数学思想方法在数学教学中的应用

第一篇：数学思想方法在数学教学中的应用

论文题目：

数学思想方法在数学教学中的应用

姓名：高

媛 单位：四群中学

数学思想方法在数学教学中的应用

数学做为一门基础性学科，在日常生活和各个领域都有着较为广泛地应用。而数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它贯穿于我们的整个数学教学过程中。在教学工作中数学思想方法不仅是对课本知识简单传授，更要注重对学生数学思想方法的渗透和培养，把数学思想方法和数学知识、技能综合起来，不断提高学生的思维能力、解题能力，从而解决生活中的实际问题。下面就几种常用的数学思维方法及其在数学教学中的应用，谈一些看法和体会。

一、符号与变元思想方法

用符号化语言和在其中引进变元，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质。一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如：将文字化的数学题用代数式表示，就会是题又繁琐变得一目了然；有如：平方差公式公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“变元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁

二、数形结合思想方法

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。又如如用线段图解应用题的思想，有关解直角三角形的知识的题型，数形结合可使思维更快。

三、化归思想方法

在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。在我们的教学和学习中也经常用到化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求 负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。例如一元二次的根与系数关系的应用就是化未知为已知的转化思想的应用。

四、.分类讨论思想方法

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。（注意同一数学对象，也可有不同的分类标准）在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在几何证明中有：已知同园中两条平行弦，求两线之间的距离；圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，这些命题都要分类。可见，分类思想在初中数学中占有重要的地位。分类思想对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生分面、周密地分析问题和解决问题能力都有着重要的作用。

五、函数与方程思想方法

方程思想是指运用适当的数学语言，从数学问题的数量关系出发，将此问题中的条件转化为各种数学模型（可以是方程，可以式不等式，或者是方程和不等式的混合），然后运用方程或不等式的解答方式求解。而函数思想是指构造函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和利用函数的特点解决。同时，函数的研究不能离开方程，函数和方程可以使问题变得简洁、清晰，可以化繁为简，变难为易。例如对于函数y=f(x)(其中f(x)为x的一元一次或一元二次式)，当y=0时，就转变为方程f(x=0)，也可以把函数式f(x)看做二元方程y-f(x)=0。利用函数方法解答方程，运用方程公式解答函数，方程与函数的思想在数学解题中有着广泛的应用。

六、整体变换思想方法

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体变换处理，使问题简单化。整体变换思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。例如：我们较熟悉的题，已知： 1/x+1/y=3,求：（2x-3xy+2y）/(x+xy+y)的值。析：从已知条件出发，将其变形（x+y）/xy=3为：x+y=3xy,将其整体代入则： 原式=[2(x+y)-3xy]/[(x+y)+xy]=[2×3xy-3xy]/[3xy+xy]=3/4 总之，学生不是知识的容器，而是学习的主体。在数学教学中，依据课本内容和学生的认识水平，切实把握好数学思想方法，做到有计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带。在传授知识、技能时，要充分发挥学生积极性、主动性、创造性，让学生有自主学习的时间和空间，引导他们自己动脑、动口、动手，使学生有进行深入细致思考的机会、自我体验的机会。尽自己最大的努力，充分地激发和调动学生的学习积极性，提高他们的学习兴趣，由“要我学”转化为“我要学”、“我爱学”使学生真正成为学习的主人。

第二篇：数学思想方法在教学中的应用策略

数学思想方法在教学中的应用策略

数学思想方法在教学中的应用策略主要有以下几条：

1、渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力

2、渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力

3、渗透分类讨论的思想方法，培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力

4、渗透方程思想，培养学生数学建模能力

5、渗透从特殊到一般的数学方法，加强学生创造性思维的形成和创新能力的培养

第三篇：「教学论文」数学思想方法在一次函数教学中的应用

数学思想方法在一次函数教学中的应用

所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，他在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓，因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法，不是机械的传授。下面我就在一次函数教学中用到哪些数学思想方法谈谈个人的一些做法：

一、数形结合思想方法

“数无形，少直观，形无数，难入微”。“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简，使抽象变得直观。如：一次函数y=-x+5图象不经过哪一象限？解法一：根据图象性质，k＜0,b＞0过一二四，即不过三象限。解法二：若忘了一次函数图象性质，可做出此函数的图象，问题就迎刃而解了。这就是利用了数形结合思想方法。

三、分类思想方法

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论，例如一次函数y=kx+b的图象经过哪几个象限，这时就要分四类讨论：

(1)当k＞0,b＞0时，图象经过一二三象限；

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(2)当k＞0,b＜0时，图象经过一三四象限；

(3)当k＜0,b＞0时，图象经过一二四象限；

(4)当k＜0,b＜0时，图象经过二三四象限。

三、整体思想方法

整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。例如：已知y+b与x+a（a,b是常数）成正比例，（1）试说明y是x的一次函数：（2）如是x=3时，y=5，x=2时，y=2，求y与x的函数关系式。解决这个问题（1）时，我们就要把y+b与x+a都看成一个整体，设y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，从而说明y是x的一次函数，解决问题（2）时，当我们把握两组数值代入解析式y=kx+ak-b中后得到一个三元二次方程组，显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把ak-b看作一个整体，就可以求出k=3，ak-b=4，从而求出y与x的函数的关系式是y=3x-4，在这个问题中两次运用到整体思想方法。

四、模型思想方法

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。如若想找出一次函数y=kx+b与x轴、y轴交点，可根据点在坐标轴上的特征，x轴上的点纵坐标为0，即当y=0时，x=-b/k，即与x轴交点为（-b/k，0）。y轴上的点横坐标为0，即当x=0时，y=b，因此与y轴交点为（0，b）。这就用到了方程这一模型思想方法。

五、类比思想方法

当我们要探究一次函数y=kx+b的图象及其变化规律时，由于一次函数y=kx+b的图象可以看作是由正比例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度而得到的，因而可以利用之前已经学习正比例函数y=kx的图象及其变化规律类比得出一次函数y=kx+b的图象及其变化规律。

六、特殊与一般思想方法

要研究正比例函数y=kx的图象及其变化规律，先让学生画出正比例函数y=2x与y=-2x的图象，比较这两个函数的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律，再由此而得出y=kx的图象及其变化规律。这就用到了特殊与一般思想方法。

总之，数学思想方法在教学中是无处不在，我们要善于引导学生掌握并运用这些思想方法，从而更好地去学习数学。

第四篇：分类数学思想方法在小学数学教学中的应用

分类数学思想方法在小学数学教学中的应用

113数教 黄怡娴 68

【摘要】分类思想是一种基本的数学思想方法，它是根据一定的标准对事物进行有序划分和组织的过程。分类能力的发展，反映了儿童思维发展，特别是概括能力的发展水平。小学阶段，儿童以形象思维为主，认知水平不高，其最大的特点是思维离不开具体事物的支撑。分类必然存在分类对象，满足了学生的认知需要形象支撑的特点。数学研究对象主要是事物的数量关系和空间图形，这种关系是要逐步脱离事物的物质属性。正视学生概念学习的困难，在具体情境中，借助学生已有知识背景和生活经验，利用分类思想，使抽象的概念形象化，便于学生理解和掌握。分类中的逐级分类，逐级讨论，可以使学生思维互补深入。应用分类，可以化整为零，对每个子类的情况分别讨论，各个击破，再合零为整，可以使看似复杂的问题变得简单。小学阶段的课程标准的基本理念第二条明确指出：“课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。分类，在一年级第一学期，学生学习完的认识之后，就作为第一个数学思想性教学内容，正式和学生见面，可见，分类思想方法在整个数学体系的基础性和重要性。分类思想是一种基本的数学思想方法，它是根据一定的标准对事物进行有序划分和组织的过程。分类能力的发展，反映了儿童思维发展，特别是概括能力的发展水平。

【关键词】：分类 思考 无痕化 深入化 简单化

一、分类方法

1.分类及其要素

人们认识事物往往是从区分失误开始。要区分事物首先就要进行比较，有比较才有鉴别。比较是确定研究对象的相同和差异的一种逻辑方法。事物之间存在的差异性和同一性是进行比较的客观基础。同时并存着的事物之间和先后相随的事物之间都存在着差异性和同一性。因此，比较可分为空间上的比较和时间上的比较。空间上的比较是在既定形态上的比较，以区分或认识各种不同的事物；时间上的比较是在历史形态上的比较，以进一步发现同一事物随时间的变化。在认识过程中，这两种比较是常常结合使用。事物之间既存在现象的同一与差异，也存在本质上的同一与差异。

要系统地总结和掌握已经识别的各种事物，就要进一步通过比较进行分类。分类是根据对象的相同点和异同点和将对象区分为不同种类的基本逻辑方法，分类也叫作划分。

2.分类标准

第五篇：数学思想方法与应用

沈括运粮故事浅析

田小宽

（数学与统计学学院 数学与应用数学 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《梦溪笔谈》中，涉及了军队运粮的有关问题。他把每人背的粮食，每天的食量作为已知定值，将士兵作战时不缺粮食的天数和需要的运量人数作为未知数，通过这样一个关系来说明军队作战乃是国之大事

【关键词】：运粮 运筹 军事

【引言】凡师行，因粮于敌，最为急务。运粮不但多费，而势难行远。予尝计之，人负米六斗，卒自携五日干粮，人饷一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日尽；若计复回，只可进九日。二人饷一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日则一夫所负已尽，给六日粮遣回，后十八日，二人食日四或并粮）。叵计复回，止可进十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并粮）三人饷一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，减一夫，给四日粮；十七日三人食日六升，又减一夫，给九日粮；后十八日，二人食日四升并粮。计复回止可进十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并粮）。三人饷一卒，极矣。若兴师十万，辎重三之一，止得驻战之卒七万人，已用三十万人运粮，此外难复加矣。（放回运夫须有援卒，缘运行死亡疾病，人数稍减，且以所减之食，备援卒所费）。运粮之法，人负六斗，此以总数率之也。

一、军队运粮问题与运筹学联系

军队运粮需要注意许多的变量，并且在事先确定了一些量之后，可以确定另外的比较重要的量最合适的数值，比如：当每人背的粮食和食量、前往作战地所需的天数、作战人数等确定之后可以得到数学模型下的理想的作战的最长天数与运粮人数之间的一个关系式，即之间的一些线性关系，进而在作战之前可以把运粮的大致工作安排妥当，所以说兵马未动粮草先行。可见其是运筹学所研究的问题之一。

二、结合沈括著作《梦溪笔谈》中运粮篇

先设定以下的量：士兵人数已知，x个农夫饷一卒，其他量如同上文沈括运粮问题内。

在沈括《梦溪笔谈》运粮篇中，知道当两人饷一卒时，不计往返则是二十六天，三人饷一卒时不计往返可行三十一日，则此时足够到达作战地点，当四人饷一卒时，不计往返可行三十四日，也能到达地点，并且此时若最后一批农夫不回，可支撑士兵作战四天。具体计算如下：

1.一人饷一卒：设可坚持x天则有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人饷一卒：设第一个农夫在a天后回，则有：6a+2(a-2)=60，则a=8，加上最后一农夫所背粮食可支撑18天，则18+8=26 3.三人饷一卒：设第一个在b天后回，第二个在第一个回了c天后回，则有：8b+2(b-2)=60，则b取整为6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，则c取整得7天，加上最后一人可支撑的18天，则有：6+7+18=31天

4.四人饷一卒：设第一个农夫在a天后回，第二个农夫在第一个回b天后回，第三个在第二个回c天后回，则：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，则5+6+5+18=34 用相同的方法以此类推，我们可以求得五人、六人以及更多人饷一卒的行军的时间。到此时，我们乍一眼观察，上面的运筹学模型没有问题，可以把农夫人数无限制的演算下去，但是结合各个未知量的实际意义，我们知道a是一个不能小于2的量，因为由(a-2)的实际意义知a-2>0。而当又当x=14时，a=2，所以上面的运筹学模型只适用于农夫人数不大于14人时。若要继续计算下去从十五人饷一卒开始，每增加一人多走一天，而当x>29时，此时农夫的增加和第一个农夫支撑天数a的对应关系又变。对于上述证明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)经过检验，当x=14时，a=2；当x=30时，a=1,这时，我们发现，实际情况是当x=29时，a=1！所以得证。

另外，当农夫人数增多时，四舍五入的方法也不在适用，在上面的计算时我们得到的一些数字采用了四舍五入，其中四人饷一卒时，b=5.6，若要当做6天计算，我们可以看到要多吃3.2升，那么农夫要空腹三四天才能返回，但此时显然与上面方程矛盾，因此四舍五入应有限度。

有上述分析可知，解决这个运粮问题没有一个固定的运筹学模型，或者说这个数学模型应是分段的，而且每一段都是遵循线性规划模型的。

而且从上面分析，我们也应在四人饷一卒时应减去一天，即坚持33天。同样在三人饷一卒时不能取整的天数也都舍掉零头，这样的意义是农夫空腹返回的时间少于2天。

综上若要行军一月则至少需三人饷一卒，十万士兵就需要三十万农夫运粮，但古时作战士兵人数大多是在三十万以上的，著名的赤壁之战曹操号称百万大军，则需要三百万农夫。

由此可见古时两国交战是一件多么应该慎重的事，难怪真正懂得兵法人都说：兵者，国之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孙子兵法》把它列在第一篇里的开头。由此也可见运筹学对于军事的重要贡献。【参考文献】

[1].刁在筠 刘桂真 宿洁 马建华

《运筹学》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82页

[2].张俊杰 大众文艺出版社 北京 2009年7月第一版 第10页 《孙子兵法与三十六计》