思想方法在初中数学中的作用

第一篇：思想方法在初中数学中的作用

思想方法在初中数学中的作用

数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。最基本的数学思想方法是；转化的思想、分类讨论思想、数形结合的思想、方程与函数的思想、类比的思想等等。

数学思想方法的核心是转化(化归)思想。转化，是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结为已经解决的问题或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化的思想在数学教学中应贯穿始终。例如：在解一元二次方程时，将“二次问题”转化为“一次问题”；解分式方程时，将“分式方程”转化成“整式方程”；解斜三角形（多边形）时，将其转化为解直角三角形；将异分母分式加减法转化为同分母的加减法„„

分类就是根据事物的共同性和差异性，把具有相同属性的事物归入一类，把具有不同属性的事物各归入不同的类。在每次分类时，必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类应做到不空、不重、不漏。在分类中，对各个类进行研究，使问题在各种不同情况下，分别得出结论。也就是我们平常说的讨论。用这种思想方法来分析、处理、解决问题就是分类讨论的思想方法。例如：探究圆周角定理。教材中，根据圆周角与圆心的位置关系分情况证明。这样分类，划分的标准是同一的、合理的，既不重复也不遗漏，符合分类讨论的原则。如果从特殊情况人手，即当圆心在角的一边时的情况。很容易通过外角得到证明，然后再分一般情况，即圆心在角的内部和角的外部的情况。而这两种情况又可以通过转化为第一种情况，类比其证明方法得以解决。通过对分类讨论思想的渗透，培养了学生的数学修养，优化了思维品质，对提高分析问题、解决问题的能力都有很重要的作用。

渗透数形结合思想，使抽象的事物变的直观。如在学圆和直线的位置的关系时，只要做图就不难看出，只要直线和圆有一个交点，那么直线一定和圆相切；直线和圆有两点交点，直线和圆相交；直线和圆没有交点，那么直线和圆相离。在讲函数后，同过图形和函数联系在一起，也就是说数形结合在一起就会使学生不好理解的问题变的直观、易懂，同时也容易接受。

第二篇：思想方法在初中数学中的作用

思想方法在初中数学中的作用《初中数学新课程标准》在关于课程目标的总体目标中指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知 识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，由此确立了数学思想方法在教育教学中的重要地位。

一、数学思想方法教学的重大意义：

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．”

二、初中阶段对数学思想方法的教学要求：

课程教材研究所李海东在《义务教育课程标准实验教科书·数学》的教材介绍中说：新课程数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，更应注意对其中所蕴含的数学思想方法提炼和总结，使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用，能更好地理解数学的本质。因此各章内容展开时注意对数学思想方法的体现。对数学思想方法的介绍，要注意学生的接受能力，对于初中阶段学生来说，我们主要是以渗透的方式安排的。

三、渗透数学思想和方法的课堂教学策略。

常用的数学思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、特值法、待定系数法、同一法等；二是逻辑推理法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、解析法、归纳法等；三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等。在教学中数学思想和方法可以通过以下策略来渗透：

策略

1、经历过程，进行数学思考。

数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不必直接点明所应用的数学思想方法，而是引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法。

在《等腰梯形的判定》学案设计中，先复习等腰梯形的定义和

性质：两腰相等，同一底上的两个角相等，对角线相等，然后设计AB

猜一猜：梯形ABCD中AD∥BC，添加一个条件，使梯形ABCD为等腰梯形：

可以添加条件：，或 ：，或 ：,学生在复习的基础上，能够较易得出猜想，随即提出：猜想需要得到证明，于是进入本课下一环节。

学生知识的形成经历了“复习性质——猜想判定方法——证明定理”这一过程，在感受、体验和探索的活动过程中，较好感知了图形的特征，利用数学命题与逆命题的关系进行积极有效地进行数学思考，同时又渗透了数学问题的研究方法：观察——猜想——证明。

策略2：小组合作学习，互相交流，取长补短。

《数学课程标准》十分倡导合作交流，明确指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要手段。所谓合作交流就是让学生在自主探索的基础上，以学习小组或全班为单位，充分展示自己的思维并相互进行交流达到取长补短目的的过程。

合作交流要引导学生协调独立学习、组内讨论和组际交流三个环节。

（1）提倡学生独立学习，鼓励学生组内讨论；

比如在《等腰梯形的判定》学案设计中以“开放题”的形式设计了探讨题：“如何通过添加辅助线的方式，把一个梯形转化为平行四边形和三角形？”是一个适合于小组合作学习的问题。学生首先独立思考，再通过小组讨论的形式探讨多种分解方法，一个人往往只能想到一两种，然后通过小组合作，最多的小组能找到五种方法。

（2）引导学生进行组际交流，扩大“战果”。

小组讨论后的结果，已经丰富了很多，最后小组派代表发言将本小组的学习情况反馈到全班，互相取长补短，最后上面的问题探讨出了七种分解方法。通过小组合作学习，启发学生思维，充分调动学生学习的积极性，学生不仅加强了对知识的理解，而且在互相交流中掌握了学习数学的方法。

策略3：挖掘定理证明方法，凸显数学思想。

数学的基础知识包括概念、定理、法则、性质、公式等，其中定理不仅是几何基础知识的重要组成部分，而且是几何说理的基础，学生有了对定理的深刻理解，才能提高解决问题的能力。所以，在教学中概念以及几何定理的证明中所孕含的思想方法不容错

比如在华东师大版七年级上学期《三角形的内角和》的学习中，“三角形的内角和等于180度”，这一结论在小学已经学习过——用拼图的方法知道三角形的三个内角的和等于180°，而本学期学生已学了平行线的性质与判定、平角的知识，学习了平移的知识，初步感受几何推理的结构，那么如何把要说明的三角形的三个内角的和等于180度化为我们知道的平角是180度，两个同旁内角是180度等等这些已知的知识来解决呢？学生很快通过自己的动手实验得到了方法，并在这一思路的启发下，给出了多种多样的方法。最后通过总结，分析，提炼，“从未知到已知的转化”这一转化思想便清晰地呈现在学生面前，使学生领悟到化归思想是一个多么有用的法宝。

策略4：训练举一反三，巩固基本技能。

“学生掌握知识的最佳途径是主干结构举一反三，学生形成技能的最佳途径是课内有效局部训练，学生形成能力的最佳途径是在非线性主干结构中主动实践”（林少杰）。一题多变，一题多解都对发展学生发散式思维有良好的促进作用。要善于挖掘教材里各种例习题中所蕴含的一题多变，一题多解，并进行加工提炼，渗透在教学中才能充分发挥例习题的潜在作用，才能使学生逐步掌握到数学的思想和方法，从而学会数学。

如华东师大版八年级下册P94页习题19．4的第2题：

如图（1），在⊿ABC中，AB=AC，DB=DC，求证：（1）∠BAC=∠CAE；（2）AE⊥BC。

这是一道利用全等三角形来完成的证明题，其中融合了等腰三角形的有关知识。在实际教学设计中，还可以设计图（2）和图（3）（求证：（1）∠BAC=∠CAE；（2）BE=CE。），以期达到以例及类，触类旁通的效果和渗透分析法和综合法进行逻辑推理的目的。

四、对课堂教学中渗透数学思想方法的策略思考： E

EE图（1）

图（2）图（3）

我国著名教育家叶圣陶指出：教学艺术的根本追求在于通过培养学生的能力达到“教是为了不需要教”的目的，什么是不需要教？学生入门了，上路了，他们能在繁多的事事物物之间自己探索，独立实践解决问题，就用不着教了，数学思想和方法就是他们入门的钥匙，能让学生在课堂学习中领会到数学的思想方法是我们数学教学的目的之

一。日常教学中的一些体会，引发了我的进一步思考，在课堂教学中如何才能做好合理有效地渗透数学思想方法呢？

1、通领教材，做好教学预设。

加强数学思想方法的教学，要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施、教学效果的落实等方面来体现，使每节课的教学目标和谐地统一。从以上实践不难看出，教师的教学预设就是思想方法渗透的前期把握，因而在备课时就必须注意数学思想方法在教学中如何渗透，并在教学目标中体现出来。

2、挖掘教材，把数学思想方法体现在教学设计中。

数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。在数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是例习题的设计、解答，随处可见数学思想方法的渗透和应用，所以在教学设计中，除了要设计好知识的主要内容，还要注意挖掘其中隐藏的数学思想和方法，使它们能成为教学设计的主线贯穿其中。

3、有效引导，让学生在学习过程中感悟数学思想。

数学思想方法呈现隐蔽形式，如果在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。所以引导是否有效，对学生感悟有着直接影响。如教学“三角形三边关系”时，教学过程设计为：

问题：如图，现有三块地，问从A地到B地有几种走法，哪一种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中：

A地B地（2）思考：你发现三角形的三边长度有什么关系？

（3）结论：三角形的（4）用式子表示：BC + ACAB（填上“> ”或“ <”）①BC + ABAC（填上“> ”或“ <”）②AB + ACBC（填上“> ”或“ <”）③

这样的教学活动让学生从实际的看得见摸得着的问题进行度量比较，经历了“观察——比较——猜想——验证”过程，感悟出符号化的公式，效果比较好。

4、点拨思路，让学生在解题中体验数学思想和方法。

在数学教学中，解题是最基本的学习活动。数学习题的解答过程，也是数学思想方法的获得过程和应用过程。任何一个问题，从提出到解决，需要某些具体的数学知识，但更重要的是依靠数学思想方法。所以，学生做练习，不仅能巩固和深化已经掌握的数学知识以及数学思想方法，而且能从中体验到“新”的数学思想方法。解题要“一慢一快”，审题，制定解题方略要慢，解题动作要快。当一个学生在练习中遇到难题时，往往是新的思想和方法还没有形成，这时教师不适宜急于告诉学生应该如何如何，而是先了解他的思想所经历的过程，问题“卡”在哪里？然后在启发时刻意用数学思想和方法去作提示，让学生在练习中用心去体验。

5、归纳总结，使学生在学习反思中升华出数学思想方法。

数学思想方法的获得，一方面要求教师在教学中有意识地渗透和训练，但是更多的是要靠学生在学习反思中领悟，这是他人无法代替的。因此，教学中教师要常常引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等等。

数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是知识化为能力的桥梁，是培养数学观念，促成创新思维的关键，同时数学思想与数学教学内容是紧密相关、有机统一的，对一节课来说，数学思想方法虽是画龙点睛之笔，但是学生对知识的理解，掌握程度不同，对思想方法的感受也不尽相同，切不可要求学生在某节课一定要学会某种思想方法。所以数学思想的渗透必须在解决具体数学问题的分析过程中得以实现，只有在反复渗透和应用中才能增进理解。

第三篇：浅谈初中数学教学中的数学思想方法

浅谈初中数学教学中的数学思想方法

——大悟县城关中学 万建勇

一、初中数学思想方法教学的重要性

一直以来，我们在不知不觉中，受到传统的数学教学的影响，只注重知识的传授，而忽视了知识形成过程中的数学思想方法。这样严重地影响了学生的思维发展和能力培养。在从教十二年的教学实践活动中，通过不断地探索，学习充分认识到：中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识；另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识。事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是今遗忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形式，才能使学生受益终生，正所谓“授之以鱼，不如授之于渔”，不管他们将来从事什么职业和工作，数学学思想方法，作为一种解决问题的思维策略，都将随时随地有意无意地发挥作用。

二、初中数学思想方法和主要内容

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最重要的有，转化与化归的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。

（一）数化与化归的思想方法 转化的思想方法就是人们将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一种相对容易解决的方式已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决，初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易。具体来说，就是将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将多元方程组化为二元方程组，将四边形问题转化为三角形问题，将非对称图形化为对称图形等。解题过程就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程。实现这种转化的方式有：换元法、待定系数法、配方法、整体代入的方法以及化动为静，由具体到抽象等。

（二）数形结合的思想方法

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式，函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微”。数形结合是研究数学问题的重要思想方法。初中数学中，通过数轴，将数与点对应，通过直角坐标系，将函数与图象对应，用数形结合的思想方法学习了相反数的概念，绝对值的概念，有理数大小比较的法则，研究了函数的性质等，通过形象思维过渡到抽象思维，大大减轻了学习的难度。

（三）分类讨论的思想方法 分类讨论是根据数学对象的本质属性，将问题区分为不同种类，然后对每一类进行分析研究，它是一种极其重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略，分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学的许多问题由于题设交代笼统，要进行讨论，由于题型复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。因此，我们在研究问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，根据其数量差异与位臵差异进行分类，分类要做到不重不漏，从而获得完整的解答。

（四）函数与方程的思想方法

函数思想是客观世界中事物运动变化，相互联系，相互制约的普通规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应，用变化的观点，把所研究的数量关系，用函数的形式表示出来，然后用函数的性质进行研究，使问题获解。如果函数的形式是用解折式的方式表示出来的，那么就可以把函数解析式看作方程，通过解方程和对方程的研究，使问题得到解决，这就是方程的思想，在初中数学教材中，其它的思想方法都是隐藏在数学知识里，没有单独提出来，而函数与方程的思想方法，其内容和名称形式一致，单独作为章节系统学习。

三、初中数学思想方法的教学规律

数学思想方法蕴含于数学知识之中，又相对超脱于某一个具体的数学知识之外，数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多，因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它强调的是一种意识和观念。对于初中学生来说，这个年龄段正是由形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段，虽然初步具有了简单的逻辑思维能力，但是还缺乏主动性和能动性。因此，在数学教学活动中，必须注意数学思想方法的教学规律。

（一）深入钻研教材，将数学思想方法化隐为显 首先，教师在备课时，要从数学思想方法的高度深入钻研教材，数学思想方法既是数学教学设计的核心，同时又是数学教材组织的基础和起点。通过对概念、公式、定理的研究，对例题、练习的探讨，挖掘有关的数学思想方法，了然于胸，将它们由深层次的潜形态转变为显形态，由对它们的朦胧感觉转变为明晰、理解和掌握，一方面要明确在每一个具体的数学知识的教学中可以进行哪些思想方法的教学。另一方面，又要明确每一个数学思想方法，可以在哪些知识点中进行渗透。只有在这种前提下，才能加强针对性，有意识地引导学生领悟数学思想方法。

（二）学生主动参与教学，循序渐进形成数学思想方法 教学活动中，倡导学生主动参与，重视知识形成的过程，在过程中渗透数学思想方法，概念教学中，不简单地给出定义，而要尽可能地完整再现形成定义之前的分析、综合，比较和概念等思维过程，揭示隐藏其中的思想方法，在掌握重点、突破难点的教学活动中，要反复向学生渗透数学思想方法，数学教学中的重点，往往就是需要有意识地揭示或运用数学思想方法之处，数学教材中的难点，往往与数学思想方法的更新交替，综合运用，或跳跃性大等有关。因此，在教学活动中，要适度点拨或明确归纳出所涉及到的数学思想方法。

（三）不断巩固积累，使数学思想方法在应用中内化为自觉意识

学生对数学思想方法的领域和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认识过程，首先是有感性的接触，经多次反复，不断积累，形成丰富的感性认识，然后逐渐上升为理性认识，最后在应用中，对形成的数学思想方法进行验证和发展，进一步加深理性认识，内化为解决问题时自然而然出现的思维策略。

数学思想方法是数学知识的精髓，是解决数学问题和其它问题的金钥匙，学生只有掌握它，才能举一反兴，触类旁通，掌握更多的数学知识。

第四篇：如何在数学中渗透思想方法

在教学中如何渗透数学思想方法？

在数学学科教学中如何渗透数学思想方法呢？我觉得应努力做到以下两点：

一、在数学学科中渗透转化思想

转化思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。也就是说，转化方法的基本思想是在解决数学问题时，将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过问题乙还原解决复杂的问题甲。将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，是解决数学问题的基本思路和途径之一，是一种重要的数学思想方法。转化是解决数学问题常用的思想方法。小学数学解题中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可通过转化，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。如在学习“除数是小数的除法”时，先让学生尝试计算“6.75÷5.4”，不少学生一时想不出办法，此时我提示:如果除数是整数能算吗？学生顿时恍然大悟，发现可以利用“商不变性质”，将“除数是小数的除法”转化成为“除数是整数的除法”来解决，于是我即刻板书“转化”，这样开门见山让学生知道运用“转化”思想可以将有待解决的问题归结到已经解决的问题。

二、在方法思考中加强深究

处理数学内容要有一定的方法，但数学方法又受数学思想的制约。离开了数学思想指导的数学方法是无源之水、无本之木。因此在数学方法的思考过程中，应深究数学的基本思想。

如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，学生计算“2200÷25”主要采用了以下几种方法：

1、竖式计算2、2200÷25＝（2200×4）÷（25×4）3、2200÷25＝2200÷5÷54、2200÷25＝22×（100÷25）5、2200÷25＝2200÷100×46、2200÷25＝2000÷25＋200÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同，结果发现方法1是通法，方法2——6是巧法。方法2——6虽各有千秋，方法3、4、6运用了数的分拆，方法2属等值变换，方法5类似于估算中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握。

新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。

在当前素质教育和新课程改革的背景下，小学数学教学不仅仅要注重数学基础知识的讲授，更要注重常见数学思想和方法的渗透。数学思想和方法本质上就是一种应用工具，只有在基础知识教学中有意识的渗透数学思想方法才能实现学生领会、掌握并应用数学基础知识的目标，帮助学生提高思维水平，优化思维品质，培养创新精神和实践能力。

第五篇：初中数学思想方法及其教学.

初中数学思想方法及其教学(1)

新课程教学大纲提出：初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的要领法规、公式、性质、公理、定理以及其内容所反映出来的数学思想和方法。数学思想、方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是学生形成良好的认知结构和纽带，是培养学生能力的桥梁。在数学教学中渗透数学思想、方法是全面提高初中数学教学质量的重要途径。

一、初中数学思想和方法

数学思想是研究和解决数学问题时的指导思想，是在对数学知识和方法的本质认识和概括的基础上形成的一般性观点。数学方法是指具有可操作性并能具体解决数学问题的方法，数学思想来源于数学方法，是数学方法的抽象和概括，反过来又指导数学方法的实施，而数学方法是数学思想的具体体现。

（一）数学思想

初中数学中的数学思想很多，这里着重谈一谈转化思想、方程思想、数形结合思想及分类思想。

1.转化思想

转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想。运用转化思想可以把生疏的新的问题转化成熟悉的旧的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把一般问题转化成特殊的问题，从而完成数与数的转化，形与形的转化，数与形的转化。数学中的构造法、代换法、换元法、配方法等也是体现转化思想的具体的数学方法，下面看两个例子：

例1 已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD。

求证：CD= BE。

分析一：要证明CS=

BE，只须证明2CD=BE

为此，需要延长CD，BA交于F点，只要证明DF=CD，△CFA≌△BEA。

分析二：要证明CD= BE，在BE上取中点G，只须证明CD=EG。

为此，需要作GH⊥BE交BC于H，连结HE（如图2）。

只要证明△CDE≌△EGH。

分析三：要证明CD=

BE，取BE中点G，连接AG、AD（如图3）。

只须证明，AG=AD=CD

为此，只要证明A、B、C、D四点共圆，∠1=∠2=45°，∠3=∠4=22.5°

说明，把证明线段的和、差、倍、分问题转化或证明两条线段相等的问题。

例2 已知：如图4，P是正方形ABCD内一点，且PA:PB:PC=1:2:3。

求证：∠APB=135°

分析一：要证明，∠APB=135°=45°+90°

为此，将△APB绕B点旋转90°，落到△CP’B的位置，只须证明∠BP’P=45°，∠PP’C=90°，只要证明BP’=BP=2X，PP’2+P’C2=9X2=PC2。

分析二：要证明∠APB=135°，只须证明tg∠APB=-1，只质证明sin∠APB=-cos∠APB，为此，设PA=X，PB=2X，PC=3X，AB=BC=a

只须证明，只要证明cos∠PBC=

,sin∠ABP=cos∠PBC

说明，分析一体现着把135°转化成两个特殊角（45°和90°），由旋转法完成数与形的转化。分析二体现着把求∠APB=135°问题转化成用正弦定理，余弦定理，同角或互为余角间的三角函数关系式来解决。

2.方程思想

方程思想是指利用方程或方程组解决数学问题的指导思想。在研究平面几何时，若所涉及到元素之间的关系，可考虑通过设辅助未知数并列出方程或方程组，使有关的几何量之间的关系显现出来，从而使所研究的问题比较简捷地加以解决。

例3，已知：如图5，AB、CD分别切⊙O于A/D点，且AB∥DC，BC切⊙O于E。

求证：OE≤

BC

分析：要证明OE≤

BC

只须证明

2OE≤BC

只须证明

4OE2≤BC2

只须证明

BC2-4OE2≥0

由已知

BE+CE=BC

只要证明

BE•CE=OE2，那么BE、CE就是方程X2-BCX+OE2=0的二根。

为此，连结OB、OC，只要证明∠BOC=90°。

说明

由分析体现几何问题可以转化成一元二次方程及其根的判别式的性质问题，例2的分析二也体现了方程思想。

3.数形结合思想

数形结合思想是通过数与形的结合来研究和解决数学问题的指导思想，数形结合思想是数学中运用最普遍的思想，它可以使抽象问题具体化、形象化，使几何的图形问题数量化，下面我们也看两上例题。

例4 K为何值时，方程

X2+2（K+3）X+2K+4=0的一个

根小于3，而另一个根大于3。

分析：为了求出K值，设y=x2+2(k+3)x+2k+4，并根据题意画出函数图象的草图（如图6），yx=3<0。

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例5 已知：如图7，圆内接四边形ABCD。

求证：AC•BD=AB•CD+BC•AD

分析：要证明 AC•BD=AB•CD+BC•AD，AB•CD=AC•X，只须证明

BC•AD=AC•Y

X+Y=BD

这时的X、Y为BD上的两条线须，其长待定，在BD上设一待定点P，PD=X，PB=Y，连结CP。

只质证明

只须证明

△ABC∽△DCP，△BCP∽△ACD

为此，需作∠DCP=∠ACB交BD于P点。

说明，前例体现方程问题可以充分利用同次函数的图象和性质帮助我们分析和解决问题。后一例是利用待定的思想方法，逐步推断出辅助线CP的引法。

4.分类思想

分类思想是根据要求确定分类标准，然后将数学对象划分为不同种类加以研究的指导思想。对数学对象分类时应遵循两个原则：（1）在同一问题中分类按同一标准进行；（2）分类要做到不重、不漏。分类有利于对问题的深入研究，有助于发现解题思路和运用技能技巧，这对培养学生分析问题和解决问题的能力大有帮助。看下面例题：

例6

已知：如图8，正方形ABCD的边长为a，分别以A、B、C、D为圆心，以a为半径向正方形内作圆弧，求图中阴影部分的面积。

分析

由图形的对称性，把正方形分割为三类图形，其面积分别以x、y、z来表示

说明，把图形进行分类，将面积问题转化为解方程组，这是求面积问题的一种巧妙、简捷的解法。

（二）数学方法

初中数学所涉及到的数学方法也很多，如构造法、代换法、消元法、降次法、换元法、配方法、配方法、特定系数法、图象法、辅助元素法等等，另外还包括一些常用的推理论证方法，如归纳法、类比法、演绎法、分析法、综合法、反证法、同一法等。这些数学方法都是研究数学问题时经常用到的，因此需要很好地掌握。

二、数学思想、方法的教学

（一）认真钻研教材，充分发掘教材中蕴含的数学思想和方法

我们在备课时要认真钻研教材，充分发掘提炼在教材中的数学思想和方法，并弄清每一章节主要体现了哪些数学思想，运用了什么数学方法，做到心中有数。例如平面几何圆这一章就是用分类和联系的思想把全章分成；圆的有关性质；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系；正多边形和圆四大类，在根据不同的类型研究各自图形的性质和判定，此外还要掌握四点共圆的方法，把直线形的问题转化成圆的问题，再归纳在四大类中分别运用有关性质加以解决。再如一元二次方程这一章，内容丰富，方法多样，蕴含着转化的思想，把未知转化为已知，把高次方程转化为低次方程，把多元方程转化为一元方程，把无理方程转化为有理方程，把实际问题转化为数学问题等。

（二）提高认识，把数学思想和方法的数学纳入教学目的数学思想、方法的数学是数基础知识教学的重要组成部分，为了使数学思想、方法的教学落到实处，首先要从思想上提高对数学思想、方法教学的重要性的认识，进而把数学思想、方法的教学纳入教学目的中去，并且具体落实在每节课的教学目的中。

（三）结合教材内容，加强数学思想和方法的渗透、解释和归纳

在数学教学过程中，对教材内容所反映出来的数学思想、方法要结合教学实际分别予以渗透、解释和总结归纳，以提高学生的认识，逐步培养学生运用数学思想、方法解决问题的能力。例如在代数中数形结合的思想就渗透到各个章节，适时的为学生归纳和总结利用数形结合研究代数问题的规律和方法，就成了代数教学的基本特点。同样，在几何中分类思想和转化思想也是渗透在各个章节，因此，在讲圆这一章时，有必要给学生总结出如何用分类思想和转化思想来解几何题的规律和方法。

总之。数学思想、方法的教学研究是中学数学教研的一个重要课题，是提高教学质量的关键，因此必须予以重视。