类

根据波利亚对数学模型的描述，中学数学中的一切公式、定理、法则、图象、函数以及相应的运算系统都可以作为数学模型。根据数学本身的特点，数学模型可以分为概念型模型、方法型模型和结构模型三大类，而根据中学数学教材的内容，中学数学模型应包括函数模型、不等式模型、复数模型、排列组合模型、概率统计模型以及平面几何中的平面，解析几何中的平面，立体图形模型，距离模型，线性模型等。

二、数学模型方法的含义及基本步骤

1.数学模型方法的含义

数学模型方法（Mathematical Modeling Method）是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。它是处理各种数学理论问题、解决各种实际问题的不可或缺的方法，无疑，数学教师在日常教学中都应当注意让学生了解并掌握这种方法，最大可能地培养其构造数学模型的能力。这绝对不是一个轻松的过程。首先，学生必须先掌握一定的数学知识，让他们学“杂”一些，使得建立模型解题才有了可能性。其次，要让学生多接触题目，多动脑。

2.数学模型方法的基本步骤

在中学数学教学中，数学模型方法已成为一种非常重要的思想方法，它在解题中的基本步骤表示如下：

将所要解决的问题转化为比较简单的比较常见的问题，或已经解决了的问题，然后再通过后者的解来解决原来的问题，这便是人们在数学研究中经常采用的一种方法――关系影射反映方法。模型解答题，按照上图中的三个步骤来完成。在构造模型时，要仔细分析问题中的条件，找出可以用来构造模型的因素，挖掘各种因素、各个事物的联系，最后，利用恰当的数学工具达到最终目的。

三、应用模型解题

1.应用不等式模型解题

用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式。不等式是研究不等关系的数学工具，它与等式和方程是研究相等关系的数学工具的性质是一样的。问题的研究经常要分析其中的不等关系，列出不等式，并用不等式求出某些数量的取值范围。

历年高考试题几乎都会涉及最值问题，而这些问题的绝大多数都可以转化为不等式问题。这就要求学生应当熟悉几种常见的求最值问题的不等式模型，提高解题速度，从而更好地把握考试时间。

2.应用几何模型解题

有些实际应用问题，可以通过分析、联想，建立恰当的几何模型，将问题转化为空间图形的位置关系，数量关系或者转化为曲线问题来加以解决。

3.应用概率模型解题

概率是随机事件出现可能性的量度，在初中数学中加大概率的内容已成为共识。现实生活中的部分现象极好地体现了概率知识的广泛应用，这里主要探讨概率模型在一般数学题目中的应用。

四、数学模型方法教学的基本原则

建立数学模型解决原型的过程确实不易。教师在数学模型方法的教学中就必须遵循一些原则，概括起来有以下三点：

1.循序渐进教学原则

也称为分层次教学原则。该原则的出发点为学生认知水平的层次性。模型方法的教学应该重点体现在知识的应用期。引导他们掌握数学模型方法的基本步骤，要求他们会建立相应的数学模型。反过来，模型的建立、求解又进一步巩固所学知识。

2.引导启发教学原则

该原则就是要让学生自己领会模型方法，掌握不同的模型。在课堂上多创造一些生活的情境，多给学生动手实践的机会。教师将目标落实到具体的课堂教学中，与教学结构的各环节相匹配。

3.融会贯通教学原则

解数学题目时，要尝试用另外一种方法去检验结果。模型方法的教学更是如此。或许建立某种模型可以解决这个问题，但是应用其他模型却有可能使得问题的呈现更加明了。一题多模不但能够使题目获得最为简明的解答方式，而且能够让学生从多个角度观察事物，进而提高学生的思维活动能力，培养其创新精神。

参考文献：

[1]顾泠沅，朱成杰.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.[2]孙宏安.数学模型法的三个来源[J].大连教育学院学报，1997（1）.[3]高连成.解决最值问题的6个不等式模型[J].第二课堂：高中版，2007（4）.[4]刘美香.构造多种模型证明一道竞赛题[J].上海中学数学，2008（12）.|编辑 杨兆东

第五篇：特级教师孙维刚老师的数学最优学习方法

特级教师孙维刚老师的数学最优学习方法

我曾仔细读过已故特级教师孙维刚老师的书，书里孙老师谈到如何在教学中利用结构教学法，让学生在学习中学会举一反

三、融会贯通。孙老师的学生们学习灵活性都很强，也都有很强的自学能力。孙老师带的班成绩都好得惊人，最好的班有全班55%的同学考上清华北大，其余全是一类本科，更难得的是他从不布置课后作业，即使高三学生也能保证每天睡到8个小时以上，这简直不可想象，但是我们敬爱的孙老师，他做到了！

在构建知识结构的过程中，我意识到如果能巧妙利用知识结构进行教学，将使教学效率大大提高，会有效减轻学生的课业负担，而且学生能保持优良的成绩——这是我一直孜孜不倦梦寐以求的。因自身水平有限，还需要进一步学习，我想借这次机会好好来谈谈我研读孙老 师的结构教学法的收获，好好研究一下如何灵活运用知识结构教学法来提高学生的学习效率，与各位教师，各位家长，各位同学共同学习和探讨，让同学们达到轻松 学习，快乐学习的美好境界，使学生真正有时间进行丰富多彩的课外活动，除了文化课的学习，还能参加更多的体育，艺术，社会活动，使学生们健康快乐地成长。

孙老师在课堂上的魅力案 例很多，在这里无法一一叙述。我想把我仔细研读孙老师的书的收获和感受，以及孙老师的结构教学法的优点，其中最值得学生们学习的一些经验以要点的形式总结出来，如果有不妥之处，恳请有识之士斧正。孙老师的结构教学法主要有以下几点经验非常值得学生们学习：

1、学会找知识的新旧联系。

许多知识都是互相联系的，比如高中时要学的余弦定理，你就应该明白勾股定理就余弦定理的一个特例。找到新旧知识的联系，那么数学就变得简单多了。

课堂上老师常会重复以前的知识，这时候你应努力找到新旧知识的联系，这样学习数学就变得简单而有趣了。就像华罗庚说的，读书应有个过程——先把书读“厚”，再把书读“薄”，也就是说要善于总结规律。

孙老师则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：

（1）每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；

（2）在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；

（3）在系统中进行教学。孙老师认为这种做法所起到的作用是：“使学生发现知识之间既盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌的一张网，而不再是一堆杂乱无章的瓦砾和一片望而生畏的戈壁滩。”

孙老师的教学方法被称为“结构教学法”，讲究新知识和旧知识的比较与联系。他并不担心学生的脑子够不够使，因为教师的任务就是造就学生发达的脑子。在他的课上，基本上是先出题，写出公式，然后让学生讨论，上黑板演示，老师在一旁点拨，让学生学会寻找规律。比如在教三角形内角和定理的证明时，课本上只是延长三角形底边并做出一边的平行线，引导学生做出证明。而孙老师则把问题交给学生，上来就让学生猜想三角形内角和是多少，再让学生提出自己的证明。几种证法出来后，孙维刚再问：“那么多边形内角和是多少？”学生答：“(n-2)180°。”“怎么证？”学生们踊跃举手，把几种证法写在黑板上，然后，由孙老师做总结，提到了证明所用的就是数学归纳法的思想。数学归纳法是高二才接触的内容，在初一教学中就涉及了，学生接受得了吗？当然，孙老师并不指望学生能一下子就理解和掌握数学归纳法，而只是抓住时机对教材结构进行调整，有关知识和方法先“闪现”一下，做个埋伏，做个铺垫，以后还会“再现”，以激发学生的求知欲望，培养他们的探索精神。

孙老师花费不知多少不眠之夜，设计，编写的“结构教学”和配套教材，取得了极大的成功。“结构教学”使学生成了课堂的主人，课后没有硬性的、繁琐的家庭作业，上课超前学一步，下课更轻松。他的“结构教学法”，注重新旧知识的比较与联系，用他的话说是“八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼翔浅底。”„„六年的课程三年学完，学生接连在各种竞赛中获奖。在他看来，生源的差别不应该成为影响教育成果的首要因素，只要方向对头，方法得当，我们的教育对象都能成为栋梁之才。

2、听讲要专心，专心的标准是什么？ 是精神集中，不走神吗？ 孙老师觉得这不是一个好的回答，只把精神集中到老师的讲授内容上，很可能是跟在老师的后面亦步亦趋，学生的思维即使在活动，也只是处在被动的状态。

孙老 师的建议是：一个命题提出来了，自己先试着去判断它的真假；一个定理或公式写出来了，自己先试着去证明它；一个例题写出来了，自己先试着分析、解出它。甚 至在学习进程中自己设想，该提出什么命题了，该定义什么概念了，让思维跑在老师的前面。如果达不到大幅度的超前，也要设想讲课的老师正在进行的推理的这句 话的下一句会是什么。

孙老师在每届的数学教学中，要求学生做到如下几点：

（1）几乎每道例题、每个定理、每个公式都是引导学生自己动手完成的。

（2）在课堂上要创造条件，造成学生总是想在老师前面、向老师(包括课本)挑战的氛围，让学生在思维运动中训练思维。让一个个学生到前面来讲，促进了学生之间聪明才智的相互传染。

（3）从数学学科特点出发，在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识，站在哲理的高度思考问题，注重联想。

（4）在解题中指导学生一题多解，多题归一，多解归一，归纳共性，分离个性，并总结出了一套科学有效的解题规律。

（5）提倡和指导学生开展问题研究，练习写论文、写总结。（6）不能忽视回顾总结工作，学生完成作业后，要回顾、总结、反思，只有掩卷反思才会有所发现和优化。

（7）世上不存在没有“为什么”的事物，凡事需问“所以然”。知其然，更知其所以然，凡事都要问一个为什么。鼓励学生勇于探索大胆创新，各抒己见，展开争论。

孙老师认为：老师给学生讲题，如果只把题目的解法过程一步一步讲清楚，哪怕再细致明白，而讲不出这些解法步骤是怎么想出来的，对提高学生的解题能力，效果是不大的，甚至起消极作用。要讲清楚自己当时的心绪和想法，在笨拙中学会反思，学会提出问题解决问题。

3、学习的四种基本能力组成了学习的基本模型。

孙老师训练学生，一要“敢”提问题；二要“会”提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。

而孙老师的学生的成绩，总是和“付出”之间有一道“不等式”：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。

孙老师到底靠什么呢？

孙老师说：“我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。”

在孙老师的书橱里，有一摞大硬皮本，共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。孙老师每出一道题，自己要先做上10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的，让学生在课堂上讨论，不用预习，不留作业。学生在讨论中感受到学习数学的乐趣，下课自己就会把找题解题当做一种乐趣。这就是孙老师教学成功的秘诀。

孙老师为学生开创了解题的“三级跳”：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。

心理学研究可以证明，孙老 师的结构教学法是有理论支持的。心理学研究发现：学优生和学差生的知识组织是不一样的。学差生头脑中的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方 式，而学优生头脑中的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构。可见如果知识在头脑中无条理地堆积的 话，那么知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无章地堆放 着，我们就很难找到需要的书。

有些家长会说自己孩子上课听讲很认真，也挺聪明，但就是考试不出成绩，上课听得很会，就是不会做题。这到底是什么原因呢？ 其实这就是知识零散造成的结果。结构乃是决定事物性质的重要因素。知识的作用，主要不是知识量的作用，而是合理结构的作用。在知识的应用、解决问题的过程中，并非独立的“某个单项知识”，而归根到底是整个知识结构在起作用。

学生学习课内外知识、获取信息，将这些知识、信息进行有目的的加工整理，即把个别的、零散的、无规律的知识、信息，进行分析、归纳、筛选，按其内在联系，分门别类，纳入相应的“知识库”中，使之结构化、系统化，形成网络。这样，运用时可以准确、迅捷地从“知识库”中提取有效的知识信息解决问题，吸收新知识、信息，进而掌握《大纲》中应掌握的知识，形成《大纲》中应形成的能力。对知识信息进行加工整理，并纳入相应的“知识库”，使之结构化、系统化，形成“知识网络”，简而言之：整理知识。这是建立合理的知识结构的关键环节。它实际上包含这样的两个方面：

（1）知识门类化，即对所获取的个别的、零散的、无规律的知识信息进行加工、筛选、并按其内在联系分门别类：

（2）知识结构化，即将门类化的知识、信息纳入“知识库”中，使之结构化、系统化，形成知识网络。

合理的知识结构可以在运用时，快速、准确的提取有效的知识。—个人是否真正把知识学到手了，要用“运用”来检查。如果学了许多知识但不能在“运用”中表现出来，所贮存的知识不能根据需要成为进一步学习和解决实际问题的智慧和力量，那就是没有把知识学到手。引导学生建立合理的知识结构，就是为了帮助学生快速提取，充分运用己掌握的知识，使知识发挥作用。美国心理学家布鲁纳认为，记忆保持的重要问题不是贮存而运用时“如何把用到的知识易于提取”，“易于提取”的关键又在于“对知识的组织”。因此掌握知识的人要善于把所掌握的知识进行科学安排，到需要时即能知道在何处提取。这让人们想到图书馆的运作情况了。

当你走进一座相当规模的图书馆，藏书几万、几十万、几百万乃至上千万册，想借一本书，只要你递上索书单，工作人员就能从数以万计、十万、百万乃至上千万计的茫茫书海中，快速、准确地找到它，让你如愿以偿。为什么能这样迅速而准确地做到呢?最 根本的一点是：图书馆中的每本书，并非零散的，无系统性、规律性的，而是按某种结构标准进行划分归类，使它们从属于各自的类目。工作人员就是以这为基础，根据这些，从相应的不同级别的书库中、书类目中准确快速地找到它的。试想如果你不提供这本书所在的类目情况；如果图书馆的数以万计，乃至上千万计的书没有 进行有目的的整理，分门别类，而是随意堆放，毫无规律性、结构性，那么，工作人员要找到它真的如大海捞针，千难万难。由此可见，图书馆的运作过程中，把图 书按一定的标准加以分类，并根据这种分类建立相应的各级别各类目的书库，按照设定的各级别各类目的书库情况，对进入馆内的每本书进行分类，标明其从属的类 目，至关重要。

建立相应的各个级别的“知识库”，犹如图书馆中级别不一的书库。每个小的知识点和能力训练点，好比进入馆内的经过加工整理类目从属清晰的每本书。建立合理的语文知识结构，在运用时就能准确，迅捷地从众多纷杂的记忆中提取有效的知识。孙老师的结构教学法的经验不仅仅可以用在数学学习上，还可以复制到其它学科，因为各学科的思维结构和思维原点是相通的，是有规律可循的。从这些思维原点中提炼出来一个学习的基本模型，这个模型是由四种基本学习能力组成，即：

（1）发现研究对象的能力；

（2）围绕研究对象确定研究角度的能力；（3）寻找知识之间联系规律的能力；（4）建构知识网络制作联系导图的能力。

这四种能力的训练能够在短时期内使学生站在系统的高度进行学习，造成学生总是浮想联翩思潮如涌的思维状态。

4、学习的六种复合能力组成了学习的复合模型。这六种复合学习能力是：（1）理解概念的能力；（2）研究概念的能力；（3）理解原理的能力；（4）研究原理的能力；

（5）审题解题的能力和研究试题的能力。

学 生掌握了这个复合学习模型，提升的是自己的智力素质，这样就可以很轻松自在地运用到所有科目的学习中去，一理通，百理通。更为重要的是，它使使学生在思维 的根源上具备了面对问题、探索问题、解决问题的能力，它打开了思维的万千视角，让学生将这种领悟延伸到未来，受益终生。