反证法”教学案例

第一篇：反证法”教学案例

反证法”教学案例

数学组 梁华超

教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。教学目的：

1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。

2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。

3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

重点难点：反证法证明命题的过程 教学方法：互动式教学 教学过程：

（一）导入（3分钟）：

师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事呢？

（让学生讲这个故事）

师：这个故事蕴含什么道理？

生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。

师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）

（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件演示）

（让学生分组讨论后交流）

生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。师：可以，有没有比他更简单的方法呢？

生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365天不符合，因此是不可能的。

师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方式，尝试证明此命题。）

生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，因此原命题成立

师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行交流）

生：我们小组的讨论结果是：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，归纳出反证法证明命题的步骤）师：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。下面我们一起来证明一个命题，大家仔细体会反证法的证明过程： 已知：A、B、C三点在同一条直线上。求证：过A、B、C三点不能作圆。

(引导学生分析，写出假设，推出错误的结论，教师板书证明过程。)

（三）小试牛刀——尝试反证法（12分钟）。师：下面我们做一组练习

练习1：用反证法证明下列命题（多媒体显示）。① 一个三角形中不可能有两个钝角。② 梯形的两条对角线不能互相平分。③ 两条直线相交，交点只有一个。

（让学生分组讨论，合作完成以上3个命题的证明，熟练反证法的证明过程）。练习2：已知：如图三角形ABC中，D、E两点分别在AB、AC上。

求证：CD、BE不能互相平分。

（让学生独立思考完成，进一步巩固训练，然后交流解题思路）

（四）举一反三——妙用反证法（13分钟）。

1、诸葛亮与反证法（3分钟）。

师：设计情景： 三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱兵士出城迎战，犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香

C

案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。

② 展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这个问题？诸葛亮是如何考虑的？

③名家点评：诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的。诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，在历史上传为美谈。这就是家喻户晓的“空城计”。

2、律师与反证法（10分钟）。

师：①设置情景：这是生活中的一个真实的案例：一公司老总在某酒店设宴款待自己的朋友，他们点的菜中有一道叫做水煮鸡围虾，酒宴过半，客人突然提出这道菜中有一只红头大苍蝇，要求酒店方面给予赔偿，双方为此争执不休，酒店经理为了证实那不是苍蝇，情急之下，把这个疑似红头苍蝇的东西吃了下去。对方一看证物被毁，更加有恃无恐，一纸诉状将酒店告上法庭，酒店经理对自己的冲动很后悔，深知庭审对自己将非常不利，但事情已无法挽回，为打赢官司，他们聘请了一个著名的律师为自己辩护。法庭上，双方律师围绕着是不是红头苍蝇展开辩论，原告律师自恃证据确凿，咄咄逼人，形式对被告很不利。这时，被告律师站了起来，要求对原告方提问，法官允许后，被告律师问：“你真的看到一只红头大苍蝇吗？”“是的。”“你肯定是红色的吗？”“是的，我肯定。”接着，被告律师用了一个巧妙的方法证实了原告说了谎话，这个方法就是我们今天学习的反证法。假如你是被告方律师，你会怎么证实原告说的是谎话呢？ ②开讨论：让学生以小组为单位合作探讨，寻找最佳方法。③模拟法庭：让各个小组的代表说出自己的做法，发言的同学作为“律师”，不发言的同学作为“法官”，看看哪位“律师”的说法能让“法官”们信服。④真相大白：不少小组的做法非常接近律师的方法，让我们看看这位律师的做法：把提前准备的五只红头大苍蝇放到酒精锅里，当庭开煮，几分钟后，呈现在众人面前的是五只黑色的大苍蝇，法官当场宣布：原告败诉。反证法在社会实践中和数学各个领域中都有着广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何的发现都得益于反证法。

（五）矢志不渝——情系反证法（3分钟）。（课件演示）。

师：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝——情系反证法的俄国科学家

讲述数学家利用反证法发现非欧几何的故事。

1815年 俄国 罗巴切夫斯基础过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

1826年 非欧几何遭到讥讽和打击 高斯 欧洲数学之王。1856年 在苦闷和抑郁中度过生命的最后一段路程。1868年 几何学中的哥白尼。

1893年 喀山大学世界史上第一个为数学家立的雕塑。

师：通过讲述上面的故事，同学们有什么感触？

生：我们了解了反证法背后的辛酸历史，学习数学家坚持真理畏权势、锲而不舍的奋斗精神。师：在科学探索的征途中，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。我们再学习数学知识的同时，更应该学习数学家的这种品质，这也是我们学习数学的真谛。

（六）小结：

师：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？（2分钟）生：了解反证法证明命题的过程。生：感受了反证法的妙用。

生：感受到数学家不畏权势，坚持真理，锲而不舍的奋斗精神。师：同学们总结的很好。本节课表现较好的是1、3、4、8组。

（让学生归纳总结本节课的收获，根据学生的回答教师及时补充，并对表现突出的小组和个人给予表扬和鼓励。）

（七）作业（2分钟）：

用反证法证明下列命题：

①等腰三角形的底角必定是锐角。②直径是圆上的最大弦。

师：通过本节课的学习，我们了解了反证法在生活中有广泛的应用，由于时间的关系，我们不能一一列举，课后以小组为单位收集相关的资料，以《生活中的反证法》为题写一篇小论文，时间两个周，届时我们将评选出优秀论文若干篇。

教学反思：

1、准确定位教学目标。新课程标准十分重视学生“双基”的培养，也十分关注学生的学习过程以及情感、态度、能力等方面的发展，在设计教学目标时，我从三个方面即知识技能目标、过程性目标和情感态度目标进行了详细准确的定位。体现了“立足双基，着眼发展”的教育理念。

2、创造性的使用教材。教材的内容相对来说比较简单，具有一定的权威性，但同时又肯有相对的滞后性、封闭性、静止性等缺陷，不能适应新课程的要求。因此，再设计本节课时，以课本的基本内容为蓝本，结合学生的认知规律和生活经验，改造和充实所教的内容，尤其是诸葛亮与反证法、律师与反证法、科学家的故事的引入，体现了学数学、用数学的思想，注重对学生的情感态度和价值观的教育。努力使课堂教学充满趣味性、挑战性，让学生感知数学来源于生活，同时又服务于生活。

3、突出学生的主体地位。课堂上教师把学习的主动权交给学生，让学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新。本节课师生围绕情景-问题-解决的思路，步步深入地经历了问题解决的过程。课堂气氛自始至终和谐、生动、自然，既有学生的独立思考，更有师生间的相互交流、激烈的讨论。

作者： 梁华超 来源： 本站原创

第二篇：高中数学反证法

反证法解题

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。

A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

5.A.150种B.147种C.144种D.141种

S 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB 上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝222221x1(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数ax1a

图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。练习：

1.已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。1|x|

2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1。

24.求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。2

第三篇：浅谈反证法

浅谈反证法

摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法数学学习

正文：

一：反证法的概念

一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程

① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;

② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;

③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

三：反证法的适用范围

(1)直接证明困难的(2)否定性命题

(3)唯一性问题

(4)至多、至少型命题

四：理论依据

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

五：常用词语

原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个

否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个

原词语任意的任意两个所有的能

否定词语某个某两个某些不能

第四篇：高二文-反证法

§2.2.2反证法

滕州一中东校韩霞

教材分析

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力.课时分配

本节内容用1课时完成，使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤.教学目标

重点：理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤.难点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思路方法.知识点：

1、反证法的概念

2、反证法证明题的基本方法.能力点：培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.教育点： 通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性.自主探究点：通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.考试点：掌握反证法证明命题的方法.易错易混点：否定结论时应对结论全盘否定，不能部分否定.拓展点：初步掌握反证法的概念，理解反证法证题的基本方法，培养学生用反证法简单推理的技能.教具准备：多媒体课件

课堂模式：采用设问、引导、启发、发现等教学方法.一．引入新课

故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷爬上树去摘果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.问题1:王戎是怎样知道李子是苦的呢？

问题2:你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法？

（1）学生经过思考，知道王戎是这样判断出李子是苦的：假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.（2）我们不妨把这则故事改编成数学中证明题的格式，即写出“已知、求证、证明过程”来总结王戎的推理方法：

而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.【设计说明】让学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在.【设计意图】爱因斯坦说：“兴趣是最好的导师.”这样引入让学生明确数学来源于生活、科研的需要，同时又能解决生活中的问题，激发了学生兴趣，增强学生求知欲.二．探究新知

问题1：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？

生：不同, 综合法和分析法是直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性.上面这种证明方法不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的.它是一种间接证明方法，反证法就是一种常用的间接证明方法.【设计意图】让学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法反证法，它是与直接证明不同的一种证明方法.问题2：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？

【设计意图】让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫.三.理解新知

例1．已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x

ba

.ax1b,(1)ax2b,(2)

如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，即

（1）-（2）a(x1x2)0

因为x1x2，所以应有a0，这与已知矛盾，故假设错误.所以，当a0时，方程axb有且只有一个根.问题3：根据反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？ 学生讨论后总结：反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾.（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.【设计意图】通过教师设问，学生思考、探究、类比，学生得出了反证法的概念，初步明确反证法的步骤.练习：用反证法证明：一个三角形内，不能有两个钝角.证明：假设ABC中，有两个钝角，即A900,B900，于是AB1800，更有

ABC180，这与三角形内角和定理矛盾.∴一个三角形内，不能有两个钝角．

四．运用新知

例

2、已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b，求证a// 证明：因为a//b，所以经过直线a,b确定一个平面.因为a,而a, 所以,是两个不同的平面.因为b,且b,所以b

下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a与平面有公共点P，则Pb 即点P是直线a,b的公共点，这与a//b矛盾.所以a//.问题4：你能总结在什么情形下应用反证法呢？

师生共同总结：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；

④结论为 “唯一”类命题；

【设计意图】教师从例题分析中小结反证法知识，提高学生的解题能力.练习：平面交平面于直线a，直线b在平面内，直线c在平面内，abA,c//a

求证：b,c是异面直线.证明：假设b,c不是异面直线，则b,c平行或相交若c//b,c//a,a//b这与abA矛盾.b不平行于c，若cbB，Bb,Bc

B是，的公共点，又=a Ba,则c与a相交，与c//a矛盾.b,c是异面直线

【设计意图】通过两个练习，巩固本节课所学知识，加深印象.问题5：你能总结反证法的矛盾有哪些种?

(1)与已知条件矛盾，（2）与公理、定理、定义矛盾,(3)与假设矛盾

【设计意图】同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾.五.课堂小结

（1）、反证法的一般步骤；（2）、反证法的关键：在正确的推理下得出矛盾，可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等；（3）、反证法适合证明哪些命题？否定性问题、存在性、唯一性命题，至多至少问题，结论的反面比原结

论更具体、更易于研究和掌握的问题.六.布置作业

必做：

1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论

A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）

2、命题“ABC中，若AB则ab”的结论的否定应该是（）A、abB、abC、abD、ab

3、命题“关于x的方程axb,(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（）A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解

4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A、有两个内角是直角B、有三个内角是直角

C、至少有两个内角是直角D、没有一个内角是直角

5、对一个命题的证明，下列说法错误的是（）Ａ．若能用分析法，必能用综合法

Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法 Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立

6、已知a,b,c均为实数，且ax2y求证：a,b,c中至少有一个大于0.选做：

1、已知a,b,c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx2cxa0,cx2axb0至少有一个方程有两个相异实根.,by2z

,cz2x



6，2.已知：f(x)xpxq，f(1)f(3)2f(2)2 求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于

2.答案：必做：1.C、2.B、3.D、4.C、5.Ｄ．

6.证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abcx1y1z130，即abc0，与abc0矛盾，a,b,c中至少有一个大于0.选做：1.证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，22

2则14b4ac0,24c4ab0,34a4bc0.222

相加有abbcca0① 由题意a,b,c是互不相等的非零实数，∴①式不能成立.222

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.2.证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于

f(1)

12,f(2)f(1)

12,f(3)

12，则，12

即有

12,

f(2),

f(3)

∴2f(1)f(3)2f(2)2与已知f(1)f(3)2f(2)2矛盾，∴假设不成立，即原命题成立.七.教后反思：

亮点是:设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.不足是: 对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和提高.八、板书设计的

第五篇：高中数学教学论文 中学数学中的反证法

中学数学中的反证法

摘要：对于反证法，人们常常有一种对其功能认识不是的误解。为此本文对反证 法的基本概念、步骤、及其正确使用等方向进行了阐述。关键词：中学数学;反证法;间接证法

引言：

去掉大米中的砂粒，有两种方法。一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地捡出来；一种是用间接的方法——淘洗法，把砂粒残留下来。这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的。但直接方法困难得很，间接方法却容易的多。在数学解题中，也常用间接的方法（即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真的证明方法）来证题。下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一——反证法。

一、反证法的基本概念

反证法是指“证明某个命题时，现假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

反证法的原理是：假设命题不真，也就是说，我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设条件（反正假设）到已知条件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的结论（与已知条件矛盾，与已证明过的数学命题矛盾，与刚提出的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结论），依据排中律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。

反证法的基本思想是：将否定结论作为条件就会导致矛盾。这种基本思想可以用下面的公式来表示： “否定推理矛盾肯定”

“否定”——假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。即首先否定结论。

“推论”——从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据进行推理。

“矛盾”——通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾的结果。

“肯定”——由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所引起，因此假设是错的，从而肯定原结论的正确。

二、反证法的步骤：

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.假设原命题的结论不成立；

2.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。

即：提出假设例1：已知：求证：直线

推出矛盾

和是异面直线。

肯定结论

证明：【提出假设】假设直线内，那么这个平面一定经过点【推出矛盾】直线，经过点

内 矛盾。

和是异面直线。

和在同一平面 和直线。

和直线只能有一个平面

与应在平面,这与已知【肯定结论】直线在运用反证法证题时，必须认真考察原命题的结论，并找出结论反面的所有情况，因为结论的反面可能只有一种情况，也可能有多种情况。因此，反证法分为归谬法和穷举法两种。当结论的反面只有一种情况时，只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确，这种反证法叫归谬法；当结论的反面有多种情况时，必须一一予以否定才能证明原命题的正确，这种反证法叫穷举法。例2：已知：，求证：。

>2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情分析：此题的结论的否定只有一种情况况，就能肯定证明：假设>>的这种情况了。>2，则>

==

由此可知：

例3：已知：平面求证：与，这与已知矛盾。

∥平面，直线.也相交。

分析：此题结论的否定有两种情况： 1；2∥.用反证法证明时，只有把这两种情况都否定了，才肯定与相交。

能

证明省略。

三、反证法的正确使用

任何方法都有它成立的条件，都有它适用的范围。离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，也会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。

1.注意其适用范围。虽然反证法是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。例4：如果对任何正数试证之。

证明：假设>0，则二次函数当增大时，抛物线就沿

轴向上平移，而当的图象是开口向上的抛物线，显然可见，值增大到相当大的正数时，抛物线就上开

>0，这，二次方程的两个根是正实数，则系数，到与轴没有交点，则对这样的一些一假设与已知矛盾。同理，<0，也不合题意。

值，二次方程的实数根就不存在。因此，综上所述，当>0和<0时均不合题意。因此，分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了。因为，本题的题设条件为对任意正数设条件与结论是矛盾的； 当何正数时，二次方程就变成了一次方程，它只有一个根；在时，仅当，此一次方程在时，对于任，有两个正实数根，结论是，但本题的题

>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。因此，本题不能反证法来处理。若原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数

”，就能用反证法证明了。

因此，对于下列命题，较适用反证法来解决。

1对于结论是否定形式的命题；

2对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题； 3对于结论是以“唯一”或“必然”的形式出现的命题；

4对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。

例5：设、都是正数，求证：.证明：反设不成立，便有>，由对称性知：>

相加：>

即：>

这一矛盾说明正确

从而

即

交换、位置：

合并得：

2.提出假设时，要分清结论反面的全部情况，即不能多，也不能少。例6:求证：五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数。证明：设五个连续自然数是，，则

是一个关于为一个完全平方数，即二次三项式

与

矛盾。的二次三项式，若其

有两个相等的实根，于是有即五个连续自然数的平方和不是一个完全平方数。

分析：本题的证明过程似乎也合理，但其实它的假设发生了错误。原结论是对于任何大于2的自然数，数使是不能推出例如：不是完全平方数，所以结论的反面应是至少存在一个大于2的自然是一个完全平方数，而不是对所有的。当

时是一个完全平方数，但是

是一个完全平方数，于3.推出矛盾时，一般说来，根据条件和假设，通过推理导出与下列矛盾之一即可： 1与题设矛盾； 2与定义相矛盾； 3与定理相矛盾； 4与公理相矛盾； 5与客观事实相矛盾； 6自相矛盾；

例7：设、、>0，求证：，三个数中至少有一个不大于.证明：假设三个数都大于，则

>【1】

另一方面，根据平均值不等式：

5，同理：，于是：【1】与【2】矛盾。所以原命题成立。小结：

【2】

反证法是数学证明中的一种重要方法。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法。反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。参考文献：

反证法初探；数学通讯；2001年13期 浅议反证法；教育实践与研究；2002年02期 反证法；数学通讯；2000年24期 反证法的应用；中等数学；2005年03期