周世勋量子力学教案6

第一篇：周世勋量子力学教案6

§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点

一． 实验事实

1． 斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：

现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设

沿Z方向

如 在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明，对S 态 ，是空间量子化的，只有两个取向 磁矩。即自旋磁矩。2． 碱原子光谱的双线结构 ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有如钠原子光谱中一条很亮的黄线 条谱线组成

3． 反常塞曼(Zeeman)效应，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两

1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。二． 乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设

1． 每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值

2． 每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是

为玻尔磁子

这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是

三．电子自旋的特点

乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。特点：

1． 电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。

2． 电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。

3． 电子自旋值是，而不是 的整数倍。

4．，而

两者在差一倍。

自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系

§6.2 电子的自旋算符和自旋函数

一．自旋角动量算符

在空间任意方向上的投影只能取值

（由实验所得假设）

本征值都是 ，叫自旋量子数

引入一新算符 ，由

相加

定义反对易

重要关系式

二． 自旋函数与泡利矩阵

考虑到电子具有一新的自由度：自旋角动量，电子的波函数

是（自旋向上），位置在r处的几率密度.是（自旋向下）, 位置在r处的几率密度.自旋向上的几率，自旋向下的几率.归一化条件

自旋算符应是 矩阵 ，是厄密算符

设

为实数, ，由

取

泡利矩阵

这是 在表象中的表示，在 表象中，本征函数 ，当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。的。

和 对 的依赖关系是一样

叫自旋函数，自旋算符仅对波函数中的

有作用。

自旋与轨道运动无相互作用

自旋算符 为 矩阵，自旋算符任一函数 也是

矩阵

算符 在态 中对自旋平均为：

对坐标的自旋同时平均

§6.3 简单塞曼效应

氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，（自旋与轨道相互作用忽略）由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。

沿 方向 取

体系定态薛定谔方程

或

无磁场时，对氢 对碱金属

有外磁场时：

取 即

仍是两方程的解。

时

同样

时 原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与 有关。当原子处于

态，原来的能级 分裂为两个，正如斯特恩－革拉赫实验中所观测到的。

由选择定则

简单塞曼效应：在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。复杂塞曼效应：外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。

§6.4 两个角动量的耦合

一． 角动量的对易关系

粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。

设 为体系的的两个角动量算符

分量都对易 相互独立.体系的总角动量

[证明]：

即 同样有

还有

注意:

二． 无耦合表象和耦合表象

相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系，以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。

另一方面, { } 也相互对易,他们有共同本征矢

以 为基矢的表象称为耦合表象，两表象之间的关系

:克来布希－高登(Clebsch-Gordon)系数

三． 总角动量的取值范围

1． 的最大值

: 最大值为

最大值为

最大值为

又

2． 的最小值

对 , 给定.:

个取值

对 , 给定 :

个取值 , 固定有

个

是各种

的线性叠加

确定时，的数目也是，对应不同的

对一个，有 个值：。

的数目可以表示为

利用等差级数求和公式

又 代入方程

§6.5 光谱的精细结构

由于自旋与轨道角动量的耦合，使原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，这就产生了光谱线精细结构。1． 不考虑自旋时，无外场

本征函数，本征值

度简并

2． 考虑自旋的存在，但不考虑轨道角动量 与自旋角动量

耦合

相互对易，它们有共同的本征函数，即考虑自旋后，电子的波函数由

四个量子数确定。

只与 有关，有两个取值，这时能级

引入总角动量算符:

相互对易，它们的共同本征函数

3． 考虑自旋和轨道运动之间的耦合 相互作用量：

是

度简并

.无共同本征函数，即 的本征函数，不再是 的本征函数，这时:

如何描述

由于存在耦合项 ，电子态不能用量子数 描写，或者设

现在不是好量子数，不是守恒量。

又:

即

有共同的本征函数

是守恒的好量子数，的能量本征函数 怎么表示

将

看成微扰，用简并情况下的微扰理论求

求出 为 的本征值

在耦合表象中是对角化的

上式

即，在耦合表象中是对角化的，对角元

即为能量一级修正

自旋轨道间的耦合使原来简并的能级分裂开

只与 有关，度简并

考虑一级修正后，与 有关，度简并

给定后，即具有相同的量子数 的能级有两个，它们之间的差别很小。

§6.6 全同粒子的特性

一． 全同粒子

质量，电子，自旋等固有性质完全的微观粒子为全同粒子。所以电子都是全同粒子，所以质子都是全同粒子。在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中，都有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。

在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播中总会出现重叠，在重叠部分，无法区分哪是第一个粒子，哪是第二个粒子。

二． 全同性原理：量子力学的一个基本假设

两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。即全同粒子的不可区分性。三． 全同粒子系统的特性

1． 全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。

设一由 个全同粒子组成的体系，表示第 个粒子的坐标和自旋。体系的哈密顿量为

则: 2． 全同粒子的波函数有确定的交换对称性

交换算符 表示将第 个粒子和第 个粒子相互交换

由薛定谔方程：

将交换算符 作用于薛定谔方程

即：

即若 是薛定谔方程的解，则

也是薛定谔方程解。

由全同性原理，与 应描写同一状态，因而它们之间只相差一常数因子

, 是守恒量，本征值为

对称函数

反对称函数

描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。[ 证] 设 时刻体系波函数 是对称的，因为

对称

在 时刻也对称；由 , 在 时刻也对称,在下一时刻波函数为，也是对称函数。以此类推，在以后任何时刻波函数都是对称的。同样如果在某一时刻波函数是反对称的，以后任何时刻波函数都是反对称的。3． 玻色子和费米子

实验证明，由电子，质子，中子这些自旋为 的粒子以及自旋为 的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)－狄拉克(Dirac)统计，称为费米子，由光子（自旋为）以及其它自旋为零，或 整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)－爱因斯坦统计，称为玻色子。

§6.7 全同粒子体系的波函数

一． 两个全同粒子体系的波函数

无相互作用时 与

形式是相同的

设 分别表示 的本征值和本征函数

设，为 的本征函数 即

同样

也是能量本征值为

的本征函数，这叫交换简并。

是不是全同粒子的波函数？

如

对称函数

如

不对称

为此我们构成对称的或反对称的函数，它应是 对称函数： 的组合

反对称函数：

都是的本征函数，本征值为

如 是归一化的波函数

即

同样

因此归一化的对称，反对称的波函数为

二． N个全同粒子的体系

粒子间无相互作用，设本征值为 的 的本征函数为 , 则

设

无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符，其本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程： 对玻色子组成的全同粒子体系，体系波函数是对称的

P表示N 个粒子在波函数中的某一种排列

是处于 态的粒子数，对费米子组成的全同粒子体系，体系的波函数是反对称的

三． 泡利不相容原理

对费米子组成的全同粒子体系，如有两个单粒子态相同，比如第i个粒子和第 j个粒子处于同一态。

又 应是反对称函数

必有

从行列式看，两个单粒子态相同，就是行列式中两行相同，行列式为零。这表示不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。

注意：泡利不相容原理不是什么新的原理。它实质上是全同性原理的体现，是全同费米子体系具有交换反对称性的必然推论，全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用费米子，而且适用于玻色子。四． 自旋的影响

考虑到粒子的自旋，体系波函数可写成坐标与自旋函数之积，对费米子，例：设有三个全同粒子，可以用指标 称态函数。

表示三个不同单粒子态，写出全同粒子对应的对称态波函数和反对[解] ①

②

③

反对称

§6.8 两个电子的自旋函数

如无自旋时相互作用，23 对称函数

不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数，定义总的自旋角动量

下面求 的本征值

同理

同样

两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。

两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。

两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴分量平行。

两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。

第六章 小结

一． 自旋 1．自旋的引入

电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。

实验事实：

① 原子的精细结构 ② 塞曼效应 ③ 斯特恩－盖拉赫实验

假设：① 2．自旋特性

（任意方向）② ① 内禀属性 ② 量子特性，不能表示为 3．自旋算符与泡利算符

③满足角动量的一般对易关系，自旋算符的对易关系，泡利算符对易关系

4．电子自旋态矢量与泡利矩阵

共同本征函数 ，在 表象中(泡利表象）

可表示为 矩阵：

在泡利表象，任一自旋态为

既有自旋运动又有电子空间运动，自旋与轨道无相互作用 5．两个电子体系的自旋函数

, , ，二．两个角动量的耦合

两独立角动量:

总角动量: 总角动量的基本关系:

即 它们可构成

共同本征矢

以

为基矢的表象叫耦合表象 也相互对易，构成完备基

以 为基矢的表象叫无耦合表象

二种表象的关系

--克来布希－高登系数

三． 碱金属原子光谱的精细结构，塞曼效应

碱金属原子光谱的精细结构：由于自旋与轨道角动量的存在，而产生耦合，在无外场的情况下，原来一个能级分裂成一组不同j值的能级。

不考虑自旋与动量耦合

度

度（考虑自旋）

简单塞曼效应：在强磁场中（不考虑自旋与轨道角动量耦合），由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。若在弱磁场中，需考虑自旋与角动量的耦合，分裂比较复杂,称为复杂塞曼效应。四． 全同粒子

1． 什么是全同粒子？（质量，电荷，自旋等）相同的微观粒子 两大类: 费米子，玻色子

2． 全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变全,同粒子在重叠区的不可分性。3． 由全同性原理推出的一些基本结果:

①全同粒子体系的哈密顿量对任意两个粒子的互换不变。

②全同粒子体系的物理状态对于两个粒子互换不变，即:全同粒子体系的状态波函数不因二粒子互换而变。

，全同粒子体系的状态波函数只能是对称波函数或反对称波函数，费米子组成的全同粒子体系由反对称波函数描述，玻色子组成的体系由对称波函数描述。

全同性原理是一个假设，但它得出的结果与实验相符，从而作为量子力学的一条基本原理而保留。它说明，全同粒子的状态波函数不仅要满足薛定谔方程，而且要满足一定对称性。4． 全同粒子体系状态波函数的构成对称波函数：

反对称波函数：

5． 泡利不相容原理

不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，它是全同性原理的自然推论。

第二篇：周世勋量子力学教案1

§1.1 经典物理学的困难

宏观物理的机械运动：牛顿力学

电磁现象：麦克斯韦方程

光现象：光的波动理论

热现象热力学与统计物理学

多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实验精度和研究理论的应用。

19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。”：

（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公式，在高频部分趋无穷。

（2）“以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。

历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。预示物理学正面临新的挑战。

黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热

光的波粒二象性玻尔原子结构理论（半经典）

微观粒子的波粒二象性

量子力学 一．黑体辐射问题

黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。

热辐射：任何物体都有热辐射。

当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：

热力学+特殊假设→维恩公式长波部分不一致

经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二．光电效应

光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。

光电效应的规律：

（1）存在临界频率；

（2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光强越大，光电子数目越多。

(３)时，光一照上，几乎立刻（）观测到光电子。

这些现象无法用经典理论解释。三．原子的线状光谱及原子的稳定性

氢原子谱线频率的巴耳末公式： ,叫波数。

原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？

现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。§1.2 早期的量子论

一．普朗克的能量子假设

1．普朗克公式

普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。

h叫普朗克常数焦尔.秒。

2．普朗克的能量子假设

对一定频率的电磁波，物体只能以为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。二．爱因斯坦的光量子理论与光的波粒二象性

1．爱因斯坦的光量子理论

爱因斯坦在普朗克量子论的基础上，进一步提出光量子的概念：辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有动量，波矢 , n表示沿光子运动方向的单位矢量。

2．爱因斯坦公式

，叫脱出功，光电效应反映了光具有粒子的特性。

3．康普顿效应

高频率X射线被轻元素中电子散射后，波长随散射角的增大而增大，按经典电动力学，电磁波波长散射后波长不变。如将这过程看成光子电子碰撞，康普顿效应可得到圆满解释。

利用能量动量守恒和，可得到康普顿散射公式

康普顿效应也反映了光的粒子特性。

4．光的波粒二象性

牛顿微粒说（发光体发出弹性微粒流）－－》爱因斯坦光量子思想

（可解释光的直线前进、反射、折射）（光电效应、康普顿效应），惠更斯波动说（机械波）――》光的电磁本质（电磁波）

（光的干涉、衍射）（不依靠媒质）

――》光的波粒二象性：光的波动说和微粒说从不同侧面揭示了光的本质。光既具有波动性有具有粒子性，这二重性不存在哪个更本质问题。

二．玻尔的原子理论

1913年丹麦物理学家玻尔提出了半经典半量子的原子理论，成功解释了原子的稳定性、原子的线状光谱，揭示了原子内部的量子特性。

玻尔原子理论的中心内容：定态假设，频率条件，量子化条件。

1．定态假设

原子内部的运动只可能处于一些不连续的稳定状态，称为定态。原子在每一个定态下能量分别都有一定的值，原子的能量只允许取量子化的离散值，称为一个个能级。原子处于定态下，原子内的电子运动有加速度，也不会发生辐射导致原子能量改变。

2．频率条件

原子的能量不能任意连续地改变，只能通过从一个定态到另一定态的跃迁而产生跃迁式的改变。原子从一个能量为的定态跃迁到另一能量为的定态时，将发射或吸收频率为的光子。

3．量子化条件

在量子理论中，角动量必须是的整数倍，由此可确定每个能级的能量，再结合频率条件可得到

巴尔末公式。

索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度情况

q为广义坐标，p为对应的广义动量，n为正整数，称为量子数。

玻尔的理论是把微观粒子看成经典力学中的质点，把经典力学的规律用在微观粒子中，然后加了些量子化条件，它有局限性。对复杂原子（氦）遇到困难，另外还无法解释谱线强度，量子力学就是在克服这些困难和局限性中发展起来的。玻尔提出的一些最基本的概念（原子能量的量子化、量子跃迁、频率条件等）还是正确的。

普朗克、爱因斯坦、玻尔是旧量子论的奠基者。旧量子论正确表达了部分客观事实，揭示了部分微观客体的内在联系，并为新量子论的建立奠定了基础。但旧量子论并没抛弃经典理论，只是在经典理论基础上加上一些量子化条件，因而是半经典半量子的理论，因而有局限性。

§1.3 量子力学的建立

一．微观粒子的波粒二象性

1．德布罗意波

1924年德布罗意在光有波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，这种与粒子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。

2．验证德布罗意波存在的实验

（1）戴维孙――革末电子衍射实验

电子注正入射到镍单晶上，散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某些确定值时，强度有最大值，这与X射线的衍射现象相同，这充分说明电子具有波动性。

（2）电子双缝衍射

光通过两个窄缝时，会出现衍射条纹，这是光具有波动性的体现。将光源换成电子源，会出现同样的衍射条纹，这是电子具有波动性的又一例证。

二．量子力学的建立量子力学是在1923－1927年建立起来的，矩阵力学与波动力学几乎同时提出，它们是完全等价的，是同一力学规律的两种不同描述。波动力学来源于德布罗意物质波的思想，薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到了一个量子体系物质波的运动方程：薛定谔方程，它是波动力学的核心。它成功地解释了氢原子光谱等一系列重大问题。相对论和量子力学是20世纪物理学两大进展。以薛定谔方程为核心的量子力学属于非相对论量子力学。非相对论量子力学只能解决微观低速问题，电子的自旋是作为假设引入的。1928年狄拉克建立了电子的相对论波动方程，这个理论适用于电子速度接近光速的情况，电子的自旋自然包含了进去。但这个理论不能处理多电子体系。

在高能情况下，粒子会发生相互转化，在此基础上发展起量子场论。

第一章 绪论内容小结

1． 经典物理的困难黑体辐射，光电效应，原子光谱线系 2． 旧量子论

<1>普朗克能量子论<2>爱因斯坦对光电效应的解释,光的波粒二象性光电效应的规律 爱因斯坦公式

光子能量动量关系

<3>玻尔的原子理论

定态的假设, 频率条件 , 量子化条件

3.微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系

戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系 4． 量子力学的建立

物质波——>薛定谔方程——>非相对论量子力学——>相对论量子力学 ——>量子场论

第三篇：车世勋个人总结

个人年终总结

20111103车世勋

走进电子信息工程系，一眨眼已有半年时光了。在这个汇集众多强有力对手的集体中，相对于过往的高中生活，一切都是新面孔，新生活。其中充满新体验，心思索。在2011年的年终浅谈一下自己的总结：

首先是在课程学习上。大学，曾经一度梦想的地方。当时我们傻傻的记着高中老师说“辛苦3年，等你们上了大学就轻松了”的教诲，那一刻考上大学是我们所有人的梦想，那时都傻傻的人未考上大学以后学习就不是那么苦了。现在才惊讶的发现——大学丰富的生活中，一切都很精彩，学习便是这精彩的基础。如果想给自己的大学生涯留下一些回味，那么就必须在个人生活、学生工作、爱好培养上做到完美的平衡，不能顾此失彼。在某些特定的科目上，必须投入充足的时间和精力，比如英语，它是一种熟练型的课程。在第一学期，由于个人时间规划不合理，懒惰。所以最终期末英语才74分的结果。这种结果自己很惋惜、悔恨，但深知这样不能挽回结局。所做的只能是在下一个学期学习中要努力求实。

其次，在个人生活方面要有正确的规律性。大学生活中充满了很多的放纵，摆脱了父母、老师，个人完全掌握了自己的日常

生活安排，以至于有些人彻夜的泡网吧，熬夜网聊。无节奏的生活使其无法将全部精力投入到学习中，不能踏上正常的大学轨道。在第一学期中，由于接触很多新朋友，过多的外出聚餐和贪恋其他娱乐、上网等事情是自己的生活毫无规律，每一次上课都萎靡不振，没有效率的课堂就代表着零的结果失败的结果只能由自己捡起。

再次，在学生工作中要做到“求同存异”。宽容，是大度；宽容，是一种亲和的人格魅力。在电子信息工程系组织部任干事的半年时间里。发现人与人之间总存在很多误解和矛盾，经常有人将问题扩大化，应激的性格和狭隘的心理给工作的进展带来很大阻力。想起曾经以为企业家说过：“一个团队需要的往往不是最优秀的人，而是最合适的人”只有适合团队生活的人才能给团队注入新动力，推动团队的进步。

最后，在第一学期的失败结果中有一种危机的感觉。自己的排名带给自己一种无名的恐惧。和大家加一起生活，一起学习，合作的同时也存在着激烈竞争。别人的强大会使弱小的自己在这个集体中渐渐失去立足之地。做尾巴的恐惧将会激励自己在今后的学习中不断的努力，争取尽快走出这种尾巴的感觉。

经历了一个学期的时光，其中有快乐，也有苦楚。度过了大学生活的适应期，踏入真正的大学生活。结合自己半年的生活，在个人人学习和生活上作出如上总结。

第四篇：量子力学导论 第十章 教案

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

第10章

定态问题的常用近似方法 §10.0 引言

§10.1 非简并定态微扰理论 §10.2 简并微扰理论 §10.3 变分法

§10.0

引

言

（一）近似方法的重要性

前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；

（3）势垒贯穿问题；

（4）氢原子问题。

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。

（二）近似方法的出发点

近似方法通常是从简单问题的精确解出发，来求较复杂问题的近似解。

（三）近似解问题分为两类

（1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论；

2.变分法。

（2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论；

2.常微扰。§10.1 非简并定态微扰理论

（一）微扰体系方程

（二）态矢和能量的一级修正

（三）能量的二阶修正

（四）微扰理论适用条件

（五）讨论

（六）实例 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

（一）微扰体系方程

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。

例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。

可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：

ˆHˆHˆ H0ˆ0所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(0)，本征矢|(0)满足如下本征方Hnn程：

ˆ0|(0)E(0)|(0) Hnnnˆ是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于Hˆ0上的微小扰另一部分H动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：

ˆ|E| Hnnn(0)(0)当H0时，|n|n ； , EnEn(0)(0)当H0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En状态由|n En，|n。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：

ˆW H其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。

为明确起见，我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为En、|n，请注意与教材中对应

因为En、|n都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：

(0)(1)(2)EnEnEn2En|n|

(0)n|2

(1)n|2(2)n 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)(2)其中En，En，2En，…分别是能量的0 级近似，能量的一级修正和二级修正等；(0)(1)(2)而||n，|n，2|n，…分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。

代入Schrodinger方程得：

ˆW)(|(0)|(1)2|(2))(H0nnn(E乘开得：(0)nE(1)nE2(2)n)(|(0)n|(1)n|2(2)n)

(0)(0)ˆ|(0)00HEn|n0n1(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆH0|nW|n1En|nEn|n2ˆ2(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)H0|nW|nEn|nEn|nEn|n

33根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: ˆ|(0)E(0)|(0) 0:H0nnnˆ|(1)W|(0)E(0)|(1)E(1)|(0) 1:H0nnnnnnˆ|(2)W|(1)E(0)|(2)E(1)|(1)E(2)|(0) 2:H0nnnnnnnn整理后得：

ˆE(0)]|(0)0[H0nnˆE(0)]|ψ(1)[WE(1)]|ψ(0)[H0nnnn (0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆE]|[WE]|E|[H0nnnnnn(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分别是|n和|n|所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。

（二）态矢和能量的一级修正

(0)现在我们借助于未微扰体系的态矢||n和本征能量En来导出扰动后的态矢

(0)|n和能量En的表达式。

(1)(1)能量一级修正En

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据力学量本征矢的完备性假定，H0的本征矢|n是完备的，任何态矢量都可按(1)其展开，|n 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：

|ψ(1)n|ψk1(0)kψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)akn|ψk

k1(1)(0)(1)其中aknψk|ψn。

是一组完备基矢。|k(0)（k1,2,,）代回前面的第二式并计及第一式得：

ˆE(0)]a(1)|(0)[WE(1)]|(0) [H0nknknnk1或写成

ak1(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)En]|k(0)[WEn]|n

(0)左乘n|, 有

k1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)En]m|km|W|nEnm|n

考虑到本征基矢的正交归一性：

ak1(1)kn(0)(1)[Ek(0)En]mkWmnEnmn

(1)(0)(0)(1)amn[EmEn]WmnEnmn

考虑两种情况 1.mn

(1)(0)(0)EnWnnn|W|n

2.mn

a(1)mn(0)(0)Wmnm|W|n (0)(0)(0)(0)EnEmEnEm可以给出波函数的展开系数 准确到一阶微扰的体系能量：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)EnEnEn(0)(0)(0)Enn|W|n(0)(0)(0)Enn|W|n

ˆ|(0)E(0)(0)|Hnnn(0)ˆEnHnnˆ(0)|Hˆ|(0) 其中Hnnnn即能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值

(1)（2）态矢的一级修正|n

令|(1)n(1)akn|k(0)

k1为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式展开(1)系数中ann0（可以取为0）

证：

基于|n的归一化条件并考虑上面的展开式

1n|n(0)(1)(0)(1)[n|n|][|n|n](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)n|nn|nn|n2n|n(1)(0)(1)(0)1[aknn|k(0)akn*k(0)|n]2k1(1)(1)1[aknnkakn*kn]2k1(1)(1)1[annann*]

各级波函数都可以是归一的。由于归一，所以

(1)(1)[annann*]0

(1)(1)(1)0，[annann*]0Re[ann]0

(1)(1)(1)的实部为0。ann是一个纯虚数，故可令annanni（为实）。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)|n|nakn|k(0)k1(0)(1)(0)(1)|nann|nakn|k(0)kn(0)(0)(1)|ni|nakn|k(0)kn

(0)(1)(1i)|nakn|k(0)kn(0)(1)ei|nakn|k(0)kn(0)(1)(0)ei|a|knknkn最后两步用到公式eiλ1iλ。

（三）能量的二阶修正

(0)对|nei(|nakn(1)kn(0)|k)

(1)(0)上式结果表明，展开式中，ann|n项的存在只不过是使整个态矢量|n增加了(1)一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取 = 0，即ann0。这样一来，(1)akn|k(0)kn(0)k(0)|W|n(0)|k(0)(0)EEknnk|n||(0)n(0)n(0)k(0)|W|n(0)||k(0)(0)EEknnkˆ|(0)(0)k(0)|H(0)n|n|k(0)(0)EnEkknHkn(0)|n(0)|k(0)(0)knEnEk(0)n(2)与求态矢的一阶修正一样，将|n按|n 展开：

(0)|(2)n|k1(0)k(0)k|(2)n(2)akn|k(0)

k1(1)与|n展开式一起代入关于 的第三式 6 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE(0)]a(2)|(0)[WE(1)]a(1)|(0)E(2)|(0) [H0nknknknknnk1k1[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn|(0)k(1)(0)(2)(0)[WE]akn|kEn|n

(1)nk1(0)左乘态矢m|得

[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn(0)m|(0)k(1)(0)aknm|W|k(0)k1

(1)(1)(0)(2)(0)(0)Enm|k(0)Enm|naknk1利用正交归一性，有

[Ek1(0)kE(0)n]a(2)knmkδak1(0)n(2)mn(1)knψ|W|ψ(0)m(0)kE(1)nak1(1)knmkδ(2)Enδmn

[E1.当mn时

(0)mE]a(1)(1)(1)(2)aknWmkEnamnEnmn

k1(1)(1)(1)(2)0aknWmkEnamnEnk1E(2)naWnkWnna(1)knk1(1)nnaWnk(1)knknWknWnk(0)(0)knEnEk*WknWkn|Wkn|2(0)(0)(0)(0)knEnEkknEnEk(1)

利用了aknWkn。(0)EnEk(0)在推导中使用了微扰矩阵的厄密性

*(0)(0)(0)Wknk(0)|W|n*n|W|k(0)n|W|k(0)Wnk2.当mn时

[E(0)mE]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)aknWmkEnamn

k1 7 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)(1)aknWmkWnnamn(0)(0)(0)(0)EEEnEmk1nma(2)mnkn(0)[EnWknWmkWnnWmn(0)(0)(0)(0)2Em][EnEk(0)][EnEm]

可以给出波函数的展开系数。能量的二级修正

E2(2)n(0)|Wkn|2|k(0)|W|n|2(0)(0)(0)(0)EEEEknknnknk

(0)(0)22ˆ||k|H|n||Hkn(0)(0)(0)EnEk(0)knknEnEk2在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：

EnE(0)nEE(1)n2(2)nE(0)n|2|Hkn(0)Hnn(0)knEnEk

（四）微扰理论适用条件

总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：

|2|Hkn(0)EnEHnn(0)knEnEk

H(0)|n|n(0)kn(0)|k(0)knEnEk(0)n欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：

Hkn(0)(0)，EE1nk(0)(0)EnEk这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。

上述微扰适用条件表明：

|k|H|n（1）Hkn(0)(0)(0)(0)要小，即微扰矩阵元要小；

（2）EnEk 要大，即能级间距要宽。

例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n成反比，即

2En

Z2e422n28，n1,2,3,... 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。

（五）讨论

（1）在一阶近似下：

|n|(0)nknHkn(0)| k(0)(0)EnEk(0)表明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢|k的线性叠加。

（2）展开系数

Hkn(0)表明第k个未扰动态矢|对第n个扰动态矢|n的贡k(0)(0)EnEk(0)献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。

(0)(0)（3）由EnEn加上微扰Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)Hamilton量H在未微扰态|n中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。

（4）对满足适用条件

Hkn(0)Ek(0)1，En(0)(0)EnEk0 就需要微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正Hnn求二级修正，态矢求到一级修正即可。

（5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：HW只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把W理解为H即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。

（六）实例

例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

解：（1）电谐振子Hamilton 量

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2d21ˆH22x2ex 22dx将 Hamilton 量分成H0H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。

ˆ2d212μω2x2H022μdx Hˆexε(0)（2）写出 H0 的本征值和本征函数E(0), n

(0)nNne2x2/2Hn(x)

，Nn n2n!(0)，n0,1,2, En(n12)(1)（3）计算En

E(1)nHnn(0)*n(0)(0)*(0)ˆHndxenxndx0

上式积分等于 0，是因为被积函数为奇函数所致。（4）计算能量二级修正

矩阵元。欲计算能量二级修正，首先应计算HknHkn(0)*k(0)(0)*(0)ˆHndxekxndx

利用线性谐振子本征函数的递推公式：

xn1[nn1n1n1] 22eHkn(0)n1(0)]dxk(0)*1[nn122n1(0)*(0)(0)n1e[kn1dxk(0)*n1n1dx] 22e[nk,n1n1k,n1]22将上式代入能量二级修正公式，得

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)nkn|2|Hkn(0)EnEk(0)

|e[nk,n1n1k.n1]|222(0)(0)knEnEk11n1(e)2n(0)(0)(0)(0)2EnEn2EE1nn1对谐振子有；

(0)(0)(0)(0)EnEn1, EnEn1

(2)En(e)2[n1n11](e)21222(2)22e22由此式可知,能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关.(1)nknHkn(0)k(0)(0)EnEkkne[nk,n1n1k,n1]22(0)k(0)EnEk(0)

n11(0)(0)en1n1n1(0)(0)(0)(0)2En2EnEE1nn11(0)1(0)enn1n1n221e123(0)(0)n1nn1n1(5)讨论-----电谐振子的精确解

实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：

22d22ˆH12xex22dx2d21ee2e2222[x2x()]22222dx22d12[xe]2e2dx222222222

2d2e2ε2221μωx222μdx2μω2 11 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中xxeε，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时2μωeεe2ε2的线性谐振子的相应能级低，而平衡点向右移动了距离。22μω2μω由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰

(0)(0)(0)动后的波函数n已变成n,n1,n1的叠加看出。

(0)(0)1[n1nn1n1] 32(0)(1)(0)nnnne01c0 例2.设Hamilton量的矩阵形式为：Hc300c2（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：

（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：

1000c0H0030，Hc00

00200cH0是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

(0)(0)E1(0)1，E23，E32

由非简并微扰公式

(1)EnHnn|2 (2)|HknEnE(0)E(0)knnk得能量一级修正：

0E1(1)H11(1)0 E2H22(1)cE3H33能量二级修正为： 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)11|2|2|2|Hk|H31|H211c2 (0)(0)(0)2Ek(0)E1(0)E2E1(0)E3knE1kn(2)3E(2)22|2|2|2|Hk|H32|H121c2 (0)(0)(0)(0)2E2Ek(0)E2E1(0)E2E3E3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)(0)0(0)(0)(0)EEEEEEkn3k3132准确到二级近似的能量本征值为：

E11c21212E232c E32c(2)精确解：

设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：

1Ec0c03E00 0c2E(c2E)(E24E3c2)0

解得：

E21c212E221c E2c3(3)将准确解按 c(<<1)展开：

E21c211c21c428121214E221c32c8c E2c3比较（1）和（2）之解

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E11c2E21c2121212E232c，E221c E2c3E32c可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c及以后高阶项的结果相同 §10.2 简并微扰理论

（一）简并微扰理论

（二）实例

（三）讨论

（一）简并微扰理论

(0)(0)假设En是简并的，那末属于H0的本征值En有k个归一化本征函数:

4|n1，|n2，……，|nk n|n

(0)为描述方便，我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En、|n，请注意与教材中的|n对应

显然它们满足本征方程：

ˆE(0)]|n0，1,2,3,,k [H0n共轭方程

ˆE(0)]0，1,2,3,,k n|[H0n在用微扰论求解问题时，需要知道0级近似波函数，但我们不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决如何选0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。

0级近似波函数肯定应从这k个|n中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]|(0) [Hnnnn 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据这个条件，我们选取0级近似波函数|n的最好方法是将其表示成k个|n的线性组合，因为反正0级近似波函数要在|n(1,2,3,,k)中挑选。

(0)n|c|n

1k(0)|n已是正交归一化，系数c由 一次幂方程定出

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]c|n[Hnnn1(1)ˆ|nEnc|ncHkkk

11左乘n|得：

ˆ(0)E(0)]|(1)E(1)cn|ncn|Hˆ|nn|[Hnnn1kkk1Ek(1)n1ccH1k

(1)]c[EnH1ˆ(0)E(0)]0）（由n|[Hnˆ|n。n|H其中H得：1k(1)En[H]c0。

上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即

(1)EnH11H21H12(1)EnH222Hk1Hk(1)EnHkk(1)0

(1)解此久期方程可得能量的一级修正En的k个根：En（=1,2,...,k），因为(0)(1)(1)所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除；若EnEnEnEn有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。

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(1)为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把En之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。

(1)为了能表示出c 是对应与第个能量一级修正En我们在其上加上角标的一组系数，而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：

1k(1)En[H]c0，1,2,,k

(1)则对应En修正的0级近似波函数改写为：

k|

（二）实例

例1.氢原子一级 Stark 效应（1）Stark 效应

(0)nc|n

1氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。

我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有n度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。

（2）外电场下氢原子 Hamilton 量

2ˆHˆHˆ H0ˆ22e2H02r Hˆerezercos取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107 伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。

（3）H0 的本征值和本征函数

e4n1,2,3,En22 2n(rnlm)Rnl(r)Ylm(,)量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度 n2=4。

2e2，a0 En22e88a0e4属于该能级的4个简并态是：

1200R20Y00412(a1)3/2(2ar)er/2a0000002210R21Y10412(a1)3/2(ar)er/2acos3211R21Y1181()13/2ra0a00()e0r/2a0sine0i

4211R21Y1181(a1)3/2(ar)er/2asinei其中，|2，1,2,3,4。即

1|21ψ2001|21ψ200（4）求H在各态中的矩阵元

1|21ψ2004|24ψ211

由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。

ˆ|eR|r|RY|cos|Y1|HH12220210010ˆ|eR|r|RY|cos|Y 2|HH21121201000我们碰到角积分Ylm|cos|Ylm需要利用如下公式：

22(l1)2m2lm cosYlmYY(2l1)(2l3)l1,m(2l1)(2l1)l1,m于是

Ylm22(l1)2m2lm|cos|YlmYlm|Yl1,mYlm|Yl1,m(2l1)(2l3)(2l1)(2l1)22(l1)2m2lm(2l1)(2l3)ll1mm(2l1)(2l1)ll1mm欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：

ll1lll1ll1 mmm0mm 17 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

，H21不等仅当l1，m0时，H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H12于0。

因为Y10|cos|Y00所以

3H21eR20|r|R21H123e(1)3/2(2r)er/2a0r1(1)3/2(r)er/2a0r2dra0a0302a032a0e(1)4(2r)er/a0r4dr24a00a0

r/a044e1()[2erdrrer/a0r4dr]00a24a005e(1)4[a04!(25)]24a03ea0这是微扰矩阵元的表达式（5）能量一级修正

将H的矩阵元代入久期方程：

(1)E23ea0(1)E2000(1)E20000(1)E23ea000解得 4 个根：

0

0(1)E21(1)E22(1)E23E(1)243ea03ea000(0)

由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能级E2在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

6）求 0 级近似波函数

(1)分别将E2 的 4 个值代入方程组：

kE)c0(H (1)n11,2,k得 四 元一次线性方程组

(1)E2c13ea0c20(1)03ea0c1E2c2(1)0E2c30000000000

(1)E2c40(1)(1)将E2E213ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0 的0级近似波函数是：

1(0)1[12]1[200210]

22(1)(1)将E2E223ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0的0级近似波函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)21[12]1[200210]

22(1)(1)(1)将E2E23E240，代入上面方程，得：

c1c20 0的常数c3和c4为不同时等于(0)因此相应与E20的0级近似波函数可以按如下方式构成：

(0)(0)3(4)c33c44c3211c4211

我们不妨仍取原来的0级波函数（经常这样处理），即令：

c31c40(0)3211则(0)。4211orc30 c41（7）讨论

(0)上述结果表明，若氢原子处于 0 级近似态1, 2, 3, 4，那末，氢原子就

(0)(0)(0)好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般。对于处在1, 2态的氢原子，其电矩取

(0)向分别与电场方向平行和反平行；而对于处在3, 4态的氢原子，其电矩取向分别与电

(0)(0)(0)场方向垂直。

例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：HH0H，其中

2000H0020，H0002000，1 00求能级的一级近似和波函数的0级近似。

解：H0的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。

(1)(1)求本征能量

由久期方程HEI0得：

E(1)00E(1)00E(1)0

E(1)E(1)20 2 20 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

解得：E(1)0,。记为：

(1)0，E1(1) E1(1)，E2故能级一级近似：

E1E0E1(1)2(1)E2E0E22(1)EEE2303简并完全消除

(2)求解 0 级近似波函数 将E1(1)代入方程，得：

0000由归一化条件：

c1(c1c3)c1c3c0c0 22c20c(cc)133c则ψ1(0)*1c1*0c102|c1|21取实解：c11

2c1110。

21将E20代入方程，得：(1)00由归一化条件：

00000c1c3c2000c1c30 cc3100c2*0c2|c2|21取实解：c21

0 21 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

则2(0)01。0(0)如法炮制，得3110

21

（三）讨论

（1）新 0 级波函数的正交归一性 1.正交性

对处理λ一次幂所带来的系数公式

E]c0[H(1)n1k(1)

取复共厄

)[(H1k*(1)*Enc0 ]ˆ的厄米性，有 由于Hˆ|n*n|Hˆ|n)*n|H(Hˆ|nHn|HE]c0 [H(1)n*1k

改记求和指标

，

(1)*En[H]c0k(2)

1由前知E]c0[H(1)n1k(1)

k(1)c(2)c *11(1)*E]cc[HEn[H]cc0

(1)n*kkkkk1111上式合起来可写为 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk[EE]cc0 (1)n(1)n*11或[E(1)n*E]cc0(1)nk1(1)(1)对于EnEn的根，k*c0c(3)

1(0)(1)(0)(1)对应于EnEnEn和EnEnEn的 0 级近似本征函数分别为：

kk|(0)nc|n1|(0)nc|n

1(0)n|(0)n*ccn|nkk11kk**cccc0k

111利用了(3)式cc0。*1k上式表明，新 0 级近似波函数满足正交条件。2.归一性

由于新 0 级近似波函数应满足归一化条件，对于同一能量，即角标，则上式变为：

(0)n|(0)n*cc1k(4)

1Eq.(3)和Eq.(4)合记之为：

cc*1k(5)

(2)可以证明在新 0 级近似波函数n为基矢的 k 维子空间中，H’从而 H的矩阵形式是对角化的。

证：

(0)23 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk(0)nˆ|(0)c*cn|Hˆ|n|Hn11kkccHccH**kk11k*11k

cEcE(1)nk(1)n11*cc1(1)Enk第2－3步用到了（1）式

E]c0。[H(1)n1上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。

[证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时，上式给出如下关系式：

(1)(0)ˆ(0)Enn|H|n

也就是说，能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。

求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S，使 H’从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如：前面讲到的例 2

200H00200020H0000001

应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是：

1(0)11021(0)20103(0)110

21这是新 0 级近似波函数在原简并波函数i，i = 1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即

cii

(0)i13 24 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

我们求解

i13E(1)li)ci0(Hlil1,2,3

就是为了寻找一个么正变换 S，使原来的 H = H0 + H’ 在以i为基矢的表象中的表示变到(0)为基矢的表象中，从而使 H 对角化。

根据表象理论，若(0)在以i为基矢的表象中的形式由下式给出，1(0)(0)11021(0)20103(0)110

21则由表象到表象的么正变换矩阵为：

12S012其逆矩阵为

0100 121212~*1SSS012H’从表象到(0)0100 1212表象由下式给出：

S1HSHS0100α1221000001α001022000000012012010120 12§10.3 变分法

微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton 量 H可分为两部分

ˆHˆHˆ H0 25 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中 H0 的本征值本征函数已知有精确解析解，而 H’很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法—变分法。

（一）能量的平均值

（二）< H >与 E0 的偏差和

（三）如何选取试探波函数

（四）变分方法

（五）实例

（一）能量的平均值

设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：

试探波函数的关系

E0E1E2......En......012......n......上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中E0、0分别为基态能量和基态波函数。

为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即

ˆH|nEn|n|nn|1nm|nmnn0,1,2,

设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：

ˆ|H，则必有EE EH|H0证： 插入单位算符|nnn|1，则

ˆ||Hˆ||EH|HnnnEn|nn|n

E0|nn|E0|E0n即HE0。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

这个不等式表明，用任意波函数计算出的平均值 总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。

若未归一化，则

ˆ||HHE0

|基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数: : (1)，(2)，…，(k)，…称为试探波函数，来计算

HH1,H2,Hk

其中最小的一个就最接近基态能量 E0，即

Min[H1,H2,Hk]E0

如果选取的试探波函数越接近基态波函数，则 H 的平均值就越接近基态能量 E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。

使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1）试探波函数与0之间的偏差和平均值（2）如何寻找试探波函数。

（二）< H >与 E0 的偏差和试探波函数的关系

由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数， 就越接近基态能量 E0

.那末，由于试探波函数选取上的偏差0会引起[-E0]的多大偏差呢？

为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：

< H > 与 E0之间偏差的关系；

||0||1

其中是一常数，是任一波函数，满足0所满足的同样的边界条件。显然|有各种各样的选取方式，通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE|HE0|H0ˆE0|*|H0|0|ˆE||HˆE| 0|H0000ˆE|||2|HˆE|*|H000ˆE|||2|H0ˆ|E|）（利用了Hnnn可见，若是一小量，即波函数偏差0|

是一阶小量，那末

ˆE| HE0||2|H0是二阶小量。

这也就是说， 是小量，与0很接近，则< H >与 E0更接近。当且仅当0时，才有< H > = E0。

[结论] 上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。

（三）如何选取试探波函数

试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。

（1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；（2）试探波函数要满足问题的边界条件；

（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；

（4）若体系Hamilton量可分成两部分H=H0+ H1，而H0 的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。

例：一维简谐振子试探波函数 一维简谐振子Hamilton 量：

22dˆH12x2 222dx其本征函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

n(x)Nne22x/2Hn(x)

下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法 I：

试探波函数可写成：

c(2x2)(x)0|x|

|x|显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。

1.因为谐振子势是关于 x = 0 点对称的，我们的试探波函数也是关于 x = 0 点对称的； 2.满足边界条件，即当|x| →∞ 时，ψ→ 0； 3.含有一个待定的λ参数。方法 II:

亦可选取如下试探波函数：

(x)Aex2

A ——归一化常数， 是变分参量。这个试探波函数比第一个好，因为 1.(x)是光滑连续的函数；

2.关于 x = 0 点对称，满足边界条件，即当 |x|→∞ 时，ψ→ 0；

3.(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。

（四）变分方法

有了试探波函数后，我们就可以计算< H >

ˆ|H|H

ˆ()|H|()H()H()能量平均值是变分参数λ的函数，欲使< H(λ)>取最小值，则要求：

dH()dH()0 dd上式就可定出试探波函数中的变分参量λ取何值时 有最小值。

（五）实例

对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数，应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

方法I 使用第一种试探波函数：

c(2x2)(x)01.首先定归一化系数

|x|

|x|c*dx1

*dx00dxc2(2x2)2dx00dx2155。160165c(x)dxc11522222

2.求能量平均值

H()2ˆdx*H222d2122c(x)x(2x2)dx222dx 222222221c(x)2x(x)dx5221224143.变分求极值

dH()523120 d27235。

2代入上式得基态能量近似值为：

52H42135520.5976

351421410.5，比较二式可以看出，近似结果还2我们知道一维谐振子基态能量 E0不太坏。

方法II 使用第二种试探波函数：

1.对第二种试探波函数定归一化系数：

(x)Aex

2量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

1(x)*(x)dx|A|2e2x2dx|A|2 2|A|22。

2.求能量平均值

H()2ˆdx|A|2*Hx22ˆex2dxexH2222x2d1|A|e[x]edx2dx2222 22x2212222x22|A|edx|A|[]xedx2|A|222221212|A|[]2242带入|A|22，得

21H()21

283.变分求极值

dH()21220 d28121， 2代入上式得基态能量近似值为：

21121H2

2282这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将

代入试探波函数，得：

1 2(x)Aex21/4ex2/20(x)

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性（Hamilton量性质）的分析，构造出物理上合理的试探波函数。

作业

p309 10.1、10.3、10.6 32

第五篇：周记6

周记

支教生活的第六周已然过去，在这一周之中，学生们的汉语学习情况依然没有什么改善。我知道，这种情况不是在一朝一夕之间就能够得到改变的。但是，在这一周之中，学生们对于汉语的学习态度有一些改变，最起码他们知道了学习汉语对于他们来说是好的，无论是对于他们现在的学习，还是以后的生活都是有帮助的。因此，这样的情况出现，无论是对于学生们的学习，还是对于我的汉语教学都是有好处的，因为无论我们做什么事情，不管是成功与否，都要先端正自己的态度，有一个好的态度，所有的一切都有了一个好的开始，事情的结果是什么都已然不是很重要。尤其是对于学生们的汉语学习，这种语言对于他们来说是陌生的，学习的过程中肯定会遇到这样或那样的困难，有一个好的学习态度，才能在学习过程之中将

这些困难一一克服，取得一个好的结果。