浅谈数学教学中的逆向思维,5篇

第一篇：浅谈数学教学中的逆向思维,

学术交流

浅谈数学教学中的逆向思维

摘 要：逆向思维就是通常我们所说的分析法思维，是在解决问题时，为寻求最佳解答而从不同角度对问题进行分析时采用的、与习惯思维方向完全相反的一种思维。

关键词：逆向思维 拓展学生的逆向思维 解题思路

数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学在提高人们的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。而我们现行的数学课程标准的理念之一是：通过学习数学提高学生的数学素质，即用数学的观点和方法去处理在日常生活、工作及其它课程的学习中遇到的实际问题。教会学生正确而灵活的思维方法是达到这一目的的主要手段。在日常教学活动中，正向思维用得较多，这是从已知条件推出或导出结论的一种思维方法，但是当已知信息很多时，学生往往不知从何下手解题，这时改从单一的终点出发推导就

授课过程中有意识的培养学生逆向思维，使他们摆脱单纯机械的正向思维习惯，从而养成从不同角度去分析问题、解决问题的习惯，达到灵活掌握数学知识的目的。达到这一目的的过程还优化了学生的思维品质，培养了思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性。如何达到这一目标呢？

首先，经常逆问

教学中，在学生正确理解概念、定理、公式、法则的基础上，教师还要经常有意识地挖掘互逆因素，进行逆向设问，这样不仅可以使学生对新知识的理解更加深刻，而且还能消除学生的思维定势所带来的消极影响，培养逆向思维意识，养成双向考虑问题的习惯。

例如：在学生学习共轭复数的性质|_Z||Z|及

_ZZ|Z|2之后逆向问学生：“模相等的两个复数是

共轭复数吗?”、“积是实数的两个复数是共轭复数吗?”、“你能将二项式x2y2分解因式吗?”这样，可以加深对共轭复数性质的理解。

可以改变解题时无从人手的困难。逆向思维就是一种

像上例可供逆向考虑的问题在教材中是无处不从结论或终点出发推出条件的思维方法。

在、无所不有的，我们教师应该有意识地抓住它，并逆向思维就是通常我们所说的分析法思维，是在予以适当的处理，就能使学生养成双向考虑问题的习解决问题时，为寻求最佳解答，而从不同角度对问题

惯，正向思维及逆向思维同步发展，减少正向思维对进行分析时所采用的、与习惯性思维方向完全相反的一种思维。这学期我所带的两个班是五年一贯501、502，他们的数学基础普遍都很差，通常是面对一个问题显得手足无措，缺少数学解题中应具备的应变能力。我对他们做了一定的调查了解，除了他们个别在知识掌握脱节外，大部分学生是由于掌握的概念、定理、公式、法则只习惯正向思维。久而久之，就产生一种先入之见，形成思维定势面对数学题只习惯于正面思考问题，造成思维的片面和狭隘。这对培养学生的思维能力带来了极大的消极作用。鉴于这种问题，我在18

逆向思维的抑制作用。

其次，注重逆用

长期的单向思维会使学生思维呆板，解题思路不灵活，所以教师应在课堂教学中抓住解题教学，注意经常性地启发学生逆向利用概念、定理(若逆定理存在)、公式、法则、就能有效地培养学生的逆向思维能力，拓展学生的解题思路。

1、逆用定义或逆用概念

许多数学概念是通过揭示其本质属性来定义的，学术交流

那么，由概念得出其本质属性以及由概念的本质属性而引出概念的定义就是一种互逆的过程，另外，某些概念存在逆概念，如函数与反函数，一一对应与逆对应等，教学中利用这种定义的可逆性及逆概念对问题进行分析研究，就能使某些解题过程得到简化，使学生的逆向思维能力不断提高。如下面的例子：

数学问题一般总是从正面入手进行思考，即从条件入手，求得结论，但也有些问题从正面思考很难找到解题思路，这时可引导学生改变思维方向，采用正难则反的思维，做逆向思考，即从结论入手或从结论的反面入手进行思考，这样有时很容易找到解题的突破口。具体的做法有：

1、执果索因——分析法 当一个题目的条件很难向结论靠拢时，可运用执果索因的办法来寻求解题的思路，即从命题的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至推出一个已知成立的式子。

例2 已知到另一焦点的距离就可利用椭圆定义的可逆性来求。

略解：设这点到焦点F1(3，0)、F2(0，-3)的距离分别为d1、d2，由于L是椭圆的一条准线，故知，例l 椭圆xy1上有一点，这点到直线25162225l：x的距离d＝5，求这点到两焦点的距离。

3分析：只要先求出这点到椭圆右焦点的距离，它

sin()sin()，且sinsink，kz，求

证:ctgctgctg()ctg()

dd1c3，即1，解之，得：d1＝3，故d255da2a-d1=10-3=7

＝

分析:条件等式中是正弦函数，而结论等式中是余切函数，显然，从条件很难推出结论，因此采用分析法，从化“切”为“弦”入手，变换结论等式为条件等式。

2．逆用公式法则 在进行公式教学时，教师应对

证明：

公式作一些适当变形，并强调公式的逆向使用，学生

要证在遇到相关的问题时就能做出有益的联想，会对公式作逆向使用。如进行(n1)!(n1)n!的教学后，ctgctgctg()ctg()

只需证明指出(n+1)n!=(n+1)!、n×n!+n!＝(n+1)!、n×n!=(n+1)!-n!、n!=(n+1)!-n×n!等一系列变形，学生在ctgctg()ctgctg()

即：进行“证明：1!+2×2!+3×3!+…+n×n!＝(n+1)!-l”时，很容易将式子中的每一项n×n!变形为(n+1)!—n!，从而构成部分交错相消项，使问题得到较简捷的证明。

如果学生在逆用概念公式中尝到了甜头，就会大大激发起对“逆用”的兴趣，这无疑对其逆向思维的培养有着积极的推动作用。

再次，要逆思

我们要正确解题就需要有正确的解题思路，解决

coscos()coscos()sinsin()sinsin()只需证明

sin()sin()

sinsin()sinsin()因k，故sin()0

因此，只需证明 19

学术交流 sinsin()sinsin()即：

浅谈启发性日语教学

——如何营造一个协调的日语听力课堂气氛

外国语学院

任凤凤

摘 要：21世纪的社会，是一个开放的社会，随sin()sin()sinsin由已知条件可知上式是成立的，且以上推证的每一步都可逆，这就证明了

着我国加入ＷＴＯ及国际交流的日益频繁，经济全球化的相互交融，国际间各种商务活动如：会议、接待、招聘、议价等，越来越频繁。而日本经济的强大使得日语在国际交流中的作用越来越受到重视，日语逐渐在国际上盛行起来。随着这一趋势的发展，现在许多大学都开设日语专业来满足社会的需求。那么作为一名大学教师如何能让学生更好的掌握日语语言的这门技能呢？

关键词： 日语教学 语言技能 培养 沟通 在日语语言中有四大技能：听、说、读、写。其中听力占主要成分。因为训练听的能力，有助于全面提高学生的日语交际能力，所以加强听力教学，培养学生的语言感悟力、理解力、创新力，成为日语教学的一项重要任务。

听力主要由两个部分构成。即迅速正确地辨音解义的能力、理解语言内涵的能力，亦称“文化悟力”。这两种能力表现在日语听力课堂上，即为识记磁带发出的语音形式，准确地辨析词义，然后从词义、句义到文章中心大意，迅速辨析、思索、组合、归纳，并从中悟出讲话内容的中心所在。这种能力除指对语言知识本身的理解能力外，还应包含对有关文化知识的理解和占有能力，包括经济、文化、天文、地理、历史以及简单的科普知识等等。对这些知识的占有与理解无疑会提高对所听到信息的理解程度，从而使悟出的语义更深刻，更准确。

那么，怎样培养学生听力呢？ ctgctgctg()ctg()

2、否定结论——反证法

有些命题不论是从条件入手，还是从结论入手，都很难找到解题思路，这时，可考虑从结论的反面入手，逐步推出与已知事实相矛盾的结论，从而否定结论的反面，达到证明原命题的目的。

3、反面求解——反求法

证明题在直接证明不易时，可采用反证法，同样，解答题在直接求解不易时，也可以考虑从问题的反面求解。

4、否定命题——反例法

数学中并非每个命题都是真命题，有的命题虽从多方面进行推证，但仍不能得出结论，因此，很自然地对这个命题的真假产生了怀疑，从而设法否定命题，而这只需举出一个符合命题的条件，但不符合命题的结论的例子——反例，就可以了。实践证明：教学中采用：“逆问、逆用、逆思”的手段，培养学生的逆向思维能力是切实可行的，也是行之有效的。

[参考文献]

1、邵瑞珍 《教育心理学》 上海教育出版社

2、任樟辉 《数学思维论 》 广西教育出版社

3、郑均文、张思华 《 数学学习论》广西教育出版社

4、陈洁恩 《培养逆向思维能力的几点做》 中学教研(数学).培养听力，首先要突破听力障碍，掌握“听”的基本技能。学生或一般日语学习者在日语听力训练中存在学术交流 的听力障碍主要有四个：①语音障碍②语义障碍③心理障碍④文化悟力障碍。其中，听力的语音障碍，为这四种障碍之首。日语学习者应下决心攻破它，然后向更高层次迈进。

往会导致其在做听力题时脑中一片空白，从而影响听力活动的顺利进行。因此，听力训练应在轻松愉快的氛围中进行。教师上课态度要亲切，语言要生动、幽默，注意多鼓励、多表扬，消除学生的紧张心理。对于听力较差的同学要耐心细致地加以指导。

一、突破语音障碍，掌握听力基本技能

掌握听力基本技能，首先应突破语音知识关。日语语音知识主要包括五个方面的内容：浊音，半浊音，拗音，拨音，语调。突破语音知识关的办法是：认真听，注意模仿，用心记忆，并跟老师或录音机进行纠正，坚持反复训练和检测。

比如：在西餐馆吃饭的会话。可以虚拟一个场景让学生进行模仿训练。学生对这种训练很感兴趣，起到很好的口语训练效果。合适的多练是培养听说能力的有效方法。作为一名教师，就如同交响乐队的指挥，他不是演奏者，而是指导学生演奏的人。他要根据所学内容，组织指挥进行大量丰富多彩的练习，时而提问题、时而重述、时而朗读，或一个人演奏或两个人合奏或齐奏，在他的指挥下，整个课堂充满紧凑而活跃的学习气氛。在这样的气氛中学习，学生会感到新鲜多样，趣味无穷。外语学习就会达到事半功倍的效果。学生不再是学习的奴隶而是主人。

四、如何进行系统的听力训练

1． 听、说相结合。听和说是不可分割的整体。按照辩证法的原理，听和说是一对矛盾的对立和统一，它们既相互制约又相互促进。听的能力提高了，可以为流利准确的表达创造条件，只有听得懂才能说得出；而说的能力提高了，则反过来促进听力水平的进一步提高。教师首先要向学生提供规范的语音、语调，然后要求学生在反复听的基础上进行反复朗读、背诵，培养语感。教师应积极、主动地组织学生利用课内外的一切机会练习日语口语，多用日语表达。除每节课安排五分钟的 [休み]外，还可开设日语角、做日语游戏、举办日语晚会、教唱日语歌曲、举行日语朗诵、演讲比赛等。

2． 听、写相结合。一是：默写。默写要求较高，可分步进行，从默写单词开始，然后到短语、句子等。二是：填空。一段对话或一篇短文填空，由于训练材料语速较快，要求学生集中精力去听、去理解，并且还得具有熟练的书写单词能力。错误！链接无效。、坚持用日语授课，创建良好的语言环境

语言的学习需要一个良好的环境，日语教师应充分利用课堂四十五分钟，尽量用日语组织教学，为学生营造良好的日语氛围。这样不但对提高学生日语听力水平大有裨益，而且会使其对学习日语产生兴趣。

五、帮助学生掌握听力技巧

1． 辨音题。一般录音最多放两遍，所以听录音时必须高度集中注意力，思维要敏捷，判断要准确、果断，要相信自己。在听之前，先看一遍所给词汇，注意它们的不同点。

2． 对话题。要求学生看完题目后，对听的材料作出判断，这是听者理解并掌握所听内容的首要条件。这可以帮助听者积极地想像、推理和判断，发挥学生的能动性，有助于听者理解所听内容。如材料的题目是：レストランで食事をします，听者应先想一下所学的订餐及在餐馆吃饭时的一些用语和情景，在听的三、选择合适的听力材料

教师为学生选择的听力材料要考虑难易适度、语速适中。否则会由于生词过多而影响学生对材料内容的理解从而造成厌学的心理。另外，所选材料应注意其知识性和趣味性。如选择一些幽默故事、风土人情、人物简介、日语歌曲等这样能使学生产生对日语的兴趣，创建轻松愉快的听力氛围。过分的紧张和焦虑往 21

学术交流

过程中对比自己的想法同所听的材料有哪些异同。再如碰到填空题，可以根据语法现象及固定搭配来猜测该填什么，然后再听音。对话常为一男一女，对话结束时，由第三者提もんだい，然后作出选择。做这类题时要先快速浏览选项，根据选项提供的信息进行推断。例如 ：（A）レストランで 食べます

(B)家で 食べます(C)食堂で 食べます 三个选项都是地点，在听时要注意对话的内容、环境，做出正确的判断。根据训练内容，设计好听力课的教学步骤，逐步提高学生的听力。

3．短文理解题。明确听的任务，让学生带着问题去听。让学生在听的过程中尽量听懂每个词是不可能的，只要听懂中心内容基本就能理解全文。但是相当一部分学生不善于抓主要内容，只根据材料的只言片语进行理解，不能通过对各个局部的理解找到上下文之间的联系，结果对整段内容产生片面理解，得出错误结论。正确判断辩识标志。听力材料中往往有一些明显的特殊标志，是听力测试取得成功的重要环节之一这些标志往往提示上下文的逻辑关系，如转折、条件、让步、因果、比较、并列等。

例如：Ａ：明日はいっしょに 映画へ行きませんか。それから レストラで食事でも…… Ｂ：でも、あさっては試験ですから、ちょっと„„

其中A [でも] 表示提示，列举。B中的 [でも] 表示转折，[ちょっと] 后面话没有说完，它表示委婉的拒绝。所以在听的过程中要找关键词。有可能一个词一个语调就会改变整个一句话的意思。所以要在听得过程中不要只光听前半句，要把整个句子听完，因为日语的语法是主、宾、位，表达意思一般主要在句子的句末，所以要判断这一句是肯定还是否定，就要有耐心听完整个句子，注意句中出现的标志性词语，否则就会弄错。

例如：[私の話がほとんど聞き取れないんじゃな

いか]这句话中有两个否定词如果只听到一个 [ない] 就马上下结论说这是个否定疑问句的话就完全错误了。继续听完这一句话就知道这句话是个肯定的疑问句。所以学生要善于把握这一点，可以在比较的过程中提高听的能力。

4．理解检查。学生听完材料后，教师可以设置一些简单的问题，并对不同层次的学生提问，以及时得到教学反馈。然后让学生讨论，相互补充，达成共识。最后教师可以边放录音边让成绩较好的学生逐句复述听力内容。教师应注意听说结合，为了说得出，必须听懂，只有听懂了，才能说得出，以说促听，以听带说。

六、诱发兴趣，提高听力水平听力是听和理解能力的总和，是积极思维的过程，教师应循序渐进地设计每堂听力课，在有效培养学生听力的同时，注意培养学生的听力兴趣。兴趣是学习的动力，对听音感兴趣的学生，课堂上积极主动、心情愉快，听音效果良好。教师应采取灵活多变的方式，激发学生的听力兴趣，调动学生的积极性和主动性。对一些较难的材料，在听之前教师可以把内容简单复述一遍让学生有大体了解，并提出问题及要求，让学生带着问题听，这样学生易于接受，同时也增强了他们的自信心。做这类题要注意抓住关键词，找主要意思。一篇短文听完，务必了解六个どうして問題，无须每句话每个词都听懂，注意从短文内容的整体上理解，切忌把太多的时间花在某个生词或难句上。在听的过程中做好记录，如笔记时间、地点、人物、内容、结果等，这样在听第二遍时还可以进行检查、核实，作出必要的修改，最后敲定正确答案。

总之，日语听力的提高是一个长期的、渐进的过程，我们从一开始就要有计划、有步骤、持之以恒地进行听力训练和培养。教师应把听力训练作为学习其他技能的基础，培养学生养成听的习惯，进一步提高学生的听力水平。

第二篇：读书笔记__逆向思维

读书笔记：“逆向思维，出奇制胜”

人类的思维具有方向性，存在着正向与反向之差异，由此产生了正向思维与反向思维两种形式。

正反向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。人们解决问题时，习惯于按照熟悉的常规的思维路径去思考，即采用正向思维，有时能找到解决问题的方法，收到令人满意的效果。然而，实践中也有很多事例，对某些问题利用正向思维却不易找到正确答案，一旦运用反向思维，常常会取得意想不到的功效。这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。

逆向思维能令学生打破常规的束缚，立新创意，起到柳暗花明的教学效果。经典案例：

我国著名教育家叶圣陶大师对如何启发学生的逆向思维方面就颇有研究。

我们来看看叶先生在作文教学中的精彩片断。

叶先生问学生：“你们谁能说说„飞蛾扑火‟这个成语的意思？” 这个问题太小儿科了，学生们纷纷举手。

“太简单了，自取灭亡。”、“自不量力。”

“不就是明知山有虎，偏向虎山行的意思吗？”

……

学生们你一言我一语争先恐后地回答。

叶先生微微一笑：“大家都说对了。但是，我们能不能从另外一个角度去解释这个成语呢？”

学生们面面相觑、抓耳搔腮。“另外一个角度？”

“怎么解释啊？”

大师不急不忙：“我给大家一个提示，就是从另一个相反的角度去考虑，或者说，换位思考，站在第三立场上思考这个成语。”

还是没有学生举手发言。

叶先生耐心地说道：“我刚才听见有同学在解释„飞蛾扑火‟时，说„明知山有虎，偏向虎山行‟。这个解释很好。你们再想想，这只飞蛾明知前方有危险，但还是勇敢地冲上去，这是一种什么精神？”

学生们恍然大悟：“啊。„飞蛾扑火‟可以理解成„不怕牺牲、舍生取义‟。” 叶先生吁了一口气：“对，你们真是太聪明了。”

学生们终于找到了感觉“就是从反义的角度考虑考虑啊。”“还可以理解成„追求光明‟，是吗？” ……

学生们的思维拓展的越来越宽。

叶先生十分高兴：“飞蛾扑火本来是个贬义词，但我们却通过某种客观分析，把它变成了褒义词。”这就是我今天要讲的„在作文写作中如何应用逆向思维‟的内容。逆向思维就是突破常规、常识，从一个相反的角度去写，往往使作文写起来比较有新意。有些同学所写的作文当中，几乎是千篇一律，根源就在于我们学生不能突破常识，不能从新的角度去挖掘……”

学生们豁然开朗，很快就明白了老师的用意。

叶先生见学生们都理解得差不多了，便道：“如果我让大家写一篇以„我看狐假虎威‟命题的作文，你们准备怎么去写？”

很快就有学生举起了手：“老师，这篇作文可以从以下几个方面着手。一是从狐狸的聪明才智上着手，它为了能在动物中混得一席之地，借力打力应该是个很不错的方法。二是从老虎的虚荣心上着手，它只是为了排场，以显示百兽之王的威风……”

一次看电视，有一位教授讲了一个故事，让我铭记在心。说的是众人皆知的“兔子和乌龟赛跑”的故事。第一天，兔子因为中途睡了觉，结果兔子吸取了教训，中途没有睡觉，一口起跑到终点，兔子赢了；第三天，乌龟不服气，说要重新选择路线，它选了一条有大河的路，兔子不会游泳，过不去，结果乌龟慢慢地游了过去，乌龟赢了；第四天，兔子和乌龟商量，陆地上我背着你跑，在大河里你驮着我游。乌龟心眼小，担心兔子中途使坏，把自己摔个鼻青脸肿，所以没有同意；第五天，乌龟又提出重新跑，兔子心想：即便是跑到天边，我也不怕你，于是，欣然答应。谁知兔子刚跑到终点，发现乌龟早在终点等着它，兔子那里知道，乌龟让它的弟弟提前在终点等候，乌龟长相都差不多，兔

子那里知道这是计策，只好认输。这个故事让我悟出许多道理。还有人们常说的„愚翁移山‟是破坏了大山的环境和植被，人们因为挖山，穷得连个媳妇都娶不上，那里来的子子孙孙？；打虎的武松竟被公安局抓起来了，因为他打死了国家的一级保护动物；„一个和尚有水吃，三个和尚没水吃‟也被进行了改编，说的是三个和尚搞技术革新，直接把水从山上引到庙里，水多得吃不完的故事。人们常说的„孔融让梨‟也成了问题，因为孔融知道，大梨是化学药品催大的，所以才要了最小的梨；大家熟知的司马光砸缸救人的故事，其实他砸的缸是国家一级保护文物，理应判刑等等。这些故事虽近荒唐，但是说明了一个道理，任何事物都有几重性，遇事最好是多问几个为什么才好。吕淑湘先生说：“如果说一种教法是一把钥匙，那么，在各种教法之上还有一把总钥匙，他的名字叫做„活‟。”成功的教师之所以成功，就是因为他把课教“活”了。叶圣陶老先生还认为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。教是为了不需要教。……就是说咱们当教师的人要引导他们，使他们能够自己学，自己学一辈子，学到老。教育改革，首先要改革的便是教育工作者的工作方式，撤销掉禁锢学生的思想篱笆，让学生海阔天空、百花齐放！让他们的逆向思维也来个百家争鸣！当然，逆向思维立意的目的不是鼓励学生们面面猎奇，不是乱发议论，不是任何情况都可以使用，他同样要求论之有理，述之有据，要有说服力。这才能达到有利发展学生智力，使学生的思维如万马奔腾般活跃的目的。

第三篇：逆向思维数学应用

谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养

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谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养

俄罗斯著名教育家加里宁说：“数学是思维的体操”。正如体操锻炼可以改变人的体质一样，通过数学思维的恰当训练，逐步掌握数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识。在数学教学中应用多种思维方法教学是培养学生能力的重要途径之一，思维是智力的核心。观察、分析、想象、推理、判断都与思维密切联系在一起。培养学生的思维能力是数学教学中落实素质教育的关键，也是数学科素质教育的核心。近几年来，部分省市中考数学试卷时有出现一类需用逆向思维来求解的题目，下面就逆向思维在数学解题中的应用和如何培养学生的逆向思维，谈几点看法：

一、“逆向思维”在解题中的作用 问题的引入

甲、乙、丙、丁四个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减4，结果相等，问甲、乙、丙、丁各是多少？

本题若从正面分析，正面列式完全是可以解出来的，但要假设4个未知数，列4个方程，解起来会比较麻烦，而运用“逆向思维”却“轻而易举”。可以设这四个运算结果相等的数为x，这样就可以比较快地求出甲、乙、丙、丁这四个数分别是14、12、9、8。这样一种思维方式就是逆向思维。它的特点是不盲从别人的观点而善于提出新思路、新方法的一种创造性思维，它是从反面考虑问题的一种方式，通常要打破习惯性的思维方法，有意做出与习惯思维方向（正向思维）完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推；直接解决麻烦或复杂时考虑间接；探讨可能性发生困难时，要考虑不可能性；应用公式法则不凑效时，反过来用„„因此当反复思考某个问题却“山穷水尽”时，逆向思维经常会出现“柳暗花明”的境地，还会达到事半功倍的好效果。也就是说，对于某些问题，有时逆向思维优于正向思维。例如－，－，－，－ 的大小，按惯例是先通分母再比较大小，但本题分母较大，通分母比较麻烦，于是有人另僻蹊径，不通分分母而先通分分子，再比较大小，于是原题就变为比较 的大小，这样不但节约了时间，而且还培养逆向思维的习惯，从而提高了智力。此外，逆向思维在某些问题还会对正向思维起到推动和促进作用。

例 已知：x+y+z= + + =1 求证：x、y、z中至少有一个等于1。

分析：本题结论反面情况是x、y、z都不等于1即(x－1)(y－1)(z－1)≠0将左边展开后再与条件比较，发现矛盾。即得原题的结论。证明：设x、y、z都不等于1 则x－1≠0 y－1≠0 z－1≠0

∴(x－1)(y－1)(z－1)≠0

即xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1≠0(1)又∵x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx(2)∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0(3)(1)、(3)式发生矛盾 ∴原结论成立。

完成这个证明过程后，我们又可以从中得到启发，启发我们若从条件出发，用正向思维完全可以推得(x－1)(y－1)(z－1)＝0，即得x、y、z至少有一个等于1。证明：由条件得x+y+z－1＝0(1)xyz－(xy+yz+xz)＝0(2)(1)＋(2)得 ∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 分解因式得(x－1)(y－1)(z－1)＝0 ∴x－1＝0或y－1=0或z－1=0 即x、y、z中至少有一个等于1。

二、“逆向思维”在解题中的应用

1、“逆向思维”在解方程有关问题中的应用 例1 已知关于x的二次方程

ax2＋2bx＋c＝0

bx2＋2cx＋a＝0

cx2＋2ax＋b＝0 中，至少有一个方程有不同的实数根，试求出a、b、c应满足的条件。

分析：这题若从正面出击，因情况复杂难以下手，但是若从“三个二次方程至少有一个不同的实数根”的反面，即从“三个二次方程都没有不同的实数根”去考虑，则比较容易得到它的结果。

解：设这三个二次方程都没有不同的实数根

三式相加，除以4得 a2＋b2＋c2＋ab－bc－ca≤0 整理得 〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕≤0 但（a－b）2≥0

（b－c）2≥0

（c－a）2≥0 ∴a＝b＝c 又已知a≠0 b≠0 c≠0故求得原题应满足的条件为：a，b，c为不全相等的非零实数。例2 若解关于x的分式方程

时不会产生增根，求k的取值范围。

分析：考虑到不会产生增根的反面是产生增根，从全体实数中除去产生增根时k的值即为原题的解。

解：去分母得

(x+2)(k－k2)=x2－5x－2 若方程产生增根，则(x+2)(x－2)＝0 此时x1=－2 x2＝2 ①当x=－2时，k无实数解

②x＝2时，解得k1=－1 k2＝2 ∴当k≠－1且k≠2时，原方程不会产生增根。

2、“逆向思维”在解决有关函数问题中的应用

例 若二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的两个交点至少有一个在原点的右侧，求m的取值范围。

解：从正面考虑，情况比较复杂，设两个交点都不在原点的右侧，则y＝0时，方程有两个根都小于或等于0，于是有 由此解得m≥9

其反面是m＜9，又因为二次函数图像与x轴有交点，所以还必须有△≥0，且m≠0，即 ∴m的取值范围是m≤1且m≠0.3、“逆向思维”在几何证题中的应用

例 设o是△ABC内一点，AO、BO、CO延长后，分别交对边于D、E、F。试证： 三个中至少有一个不大于2。

证明：本题若从正面考虑有三种情况比较复杂，从反面考虑

设 都大于2。

即

由此推得AO＞2OD，AD＞3OD, 同理

故命题得证。

4、“逆向思维”在排列组合中的应用

例 今有一角币一张，二角币一张，五角币一张，一元币4张，五元币二张，用这些纸币任意付款，则可以付出不同数额的款共有多少种？

分析：从正面去分析，涉及重复排列组合，显然十分复杂，故应改从反面去分析，从一角到最高币值148角共有148种币值，从中去掉不可能构成的币值就可以，而不能构成的币值应该是4角、9角、1元4角、1元9角„到14元4角共29种币值，故148－29＝119，即剩119种。

5、“逆向思维”在数论中的应用

例1 求1～50各整数中，不能被7整除的所有数字之和。

分析：要直接求出1～50各整数中，不能被7整除的整数之和S1是有些费事，但1～50各整数之和可以用数学家高斯简捷算法很快可以求得S=1275且1～50各整数中能被7整除各数7，14、21、28、35、42、49之和S2＝196，从而求得S1＝S－S2＝1079。解 ：（略）。

例2 1984年美国数学邀请赛有这样一道题目：不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？

分析：从正面推算甚是复杂，但从反面去思考，一一去掉那些能分成两个奇合数之和的偶数却十分容易，组成偶数的末位数应是0、2、4、6、8，共5种，因此，（1）末位为0者，经验算10、20合格，但30＝15＋15，40＝15＋25„故应去掉30及30以上的末位为0的整数。

（2）末位为2者，经验算2、12、22、32均合格，但42＝27＋15 52＝27＋25„故应去掉42及42以上末位为2的整数。

（3）末位为4者，经验算4、14都合格，但应去掉24＝9＋15 34＝9＋25„即24及24以上末位为4者。

（4）末位为6者，经验算6、16、26均合格，但36＝21＋15 46＝21＋25„应去掉36及36以上末位为6的整数。

（5）末位为8者，经验算8、18、28、38均合格，但48＝33＋15 58＝33＋25„故应去掉48及48以上末位为8的整数。综上所述，合题意的应是38。

6、“逆向思维”在实际问题中的应用

例 一个人以每小时3公里的速度沿一条有电车过往的街道行走，他注意到，在有40辆与它同向的车从身边驶过的时侯，有60辆车相向驶过，请问电车的平均速度是多少？

分析：在这个问题中，人和车都是动的，如果从这方面分析问题就比较复杂，但是动的反面是静的，将行走着的人想象为站立不动，且设电车的车速为x公里/小时，这样与人同向电车的车速为（x－3）公里/小时，与人逆向的电车车速为（x＋3）公里/小时，此时车速与车辆数成正比，即，解得x＝15公里/小时。

三、培养学生逆向思维能力的有效途径

从以上几个例子，我们可以看出，“逆向思维”在解决一些数学问题与一些实际问题时，确是起到“柳暗花明又一村”的作用，但在平时的教学中，应如何培养和提高学生的“逆向思维”的能力呢？

1、教师在平时教学中要多讲一些有关要用到“逆向思维”的例子，鼓励学生要有采用“逆向思维”的勇气与良好的意志，要谆谆告诫学生，当一切“正向思维”已山穷水尽时，这表明犯了方向性的错误，此路不通就要反其道而行之，这样就可能会马上奏效。

2、培养学生的“逆向思维”，要在平时的教学过程中，从最简单、最基本以及日常生活中的实例开始，要不失时机用互为逆运算、逆变形来简化解题过程，训练逆向思维，使学生慢慢培养和具备逆转心理的习惯，使学生能从多角度和全方位地研究数学问题。下面就初中数学中比较常遇到的要用逆公式、逆法则、逆定理来解题作一个简要介绍。（1）逆用分式加减法则 例1 计算 分析：∵ 同理

解：原式＝

＝„„＝ 例2 化简 解：∵

∴原式＝

＝ ＝

＝1（2）逆用同底数幂乘法法则[ am²an＝am + n，am÷an ＝ am²n(ab)m＝am bm，(am)n＝an m ] 例1 已知10m＝2，10n＝3。

求（1）103m－2n(2)102m＋n 的值 解：（1）103m－2n＝(10m)3÷(10n)2＝23÷32=(2)102m＋n＝(10m)2²10n=22²3＝12。例2 计算(0.125)2001³[(－2)2001]3 解：原式＝(0.125)2001³[(－2)3]2001 ＝[0.125³(－2)3]2001＝－1（3）逆用乘法公式[(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2=a2±2ab+b2] 例1 分解因式：a2n－b2n－2bn－1 解：原式＝(an)2－[(bn)2+2bn+1] ＝(an＋bn ＋1)(an－bn －1)例2 计算 解：原式＝

＝2(2 － 2)＝ 4 －8（4）逆用二次根式中的公式 ＝|a| 例：求的值。解：

（5）逆用一元二次方程根的判别式

例 已知a、b、c、d为非零实数且满足(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 求证：b2＝ac 证明：∵a、b、c、d为实数且(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 ∴一元二次方程(a2+b2)x2－2b(a+c)x+b2+c2=0有一根为d（d为实数）∴△≥0即[2b(a+c)]2－4(a2+b2)(b2+c2)＝－4(b2－ac)2≥0，∴(b2－ac)2≤0

∴b2－ac＝0 ∴b2＝ac 故命题得证。（6）逆用韦达定理

例 已知实数a、b、c 满足a＝6－b，c＝ab－9。求证：a＝b

3、注意训练学生“反向变题”能力

为了说明问题的方便，特引入“反向变题”这个概念。所谓“反向变题”就是把数学题中的“已知”和“求证”在一定条件下互相转换，而形式有异于原题基本思想的新题型。例如“在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：AC ＝AD²AB。对于此题，我们可以把反过来，“在ABC中，CD⊥AB于D且AC ＝AD²AB”。求证∠ACB＝90°”。像这样可以互相转换的题目在初中数学课本中是可以找出不少。

综上所述，逆向思维在解决一些数学问题和实际问题时，确是可以起到一种令人意想不到的效果，它可以改变人们在探索和认识事物的常规方法和思维的习惯，也可以培养和提高学生的创新意识和实践能力，因而可以比较容易引发超常的效应，但是要掌握好它决非一日之功，这需在平时的教学中逐步渗透和培养。当然我们在向学生渗透“逆向思维”时要反复强调运用“逆向思维”来解决问题应视具体情况而定，只有在反复思考某个问题，“正向思维”已“山穷水尽”时，才考虑运用“逆向思维”来解决问题。

第四篇：逆向思维在小学数学教学中的应用

逆向思维在小学数学教学中的应用

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。

古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。一则由于小学生的年 龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。现在我重点论述的是逆向思维在小学数学中的应用。

什么是逆向思维? 逆向思维也叫求异思维，是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维方式。也就是我们通常所说的“反过来想一想”。逆向思维新颖独特，与其他思维方式相辅相成，是创新思维不可或缺的组成部分。逆向思维，在“逆”字上做文章，摒弃常规的顺向思路，从对立的方向寻求解决问题的策略，是创新思维训练的一大好方法，是小学数学教学的一个目标。

小学阶段，学生的思维已具有了可逆性，重视对学生进行逆向思维的训练，有利于加速学生思维能力的提高，有利于学生数学素质的提高，有利于创新能力的培养。教学中，可以从以下几方面进行训练：

1、逆用概念法则，培养逆向思维的意识；

2、注重公式的逆运用，激发逆向思维的兴趣；

3、重视非常规的解题方法，努力追求思维的独创性；

4、注意数学问题的逆向转换，提高逆向思维的自觉性。

一、从一道应用题的解答说起数学课上，老师出了这样一题：“5箱一样重的巧克力，如果从每个箱子里取出12千克，那么，5只箱子里剩下的巧克力的质量等于原来2只箱子里巧克力的质量。原来每个箱子有巧克力多少千克？” 思路一：分析发现，用 算术方法很难解决。不妨设每箱巧克力重X千克，根据“5只箱子里剩下的巧克力的质量等于原来2只箱子里巧克力的质量”，列式为：2X=5X―12 × 5，解得X=20 思路二：本例中，因为剩下的巧克力的千克数不好直接求出，不妨先求出“取出巧克力的千克数”。列式为：12×5=60（千克）；又因为“剩下的巧克力的质量等于原来2箱的质量”，反过来，取出的巧克力的千克数就是（5-2）箱的质量，那么，每箱巧克力的质量为：（12×5）÷（5-2）=20（千克）

比较以上两种思路可知：我们在解决同一个问题时，可以按人们认识事物的过程来考虑，即从条件到结论，从现象到本质；也可以从结论出发，追溯使结论成立的充分条件，按事物变化的反方向进行思考。思路二就是人们常说的逆向思维。在小学阶段，由于小学生的思维水平和语言文字的理解能力相对较低，习惯于顺向思考问题，对于一些需要逆向思考的问题很难理解。

例如：池塘水面上生长着一些浮萍，它们所占水面每天增加1倍，经过100天，整个池塘的水面长满浮萍。经过多少天池塘中的浮萍的面积为水面面积的一半？一些学生凭直觉得到答案为99天，但很少有人 能说清理由。此题如果运用逆向思维，则可迎刃而解。

二、逆向思维及其作用逆向思维是思维向直接相反方向重建的过程。

小学数学中的许多概念、性质、运算、思路、方法等都具有可逆性。如加法和减法、乘法和除法、扩大和缩小、计量单位间的聚化、正反比例，要让学生理解数学的这种可逆性，就必须具有相应的心理过程，即逆向思维的过程。有研究表明，小学阶段，学生的思维已具有了可逆性，逆向思维的形成，说明学生思维的活动已达到抽象推理的水平。因此，在小学数学教学中，重视对学生进行逆向思维的训练，有利于加速学生思维能力的提高，有利于学生数学素质的提高，有利于创新能力的培养。

三、如何培养学生良好的逆向思维品质在小学数学教学中，对学生进行逆向思维的训练可以从以下几方面着手：

1、逆用概念法则，培养逆向思维的意识概念法则的教学是小学数学教学中的一个重要环 节，对数学概念的正确理解，对运算法则的熟练应用，仅靠正向思维是远远不够的。因此，数学教学中可以通过逆向思维方面的训练来加深理解基础知识。数学中的许多概念法则来源于问题或问题本身存在着的互逆关系，这些都是培养学生逆向思维的极好素材。例如：在学习“倍的认识”之后，（1）、3的4倍是（），2的6倍是（）；（正向思维）一个数的3倍是12，这个数是（）；（逆向思维）12是（）的（）倍；（逆向思维）

2、注重公式的逆运用，激发逆向思维的兴趣在数学上不少公式是由已知知识逆向思维，通过猜测并验证而得到的，解题中，一些所谓技巧和灵活性也是由此而来的。而学生往往只习惯于从左往右地运用公式，缺乏逆向思维的自觉性和基本功。显然，这对于学生数学能力的提高是相当不利的。在教学中注重对公式的逆运用，往往能达到出奇制胜的效果。

3、重视非常规的解题方法，努力追求思维的独创性对于一些数学问题，在运用正向思维去解答时，教师也可以注意启发学生运用逆向思维去求解，由此寻找解决问题的方法，这将产生意想不到的效果。正难则反，往往取得成功。如解答分数计算题：1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 分析：此题若按常规解法，即先通分再计算，显然很繁琐，学生往往感到困难，教师若引导学生联想，则可给学生提供一种新的解题思路。即：1/6=1/2―1/3，1/12=1/3―1/4，1/20=1/4―1/5，1/30=1/5―1/6，1/42=1/6―1/7，由此将此题化为不通分而简算之： 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 =（1/2―1/3）+（1/3―1/4）+（1/4―1/5）+（1/5―1/6）+（1/6―1/7）=1/2―1/7 =5/14 教学中，应注意经常摆脱习惯的、传统的、常规的、群众的思维束缚，以便形成标新立异的构思，提高学生逆向思维的独创性。

4、注意数学问题的逆向转换，提高逆向思维的自觉性。在数学问题解决过程中，任何一个正向问题都可以转换为逆向问题，给出的条件越多，转换成逆向思维的数量则越多。在学生正向理解某种数量关系后，可指导学生进行问题的逆向转换，对原题实行倒向改编。如：铁路工人铺铁路，平均每天铺了6天，还有320米没有铺。这段铁路长多少米？分析发现，此题的数量关系十分简单，即：每天铺的米数×天数+没铺的米数=铁轨的长度，据此列式为：50×6+320=620（米）。教学中仅仅满足于解答完就算，显然过于浅显，可将正向问题转换为逆向问题，帮助学生实现由顺而倒的思维转换，可把问题作为条件，把三个条件 分别作为问题，这样一题就变为三道逆向题：

1、铁路工人铺一段长620米的铁轨，平均每天铺50米，铺了6天，还有多少米没有铺？

2、铁路工人铺一段长620米的铁轨，铺了6天，还有320米没有铺，平均每天铺多少米？

3、铁路工人铺一段长620米的铁轨，平均每天铺50米，还有320米没有铺，铺了多少天？改编的三道题的数量关系表征与原题是一样的，但在具体解答过程中，需要作逆向思考，难度则更大一些。而学生在解决数学问题时，通过最多的往往是一些逆向问题。因此，在平时教学中，教师应适时组织学生进行先顺后逆的思维训练，这对于培养学生思维的自觉性是大有裨益的。总之，在小学数学教学中，培养学生的逆向思维能力是一项长期而艰巨的工作，教师要有意识有步骤地培养和训练。相信只要学生掌握了这种思维方式，他们考虑问题时的思路会更开阔，思维会更活跃。

教学实践告诉我们，数学思维的发展是整体进行的，而逆向思维总是与顺向思维交织在一起。因此，我们在教学中进行思维训练时，也要注意逆向思维的培养，把培养学生逆向思维作为素质教育的重要方面。紧扣在教学教材中存在着大量的顺逆运算、顺逆公式、顺逆关系，注意对学生进行顺向思维的训练的同时，也要重视对学生进行逆向思维的培养，“思维能力的发展是学生智力发展的核心，也是智力发展的重要标志”。因此，在小学数学课堂教学中要充分挖掘教材中的互逆因素，有机地训练和培养学生的逆向思维能力，以提高学生的数学素养。

主要参考书目

1)周述岐

数学思想和数学哲学

北京：中国人名大学出版社

1993 2)席振伟

数学的思维方式

南京：江苏教育出版社

1995 3)黄翔

数学方法论选讲

重庆：重庆大学出版社

1995

第五篇：逆向思维在数学分析中的作用

摘 要

数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探.本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为研究切入点,主要以举例子的形式叙述了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最后总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位.二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想研究的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学发展的重要趋势.关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 录

一、引言.......................................................3

二、逆向思维内涵及特征.........................................1

（一）逆向思维的内涵.......................................1

（二）逆向思维的特征.......................................1

三、逆向思维在数学分析中的重要性...............................2

四、逆向思维在数学分析中四种作用...............................3

（一）深化定义、定理理解...................................3

（二）高效强化解题.........................................6

（三）批判性命题验证......................................11

（四）创新性数学品质......................................15

五、结束语....................................................15

六、参考文献..................................................17

一、引言

司马光“砸缸救小孩”是一个古老而又优美的传说,机智的将常规的

“救人离水”转变成“让水离人”.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思维提供理论依据.它不拘泥常规、常法、善于开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培养思维的灵活性,使主观能动性得以充分发挥,改变注入式数学思维应变能力不足的缺陷,产生认识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探索中,掌握数学分析知识间的内在联系,透彻地理解教材,巩固所学知识,并能培养学生探索能力,打破思维定势,激发学习兴趣,开阔知识视野.二、逆向思维内涵及特征

（一）逆向思维的内涵

逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成，又生一计”,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思考是思维向相反方向重建的过程.它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相矛盾的结果,从反面达到解决问题的目的.思维的可逆性,使人们在认识客观事物时,不仅可以顺向思考,而且可以逆向思考;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能决定了逆向思维在创造活动中具有独特的作用.（二）逆向思维的特征

爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“采取相反路线”,“反过来加以考虑”,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度.怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,发展科学为目的.批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的选择、有批判的理解.新颖性:循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单,但容易使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具有多方面属性,由于受过去经验的影响,人们容易看到熟悉的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够随机应变,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉.创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满足于一般思维所研究的已知领域,主要注重于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去观察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情.深刻性:它表现为深入思考问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性.此外,还有独特性、灵活性和探究性.[1]

三、逆向思维在数学分析中的重要性

逆向思维重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解.逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有注意到的地方有所发现,有所建树,从而制胜于出人意料.逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径.逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将复杂问题简单化,从而使效率和效果成倍提高.逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域.逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们认识的挑战,是对事物认识的不断深化,帮助我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化知识,开拓新的知识领域,在探索中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产

生“原子弹爆炸”般的威力.再遇到新问题时就不会只走“华山一条路”了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马”,它是开拓型人才必备的思维品质.四、逆向思维在数学分析中四种作用

（一）深化定义、定理理解

数学分析这门课程研究的对象是函数,所用的研究方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必须深度掌握数列极限的定义,为数学分析的继续学习打下坚实基础.1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有 ana, 则称数列an的极限是a(或a是数列an的极限)或数列an收敛于a(an是收敛数列),表为

limana或ana(n).n数列an的极限是a,用逻辑符号可简要表为: limana0,NN,nN,有ana[2]

n思考 ①如何理解N不唯一? ②若0,N0,当nN时,an中有无穷多个项满足ana,是否limana? n1(1)n 首先,举反例说明并计算N不是唯一的.n1(1)n虽然数列an1(1)n满足对0,N

2其次,分析数列当n2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满足a2k0,但liman不存在.n

这样,即可对数列极限的N语言有了本质的认识和更精确的理解.[3]

函数极限与数列极限定义的不同,形式上的无关联性造成不可相互转化的假象,海涅定理恰恰证明了其本质的相通性,构建起函数极限与数列极限之间的桥梁,所以理解海涅定理的证明极其重要.而其充分性的证明则采取反证法(从命题的反面入手，通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性的一种间接证法,其基本依据是逻辑学中的矛盾与排中律,推知假设错误,故结论成立.其思维特点是逆向思维)推得.2.海涅定理 limf(x)b对于任意数列an,ana且limana

xa n有limf(an)bn

分析 必要性,应用函数极限定义和数列极限定义可得极限limf(an)bn

充分性,因为在已知条件中,这样的数列an是任意的,当然是无限多的,所以从已知条件出发直接证明有limf(x)b是困难,运用反证法.xa证明 必要性 已知limf(x)b,即0,0,x:0xaxa

有 f(x)b

n对于任意数列an,ana且limana,根据数列极限定义,对上述

0,NN,nN,有0ana 从而,nN,有f(an)b,即limf(an)b

n 充分性 应用反证法.假设limf(x)b,根据函数极限的否定叙述

xa 00,0,x:0xa

有 取 1,a1:0a1a1,有f(a1)b0，11,a2:0a2a,有f(a2)b0, 22

..............

11,an:0ana,有f(an)b0，nn

..............于是，构造出一个数列an,ana,因为n 所以limanan

10(n)n显然，limf(an)b,与已知矛盾.n

著名的Lagrange中值定理的论证,其辅助函数的构造,即用分析法(从结论着手进行推证,推得符合条件或易证命题,推证的每一步均可逆,是原命题得证的一种逆向思维解题法)推得.3.Lagrange中值定理

若函数f(x)满足下列条件:（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)可导.则在开区间（a,b）内至少存在一点c,使 f(c)f(b)f(a).ba分析 观察发现,Lagrange中值定理中的两个条件与Rolle定理中的前两个条件相同,当f(a)f(b)时,Lagrange中值定理就是我们所学过的Rolle定理.也就是说,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于这种关系,自然会想到是否能够引用Rolle定理去证明Lagrange中值定理的结论,如何利用Rolle定理,如何构造满足Rolle定理的辅助函数?观察图像

由拉格朗日中值定理结论f(c)斜率,故可设k

f(b)f(a),其右端是一个常数,即点c的baf(b)f(a),则有f(b)f(a)k(ba),即

baf(b)kbf(a)ka,仔细观察上式的特点,不难发现一个能使F(a)F(b)的新函数:F(x)f(x)kx.故,F(x)就是证明中所需要的辅助函数.证明 令F(x)f(x)kx,其中 kf(b)f(a),由题设可知,F(x)在ba

[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)F(b),即F(x)满足罗尔定理的全部条件,故在(a,b)内至少存在一点c,使得F(c)0, 即f(c)f(b)f(a),证毕.ba

（二）高效强化解题

许多关于数学分析的计算、证明题,难以解决的是如何去观察和分析问题的条件与结论,如何寻找条件与结论之间的联系,如何证明才是正确的,而又怎么进行证明过程的论述,更为甚者不知如何才算证明完毕?此时,逆向思维就是解决数学分析问题一种行之有效的方法.234例

一、证明:数列极限limn3nnn4 1n分析 若直接证明此数列极限为4,没有公式可以套用,此时可以考虑判断极限存在性的两个重要准则:两边夹定理和单调有界准则.这样我们把要证明的极限与存在准则有机地联系在一起,设所求数列为xn,目的是证明

xn4(n),那么,根据两边夹定理,需构造两个数列yn和zn,使ynxnzn,且共同极限为4,这样就转化为如何构造这两个数列yn、zn的问题.4444z证明 设 yn,n33nnn1nnnn, 1n显然ynxnzn,且limynlimzn4,有4xn4

234 所以,limn3例

二、计算 ①limnnnn4 1nn(n1)(n2)(nn)

n ②limnn(a1)an分析 两题看似复杂,实则巧妙.①可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.②可利用级数

收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun0)来解决问题,二者均为逆

n1n向思维实例.解 ①limnn(n1)(n2)(nn)12nlimn(1)(1)(1)nnnnnn1nk lim1

nk1n1kln(1)nk1n limenn

e01ln(1x)dxe2ln21

1nnn11 则级数n是收敛的②由lim(n)nan1aa 根据收敛函数的必要条件, 则limnn0 na例

三、设a1c0,an1anc,证明:liman存在并求其值.[4]

n分析 用数学归纳法容易证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,采用逆向推理方法,先设limana,代入递推关系式an1anc,得

na2ac,由于liman非负,因此an114c,从而对任何自然数n, 2必有an114cc1,然后用数学归纳法证明这一等式成立.2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,显然 当n1时,有a1a2,设nk时,有akak1,则akcak1c, 即akcak1c,有ak1ak2,即数列严格增加.显然,当n1时,有a1cc1,设nk时，akc1，则ak1cakcc1c2c1c1,即数列an有上界(上界是c1),根据公理,数列an收敛.2设limana,已知an1can,有liman1climan,即a2ca.nnn2解得a(114c).由极限保号性，a不能是负数，2(114c)2则数列an的极限是a例

四、设函数f(x)在[0,)内二阶可导,且f(x)0,f(0)0,证 明:x10,x20,有fx1x2f(x1)f(x2).分析 这是一道未知函数表达式,且仅给出函数导数性质的证明题.首先,明确利用函数的单调性来证明函数不等式是一种基本方法,而证明函数的单调性又需要构造辅助函数,求导判断其增减性.其次,如何构造辅助函数？

欲证不等式fx1x2f(x1)f(x2),如题中所给出的两个具有任意性的x1和x2,将其中一个暂时固定,另一个自由变化,如:暂时固定x2,将x1改为x,令F(x)f(xx2)f(x)f(x2)作为辅助函数,求导得

F(x)f(xx2)f(x),由此很难判断该表达式是大于0还是小于0.观察表达式f(xx2)f(x)，表示函数f(x)的导数在x与xx2两点处的函数值之差，联系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)f(c)(ba)，其中c(a,b),于是,有f(xx2)f(x)f(c)xx2x.此时,方可判断F(x)的增减性.证明 令F(x)f(xx2)f(x)f(x2),其中x,x20, 求导得F(x)f(xx2)f(x)又函数f(x)在[0,)内二阶可导，导函数 F(x)f(xx2)f(x)在x,xx2上连续,在(x,xx2)内可导,根据Lagrange中值定理,至少存在一点c(x,xx2),使得

F(x)f(xx2)f(x)f(c)xx2xf(c)x20

F(x)在x,xx2上单调递减,从而有F(x)F(0)即,f(xx2)f(x)f(0x2)f(0)f(x2).由x的任意性,可将x换成x1,既得fx1x2f(x1)f(x2),其中

x10,x20.分析 以下两道典型题若应用综合证法直接从已知条件去证明将会很难入手,此时考虑反证法,证明两题将会很显然.例

五、设f(x)在a,b上连续,且f(x)0,证明:若f(x)dx0,则f(x)在aba,b上恒等于零.证明 反证法 假设f(x)在a,b上不恒等于零,则必x0a,b, 使f(x0)0不妨设f(x0)0,又f(x)在x0连续,由连续函数的局部保号性知,0,当xx0,x0a,b时,有f(x)0.设f(x)在x0,x0上的最小值为m,则m0.由定积分的可加性及f(x)0,有f(x)dxabx0af(x)dxx0x0x0f(x)dxbx0f(x)dx

bx0x0f(x)dxx0mdx2m0

这与已知条件f(x)dx0矛盾,所以f(x)在a,b上恒等于零.a例

六、设f(x)在0,上连续,并且f(x)dx0,f(x)cosxdx0,试证明:

00在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.证明 假设f(x)在(0,)内无零点,则由介值定理知,f(x)在(0,)内不变号,与f(x)dx0矛盾,故至少存在1,使f(1)0;0又若f(x)在(0,)内仅有一个零点1,则由介值定理及f(x)dx0知

0f(x)在区间(0,1)和(1,)内必异号,而cosxcos1在(0,1)和(1,)内也异号,于是f(x)(cosxcos1)不变号,从而f(x)(cosxcos1)dx0，0矛盾.所以,在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.例

七、计算曲面积分

I[Sxxxzxf()x3]dydz[f()y3]dzdx[f()z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2y2z22Rz(方向为内侧),f(u)具有连续导数.分析 本题被积函数复杂,正向计算实属曲面积分难题,但是可考虑尝试增加一面,再减去此面,应用奥—高公式(设V是R3中双侧闭曲面S所围成的xy型(同时既是yz型,又是zx型)有界闭体.若三元函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏导数在包含V的区域上连续,则

PdydzQdzdxRdxdy(sVPQR)dxdydz,其中曲面S的外侧 xyz为正).看似加减面将问题复杂化,但是会使计算更为简便.解 V为S所围成球体, 设p(x,y,z)xxxzxf()x3,q(x,y,z)f()y3,r(x,y,z)f()z3 yyyyyp1xxxf()2f()3x2 xyyyy则p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

r1xqxx2f()3y2,f()3z2,在y0连续，zyyyyy由奥——高公式,I3(x2y2z2)dxdydz,设

Vxrsincos,yrsinsin,zRrcos,(02,0,0rR)则(x,y,z)r2sin, (r,,)I3(x2y2z2)dxdydzV3dd(r22RrcosR2)r2sindr

0002RR5R33223(22R22)R5535

（三）批判性命题验证

心理学家盖耶说过:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过富有成效的学习时刻.” 持批判性的态度,应用逆向思维真正理解命题的思想,消化命题,克服思维绝对化、表面化,彻底改变不求甚解的习惯.例

八、若数列an、数列bn都是收敛数列,且存在自然数N,当nN时,有anbn,则limanlimbn.nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn

nn而不能断言limanlimbn[5] nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:,但是limlim0.nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法研究,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而研究一致连续,区分一致连续与连续的区别,真正地领会一致连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一致收敛、一致有界等概念也有重要作用.一致连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一致连续则一定连续,反之不一定.定理 f(x)在a,b内或a,b上一致连续f(x)在a,b内或a,b上连续.这个定理的逆命题是不成立的.分析 通过举一反例f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.取xnn1,xnn,n1,2,,当n时, xnxnn1n0 但是f(xn)f(xn)1

于是,取定差01,则无论取得多么小,当n足够大时, 那些xn与xn的差小于,但是函数数值之差不会小于0, 因此得出f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.拓展:[6]

定理1 设f(x)在有限开区间a,b上连续,则f(x)在a,b上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)存在并有限.xaxb注:①若f(x)在有限开区间a,b上有连续的导函数,且limf(x)与xaxblimf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此xaxbf(x)在a,b上一致连续.②当函数f(x)在区间(,)上连续,定理的必要性不再成立,如

f(x)x在(,)上一致连续,但在端点无极限,对于无穷区间充分

性仍然是对的.定理2 设f(x)在区间[a,)上连续,则下列条件之一满足时f(x)在[a,)上一致连续.(I)limf(x)A(有限)x(II)若存在[a,)上一致连续函数(x),使得limf(x)(x)0

x(III)f(x)在区间[a,)上可导，并且导函数有界(IV)f(x)在区间[a,)上满足Lipschitz条件(V)f(x)在区间[a,)上单调有界.定理3 若f(x)是区间(,)上的连续函数,若也是周期函数,则必一致连续.2例

九、证明:若an收敛,则an也收敛,反之是否成立? n1n12分析 欲证an收敛,则an也收敛,这只需要用到比较判别法即可证得而欲证逆命题是否成立,则应从两方面考虑:一是证逆命题成立,一是证逆命题不成立,无论证哪方面,直接法都很难.于是,我们可以举反例去否定,这样会收到事半功倍之效.证明 已知an收敛,则liman0,即01,NN,nN,有

n1n1n1n

an1,从而有anan,不妨设nN,有anan.22设级数an与an的部分和分别是An和Bn.已知nN,有 2n1n1nnAnakakBn.2k1k1已知级数an收敛,则limBnB(常数).显然数列An是单调增加有

n1n2上界(B就是它的一个上界).于是,数列An收敛,即an收敛.n1112反之不成立,例如:级数()收敛,而级数却发散.n1nn1n例

十、判断: ①若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0连续;②若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0可导;③若f(x)在点x0可积,则f(x)在x0可积;④若多元函数在某点连续且偏导数存在,则函数在该点可微.1,x0解 ①可以举出反例:设f(x),则f(x)在x00处连续,而

1,x0 f(x)在x00处不连续,所以错.②可以举出反例:函数f(x)x在x0处连续,但是它在x0不可导，1xsin,x0 同样,函数f(x),在x0连续,但是 x0,x0 不可导,所以错.③可以举出反例:Dirichlet函数

1,当x为有理数 D(x),此函数的绝对值是可积的

0,当x为无理数

但是其本身并不可积,所以错.0,(x,y)0 ④可以举出反例:f(x,y)x2y,在(0,0)点连续且偏导数

x2y2,(x,y)0 存在,但是,在(0,0)点不可微,所以错.2z2z 定理 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区

yxxy域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.[7]

该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题:

2z2z命题 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内

yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续.分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如

zexy),但是难得函数zf(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数，如：xy22x2y2,xy0g(x,y), 0,x2y20这个分段函数在(0,0)点不连续.可以把g(x,y)作为zf(x,y)的二阶混合偏导数，在通过微分的逆运算积分计算出zf(x,y).再求zf(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)g(x,y)dxyln(x2y2)C1 2

再将x看成常量对y积分得

x2y2(x2y2)22 v(x,y)u(x,y)dyln(xy)C1yC2

44其中C1,C2为任意常数.当任意常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个.考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有

(x2y2)ln(x2y2),x2y20, f(x,y) 40,x2y20.可以验证分段函数zf(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立.所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.（四）创新性数学品质

19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的任意连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造了一可以被称为“数学中的艺术品”的反例: f(x)ancos(bnx),其中0a1,ab1,b为奇数.2n0这是一个在实数轴上点点连续点点不可微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学发展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学发展史的崇高地位,这种发散性思维是创造性人才必备的一种思维品质.五、结束语

从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑研究逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不可能性,反证法,分析法,复杂化等,可以开辟新的解题途径,避开繁杂的计算,使问题简化而得以顺利解决.这对优化学生的思

维结构,培养他们的创新能力大有裨益.本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、研究、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创造更多的奇迹.本文简要的叙述,望为读者研究和学习数学分析中有关逆向思维问题提供一定的帮助.六、参考文献

1逆向思维（反向思维）【J】，华东科技 2008，（10）

2刘玉琏 傅沛仁 林玎 范德馨 刘宁 数学分析讲义.（第五版）高等教育出

版社

3朱红英 王金华 湘南学院学报.2012:第二期

4梁经珑 娄底师专学报.2003:第二期 5马建珍 宜宾学院学报.2006:第十二期

6裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社，2009.631-635 7B.R.Gail Baum，J.M.H.Olmstead.In the analysis of the case [M].Shanghai;Shanghai Scientific and Technical Publishers,1980.4.2 8凌建 科技风:2009年10月（下）