“反证法”与“逆否命题”的争端

第一篇：“反证法”与“逆否命题”的争端

“反证法”与“逆否命题”的争端

“反证法”与“逆否命题”是数学家族中的一对好兄弟，但最近两人为了一个问题，引起了争端。究竟是什么回事呢？

原来，“逆否命题”发现“反证法”往往利用自己来证明一些结论，所以认为反证法的实质就是证明一个命题的逆否命题。而“反证法”并不认帐。两人找来“逻辑”与“推理”两位法官主持公道。

“逆否命题”说：“反证法是间接证法中的一种，从命题的角度来看，由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以反证法的证明思路是证明原命题的逆否命题成立。”

“反证法”微微一笑，说：“反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性, 从逻辑角度看,命题:“若p则q”的逆否命题是“若q，则p”，而命题“若q，则p”的否定是“若q，则p”，由此推理,如果发生矛盾,那么就说明“若q则p”为假,即命题“若q，则p”为真，从而可以导出“若p则q”为真,从而达到证明的目的.…”

还没等“反证法”说完，“逆否命题”就打断了他的话：“两位法官听听，“反证法”现在已经承认了。” “反证法”笑着说：“别急，我还没说完呢。我的理论基础是互为命题的等价性，但是我们证明的思路并不完全是证明一个命题的逆否命题。”

法官“逻辑”说：你说来听听。

“反证法”说：“从逻辑形式上来说，反证法的理论依据在于矛盾律和排中律（矛盾律：对于同一事物的两个矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的；排中律：对于同一事物的肯定判断与否定判断不能同时进行）；其矛盾的种类可以有：与题设矛盾，与假设矛盾，写定义、定理、公理、公式矛盾或自相矛盾等等。由此可知，反证法证明的思路是只要找到矛盾即可，不一定是与题设矛盾。这说明，反证法与证明逆否命题是不一样的。”

“逻辑”与“推理”两位听完之后，点了点头，赞许地说：“你说的非常正确，还有其他理由吗？” “反证法”说：“还有。而反证法的本质是：由证明pq转向证明：

或与某个真命题矛盾，是“若qr„„t,t与假设q为假，推出q为真的方法．从逻辑角度看,命题:“若p则q”的逆否命题q，则p”q，则p”的否定是“若q，则p”，而命题“若，由此推理,如果发生矛

q则p”为假,即命题“若q，则p”为真.而证明命题“pq”逆否命盾,那么就说明“若

题是证明“qp”，这两者的证明思路也不一样。所以我们两人是不同的。”

在事实面前，“逆否命题”也不得不认真反思自己的想法，思考了一会，说：“我知识看到了反证法的外在形式，而没有深入思考他的逻辑基础。我错了。”

两位法官听完后，真诚地对“逆否命题”说：“是的，我们不应该只看事物的外在形式，更要深入研究它的实质。反证法与证逆否命题是不同的．由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路．”

“推理”说：“反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中以常用到,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要, 反证法是一种逆高思维的一种推理方式，它常可将肯定正面转化为否定反面，由反面的否定得出正面的肯定，从而避开直接肯定正面的障碍，正因为如此，反证法往往可以完成直接证明难以完成的工作。从2009年的高考开始已经把反证法纳入高考的范畴，所以我们一定要认真学习。”

第二篇：浅谈反证法

浅谈反证法

摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法数学学习

正文：

一：反证法的概念

一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程

① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;

② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;

③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

三：反证法的适用范围

(1)直接证明困难的(2)否定性命题

(3)唯一性问题

(4)至多、至少型命题

四：理论依据

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

五：常用词语

原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个

否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个

原词语任意的任意两个所有的能

否定词语某个某两个某些不能

第三篇：高中数学反证法

反证法解题

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。

A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

5.A.150种B.147种C.144种D.141种

S 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB 上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝222221x1(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数ax1a

图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。练习：

1.已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。1|x|

2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1。

24.求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。2

第四篇：中国海洋争端(形势与政策)

我国海洋现状：我们领海周边有八个国家,分别是朝鲜、韩国、日本、菲律宾、文莱、马来西亚、印度尼西亚、越南。在黄海海域，由于中国曾帮助朝鲜打败美韩联军的原因，朝鲜与我们国家的关系还是比较好的。虽然存在争端，但他们也没有什么过激行为。而对于韩国，它不是一个友好的国家，凭借和美国的关系，搞所谓的军事演习，耀武扬威。在南海海域，菲律宾慢慢地强大起来以后，不甘心海洋的面积太小，置“国际海洋法”于不顾，在南海抢夺我岛屿！致使在南海引发了一波抢夺我岛屿的“热潮”。越南更是狂的没边，抢占了我国20多个岛屿。总体局势在我国积极的努力下还算平静，但岛屿的归还工作依然会继续坚持下去。目前，最令我们头疼的和日本在钓鱼岛上的争端。由于东海大陆架存在大量的资源，而日本急缺各种资源，日本不打算放弃这些资源，从而多次挑起事端。我国维护海洋权益的基本策略我国作为一个海洋大国，如何解决海洋争端，有效地维护海洋权益，开拓国家发展的利益空间和安全空间对我国的和平崛起具有十分重要的意义。

（一）、遵循国际法，和平解决争端。和平与发展是当今时代的主流。我国一直坚持通过平等协商，按照公平原则划定各自的管辖权界限。在这一原则的指导下，我国已与越南就北部湾划界问题进行了协商与谈判

（二）、尊重历史的原则。目前我国被其他国家侵占的岛礁几乎无一例外地是在历史上早就属于中国，只是由于发现了丰富的资源或战略位置日益突出，而使周边国家顿生凯觑之心。《联合国海洋法公约》承认沿海国享有“ 历史性所有权”，我国在南中国海享有的历史性权利被国际社会广泛认可我国在南中国海标注的九段断续国界线为世界许多国家包括一些周边国家所认可，在很多国家出版的地图上也标示了这九段国界并注明属于中国。

（三）、自然延伸原则。《联合国海洋法公约》对大陆架的定义是“沿海国的大陆架包括其领海以外依其陆地领土的全部自然延伸，扩大到大陆缘的海底区域的海床和底土”，这充分说明自然延伸原则是大陆架制度的主导原则。我国是宽大陆架国家，大陆架面积居世界第七，我国历来主张大陆架是陆地领土的自然延伸，大陆架的划分也应该依据自然延伸原则，这一原则不仅是国际法中划分大陆架的主导原则，也是我国捍卫海洋权益的有力武器

（四）、公平合理原则。海洋权益和海域边界的划分还必须兼顾公平合理的原则，要全面考虑岸线比例、人口的规模和密度等因素。

（五）、搁置争议，共同开发原则。搁置争议并不是对邻国侵占我国领土和海洋权益的认可，而是在双方认识差距较大的情况下，主动回避，以求国家关系的大局不受局部争端影响的一种暂时性的措施。搁置争议也不意味着消极等待，而是要通过保持克制，避免摩擦，缓解紧张的矛盾，然后通过在一定年限内的共同开发，促进双方经济的发展，为未来解决争端创造良好的条件。随着我国“与邻为善，以邻为伴”的有中国特色的大国外交战略的实施，我国能够通过和平协商的方式，在公平合理的基础上解决与邻国间的海洋权益争端，为我国的和平崛起创造良好的发展环境。

鉴于周边的环境，我国政府的态度及应当采取的进一步措施

（一）、作好战略性长远规划。“凡事预则立，不预则废。”为了更好地防止周边国家侵害我海洋权益，保护我海洋资源，针对有关国家所采取的手段，我们必须充分认识到这个问题的复杂性和长期性，从战略高度作好我国海洋产业、海军发展的规划。

（二）、建立高效协调机构。维护海洋权益是一项系统工程，单靠一个部门管理或是各个部门各管一摊，力量太薄弱。必须设立一个专门的机构，负责联系协调有关海洋权益维护的工作。使我国外交、海洋机构、海军、科调、民间力量有机地协调起来，互为补充，平时作好预案，一旦有事便能快速反应。

（三）、加快联合性调查开发。

（四）、加强持续性实际控制。

（五）、实施决定性力量建设。

第五篇：钓鱼岛争端

钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，中国对此拥有充分的历史和法律依据。但是，日本方面无视大量历史事实，竟声称日本人古贺辰四郎在明治十七年（1884）发现该岛。由此引发了一系列的争端。钓鱼岛争端也就一直成为了中日两国关系的争议焦点。

2012年7月的日本购岛事件，掀起了钓鱼岛争端的又一次冲突。钓鱼岛争端，给原本就脆弱的中日关系增添了新的阴霾。

从西太平洋地缘政治来看，存在对立的两大力量：中国力量和美日台力量。对于后者而言，北起白令海峡，北方四岛，日本海，中经钓鱼岛和台湾岛，至南中国海和马六甲海峡，既是美国利益的包线，也是日本的利益生命线。

作为一个资源溃乏的岛国，日本的资源和贸易严重依赖于南下的海运，这条线路有两个关键而又脆弱的节点，一是钓鱼岛和台湾岛，二是南海。任何一点发生了政治格局的根本变化，都会对日本造成战略上的困境。日本要成为政治强国，影响本地区乃至世界的局势了，成为世界政治舞台上举足轻重的一员，只有沿此路线南下。因此，对于日本，这条线既是一条生命线，也是日本实现军事政治强国之梦的起跑线。

然而对于中国，这条线距离中国沿海远者不过数百公里，近者不过百余公里，几乎将中国所有的出海口封锁得牢牢实实。在遭受攻击时，中国最富庶的东部地区将暴露在敌人的火力面前，无险可守。中国一万多公里的海岸线，与这条战略线几乎完全平行。在现代的军事斗争中，中国要确保国家安全，维护领土和主权完整，就必须死守这条漫长的战略线，实施战略防御。而中国作为一个崛起中的世界大国，必然不能被锁在陆地上，走向大洋是中国不可逃避的选择。只有突破这条战略线，将海防线向外扩展，使战争威胁远离本土，才能够确保国家安全。于是，这条对于日本而言是必然牢牢控制的生命线和实现政治崛起的海上战略线，同时也成为中国确保国家安全的底线和实现海上强国梦想必须突破的战略线。

两个世界强国竟然被捆在了一条事关双方民族兴衰的战略线上。即使具有有效的沟通和协商机制，双方的冲突也很难避免。何况中日两国是数百年之宿敌，怀着对对方极度的不信任感，冲突的可能性大大增加。

最近消息称，日本政府为了加强监视中国在钓鱼岛附近海域的活动，2014的防卫预算将比2013增加2.8%，约为4.88万亿日元(约合人民币2848亿)。这是日本连续两年增加防卫预算，对于军事部署强化军队，可谓不留余力。

安倍主导的日本内阁与极右翼势力在钓鱼岛问题上，对中国采取步步紧逼的策略，一边在强化钓鱼岛近屿的军事部署，一边在试图将钓鱼岛问题国际化，拉其盟国加入钓鱼岛之争的漩涡，并挑拨中国与其他邻国的岛礁争议制造事端。

对此，中国政府在捍卫钓鱼岛主权问题上的态度是明确的和一贯的，对日本政府一意孤行挑战中国主权底线的行为，中国政府和军队不可能一再忍让下去，东海防空识别区的公布和空军进行首次空中巡逻，对日发出强烈信号等于向日本政府正式摊牌，中国军队绝不允许日本海警在中国防空识别区为所欲为，将日本海空力量彻底逐出钓鱼岛区域，是中国政府划定东海防空识别区的根本目的。

最近几年，中国军事实力尤其是海军大幅增长。因此，对于海上主权的维护也越发坚决。2013年11月23日，中国国防部宣布划设东海防空识别区，包含钓鱼岛附近相关空域。

中日在南海的军备竞争以及军事部署已经愈演愈烈，双方都到了骑虎难下的境地。然而一旦出现摩擦，在舆论的压迫下，势必采取报复反报复行为，到那时，中日或许都将身不由己的滑向战争的泥淖。