高二文-反证法

第一篇：高二文-反证法

§2.2.2反证法

滕州一中东校韩霞

教材分析

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力.课时分配

本节内容用1课时完成，使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤.教学目标

重点：理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤.难点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思路方法.知识点：

1、反证法的概念

2、反证法证明题的基本方法.能力点：培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.教育点： 通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性.自主探究点：通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.考试点：掌握反证法证明命题的方法.易错易混点：否定结论时应对结论全盘否定，不能部分否定.拓展点：初步掌握反证法的概念，理解反证法证题的基本方法，培养学生用反证法简单推理的技能.教具准备：多媒体课件

课堂模式：采用设问、引导、启发、发现等教学方法.一．引入新课

故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷爬上树去摘果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.问题1:王戎是怎样知道李子是苦的呢？

问题2:你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法？

（1）学生经过思考，知道王戎是这样判断出李子是苦的：假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.（2）我们不妨把这则故事改编成数学中证明题的格式，即写出“已知、求证、证明过程”来总结王戎的推理方法：

而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.【设计说明】让学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在.【设计意图】爱因斯坦说：“兴趣是最好的导师.”这样引入让学生明确数学来源于生活、科研的需要，同时又能解决生活中的问题，激发了学生兴趣，增强学生求知欲.二．探究新知

问题1：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？

生：不同, 综合法和分析法是直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性.上面这种证明方法不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的.它是一种间接证明方法，反证法就是一种常用的间接证明方法.【设计意图】让学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法反证法，它是与直接证明不同的一种证明方法.问题2：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？

【设计意图】让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫.三.理解新知

例1．已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x

ba

.ax1b,(1)ax2b,(2)

如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，即

（1）-（2）a(x1x2)0

因为x1x2，所以应有a0，这与已知矛盾，故假设错误.所以，当a0时，方程axb有且只有一个根.问题3：根据反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？ 学生讨论后总结：反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾.（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.【设计意图】通过教师设问，学生思考、探究、类比，学生得出了反证法的概念，初步明确反证法的步骤.练习：用反证法证明：一个三角形内，不能有两个钝角.证明：假设ABC中，有两个钝角，即A900,B900，于是AB1800，更有

ABC180，这与三角形内角和定理矛盾.∴一个三角形内，不能有两个钝角．

四．运用新知

例

2、已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b，求证a// 证明：因为a//b，所以经过直线a,b确定一个平面.因为a,而a, 所以,是两个不同的平面.因为b,且b,所以b

下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a与平面有公共点P，则Pb 即点P是直线a,b的公共点，这与a//b矛盾.所以a//.问题4：你能总结在什么情形下应用反证法呢？

师生共同总结：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；

④结论为 “唯一”类命题；

【设计意图】教师从例题分析中小结反证法知识，提高学生的解题能力.练习：平面交平面于直线a，直线b在平面内，直线c在平面内，abA,c//a

求证：b,c是异面直线.证明：假设b,c不是异面直线，则b,c平行或相交若c//b,c//a,a//b这与abA矛盾.b不平行于c，若cbB，Bb,Bc

B是，的公共点，又=a Ba,则c与a相交，与c//a矛盾.b,c是异面直线

【设计意图】通过两个练习，巩固本节课所学知识，加深印象.问题5：你能总结反证法的矛盾有哪些种?

(1)与已知条件矛盾，（2）与公理、定理、定义矛盾,(3)与假设矛盾

【设计意图】同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾.五.课堂小结

（1）、反证法的一般步骤；（2）、反证法的关键：在正确的推理下得出矛盾，可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等；（3）、反证法适合证明哪些命题？否定性问题、存在性、唯一性命题，至多至少问题，结论的反面比原结

论更具体、更易于研究和掌握的问题.六.布置作业

必做：

1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论

A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）

2、命题“ABC中，若AB则ab”的结论的否定应该是（）A、abB、abC、abD、ab

3、命题“关于x的方程axb,(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（）A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解

4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A、有两个内角是直角B、有三个内角是直角

C、至少有两个内角是直角D、没有一个内角是直角

5、对一个命题的证明，下列说法错误的是（）Ａ．若能用分析法，必能用综合法

Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法 Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立

6、已知a,b,c均为实数，且ax2y求证：a,b,c中至少有一个大于0.选做：

1、已知a,b,c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx2cxa0,cx2axb0至少有一个方程有两个相异实根.,by2z

,cz2x



6，2.已知：f(x)xpxq，f(1)f(3)2f(2)2 求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于

2.答案：必做：1.C、2.B、3.D、4.C、5.Ｄ．

6.证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abcx1y1z130，即abc0，与abc0矛盾，a,b,c中至少有一个大于0.选做：1.证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，22

2则14b4ac0,24c4ab0,34a4bc0.222

相加有abbcca0① 由题意a,b,c是互不相等的非零实数，∴①式不能成立.222

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.2.证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于

f(1)

12,f(2)f(1)

12,f(3)

12，则，12

即有

12,

f(2),

f(3)

∴2f(1)f(3)2f(2)2与已知f(1)f(3)2f(2)2矛盾，∴假设不成立，即原命题成立.七.教后反思：

亮点是:设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.不足是: 对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和提高.八、板书设计的

第二篇：浅谈反证法

浅谈反证法

摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法数学学习

正文：

一：反证法的概念

一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程

① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;

② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;

③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

三：反证法的适用范围

(1)直接证明困难的(2)否定性命题

(3)唯一性问题

(4)至多、至少型命题

四：理论依据

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

五：常用词语

原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个

否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个

原词语任意的任意两个所有的能

否定词语某个某两个某些不能

第三篇：高中数学反证法

反证法解题

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。

A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

5.A.150种B.147种C.144种D.141种

S 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB 上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝222221x1(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数ax1a

图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。练习：

1.已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。1|x|

2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1。

24.求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。2

第四篇：反证法教学反思

“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会：

1、分清所证命题的条件和结论

如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”其中条件是“一个三角形”（）结论是“不能有两个角是直角”（）

2、熟记步骤

第一步：假设即假设命题的结论的反面为正确的。如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设”

第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。

3、抓住重点，突破难点

反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”。他的反面应包括以下三种情况：

（1）AB平分CD但CD不平分AB；

（2）CD平分AB但AB不平分CD；

（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。

4、注重规范

在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。

第五篇：反证法讲课稿

29.2反证法 讲学稿

[【学习目标】

知识与能力：通过实例，体会反证法的含义

过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】

体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点.【学习过程】

一． 学前准备：

1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：

2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

二、自学、合作探究

1、用具体例子让学生体会反证法的思路

思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.2、由上述的例子归纳反证法的步骤

1．假设命题的结论的反面是正确的；

2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；

3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的.三、例题讲解

例1．求证两条直线相交只有一个交点.例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.四、学习体会

通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.五、自我测试

1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.六、板书设计

七、自我提高

1．“a

A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交

3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．

4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________． 5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数;（2）a≥0;（3）a<5．

6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点． 证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．

7．完成下列证明．

如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．

证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．

综上所述，假设不成立．

∴∠B一定是锐角．

8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．

10.已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.11.三角形内角中至多有一个内角是钝角.12.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.）

13.求证：一个三角形中不能有两个直角.八、学（教）后感 学习目标】

知识与能力：通过实例，体会反证法的含义

过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】

体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点.【学习过程】

二． 学前准备：

1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：

2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

二、自学、合作探究

1、用具体例子让学生体会反证法的思路

思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.2、由上述的例子归纳反证法的步骤

1．假设命题的结论的反面是正确的；

2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；

3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的.三、例题讲解

例1．求证两条直线相交只有一个交点.例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.四、学习体会

通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.五、自我测试

1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.六、板书设计

七、自我提高

1．“a

A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交

3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．

4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________． 5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数;（2）a≥0;（3）a<5．

6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．

证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．

7．完成下列证明．

如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．

证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．

综上所述，假设不成立．

∴∠B一定是锐角．

8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．

10.已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.11.三角形内角中至多有一个内角是钝角.12.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.13.求证：一个三角形中不能有两个直角.八、学（教）后感